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슈어 보조정리

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목차

1. 개요

슈어 보조정리는 환 위의 단순 가군과 가군 준동형 사상에 대한 정리로, 군 표현론 등 다양한 분야에 응용된다. 이 정리는 단순 가군 사이의 가군 준동형 사상은 가역 사상이거나 영 사상임을 보이며, 특히 단순 가군의 자기 준동형 사상환이 나눗셈환임을 밝힌다. 슈어 보조정리는 리 군과 리 대수의 표현, 중심 원소와 카시미르 불변량 등과도 관련 있으며, 양자 정보 과학, 분자 궤도 이론 등에도 활용된다. 1905년 이사이 슈어에 의해 발표되었으며, 군 표현론의 발전에 중요한 역할을 했다.

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슈어 보조정리
개요
Schur's lemma
단순환 R 위의 단순 가군 V에 대해, V에서 V로의 환 준동형 사상은 자명한 준동형이거나 환 동형사상이다. 특히, 복소수체 C 위의 유한 차원 단순환에 대한 표현 V에서 V로의 환 준동형 사상은 상수배이다.
슈어 보조정리
정의R이 환이고 V, W가 단순 R-가군이라고 하자. 만약 f가 V에서 W로 가는 R-가군 준동형사상이라면, f는 동형사상이거나 영사상이다. 특히, V = W이면 f는 자기동형사상이거나 영사상이다.
따름정리만약 R이 체 k 위에서 정의된 대수적으로 닫힌 체이고 V가 유한 차원 단순 R-가군이라면, V에서 V로 가는 R-가군 준동형사상은 상수 곱셈이다. 즉, 모든 R-가군 자기동형사상은 스칼라 곱셈이다.
증명
개요슈어 보조정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.
증명 1단계f: V → W가 R-가군 준동형사상이라고 가정하자. 그러면 f의 핵 Ker(f)는 V의 부분 가군이다. V는 단순 가군이므로 Ker(f)는 V이거나 {0}이다. 만약 Ker(f) = V이면 f는 영사상이다. 만약 Ker(f) = {0}이면 f는 단사이다.
증명 2단계또한, f의 상 Im(f)는 W의 부분 가군이다. W는 단순 가군이므로 Im(f)는 W이거나 {0}이다. 만약 Im(f) = {0}이면 f는 영사상이다. 만약 Im(f) = W이면 f는 전사이다.
증명 3단계따라서 f는 영사상이거나 단사이면서 전사이다. f가 단사이면서 전사이면 f는 동형사상이다.

2. 정의

R을 환이라 하고, M과 N을 R-가군이라고 할 때, 가군 준동형 M\to N은 가역 사상이거나 영 사상이다. 이 정리를 슈어 보조정리라고 한다.

특히, 단순 가군의 자기 준동형 사상환은 나눗셈환이다.[6]

슈어 보조정리는 다음과 같은 특수한 경우에 자주 적용된다. R이 체 k 위의 대수이고, 벡터 공간 M = N이 R의 단순 가군이라고 가정하자. 그러면 슈어 보조정리에 따르면 가군 M의 자기 준동형 사상환은 k 위의 나눗셈 대수이다. M이 유한 차원이라면, 이 나눗셈 대수는 유한 차원이다. k가 복소수 체라면, 이 나눗셈 대수는 복소수 체이다. 따라서 가군 M의 자기 준동형 사상환은 "가능한 한 작다". 즉, R에서 오는 모든 변환과 교환하는 M의 선형 변환은 항등원의 스칼라 배수이다.

더 일반적으로, R이 대수적으로 닫힌 체 k 위의 대수이고 M이 \dim_k(M) < \# k(k의 기수)를 만족하는 단순 R-가군이라면, \operatorname{End}_R(M) = k이다.[7] 특히 R이 비가산 대수적으로 닫힌 체 k 위의 대수이고 M이 최대 가산 차원인 단순 가군이라면, R에서 오는 모든 변환과 교환하는 M의 유일한 선형 변환은 항등원의 스칼라 배수이다.

