아르틴 환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 아르틴 가군
- 2.2. 아르틴 환
3. 성질
4. 예
5. 역사
참조

1. 개요

아르틴 환은 환 위의 가군이 부분 가군의 내림 사슬 조건을 만족시키는 아르틴 가군일 때, 그 환을 스스로의 가군으로 간주하여 정의되는 환이다. 아르틴 환은 왼쪽 아르틴 환과 오른쪽 아르틴 환으로 구분되며, 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환인 환을 아르틴 환이라고 한다. 가환환의 경우, 왼쪽, 오른쪽, 아르틴 환의 개념이 일치한다. 아르틴 환은 뇌터 환이며, 홉킨스-레비츠키-아키즈키 정리에 의해 조성열을 가진다. 아르틴 환은 0차원 뇌터 환과 동치이며, 단순환은 사체 상의 전 행렬환과 동형이다. 아르틴 가환환은 유한 개의 국소환의 곱으로 표현되며, 대수기하학에서 유한 이산 공간에 해당한다. 아르틴 환은 에밀 아르틴의 이름을 따서 명명되었다.

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뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 $R$ 에 대해 다항식환 $R[X]$ 역시 뇌터 환이 된다.
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아르틴 환
기본 정보
분야	추상대수학
정의	자기 자신이 아르틴 가군인 환
성질	모든 극소 아이디얼은 극대 아이디얼이다. 뇌터 환이다. 모든 소 아이디얼은 극대 아이디얼이다.
관련 개념
상위 개념	뇌터 환
하위 개념	체의 직접곱

2. 정의

환 위의 왼쪽·오른쪽 가군이 부분 가군들의 격자에서 내림 사슬 조건을 만족시키면 왼쪽·오른쪽 '''아르틴 가군'''(Artinian module^영어)이라고 한다. 환이 스스로 위의 왼쪽·오른쪽 가군으로서 왼쪽·오른쪽 아르틴 가군을 이룬다면, '''왼쪽·오른쪽 아르틴 환'''(left/right Artinian ring^영어)이라고 하며, 이는 왼쪽·오른쪽 아이디얼들의 격자가 내림 사슬 조건을 만족시키는 것과 같다.

가환환의 경우 왼쪽·오른쪽 아이디얼 구분이 없어, 왼쪽 아르틴 환, 오른쪽 아르틴 환, 아르틴 환 개념이 일치한다.

2. 1. 아르틴 가군

환

R

위의 왼쪽·오른쪽 가군

M

의 부분 가군들의 격자가 내림 사슬 조건을 만족시키면,

M

은 왼쪽·오른쪽 '''아르틴 가군'''(Artinian module^영어)이라고 한다.

가환환 위의 가군의 경우, 좌우 가군의 구분이 없으므로, 두 개념은 일치한다.

2. 2. 아르틴 환

환

R

가 스스로 위의 왼쪽·오른쪽 가군으로서 왼쪽·오른쪽 아르틴 가군을 이룬다면,

R

를 '''왼쪽·오른쪽 아르틴 환'''(left/right Artinian ring^영어)이라고 한다. 왼쪽 아르틴 환이자 오른쪽 아르틴 환인 환을 '''아르틴 환'''이라고 한다. 환을 스스로의 가군으로 간주한다면, 부분 가군은 왼쪽·오른쪽 아이디얼이다. 따라서, 이는 왼쪽·오른쪽 아이디얼들의 격자가 내림 사슬 조건을 만족시키는 것과 같다.

가환환의 경우 왼쪽 아이디얼과 오른쪽 아이디얼의 구분이 없으므로, 왼쪽 아르틴 환, 오른쪽 아르틴 환, 아르틴 환의 개념이 모두 일치한다.

환 ''R''에 대해 다음 두 조건은 동치이다.

(강쇄 조건): ''R''의 왼쪽 아이디얼로 이루어진 임의의 강쇄는 유한한 길이로 정지한다.
: $I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots, (I_k\text{ : ideal}, k=1,2,\dots)$

\Rightarrow \exists N \text{ such that } I_N = I_{N+1} = \cdots.

(극소 조건): ''R''의 왼쪽 아이디얼로 이루어진 공집합이 아닌 임의의 족은 포함 관계에 대한 극소 원을 갖는다.
: $\varnothing \ne L :=$

\{I_\lambda \subseteq R \mid I_\lambda \text{ : ideal}, \lambda \in \Lambda\} \Rightarrow \exists I \in L \text{ such that } I\ \not\supset\ I_\lambda \text{ for all }\lambda.

