자명환
1. 개요
자명환은 유일한 원소 0을 가지는 집합 {0}에 덧셈과 곱셈 연산을 부여하여 구성되며, 환의 공리를 만족하는 환이다. 덧셈 항등원과 곱셈 항등원이 모두 0인 유일한 환이며, 가환환이고 0은 자기 자신이 곱셈 역원인 단원이다. 영환은 표수가 1이며, 영 가군을 유일한 가군으로 갖는다. 임의의 환에서 영환으로 가는 유일한 환 준동형 사상이 존재하며, 환의 범주에서 종대상이 된다. 영환은 아르틴 환이자 노에터 환이다.
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| 정의 | 덧셈 항등원만을 유일한 원소로 가지는 환 |
|---|---|
| 다른 이름 | 영환, 자명한 환, 자명한 링, 링 0 |
| 영어 이름 | trivial ring, zero ring |
| 일본어 | 零環 (れいかん, reikan) |
| 한국 한자음 | 零環 (영환) |
| 중국어 | 自明環 (zìmíng huán) |
| 연산 | 덧셈과 곱셈 연산은 0 + 0 = 0, 0 * 0 = 0으로 정의된다. |
|---|---|
| 특징 | 자명환은 유일한 원소를 가지는 환이다. 자명환은 유일한 덧셈에 대한 항등원(0)과 곱셈에 대한 항등원(1)이 같은 환이다. 자명환은 나눗셈환이 아니다. |
| 응용 | 자명환은 환론에서 여러가지 예시를 들 때 사용된다. |
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유한환 -
모듈러 산술
모듈러 산술은 정수를 특정 수로 나눈 나머지에 따라 분류하고 합동 관계를 통해 연산하는 산술 체계로, 암호학, 컴퓨터 과학 등 다양한 분야에서 활용되며 수학자들의 기여로 발전해왔다. -
0 -
3월 0일
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0 -
영벡터
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환론 -
뇌터 환
뇌터 환은 환론에서 아이디얼의 특정 조건을 만족하는 환을 지칭하며, 가환환의 경우 왼쪽, 오른쪽, 양쪽 뇌터 환의 개념이 일치하지만 비가환환의 경우 구별해야 하고, 힐베르트 기저 정리에 따라 뇌터 환 <math>R</math>에 대해 다항식환 <math>R[X]</math> 역시 뇌터 환이 된다. -
환론 -
다항식환
다항식환은 환을 계수로 하는 다항식들의 집합으로, 덧셈과 곱셈 연산에 대해 환을 이루며, 계수환이 체일 경우 유클리드 정역이 되고 대수기하학 등 다양한 분야에서 중요한 역할을 한다.
2. 정의
하나의 원소만을 가진 집합 {0}에는 유일한 환 구조가 존재한다. 즉, 0+0=0·0=0이다. 이 환을 자명환이라고 한다. 자명환은 영환, {0} 또는 간단히 0으로 표기하며, 일원 집합 {0}과 0 + 0 = 0 및 0 · 0 = 0으로 정의된 이항 연산 +, ·로 구성된다.
3. 성질
* 영환(0으로만 이루어진 환)은 덧셈 항등원 0과 곱셈 항등원 1이 같은 유일한 환이다. (증명: 환 R에서 이면, R의 모든 r에 대해 이다.)
* 영환은 가환환이다.
* 영환의 원소 0은 자기 자신이 곱셈 역원인 단원이다.
* 영환의 단원군은 자명군 {0}이다.
* 영환의 원소 0은 영인자가 아니다.
* 영환의 유일한 아이디얼은 영 아이디얼 {0}이며, 이는 단위 아이디얼이자 환 전체와 같다. 이 아이디얼은 극대 아이디얼도 소 아이디얼도 아니다.
* 영환은 보통 체나 정역으로 간주되지 않는다.
* 임의의 환 A에 대해, A에서 영환으로 가는 유일한 환 준동형 사상이 존재한다. 따라서 영환은 환의 범주에서 종대상이다.
* A가 영환이 아닌 경우, 영환에서 A로 가는 환 준동형 사상은 존재하지 않는다. 특히, 영환은 영환이 아닌 환의 부분환이 될 수 없다.
* 영환은 표수가 1인 유일한 환이다.
* 영환 위의 유일한 가군은 영 가군이다. 이는 모든 기수에 대해 해당 기수를 랭크로 갖는 자유 가군이다.
* 영환은 국소환이 아니지만, 반국소환이다.
* 영환의 스펙트럼은 빈 스킴이다.
* 영환의 크룰 차원은 −∞이다.
* 영환은 반단순환이지만 단순환은 아니다.
* 영환은 어떤 체 위에서도 중앙 단순 대수가 아니다.
* 영환의 전체 몫환은 자기 자신이다.
* 영환은 아르틴 환이며, 따라서 노에터 환이다.