체가 대수적으로 닫히지 않은 경우, 자기 준동형 사상환이 가능한 한 작은 경우가 여전히 특별한 관심을 받는다. k-대수 위의 단순 가군은 자기 준동형 사상환이 k와 환 동형이면 절대 기약이라고 한다. 이것은 일반적으로 체 k 위에서 기약인 것보다 더 강력하며, 심지어 k의 대수적 폐포 위에서도 가군이 기약임을 의미한다.

2. 1. 가군에 대한 슈어 보조정리

R가 환이고, M과 N이 R에 대한 단순 가군이라고 하자. 그렇다면 가군 준동형 M\to N은 가역 사상이거나 영 사상(0)이다.[5] 특히, 단순 가군의 자기 준동형 사상환은 나눗셈환이다.[6]

''f''가 가군 준동형 사상이라는 조건은 다음을 의미한다.

: f(rm) = rf(m)\text{ for all }m \in M\text{ and }r \in R.

'''증명:''' f가 영사상이거나 전사 및 단사임을 보이면 충분하다. 먼저 \ker(f)와 \operatorname{im}(f)가 모두 R-가군임을 보인다. 만약 m\in\ker(f), r\in R이라면 f(rm)=rf(m)=0이므로 rm\in\ker(f)이다. 유사하게, 만약 n=f(m)\in\operatorname{im}(f)이라면, 모든 r\in R에 대해 rn=rf(m)=f(rm)\in\operatorname{im}(f)이다. 이제 \ker(f)\subseteq M과 \operatorname{im}(f)\subseteq N이 단순 가군의 부분 가군이므로, 자명하거나 각각 M, N과 같다. 만약 f\ne0이면, f의 핵은 M과 같을 수 없고, 따라서 자명해야 하며(따라서 f는 단사이다), f의 상은 자명할 수 없고, 따라서 N과 같아야 한다(따라서 f는 전사이다). 그러면 f는 전단사이고, 따라서 동형 사상이다. 결과적으로, 모든 준동형 사상 M\to N은 영사상이거나 가역적이므로, \operatorname{Hom}_R(M,N)은 나눗셈환이 된다.

2. 2. 군에 대한 슈어 보조정리

G가 군이고, V가 벡터 공간이며, \rho\colon G\to\operatorname{GL}(V)가 군의 표현이라고 하자. 그렇다면 V는 \rho로 인하여 군환 V[G]에 대한 가군을 이룬다. 이때, V가 단순 가군임과 \rho가 기약 표현임은 필요충분조건이다. 따라서, 이 경우 슈어 보조정리에 따르면 두 기약 표현 G\to\operatorname{GL}(V_1),\operatorname{GL}(V_2) 사이, 군 작용과 가환하는 선형 변환 V_1\to V_2(가군 준동형 사상)은 가역 사상이거나 영 사상이다. 물론, 두 기약 표현의 차원이 같을 경우에만 가역 사상일 수 있다.[5]

군 버전은 가군의 버전의 특수한 경우이며, 이는 군 ''G''의 임의의 표현이 ''G''의 군환 위의 가군으로 동등하게 볼 수 있기 때문이다.

3. 표현론 (Representation Theory)

표현론은 군 G에서 일반 선형군 GL(V)로 가는 준동형사상을 연구하는 분야이다. 즉, V의 자기 동형 사상군을 연구한다. (여기서 V는 복소수 체 위에 정의된 벡터 공간으로 제한한다.) 이러한 준동형사상을 V에 대한 G의 표현이라고 한다. V에 대한 표현은 V에 대한 군 작용의 특별한 경우이지만, V의 기본 집합에 임의의 전단사 함수(순열)를 허용하는 대신, 가역적인 선형 변환으로 제한한다.