이러한 동치 조건을 만족하는 환 ''R''을 '''왼쪽 아르틴 환'''(left Artininan^영어)이라고 하며, 또한 왼쪽 아르틴적인 환을 '''왼쪽 아르틴 환'''이라고 부른다. 또한, 상기 조건 중의 "왼쪽 아이디얼"과 "오른쪽 아이디얼"을 서로 바꿔 '''오른쪽 아르틴 환'''(right Artininan ring^영어)을 정의한다. 환 ''R''이 좌우 양쪽에서 아르틴적(two sided Artininan^영어)일 때, ''R''은 '''양쪽 아르틴 환'''이라고 한다. 생각하는 환 ''R''이 가환환이라면 좌우 구별 없이 단순히 '''아르틴 환''' 또는 가환환임을 강조하여 가환 아르틴 환 또는 아르틴 가환 환 등으로 부른다. 문맥에 따라 왼쪽 아르틴 환, 오른쪽 아르틴 환 또는 양쪽 아르틴 환을 단순히 아르틴 환이라고 약칭한다.

3. 성질

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$ 에 대하여, 다음 두 조건은 서로 동치이다.^[1]

$M$ 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
$M$ 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, $M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M$ 이 존재하며, $M_i/M_{i-1}$ 은 모두 단순 가군이다.

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

좌 아르틴 환 위의 좌 가군

M

에 대하여, 다음은 동치이다(홉킨스 정리):

$M$ 은 유한 생성이다.
$M$ 은 유한 길이를 갖는다 (즉, 조성열을 갖는다).
$M$ 은 뇌터 가군이다.
$M$ 은 아르틴 가군이다.

단위원을 갖는 가환 뇌터 환 ''A''가 주어졌을 때, 다음 조건들은 서로 동치이다.

''A''는 아르틴 환이다.
''A''는 가환 아르틴 국소환의 유한한 곱이다.
''A'' 위의 모든 유한 생성 모듈은 유한 길이를 갖는다.
''A''는 크룰 차원이 0이다. (특히, 영근기는 극대 아이디얼이므로 소 아이디얼은 제이콥슨 근기이다.)
$\operatorname{Spec}A$ 는 유한하고 이산적이다.
$\operatorname{Spec}A$ 는 이산적이다.

''k''가 체이고 ''A''가 유한 생성 ''k''-대수라고 하자. 그러면 ''A''가 아르틴 환인 필요충분조건은 ''A''가 ''k''-모듈로서 유한 생성되는 것이다.

아르틴 국소환은 완비적이다. 아르틴 환의 몫환과 국소화는 아르틴 환이다.

3. 1. 아르틴 가군

환

R

위의 왼쪽·오른쪽 가군

M

의 부분 가군들의 격자

\operatorname{Sub}(M)

가 내림 사슬 조건을 만족시킨다면,

M

이 왼쪽·오른쪽 '''아르틴 가군'''(Artinian module^영어)이라고 한다.

가환환 위의 가군의 경우, 좌우 가군의 구분이 없으므로, 두 개념이 서로 일치한다.

환

R

위의 왼쪽 가군

M

및 부분 가군

N\subseteq M

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]

$M$ 이 아르틴 가군이다.
$N$ 과 $M/N$ 둘 다 아르틴 가군이다.

(유사한 조건이 뇌터 가군에 대해서도 성립한다.)

왼쪽 아르틴 환

R

위의 유한 생성 왼쪽 가군은 아르틴 가군이다.^[1] (유사한 조건이 뇌터 가군에 대해서도 성립한다.)

환

R

위의 왼쪽 가군

M

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[1]

$M$ 은 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.
$M$ 은 유한한 길이의 합성열을 갖는다. 즉, $M_0\subsetneq M_1\subsetneq\cdots\subsetneq M_k=M$ 이 존재하며, $M_i/M_{i-1}$ 은 모두 단순 가군이다.

특히, 유한 집합인 가군은 항상 뇌터 가군이자 아르틴 가군이다.

M

을 좌 아르틴 환 위의 좌 가군이라고 하자. 그러면 다음은 동치이다(홉킨스 정리): (i)

M

은 유한 생성이다, (ii)

M

은 유한 길이를 갖는다 (즉, 조성열을 갖는다), (iii)

M

은 뇌터 가군이다, (iv)

M

은 아르틴 가군이다.

3. 2. 아르틴 환

모든 유한환은 아르틴 환이다.

'''홉킨스-레비츠키 정리'''(Hopkins–Levitzki theorem^영어)에 따르면, 다음이 성립한다.

