람베르트 정각원추도법

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1. 개요
2. 역사
3. 특징
4. 공식
5. 활용
6. 증명 (한국어 위키백과)
참조

1. 개요

람베르트 정각원추도법은 18세기 요한 하인리히 람베르트에 의해 개발된 지도 투영법 중 하나이다. 이 투영법은 정각성, 원추 도법, 표준 위선 등의 특징을 가지며, 항공 지도 제작에 널리 활용된다. 람베르트 정각원추도법은 항공 및 항해, 지리 정보 시스템(GIS) 등 다양한 분야에서 사용되며, 미국, 유럽, 인도 등 여러 국가에서 공식 지도 제작에 적용되고 있다.

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람베르트 정각원추도법
지도
투영법 종류
종류	원뿔 도법
속성	정각 도법
개발자	요한 하인리히 람베르트
개발일	1772년
수학적 표현
정의	"다음 공식으로 정의됨:" {\displaystyle x=\rho \sin {n(\lambda -\lambda _{0})}} {\displaystyle y=\rho _{0}-\rho \cos {n(\lambda -\lambda _{0})}} {\displaystyle \rho =Ar^{-n}\,} {\displaystyle n={rac {\ln {\cos {\varphi _{1}}}\sec {\varphi _{2}}}}{\ln {\tan {\left({\frac {\varphi _{1}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}\cot {\left({\frac {\varphi _{2}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}}}}} {\displaystyle A={rac {r^{n}\cos \varphi _{1}}{\tan {\left({\frac {\varphi _{1}}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)}^{n}}}}}
변수	"여기서:" * λ는 지점의 경도이고, * λ0는 기준 경도이고, * φ는 지점의 위도이고, * φ1 및 φ2는 표준 평행선이고, * r는 지구의 반지름이고, * (x, y)는 지도상의 투영된 위치임.
특성	* 경도 간격은 기준 경도로부터 일정함. * 위도 간격은 극에 가까워질수록 더 큼.

2. 역사

람베르트 정각원추도법은 18세기 스위스의 수학자, 물리학자, 철학자, 천문학자인 요한 하인리히 람베르트에 의해 개발된 여러 지도 투영 시스템 중 하나이다.^[1]

3. 특징

람베르트 정각원추도법(Lambert conformal conic projection, LCC)은 원뿔 도법의 일종으로, 투영 과정에서 각이 보존되는 정각성을 가진다.

조종사들은 LCC를 기반으로 한 항공 지도를 사용하는데, 이는 LCC 상에서 그어진 직선이 일반적인 비행 거리에서 종착점 사이의 대원 항로를 근사하기 때문이다. 미국 시각 비행 규칙(VFR)의 구역도와 터미널 구역도 시스템은 북위 33°와 45°를 표준 위선으로 하여 LCC를 기반으로 작성된다.^[3]

유럽 환경청^[4]과 좌표계에 대한 INSPIRE 사양^[5]은 1:500,000 이하의 축척으로 범유럽 지도 제작을 위해 이 투영법(ETRS89-LCC라고도 함)을 사용할 것을 권장한다. 프랑스 대도시권에서는 공식적인 투영법은 람베르-93^[6]으로, RGF93 측지계를 사용하고 북위 44°와 49°를 기준으로 하는 람베르트 원추 투영법이다.^[7]

인도의 국가 공간 프레임워크는 LCC 투영법과 함께 Datum WGS84를 사용하며, NNRMS 표준으로 권장된다. 각 주(州)는 표준에 주어진 자체적인 참조 매개변수를 가지고 있다.^[8]

미국 국립 측지 조사국의 "1983년 주 평면 좌표 시스템"은 여러 주, 특히 테네시주와 같이 동서로 길쭉한 주에서 사용되는 격자 좌표 시스템을 정의하기 위해 람베르트 정각원추도법을 사용한다. 람베르트 투영법은 사용하기 비교적 쉽다. 측지학에서 위도/경도를 주 평면 격자 좌표로 변환하는 것은 삼각 함수 방정식을 포함하며, 이는 매우 간단하고 대부분의 과학 계산기, 특히 프로그래밍 가능한 모델에서 풀 수 있다.^[9] CCS83에서 사용되는 투영법은 축척 오차가 1/10,000로 제한된 지도를 생성한다.