ρ를 V에 대한 G의 표현이라고 하자. V가 부분 공간 W를 가지고, G의 모든 원소 g에 대해 가역적인 선형 사상 ρ(g)가 W를 보존하거나 고정하는 경우가 있을 수 있다. 즉, 모든 선형 사상 ρ(g): V→V는 자기 사상인 ρ(g): W→W이며, 정의역이 W로 제한된다. W를 자체적으로 벡터 공간으로 고려하면, 각 사상 ρ(g)를 W로 제한하여 얻는 표현인 W에 대한 G의 명백한 표현이 있다는 것이 분명하다. W가 이러한 속성을 가질 때, 주어진 표현과 함께 W를 V의 부분 표현이라고 부른다. G의 모든 표현은 자체와 영 벡터 공간을 자명한 부분 표현으로 가진다. 비자명한 부분 표현이 없는 G의 표현을 기약 표현이라고 한다. 기약 표현은 소수나 군론의 단순군처럼 표현론의 구성 요소이다. 표현론의 많은 초기 질문과 정리는 기약 표현의 속성을 다룬다.

군 간의 준동형사상과 위상 공간 간의 연속 사상에 관심이 있는 것처럼, G의 표현 간의 특정 함수에도 관심이 있다. V와 W를 벡터 공간이라고 하고, ρV와 ρW를 각각 V와 W에 대한 G의 표현이라고 하자. 그러면 V에서 W로의 사상 f를 G의 작용 하에서 등변인 V에서 W로의 선형 사상으로 정의한다. 즉, G의 모든 g에 대해 \rho_W(g) \circ f = f \circ \rho_V(g)이다. 다시 말해, f가 G의 작용과 교환 가능해야 한다. 사상은 G의 표현 범주에서 사상이다.

슈어 보조정리는 G의 두 기약 표현 사이에 어떤 사상이 존재할 수 있는지를 설명하는 정리이다.

3. 1. 슈어 보조정리의 명제와 증명 (군의 표현론)

군 G와 벡터 공간 V에 대해, ρ: G → GL(V)가 군의 표현이라고 할 때, V가 단순 가군임과 ρ가 기약 표현임은 필요충분조건이다. 따라서 이 경우 슈어 보조정리에 따르면, 두 기약 표현 G → GL(V1), GL(V2) 사이에서 군 작용과 가환하는 선형 변환 V1 → V2 (가군 준동형 사상)은 가역 사상이거나 영 사상이다. 물론, 두 기약 표현의 차원이 같을 경우에만 가역 사상일 수 있다.

슈어 보조 정리는 G의 두 기약 표현 사이에 어떤 사상이 존재할 수 있는지를 설명하는 정리이다.

'''정리''' (슈어 보조정리): V와 W를 벡터 공간으로 하고, ρV와 ρW를 각각 V와 W에 대한 G의 기약 표현이라고 하자.

# V와 W가 동형이 아니라면, 이들 사이에는 자명하지 않은 사상이 없다.

# V=W이고, 유한 차원이며 대수적으로 닫힌 체(예: \mathbb{C})이고, ρV = ρW이면, 유일한 자명하지 않은 사상은 항등 사상과 항등 사상의 스칼라 배수이다. (항등 사상의 스칼라 배수는 때때로 ''호모테티''라고 불린다.)

'''증명:''' f가 V에서 W로의 영이 아닌 사상이라고 가정하자. 그러면 V와 W가 동형임을 증명할 수 있다. V'를 V에서 f의 핵 또는 영공간, 즉 f(x)=0인 모든 x의 부분 공간이라고 하자. (이것이 부분 공간임을 확인하는 것은 어렵지 않다.) f가 사상이라는 가정에 의해, G의 모든 g와 V'의 x 선택에 대해, f((ρV(g))(x)) = (ρW(g))(f(x))=(ρW(g))(0) = 0이다. f(ρV(g))(x))=0이라는 것은 ρV(g)(x)가 f:V → W의 영공간에 있다는 것과 같다. 따라서 V'는 G의 작용에 대해 안정적이며, 부분 표현이다. 가정에 의해 V가 기약적이므로, V'는 0이어야 한다. 따라서 f는 단사이다.

