대수군

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1. 개요

대수군은 대수적으로 닫힌 체 k에 대한 대수다양체로, 군 연산이 정의된 군 대상이다. 대수적 부분군은 자리스키 위상에 따라 닫혀 있고, 부분군을 이루며 대수다양체를 이루는 부분집합이다. 대수군은 선형대수군과 아벨 다양체로 분류되며, 슈발레 구조 정리에 따르면 모든 연결 대수군은 선형대수군과 아벨 다양체의 군 확대로 표현할 수 있다. 선형대수군은 아핀 대수다양체를 이루는 대수군이며, 아벨 다양체는 연결된 사영 대수군으로, 타원 곡선이 그 예시이다. 대수군과 관련된 개념으로는 군 스킴, 리 대수, 연결성 등이 있으며, 콕세터 군과의 관계도 존재한다.

대수군

개요

이미지 준비중입니다.

일반적인 스킴 S에 대한 대수적 군 G. 화살표는 닫힌 삽입입니다.

정의

유형	군
분야	대수기하학

관련 항목	리 대수, 군 스킴

2. 정의

대수적으로 닫힌 체 $k$ 에 대한 대수군 $G\to\operatorname{Spec}k$ 은 군 연산
: $(-\cdot-)\colon G\times G\to G$
: ${}^{-1}\colon G\to G$
이 갖추어져 있고, 이들이 정규함수(regular function)인 대수다양체이다. 즉, 대수다양체의 범주에서의 군 대상이다.

대수군의 대수부분군(algebraic subgroup^영어)은 자리스키 위상에 따라 닫혀 있고, 부분군을 이루며, 대수다양체를 이루는 부분집합이다. 형식적으로, 체 $k$ 위의 대수군은 $k$ 위의 대수다양체 $\mathrm G$ 이며, 특별한 원소 $e \in \mathrm G(k)$ (항등원)와 정칙 사상 $\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G$ (곱셈 연산) 및 $\mathrm G \to \mathrm G$ (역원 연산)을 함께 가지며, 이들은 군 공리를 만족한다.
대수군 $\mathrm G$ 의 대수적 부분군은 $\mathrm G$ 의 부분다양체 $\mathrm H$ 이며, 동시에 $\mathrm G$ 의 부분군이기도 하다 (즉, 그룹 구조를 정의하는 사상 $\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G$ 와 $\mathrm G \to \mathrm G$ 가 각각 $\mathrm H \times \mathrm H$ 와 $\mathrm H$ 를 $\mathrm H$ 로 사상한다).

3. 분류

대수군은 크게 선형 대수군과 아벨 다양체로 분류할 수 있다.

슈발레의 구조 정리에 따르면, 모든 연결 대수군은 선형 대수군의 아벨 다양체로의 군 확대로 표현할 수 있다. 즉, 다음 조건을 만족하는 유일한 짧은 완전열이 존재한다.

: $1\to H\to G\to A$

여기서

* $H$ 는 $G$ 의 정규 대수부분군이다.
* $A$ 는 아벨 다양체이다.

3.1. 선형 대수군

선형 대수군(linear algebraic group)은 아핀 대수다양체를 이루는 대수군이다. 선형 대수군은 충실한 유한 차원 선형 표현을 가지며, 이는 행렬군으로 표현 가능하다는 것을 의미한다.

선형 대수군의 예시는 다음과 같다.

* 일반선형군 $\operatorname{GL}(n,k)$
* 특수선형군 $\operatorname{SL}(n,k)$
* 심플렉틱 군 $\operatorname{Sp}(2n,k)$
* 가역 상삼각행렬들의 군 $\operatorname{Upper}(n,k)$
* 비퇴화 이차 형식 $q$ 에 대하여, 직교군 $\operatorname O(q)$ 및 특수직교군 $\operatorname{SO}(q)$
* 직교군과 심플렉틱군은 아핀 대수군이다.
* 단일 자승군.
* 대수적 토러스.
* 특정 반직접곱, 예를 들어 제트 군 또는 가역 삼각 행렬의 군과 같은 일부 가해군.

레비의 정리에 따르면 모든 선형 대수군은 단일 자승군(그 단일 자승 근기)과 환원군의 반직접곱이다. 환원군은 중심(대수적 토러스)과 반단순군의 곱으로 분해된다. 후자는 대수적으로 닫힌 체 위에서 리 대수를 통해 분류된다. 임의의 체에 대한 분류는 더 복잡하지만 여전히 잘 이해되고 있다.