람베르트 정각원추도법은 표준 위선을 1개 지정하는 '1표준 위선형'과 2개 지정하는 '2표준 위선형'으로 나뉜다. 2표준 위선형은 축척의 편차를 어느 정도 억제할 수 있어 넓은 범위를 대상으로 하는 경우에 주로 사용된다. 반면 1표준 위선형은 지정 매개변수가 적고 계산이 쉬워 대상 범위가 좁은 아이슬란드 등에서 사용된다.

원추 도법의 특징으로 인해, 비스듬한 원추(사축 원추)형태로도 투영이 가능하다. 일본의 국토지리원이 발행했던 300만분의 1 "일본과 그 주변" 지도에서 일본 열도를 따라 기준선을 비스듬하게 설정한 사례가 있다.

3. 1. 정각성

투영 대상이 되는 원뿔 위의 각 점에서 축까지의 거리를

r

이라 할 때, 정각성에 의해 다음이 성립한다.

:

\frac {d\phi}{\cos \phi \, d\lambda} = - \frac {d\rho}{r \, d\lambda}

이때 투영 대상이 되는 곡면은 원뿔이므로,

\frac {\rho}{r}

의 값은 상수이다. 이를

k

로 놓자.

:

- \sec \phi \, d\phi = \frac{k}{\rho} d\rho

:

k \log \rho = \log (\sec \phi - \tan \phi) + C

:

\rho ^k = e^C (\sec \phi - \tan \phi)

이제

k

와

C

의 값을 구하면 된다.

기준위선에서 길이가 보존되어야 하므로

:

\cos \phi_0 = r(\phi_0)

또 그러한 위선은 기준위선 하나밖에 없으므로, 기준위선에서 구면에 접하는 원뿔에 투영시키는 것으로 볼 수 있다. 그렇다면

\cos \phi = r

은 이중근을 가져야 한다. 즉

:

- \sin \phi_0 = r'( \phi_0 )

이다.

다시, 기준위선에서 길이가 보존된다는 성질에 의해

\rho ' ( \phi_0 ) = -1

이 성립하므로,

-1 = \rho ' ( \phi_0 ) = kr' ( \phi_0 ) = -k \sin \phi_0

이다.

따라서

k = \csc \phi_0

이다.

이제 위의 식

\rho ^k = e^C (\sec \phi - \tan \phi)

의 양변에

\frac {1}{k}

승을 취한 후

k = \csc \phi_0

를 대입해 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\rho = e^{ C \sin \phi_0 } (\sec \phi - \tan \phi)^{ \sin \phi_0 }

여기서

\phi = \phi_0

를 대입하면,

:

e^{ C \sin \phi_0 } ( \sec \phi_0 - \tan \phi_0 )^{ \sin \phi_0 } = \rho ( \phi_0 ) = \cot \phi_0

:

e^{ C \sin \phi_0 } = \cot \phi_0 ( \sec \phi_0 + \tan \phi_0 )^{ \sin \phi_0 }

:

\quad \therefore \; \rho = \cot\phi_0 ((\sec \phi - \tan \phi)(\sec \phi_0 + \tan \phi_0))^{\sin \phi_0} \qquad \blacksquare

3. 2. 원추 도법

조종사들은 람베르트 정각원추도법(LCC)을 기반으로 한 항공 지도를 사용하는데, 이는 LCC 상에서 그어진 직선이 일반적인 비행 거리에서 종착점 사이의 대원 항로를 근사하기 때문이다. 미국 시각 비행 규칙(VFR)의 구역도와 터미널 구역도 시스템은 북위 33°와 45°를 표준 위선으로 하여 LCC를 기반으로 작성된다.^[3]

유럽 환경청^[4]과 좌표계에 대한 INSPIRE 사양^[5]은 1:500,000 이하의 축척으로 범유럽 지도 제작을 위해 이 투영법(ETRS89-LCC라고도 함)을 사용할 것을 권장한다. 프랑스 대도시권에서는 공식적인 투영법은 람베르-93^[6]으로, RGF93 측지계를 사용하고 북위 44°와 49°를 기준으로 하는 람베르트 원추 투영법이다.^[7]

인도의 국가 공간 프레임워크는 LCC 투영법과 함께 Datum WGS84를 사용하며, NNRMS 표준으로 권장된다. 각 주(州)는 표준에 주어진 자체적인 참조 매개변수를 가지고 있다.^[8]

