뒤발 특이점

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1. 개요

뒤발 특이점은 패트릭 뒤발과 펠릭스 클라인의 이름을 따서 명명되었으며, 복소 변수를 사용하여 표현되는 특이점의 한 유형이다. 이 특이점들은 ADE형 딘킨 도표에 의해 분류되며, A, D, E6, E7, E8의 다섯 가지 유형이 있다. 뒤발 특이점은 이진다면체군과의 관계를 가지며, 끈 이론에서 3차원 복소 다양체의 오비폴드 특이점으로 나타난다.

뒤발 특이점

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1. 개요
2. 역사
3. 분류
4. 응용

2. 역사

영국의 패트릭 뒤발(Patrick du Val^영어)과 독일의 펠릭스 클라인의 이름을 땄다. 뒤발은 1934년에 이 특이점들을 연구하였다.

3. 분류

뒤발 특이점은 ADE 분류형 딘킨 도표에 의해 분류된다. 이는 복소수 변수 w, x, y로 정의되는 복소 2차원 아핀 대수다양체의 방정식으로 표현된다. 이 다양체들은 w=x=y=0에서 특이점을 갖는다.

3.1. ADE 분류

각 특이점 유형은 다음과 같은 방정식으로 표현된다.

* A_n: $w^2+x^2+y^{n+1}=0$
* D_n: $w^2+y(x^2+y^{n-2}) = 0$ (n≥4)
* E₆: $w^2+x^3+y^4=0$
* E₇: $w^2+x(x^2+y^3)=0$
* E₈: $w^2+x^3+y^5=0.$

이들은 $\mathbb C^2$ 를 $SL(2;\mathbb C)$ 의 유한 부분군의 작용으로 몫공간을 취한 것으로 볼 수 있다. $SL(2;\mathbb C)$ (또는 $SU(2)$ )의 부분군들은 이진다면체군(binary polyhedral group^영어)이라고 불리며, 이들에 대한 ADE 분류가 존재한다. 이를 매케이 대응성(McKay correspondence^영어)이라고 한다.

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좌우로 밀어서 보기

ADE 분류	SO(3) 부분군
A_n	n+1차 순환군 $Z_{n+1}$
D_n	2n차 정이면체군 $\operatorname{Dih}_{n}$
E₆	정사면체군 (정사면체의 대칭군)
E₇	정팔면체군 (정육면체와 정팔면체의 대칭군)
E₈	정이십면체군 (정십이면체와 정이십면체의 대칭군)

3.2. 이진다면체군과의 관계

뒤발 특이점은 $\mathbb C^2$ 를 $SL(2;\mathbb C)$ 의 유한 부분군의 작용으로 몫공간을 취한 것으로 볼 수 있다. $SL(2;\mathbb C)$ (또는 $SU(2)$ )의 부분군들은 이진다면체군(binary polyhedral group^영어)이라고 불리며, 이들에 대한 ADE 분류가 존재한다. 이를 매케이 대응성(McKay correspondence^영어)이라고 한다.

3.2.1. 이진다면체군 목록

이진다면체군은 SU(2)=Spin(3)가 SO(3)의 이중피복군이므로, SO(3)의 부분군(다면체군)의 이중피복에 해당한다.

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좌우로 밀어서 보기

ADE 분류	SO(3) 부분군
A_n	n+1차 순환군 $Z_{n+1}$
D_n	2n차 정이면체군 $\operatorname{Dih}_{n}$
E₆	정사면체군 (정사면체의 대칭군)
E₇	정팔면체군 (정육면체와 정팔면체의 대칭군)
E₈	정이십면체군 (정십이면체와 정이십면체의 대칭군)

3.3. 특이점 해소

표수가 0인 대수적으로 닫힌 체 $K$ 에 대하여, 뒤발 특이점을 갖는 아핀 대수다양체를 생각할 수 있다. 이 다양체는 원점 $(x,y,z)$ 에서 특이점을 갖는다. 이러한 특이점을 해소하기 위해 특이점에서 부풀리기를 여러 번 시행할 수 있다. 부풀리기를 통해 얻어지는 유리 곡선들은 항상 -2의 자기 교차수를 가지며, 서로 교차하는 경우 교차수는 0 또는 1이다.

이러한 교차 관계를 나타내는 유한 그래프 $\Gamma$ 를 다음과 같이 정의할 수 있다.
* $\Gamma$ 의 각 꼭짓점은 예외 인자(자기 교차수가 -2인 유리 곡선)이다.
* $\Gamma$ 의 서로 다른 두 꼭짓점 사이에 변이 존재하는 것은 해당 예외 인자가 서로 교차하는 (교차수가 1인) 경우이다.

이 그래프 $\Gamma$ 는 ADE형 딘킨 도표와 일치한다.

뒤발 특이점은 단순 연결된 딘킨 다이어그램에 의해 분류되며, 이는 ADE 분류의 한 형태이다.

4. 응용

끈 이론에서는 축소화하는 3차원 복소 다양체에 따라 4차원 물리가 결정된다. 이 3차원 복소 다양체는 오비폴드 꼴의 특이점을 가질 수 있는데, 이는 국소적으로 뒤발 특이점이다. 뒤발 특이점의 딘킨 도표는 4차원 물리의 화살집 도형과 같다. 이는 D-막이 특이점에 감겨 있기 때문이다. D-막의 배열은 뒤발 특이점의 부풀리기의 꼴과 같다. 이는 프레디 카차소(Freddy Alexander Cachazo^스페인어)와 셸던 카츠(Sheldon Katz^영어), 캄란 바파가 2001년에 발견하였다.