같은 논증으로 f가 전사임도 보일 수 있다. f((ρV(g))(x)) = (ρW(g))(f(x))이므로, f의 상에 있는 f(x)의 임의의 선택에 대해 ρW(g)는 f(x)를 f의 상의 다른 곳으로 보내고, 특히 ρV(g)x의 상으로 보낸다고 결론지을 수 있다. 따라서 f(x)의 상은 G의 작용에 대해 안정적인 W의 부분 공간 W'이며, 부분 표현이므로 f는 0이거나 전사여야 한다. 가정에 의해 0이 아니므로 전사이며, 이 경우 동형 사상이다.

V=W가 대수적으로 닫힌 체에서 유한 차원이고 동일한 표현을 갖는 경우, λ를 f의 고유값이라고 하자. (대수적으로 닫힌 체에서 유한 차원 벡터 공간에 대한 모든 선형 변환에 대해 고유값이 존재한다.) f' = f-λI라고 하자. 그러면 x가 λ, f'(x)=0에 해당하는 f의 고유 벡터인 경우 f'가 사상이라는 것은 분명하다. 사상의 합 또는 차도 이기 때문이다. 그런 다음 위의 논증으로 돌아가서, 사상이 이라는 사실을 사용하여 핵이 부분 표현이며, 따라서 0이거나 모든 V와 같다는 것을 결론지을 수 있다. 0이 아니기 때문에 (x를 포함하고 있음) 모든 V여야 하므로 f'는 자명하고, 따라서 f = λI이다.

'''정리:''' ''M''과 ''N''이 환 ''R'' 위에서 정의된 두 단순 가군이라면, ''R''-가군의 가군 준동형 사상 ''f'': ''M'' → ''N''은 가역적이거나 영사상이다.[5] 특히, 단순 가군의 자기 준동형 사상환은 나눗셈환이다.[6]

''f''가 가군 준동형 사상이라는 조건은 다음을 의미한다.

: f(rm) = rf(m)\text{ for all }m \in M\text{ and }r \in R.

'''증명:''' f가 영사상이거나 전사 및 단사임을 보이면 충분하다. 먼저 \ker(f)와 \operatorname{im}(f)가 모두 R-가군임을 보인다. 만약 m\in\ker(f), r\in R이라면 f(rm)=rf(m)=0이므로 rm\in\ker(f)이다. 유사하게, 만약 n=f(m)\in\operatorname{im}(f)이라면, 모든 r\in R에 대해 rn=rf(m)=f(rm)\in\operatorname{im}(f)이다. 이제 \ker(f)\subseteq M과 \operatorname{im}(f)\subseteq N이 단순 가군의 부분 가군이므로, 자명하거나 각각 M, N과 같다. 만약 f\ne0이면, f의 핵은 M과 같을 수 없고, 따라서 자명해야 하며(따라서 f는 단사이다), f의 상은 자명할 수 없고, 따라서 N과 같아야 한다(따라서 f는 전사이다). 그러면 f는 전단사이고, 따라서 동형 사상이다. 결과적으로, 모든 준동형 사상 M\to N은 영사상이거나 가역적이므로, \operatorname{Hom}_R(M,N)은 나눗셈환이 된다.

군 버전은 가군의 버전의 특수한 경우이며, 이는 군 G의 임의의 표현이 G의 군환 위의 가군으로 동등하게 볼 수 있기 때문이다.

위 주장의 따름정리로 다음을 얻을 수 있다.

3. 2. 슈어 보조정리의 따름정리

슈어 보조정리의 중요한 따름정리는, 고정된 선형 연산자에 대한 개별 그룹 요소의 작용에 대해 "평균"을 구함으로써 표현 간에 명시적으로 G-선형 맵을 구축할 수 있다는 관찰에서 비롯된다.[3][4] 특히, 모든 기약 표현이 주어지면, 이러한 객체는 슈어 보조정리의 가정을 충족하므로 항등원의 스칼라 배수가 된다. 더 정확하게는 다음과 같다.

