단순환

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1. 개요

단순환은 곱셈 항등원을 가지는 환 $R$ 로, $R$ 가 자명환이 아니고, $R$ 의 모든 아이디얼이 {0} 또는 $R$ 인 환을 의미한다. 단순환의 중심은 체이며, 극대 아이디얼에 대한 몫환은 단순환이다. 아르틴-웨더번 정리에 따르면, 왼쪽 또는 오른쪽 아르틴 환인 단순환은 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다. 모든 체와 나눗셈환은 단순환이며, 바일 대수 또한 단순환의 예시이다. 스콜렘-뇌터 정리는 단순 대수의 자기 동형에 대한 중요한 정리이다.

단순환

개요

종류	환
성질	아이디얼이 {0}과 R뿐인 환

정의

조건	math: "1 ≠ 0" math: "R" 의 양쪽 아이디얼은 math: "{0}" 과 math: "R" 뿐이다.

성질

조건	math: "R" 의 중심은 나눗셈환이다. 아르틴-웨더번 정리에 따라, 나눗셈환 math: "D" 위의 math: "n"×math: "n" 정사각 행렬환 math: "M(n,D'')" 은 단순환이다.

참고 문헌

참고 문헌	Lang Bourbaki Lam

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환론 - 뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 <math>R</math>에 대해 다항식환 <math>R[X]</math> 역시 뇌터 환이 된다.
환론 - 다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 중심 단순 대수
3. 성질
- 3.1. 스콜렘-뇌터 정리
4. 구조 정리
5. 예
6. 역사

2. 정의

곱셈 항등원을 갖는 환 R이 다음 두 성질을 만족시킨다면, R을 단순환이라고 한다.

* R≠{0}이다. 즉, 자명환이 아니다.
* R의 모든 (양쪽) 아이디얼 $\mathfrak a\subset R$ 에 대하여, $\mathfrak a=\{0\}$ 이거나 $\mathfrak a=R$ 이다. 즉, 영 아이디얼을 제외한 진 아이디얼을 갖지 않는다.

단순환 $A$ 의 중심 $\operatorname Z(A)$ 은 항상 체이다. (이는 임의의 $a\in A$ 에 대하여, $a\ne0$ 이라면 주 아이디얼 $(a)=A$ 이므로 $a$ 가 가역원이기 때문이다.)

2.1. 중심 단순 대수

체 $K$ 위의 단위 결합 대수 $A$ 가운데 다음 세 조건을 만족시키는 것을 $K$ 위의 중심 단순 대수(中心單純代數, central simple algebra^영어)라고 한다.
* $A$ 는 단순환이다.
* $\dim_KA$ 는 유한하다. 즉, $K$ 위의 유한 차원 단위 결합 대수이다.
* $\operatorname Z(A)=K$ 이다. 즉, 중심이 정확하게 $K$ 이다.

즉, 모든 아르틴 단순환은 스스로의 중심 위의 중심 단순 대수를 이룬다.

실수체 $\mathbb{R}$ , 복소수체 $\mathbb{C}$ , 그리고 사원수 $\mathbb{H}$ 를 생각해보자.

* 중앙 단순 대수 (때때로 브라우어 대수라고도 함)는 체 $F$ 위의 유한 차원 단순 대수이며, 그 대수의 중심은 $F$ 이다.
* $\mathbb{R}$ 위의 모든 유한 차원 단순 대수는 $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{H}$ 를 성분으로 하는 $n \times n$ 행렬 대수와 동형이다. $\mathbb{R}$ 위의 모든 중앙 단순 대수는 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{H}$ 를 성분으로 하는 $n \times n$ 행렬 대수와 동형이다. 이 결과는 프로베니우스 정리로부터 따른다.
* $\mathbb{C}$ 위의 모든 유한 차원 단순 대수는 중앙 단순 대수이며, $\mathbb{C}$ 위의 행렬환과 동형이다.
* 유한체 위의 모든 유한 차원 중앙 단순 대수는 해당 체 위의 행렬환과 동형이다.

3. 성질

극대 아이디얼에 대한 몫환은 단순환이다. 특히, 모든 체나 나눗셈환은 단순환이다.

어떤 환 $R$ 에 대한 행렬환 $\operatorname{Mat}(n;R)$ 의 아이디얼은 $R$ 의 아이디얼과 일대일 대응하므로, 단순환에 대한 행렬환은 단순환이며, 비단순환에 대한 행렬환은 비단순환이다.