모든 왼쪽 아르틴 환은 왼쪽 뇌터 환이다.
모든 오른쪽 아르틴 환은 오른쪽 뇌터 환이다.
모든 (양쪽) 아르틴 환은 (양쪽) 뇌터 환이다.

그러나 이는 가군에 대하여 성립하지 않는다. 즉, 뇌터 가군이 아닌 아르틴 가군이 존재한다.

'''아르틴-웨더번 정리'''(Artin–Wedderburn theorem^영어)에 따르면, 임의의 환에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.

왼쪽 아르틴 단순환이다.
오른쪽 아르틴 단순환이다.
나눗셈환 위의 행렬환이다.

단위원을 갖는 가환 뇌터 환 ''A''가 주어졌을 때, 다음 조건들은 서로 동치이다.

''A''는 아르틴 환이다.
''A''는 가환 아르틴 국소환의 유한한 곱이다.
''A'' 위의 모든 유한 생성 모듈은 유한 길이를 갖는다.
''A''는 크룰 차원이 0이다. (특히, 영기는 극대 아이디얼이므로 소 아이디얼은 제이콥슨 근기이다.)
$\operatorname{Spec}A$ 는 유한하고 이산적이다.
$\operatorname{Spec}A$ 는 이산적이다.

''k''가 체이고 ''A''가 유한 생성 ''k''-대수라고 하자. 그러면 ''A''가 아르틴 환인 필요충분조건은 ''A''가 ''k''-모듈로서 유한 생성되는 것이다.

아르틴 국소환은 완비적이다. 아르틴 환의 몫환과 국소화는 아르틴 환이다.

Wedderburn–Artin 정리의 한 버전은 단순 아르틴 환 ''A''는 나눗셈환 위의 행렬환이라고 말한다.

아르틴 환은 뇌터 환이 된다(홉킨스-레비츠키-아키즈키). 따라서 아르틴 환은 조성열을 가진다. 또한 반대로 뇌터 환이면서 멱영인 야코브슨 근기를 가지고, 야코브슨 근기에 의한 잉여환이 반단순인 환은 아르틴 환이다. 또한 가환환에 한정하면, 아르틴 환인 것과 크룰 차원 0의 뇌터 환인 것은 동치이다.

환이 아르틴적인 단순환이 될 필요충분 조건은 적당한 사체 상의 어떤 차수의 전 행렬환과 동형이 되는 것이다. 일반적으로, 반단순환은 (사체나 차수가 같지 않아도 되는) 전 행렬환의 유한 개의 직적이다. 자세한 내용은 「아르틴-웨더번 정리」 및 「반단순환」을 참조하라.

아르틴 환의 야코브슨 근기에 의한 잉여환은 반단순이다. 특히 반단순환은 야코브슨 근기가 사라진 아르틴 환으로 특징지어진다.

환 ''R''이 왼쪽(또는 오른쪽) 아르틴 환인 것과 적당한 아이디얼 ''I''에 대해 ''R''/''I'' 및 ''I''가 왼쪽(또는 오른쪽) 아르틴적인 것은 동치이다(여기서, ''I''가 아르틴적이라는 것은 ''I''를 ''R'' 가군으로 보고 아르틴적이라는 것을 말한다).

왼쪽 아르틴 환이 정역이면 나눗셈환이다.

3. 3. 아르틴 가환환

가환환

R

에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.

$R$ 는 아르틴 환이다.
$R$ 는 유한 개의 가환 아르틴 국소환들의 곱이다.^[2]
$R$ 는 뇌터 환이며, 크룰 차원이 0이다.^[2]
$R$ 는 뇌터 환이며, $\operatorname{Spec}R$ 는 유한 개의 점을 가지는 이산 공간이다.^[2]
$R$ 는 뇌터 환이며, $\operatorname{Spec}R$ 는 이산 공간이다.^[2]

즉, 대수기하학에서 아르틴 조건은 유한 이산 공간에 해당하는 조건이다.

정역

R

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.

아르틴 환이다.
체이다.

뇌터 국소환

(R,\mathfrak m)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[2]

아르틴 환이다.
$\mathfrak m^n=0$ 인 자연수 $n\in\mathbb N$ 이 존재한다.

아르틴 가환환에 대하여, 다음이 성립한다.