'''따름 정리''': 이전 정리와 동일한 표기법을 사용하여, h를 ''V''를 ''W''로 매핑하는 선형 맵이라고 하고, 다음을 설정한다.

:

h_0 = \frac{1}

\sum_{g\in G} (\rho_W(g))^{-1} h \rho_V(g).



그러면,

# 만약 V와 W가 동형 사상이 아니면, h_0 = 0이다.

# 만약 V=W가 대수적으로 닫힌 체 (예: \mathbb{C}) 위에 유한 차원이고, \rho_V = \rho_W이면, h_0 = I\, \mathrm{Tr}[h]/ n이며, 여기서 ''n''은 ''V''의 차원이다. 즉, h_0는 비율 \mathrm{Tr}[h]/n의 동형 변환이다.

'''증명:'''

먼저 h_0가 G-선형 맵, 즉 모든 g \in G에 대해 \rho_W(g) \circ h_0 = h_0 \circ \rho_V(g)임을 보인다. 실제로,

:

\begin{align}

(\rho_W(g'))^{-1} h_0 \rho_V(g') & = \frac{1}

\sum_{g\in G} (\rho_W(g'))^{-1}(\rho_W(g))^{-1} h \rho_V(g) \rho_V(g')

\\

& = \frac{1}

\sum_{g\in G} (\rho_W(g\circ g'))^{-1} h \rho_V(g\circ g')

\\ & = h_0

\end{align}



이제 이전 정리를 적용하면, 첫 번째 경우에 h_0 = 0이고, 두 번째 경우에 h_0는 항등 행렬의 스칼라 배수 (즉, h_0 = \mu I)가 된다. 스칼라 배수 \mu를 결정하기 위해,

:

\mathrm{Tr}[h_0] = \frac{1}

\sum_{g\in G} \mathrm{Tr}[(\rho_V(g))^{-1} h \rho_V(g)]

= \mathrm{Tr}[ h ]



따라서 \mu = \mathrm{Tr}[h] / n이 된다.

이 결과는 다양한 응용 분야를 가지고 있다. 예를 들어, 양자 정보 과학의 맥락에서 이 정리는 복소 투영 t-설계에 대한 결과를 도출하는 데 사용된다.[3] 분자 궤도 이론의 맥락에서는 분자 대칭을 기반으로 원자 궤도 상호 작용을 제한하는 데 사용된다.[4]

''G''를 복소수 행렬군이라고 하자. 그러면 ''G''는 복소수를 요소로 하는 ''n''차 정사각 행렬의 어떤 집합이며, ''G''는 행렬 곱셈과 행렬의 역행렬에 대해 닫혀 있다. 또한, ''G''가 기약이라고 가정한다. 즉, ''G''의 작용 하에서 불변인 선형 부분 공간 ''V''가 0과 공간 전체 이외에는 존재하지 않는다고 하자. 다시 말해서,

: 모든 ''g'' ∈ ''G''에 대해 gV\subseteq V이면, V=0 또는 V=\mathbb{C}^n이다.

단독 표현의 특별한 경우에서, 슈어 보조 정리는 다음을 의미한다. ''A''가 ''n''차 복소수 행렬이고, ''G''의 모든 행렬과 교환하는 경우, ''A''는 스칼라 행렬이다. ''G''가 기약이 아니라면, 이 일은 성립하지 않는다. 예를 들어, GL(''n'','''C''') 내의 대각 행렬 전체의 부분군 ''D''를 취하면, ''D''의 중심은 ''D''이며, 이는 스칼라 행렬 이외도 포함한다. 간단한 계로, 아벨 군의 모든 복소수 표현은 1차원이다.