3.1. 스콜렘-뇌터 정리

Skolem–Noether theorem^영어에 따르면, 체 $K$ 위의 단순 대수 $A$ 와 중심 단순 대수 $B$ 가 주어졌을 때, 임의의 두 $K$ - 단위 결합 대수 준동형 $f,g\colon A\to B$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 가역원 $b\in\operatorname{Unit}(B)$ 이 존재한다.

: $g(a)=bf(a)b^{-1}\qquad\forall a\in A$

특히, 중심 단순 대수의 모든 자기 동형은 내부 자기 동형 $a\mapsto bab^{-1}$ 이다.

4. 구조 정리

아르틴-웨더번 정리(Artin–Wedderburn theorem^영어)에 따르면, 왼쪽 아르틴 환 또는 오른쪽 아르틴 환인 단순환 $R$ 는 나눗셈환 위의 행렬환과 동형이다.

: $R\cong\operatorname{Mat}(n;D)$

여기서 $D$ 는 나눗셈환이며, $\operatorname{Mat}(n,D)$ 는 환 $D$ 에 대한 $n\times n$ 행렬환이다. 이러한 표현은 유일하며, $D$ 와 $n$ 은 유일하게 결정된다.

구체적으로, $R$ 가 왼쪽 아르틴 환인 경우, $R$ 는 단순환이므로 충실한 단순 왼쪽 가군 $_RM$ 을 갖는다. 슈어 보조정리에 의하여 $D=\operatorname{End}(_RM)$ 은 나눗셈환이며, 왼쪽 아르틴 환 조건에 의하여 $_DM$ 는 항상 유한 차원 자유 가군이다. 제이컵슨 조밀성 정리에 의하여 $R\cong\operatorname{End}(_DM)$ 이다. 즉, $n=\dim_DM$ 으로 놓으면, $R\cong\operatorname{Mat}(n;D)$ 이며, $_RR\cong {}_RM^{\oplus n}$ 이다.

$R$ 가 오른쪽 아르틴 환인 경우에도 마찬가지 구성을 사용할 수 있다.

따라서, 아르틴 단순환의 분류는 그 중심체 위의 유한 차원 나눗셈환의 분류로 귀결된다. 이는 체 $K$ 의 브라우어 군으로 결정된다.

단순 환 R에 대해 다음은 동치이다.
* R은 왼쪽 아르틴적이다.
* R은 반단순이다.
* R은 극소 왼쪽 아이디얼을 가진다.
* R은 어떤 자연수 n과 어떤 나눗셈 환 D에 대해 M_n(D)과 동형이다.

5. 예

모든 체와 모든 나눗셈환은 단순환이다.

바일 대수 $K\langle x,p\rangle/(xp-px-1)$ 는 단순환이다. 그러나 이는 왼쪽 아르틴 환이나 오른쪽 아르틴 환이 아니며, 따라서 아르틴-웨더번 정리에 해당하지 않는다.

자명환은 정의에 따라 단순환이 아니다. 실수체 $\mathbb{R}$ , 복소수체 $\mathbb{C}$ , 그리고 사원수 $\mathbb{H}$ 를 생각해보자.

* 중앙 단순 대수(때때로 브라우어 대수라고도 함)는 체 $F$ 위의 유한 차원 단순 대수이며, 그 대수의 중심은 $F$ 이다.
* $\mathbb{R}$ 위의 모든 유한 차원 단순 대수는 $\mathbb{R}$ , $\mathbb{C}$ 또는 $\mathbb{H}$ 를 성분으로 하는 $n \times n$ 행렬 대수와 동형이다. $\mathbb{R}$ 위의 모든 중앙 단순 대수는 $\mathbb{R}$ 또는 $\mathbb{H}$ 를 성분으로 하는 $n \times n$ 행렬 대수와 동형이다. 이 결과는 프로베니우스 정리로부터 따른다.
* $\mathbb{C}$ 위의 모든 유한 차원 단순 대수는 중앙 단순 대수이며, $\mathbb{C}$ 위의 행렬환과 동형이다.
* 유한체 위의 모든 유한 차원 중앙 단순 대수는 해당 체 위의 행렬환과 동형이다.
* 체 $k$ 위의 무한 차원 벡터 공간의 모든 선형 변환 대수는 반단순환이 아닌 단순환이다. 또한 반단순 대수가 아닌 $k$ 위의 단순 대수이기도 하다.

6. 역사

1927년에 토랄프 스콜렘은 스콜렘-뇌터 정리를 발표하였으며, 1933년에 에미 뇌터가 독자적으로 재발견하였다.