미국 국립 측지 조사국의 "1983년 주 평면 좌표 시스템"은 여러 주, 특히 테네시주와 같이 동서로 길쭉한 주에서 사용되는 격자 좌표 시스템을 정의하기 위해 람베르트 정각원추도법을 사용한다. 람베르트 투영법은 사용하기 비교적 쉽다. 측지학에서 위도/경도를 주 평면 격자 좌표로 변환하는 것은 삼각 함수 방정식을 포함하며, 이는 매우 간단하고 대부분의 과학 계산기, 특히 프로그래밍 가능한 모델에서 풀 수 있다.^[9] CCS83에서 사용되는 투영법은 축척 오차가 1/10,000로 제한된 지도를 생성한다.

람베르트 정각원추도법의 표식에는 표준 위선(standard parallel)을 1개 지정하는 ''1표준 위선형'' 또는 ''접원추형(tangent type)''과, 2개 지정하는 ''2표준 위선형'' 또는 ''할원추형(secant type)''이 있다.

이하에서는 지구를 적도 반지름, 이심률의 회전타원체로서 설명한다.

; 2 표준 위선형

좌표 원점을 극점으로 하고, 극점에서 적도를 향하는 방향을 정방향으로 한 중앙 자오선을 X축으로 설정하고, 해당 중앙 자오선의 경도를 로 할 때, 2개의 표준 위도 에 대하여, 위도 , 경도 의 점을 다음과 같이 투영한다.

:

x=r(\varphi)\cos k(\lambda-\lambda_0),\quad y=r(\varphi)\sin k(\lambda-\lambda_0)

:

r(\varphi)=\frac{N(\varphi_1)\cos\varphi_1}{k}\exp\left\{k(q(\varphi_1)-q(\varphi))\right\}

단,

:

k=\frac{1}{q(\varphi_1)-q(\varphi_2)}\ln\left(\frac{N(\varphi_2)\cos\varphi_2}{N(\varphi_1)\cos\varphi_1}\right)

이며,

q(\varphi)

및

N(\varphi)=a/\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}

는 각각 위도 에 대한 등각 위도 및 난경선곡률 반경이다.

이때, 축척 계수 는

:

m=\frac{r(\varphi)N(\varphi_1)\cos\varphi_1}{r(\varphi_1)N(\varphi)\cos\varphi}=\frac{r(\varphi)N(\varphi_2)\cos\varphi_2}{r(\varphi_2)N(\varphi)\cos\varphi}

로 표시되며, 위도 상의 축척 계수는 동일한 1이 되며, 그 사이에서 작아진다.

2개의 위도를 지정하여 축척의 편차를 어느 정도 억제할 수 있으므로, 비교적 넓은 범위를 대상으로 하는 경우 일반적으로 이것이 사용된다.

; 1 표준 위선형

1 표준 위선형은 2 표준 위선형에서

\varphi_1=\varphi_2=\varphi_0

의 극한으로 생각할 수 있으며, 이때

k=\sin\varphi_0

이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

x=r(\varphi)\cos\{(\lambda-\lambda_0)\sin\varphi_0\},\quad y=r(\varphi)\sin\{(\lambda-\lambda_0)\sin\varphi_0\}

:

r(\varphi)=\frac{N(\varphi_0)}{\tan\varphi_0}\exp\left\{(q(\varphi_0)-q(\varphi))\sin\varphi_0\right\}

:

m=\frac{N(\varphi_0)\cos\varphi_0}{N(\varphi)\cos\varphi}\exp\left\{(q(\varphi_0)-q(\varphi))\sin\varphi_0\right\}

축척 계수는 표준 위선 상에서 최소가 되고(이 식의 경우 1), 남북으로 멀어질수록 커진다.

지정 매개변수가 적고, 어느 정도 계산이 쉬워서, 대상 범위가 좁은 아이슬란드 등에서 사용되는 경우가 있다.

; 비스듬한 원추(사축 원추)

통상 각 위선상에서 각각 축척이 같도록, 개념도로 말하면 "원뿔의 정점이 북극이나 남극 방향을 향하도록" 지도를 작성하지만, 이를 비스듬하게 설정하는 것도 가능하다. 실례는 많지 않지만, 일본의 국토지리원이 발행했던 300만분의 1 "일본과 그 주변"에서 일본 열도를 따라 기준선을 비스듬하게 설정한 적이 있다.