4. 리 군과 리 대수의 표현

리 군과 리 대수의 표현과 관련하여 슈어 보조정리는 일반적으로 다음 세 가지로 설명된다.[8]

# V_1과 V_2가 임의의 체에 대한 리 군 또는 리 대수의 기약 표현이고, \phi:V_1\rightarrow V_2가 상호 작용 사상이면, \phi는 0이거나 동형 사상이다.

# V가 ''대수적으로 닫힌'' 체에 대한 리 군 또는 리 대수의 기약 표현이고 \phi:V\rightarrow V가 상호 작용 사상이면, \phi는 항등 사상의 스칼라 배수이다.

# V_1과 V_2가 ''대수적으로 닫힌'' 체에 대한 리 군 또는 리 대수의 기약 표현이고 \phi_1, \phi_2:V_1\rightarrow V_2가 0이 아닌 상호 작용 사상이면, \phi_1=\lambda\phi_2이다. 여기서 \lambda는 스칼라이다.

두 번째 명제의 간단한 따름정리는 아벨 군의 모든 복소수 기약 표현이 1차원이라는 것이다.

5. 응용

슈어 보조정리는 군 표현론에서 중요한 역할을 한다. 체 $K$ 위의 단위 결합 대수 $R$과 $K$-벡터 공간 $V$가 $R$ 위의 단순 가군일 때, $V$의 자기 사상환 $\operatorname{End}_RV=\hom_{R\text{-Mod}}(V,V)$는 $K$ 위의 나눗셈환이다.

만약 $M$이 유한 차원 $K$-벡터 공간이고, $K$가 복소수체 $\mathbb C$와 같이 비가산 대수적으로 닫힌 체라면, 그 위의 나눗셈환은 $K$ 자체뿐이다. 따라서 $\operatorname{End}_RV=K$이며, $R$의 모든 원소와 가환인 $V$ 위의 선형 변환은 항등 함수의 스칼라배뿐이다.

특히, 복소수 리 대수 $\mathfrak g$ 위의 보편 포락 대수 $R=U(\mathfrak g)$와 $\mathfrak g$의 복소수 기약 표현 $V$가 주어졌을 때, 슈어 보조정리에 따라 $\mathfrak g$의 카시미르 불변량 (보편 포락 대수의 중심)은 $V$ 위에 항등 함수의 스칼라배로 작용한다.

5. 1. 중심 원소 (Central Character)

R을 k-대수라고 하자. R-가군 M은 모든 m\in M, z\in Z(R)에 대해 (z-\chi(z))^nm=0을 만족하는 n\in\N이 존재하면, 즉 모든 m\in M이 고윳값 \chi(z)를 갖는 z의 일반화된 고유 벡터이면 ''중심 문자'' \chi: Z(R)\to k를 갖는다고 한다. 여기서 Z(R)는 R의 중심이다.

만약 \operatorname{End}_R(M)=k라면, Z(R)의 모든 원소는 R-자기준동형으로 M에 작용하며 따라서 스칼라로 작용한다. 따라서 링 준동형사상 \chi: Z(R)\to k가 존재하여 모든 z\in Z(R), m\in M에 대해 (z-\chi(z))m =0이 성립한다. 특히, M은 중심 문자 \chi를 갖는다.

R=U(\mathfrak{g}), k=\C가 리 대수의 보편 포락 대수라면, 중심 문자는 무한소 문자라고도 불리며, \mathfrak{g}가 유한 차원일 때 (R=U(\mathfrak{g})가 가산 차원) 모든 단순 \mathfrak{g}-가군은 무한소 문자를 갖는다.

k=\C, R=\C[G]가 유한군 G의 군 대수인 경우에도 동일한 결론이 도출된다. 여기서 R의 중심은 \sum_{g\in G} a(g) g 형태의 원소로 구성되며, a: G\to\C는 유사 함수(공액에 대해 불변인 함수)이다. 유사 함수 집합은 기약 표현 \pi\in\hat{G}의 문자 \chi_\pi에 의해 생성되므로, 중심 문자는 모든 \pi\in\hat{G}에 대해 u_\pi:= \frac{1}{\#G}\sum_{g\in G} \chi_\pi(g) g를 매핑하는 것으로 결정된다. 모든 u_\pi는 멱등적이므로, 각 u_\pi는 0 또는 1로 매핑되며, 서로 다른 두 개의 기약 표현에 대해 u_\pi u_{\pi'}=0이므로, 하나의 u_\pi만이 1로 매핑될 수 있는데, 이는 가군 M에 해당한다.