슈발레의 구조정리에 따르면, 임의의 대수군은 아벨 다양체의 선형 대수군에 의한 확대이다. K가 완전체이고 G가 K 상의 대수군일 때, 다음과 같은 G의 닫힌 정규 부분군 H가 유일하게 존재한다. H는 선형군이며, G/H는 아벨 다양체이다.

아핀 다양체의 범주 내의 임의의 군은 충실한 유한 차원 선형 표현을 갖는다. K 상의 다항식으로 정의된, 행렬의 곱셈을 군 연산으로 갖는, K 상의 행렬군으로 생각할 수 있다.

3.2. 아벨 다양체

아벨 다양체는 연결된 사영 대수군이며, 항상 가환군이다. 타원 곡선은 아벨 다양체의 한 예시이다. 아벨 다양체는 대수 기하학과 수론에서 곡선의 야코비 다양체와 같이 다양한 형태로 나타난다.

4. 관련 개념

대수군 $\mathrm G$ 의 대수적 부분군은 $\mathrm G$ 의 부분다양체 $\mathrm H$ 이면서, 동시에 $\mathrm G$ 의 부분군이다. 즉, 그룹 구조를 정의하는 사상 $\mathrm G \times \mathrm G \to \mathrm G$ 와 $\mathrm G \to \mathrm G$ 가 각각 $\mathrm H \times \mathrm H$ 와 $\mathrm H$ 를 $\mathrm H$ 로 사상한다.

두 대수군 $\mathrm G, \mathrm G'$ 사이의 사상은 정칙 사상 $\mathrm G \to \mathrm G'$ 이면서, 동시에 군 준동형사상이다. 그 핵은 $\mathrm G$ 의 대수적 부분군이며, 그 상은 $\mathrm G'$ 의 대수적 부분군이다.

대수군의 범주에서의 몫은 다루기가 더 섬세하다. 대수적 부분군은 모든 내부 자기 동형 사상(정칙 사상)에 대해 불변일 경우 정규라고 한다. 만약 $\mathrm H$ 가 $\mathrm G$ 의 정규 대수적 부분군이라면, 대수군 $\mathrm G/\mathrm H$ 와 전사 사상 $\pi : \mathrm G \to \mathrm G/\mathrm H$ 가 존재하여 $\mathrm H$ 가 $\pi$ 의 핵이 된다. 만약 체 $k$ 가 대수적으로 닫혀 있지 않다면, 군의 사상 $\mathrm G(k) \to \mathrm G(k)/\mathrm H(k)$ 가 전사적이지 않을 수 있다는 점에 유의해야 한다 (전사성의 기본값은 갈루아 코호몰로지에 의해 측정된다).

4.1. 군 스킴

가환환 위에서 정의될 수 있는 대수군의 일반화된 개념은 군 스킴이다. 아핀 군 스킴은 홉프 대수의 유형에 쌍대적이다.

4.2. 리 대수

리 군-리 대수 대응과 유사하게, 체 $k$ 위의 대수군에는 $k$ 위의 리 대수가 연관되어 있다. 벡터 공간으로서 리 대수는 항등원에서의 접공간과 동형이다. 리 괄호는 미분 공간으로 해석하여 구성할 수 있다.

4.3. 연결성

대수군은 밑에 깔린 대수다양체가 자리스키 위상에 대해 연결되어 있으면 '연결되어 있다'라고 한다. 대수군의 경우, 이는 두 개의 진 대수 부분 집합의 합집합이 아니라는 것을 의미한다.

연결되지 않은 군의 예로는 곱셈군 $\mathrm G_m$ 에서 1의 $n$ 제곱근으로 이루어진 대수 부분군이 있다(각 점은 자리스키 닫힌 부분 집합이므로 $n \ge 1$ 에 대해 연결되지 않는다). 이 군은 일반적으로 $\mu_n$ 으로 표기한다. 또 다른 비연결 군으로는 짝수 차원의 직교군이 있는데(행렬식은 $\mu_2$ 로의 전사 사상을 제공한다).

4.4. 콕세터 군과의 관계

원소가 하나인 체

대수군과 콕세터 군 사이에는 여러 유사한 결과가 있다. 예를 들어, 대칭군의 원소의 개수는 $n!$ 이고, 유한체 위의 일반 선형군의 원소의 개수는 (어떤 인수를 제외하고) q-계승 $[n]_q!$ 이다. 따라서 대칭군은 "원소가 하나인 체" 위의 선형군처럼 동작한다. 이는 콕서터 군을 원소가 하나인 체 위의 단순 대수군으로 간주하는 원소가 하나인 체에 의해 공식화된다.