모든 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다.^[2]
유한 개의 소 아이디얼을 갖는다.^[2]
영근기 $\sqrt 0$ 가 제이컵슨 근기(Jacobson radical^영어)와 같다.^[2]

4. 예

정역은 체일 때에만 아르틴 환이다.^[1]
유한 개의 왼쪽 아이디얼을 갖는 환은 왼쪽 아르틴 환이다. 특히, 유한 환(예: $\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$ )은 왼쪽 및 오른쪽 아르틴 환이다.
''k''를 체라고 할 때, $k[t]/(t^n)$ 은 모든 양의 정수 ''n''에 대해 아르틴 환이다.
$k[x,y]/(x^2, y^3, xy^2) = k \oplus k\cdot x \oplus k \cdot y \oplus k\cdot xy \oplus k \cdot y^2$ 는 극대 아이디얼 $(x,y)$ 를 갖는 아르틴 환이다.
''x''가 유한 차원 벡터 공간 ''V'' 사이의 엔도모피즘일 때, $x$ 에 의해 생성된 부분 대수 $A \subset \operatorname{End}(V)$ 는 가환 아르틴 환이다.
''I''가 영이 아닌 데데킨트 정역 ''A''의 아이디얼이라면, $A/I$ 는 주 아이디얼 환인 아르틴 환이다.
각 $n \ge 1$ 에 대해, 왼쪽 아르틴 (또는 왼쪽 뇌터) 환 ''R'' 위의 전체 행렬 환 $M_n(R)$ 은 왼쪽 아르틴 (또는 왼쪽 뇌터) 환이다.

다음은 아르틴 환이 아닌 예시이다.

''R''이 임의의 환일 때, 다항식 환 ''R''[''x'']는 아르틴 환이 아니다. $x^{n+1}$ 에 의해 생성된 아이디얼은 모든 자연수 ''n''에 대해 $x^n$ 에 의해 생성된 아이디얼에 포함되기 때문이다.
정수환 $\mathbb{Z}$ 는 뇌터 환이지만 아르틴 환은 아니다.

4. 1. 아르틴 벡터 공간

체

K

위의 벡터 공간이 아르틴 가군인 것은 유한 차원 벡터 공간인 것과 동치이다.^[1]

4. 2. 아르틴 아벨 군

아벨 군은 정수환

\mathbb Z

위의 가군이므로, 아르틴 아벨 군을 생각할 수 있다. 이 경우, 다음 포함 관계가 성립한다.

: 아벨 유한군 ⊊ 아르틴 아벨 군 ⊊ 꼬임군

여기서 꼬임군

G

는 임의의 원소

g\in G

에 대하여,

ng=0

인 양의 정수

n\in\mathbb Z^+

가 존재하는 아벨 군이다.

4. 3. 특수한 경우

무한 차수의 체의 확대^[1]

:

L/K

:

\dim_KL\ge\aleph_0

가 주어졌을 때 (예를 들어,

L/K=\mathbb R/\mathbb Q

), 삼각환

:

\begin{pmatrix}L&L\\0&K\end{pmatrix}=\left\{\begin{pmatrix}a&b\\0&c\end{pmatrix}\colon a,b\in L,\;c\in K\right\}

은 왼쪽 아르틴 환이자 왼쪽 뇌터 환이지만, 오른쪽 아르틴 환이나 오른쪽 뇌터 환이 아니다.

체

K

에 대한 가한 무한 다항식환

K[x_1,x_2,\dots]

의 몫환

:

K[x_1,x_2,\dots,x_n,\dots]/(x_1,x_2^2,\dots,x_n^n,\dots)

은 하나의 소 아이디얼만을 갖는 0차원 국소환이지만, 뇌터 환이 아니며 따라서 아르틴 환도 아니다.^[2]

체들의 집합

\{K_i\}_{i\in I}

의 직접곱

:

\prod_{i\in I}K_i

은 항상 크룰 차원이 0차원인 축소환이다. 이때 다음 세 조건은 서로 동치이다.

$\prod_{i\in I}K_i$ 는 아르틴 환이다.
$\prod_{i\in I}K_i$ 는 뇌터 환이다.
$I$ 는 유한 집합이다.

즉, 무한 개의 체들의 직접곱은 0차원 가환 축소환이지만 아르틴 환이 아니다.

프뤼퍼 군

:

\mathbb Z(p^\infty)\cong\mathbb Z[1/p]/\mathbb Z

은 아벨 군이므로, 정수환 위의 가군으로 생각할 수 있다. 이는 아르틴 가군이지만, 뇌터 가군이 아니다. 예를 들어, 부분군의 오름 사슬

:

\langle 1/p\rangle\subseteq\langle 1/p^2\rangle\subseteq\cdots

은 최대 원소를 갖지 않는다.

5. 역사

에밀 아르틴의 이름을 따 지어졌다.

참조

_[1] 서적 A first course in noncommutative rings Springer 2001
_[2] 서적 Introduction to commutative algebra Westview Press 1969

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