5. 2. 카시미르 불변량 (Casimir Invariant)

리 대수 \mathfrak{g}의 보편 포락 대수 U(\mathfrak{g})가 주어졌을 때, \mathfrak{g}의 복소수 기약 표현 V에서 \mathfrak{g}의 카시미르 불변량 C\in Z(U(\mathfrak{g}))는 슈어 보조정리에 따라 V 위에 항등 함수의 스칼라배로 작용한다.[8] 복소수체 위의 리 대수의 기약 표현은 카시미르 불변량의 값으로 분류할 수 있다.

\mathfrak{g}가 복소수 반단순 리 대수인 경우, 카시미르 원소 C에 대해 \pi(C)=\lambda_\pi I가 성립한다. 여기서 \lambda_\pi는 \pi의 최고 무게에 따라 계산할 수 있는 상수이다.[9] 카시미르 원소의 작용은 반단순 리 대수의 유한 차원 표현에 대한 완전 가약성을 증명하는 데 중요한 역할을 한다.[10]

5. 3. 기타 응용

슈어 보조정리는 양자 정보 과학에서 복소 투영 t-설계에 대한 결과를 도출하는 데 사용된다. 또한, 분자 궤도 이론에서 분자 대칭을 기반으로 원자 궤도 상호 작용을 제한하는 데 사용된다.

6. 비단순 가군으로의 일반화

슈어 보조정리는 반드시 단순할 필요가 없는 가군 ''M''을 포함하는 일반화를 허용한다. 가군은 자기 준동형 사환(endomorphism ring)이 국소환일 때 '''강하게 분해 불가능'''하다고 한다. 모듈의 길이가 유한 길이인 모듈의 경우, 다음은 모두 동등하다.[14]


  • 모듈 ''M''은 분해 불가능 모듈이다.
  • ''M''은 강하게 분해 불가능하다.
  • ''M''의 모든 자기 준동형 사상은 멱영적이거나 가역적이다.

7. 역사

이사이 슈어가 1905년에 발표하였다.[15] 페르디난트 게오르크 프로베니우스는 1896년 논문에서 군 표현론을 개척하였다.[12] 3년 후, 하인리히 마슈케는 모든 표현은 기약 표현의 직합임을 증명했다.[13] (→마슈케의 정리) 슈어 보조정리는 기약 표현이 지표에 의해 식별될 수 있으며, 이 지표들이 직교한다는 중요한 결과 증명의 핵심적인 보조정리이며, 유한군 이론 발전에 중요한 역할을 하였다.

참조

[1] 학술지 Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere https://archive.org/[...] Preußische Akademie der Wissenschaften 1905
[2] 서적 Linear Representations of Finite Groups https://books.google[...] Springer 1977
[3] 학술지 Tight informationally complete quantum measurements https://iopscience.i[...] 2006-10-27
[4] 서적 Symmetry and Chemistry null Dover Publications 1993-01-14
[5] 문서 2012
[6] 문서 2001
[7] 서적 Éléments de mathématique Springer
[8] 문서 2015
[9] 문서 2015
[10] 문서 2015
[11] 간행물 Neue Begründung der Theorie der Gruppencharaktere https://books.google[...] Sitzungsberichte der Königlich Preußischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 1905
[12] 학술지 Über Gruppencharaktere http://bibliothek.bb[...] Sitzungsber. K. Pr. Akad. Wiss. Berlin 1896
[13] 학술지 Beweis des Satzes, dass diejenigen endlichen linearen Substitutionesgruppen, in welchen einige durchgehends verschwindende Coefficienten auftenen intransitiv sind Math. Ann. 1899
[14] 문서 https://books.google[...] 2001
[15] 저널 http://books.google.[...]


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