3. 3. 표준 위선

람베르트 정각원추도법의 표식에는 표준 위선(standard parallel)을 1개 지정하는 *1표준 위선형* 또는 *접원추형(tangent type)*과, 2개 지정하는 *2표준 위선형* 또는 *할원추형(secant type)*이 있다.

이하에서는 지구를 적도 반지름 , 이심률 의 회전타원체로서 설명한다.

좌표 원점을 극점으로 하고, 극점에서 적도를 향하는 방향을 정방향으로 한 중앙 자오선을 X축으로 설정하고, 해당 중앙 자오선의 경도를 로 할 때, 2개의 표준 위도 에 대하여, 위도 , 경도 의 점을

:

:

에 투영한다. 단,

:

이며, 및 는 각각 위도 에 대한 등각 위도 및 난경선곡률 반경이다.

이때, 축척 계수 는

:

로 표시되며, 위도 상의 축척 계수는 동일한 1이 되며, 그 사이에서 작아진다.

2개의 위도를 지정하여 축척의 편차를 어느 정도 억제할 수 있으므로, 비교적 넓은 범위를 대상으로 하는 경우 일반적으로 이것이 사용된다.

1 표준 위선형은 2 표준 위선형에서 의 극한으로 생각할 수 있으며, 이때 이므로

:

:

:

로 나타낼 수 있다. 축척 계수는 표준 위선 상에서 최소가 되고(이 식의 경우 1), 남북으로 멀어질수록 커진다.

지정 매개변수가 적고, 어느 정도 계산이 쉬워서, 대상 범위가 좁은 아이슬란드 등에서 사용되는 경우가 있다.

4. 공식

람베르트 정각원추도법의 공식은 다음과 같이 유도된다.^[10]^[11]

투영 대상이 되는 원뿔 위의 각 점에서 축까지의 거리를 $r$ 이라 하면, 정각성에 의해 다음이 성립한다.

: $\frac {d\phi}{\cos \phi \, d\lambda} = - \frac {d\rho}{r \, d\lambda}$

이때 투영 대상이 되는 곡면은 원뿔이므로, $\frac {\rho}{r}$ 의 값은 상수이다. 이를 $k$ 로 놓으면 다음과 같다.

: $- \sec \phi \, d\phi = \frac{k}{\rho} d\rho$

: $k \log \rho = \log (\sec \phi - \tan \phi) + C$

: $\rho ^k = e^C (\sec \phi - \tan \phi)$

이제 $k$ 와 $C$ 의 값을 구하면 된다. 기준위선에서 길이가 보존되어야 하므로 다음이 성립한다.

: $\cos \phi_0 = r(\phi_0)$

또한 그러한 위선은 기준위선 하나밖에 없으므로, 기준위선에서 구면에 접하는 원뿔에 투영시키는 것으로 볼 수 있다. 그렇다면 $\cos \phi = r$ 은 이중근을 가져야 한다. 즉, 다음이 성립한다.

: $- \sin \phi_0 = r'( \phi_0 )$

다시, 기준위선에서 길이가 보존된다는 성질에 의해 $\rho ' ( \phi_0 ) = -1$ 이 성립하므로, 다음이 성립한다.

: $-1 = \rho ' ( \phi_0 ) = kr' ( \phi_0 ) = -k \sin \phi_0$

따라서 $k = \csc \phi_0$ 이다.

이제 위의 식 $\rho ^k = e^C (\sec \phi - \tan \phi)$ 의 양변에 $\frac {1}{k}$ 승을 취한 후 $k = \csc \phi_0$ 를 대입해 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\rho = e^{ C \sin \phi_0 } (\sec \phi - \tan \phi)^{ \sin \phi_0 }$

여기서 $\phi = \phi_0$ 를 대입하면 다음과 같다.

: $e^{ C \sin \phi_0 } ( \sec \phi_0 - \tan \phi_0 )^{ \sin \phi_0 } = \rho ( \phi_0 ) = \cot \phi_0$

: $e^{ C \sin \phi_0 } = \cot \phi_0 ( \sec \phi_0 + \tan \phi_0 )^{ \sin \phi_0 }$

따라서, 최종적으로 다음과 같은 공식이 유도된다.

: $\quad \therefore \; \rho = \cot\phi_0 ((\sec \phi - \tan \phi)(\sec \phi_0 + \tan \phi_0))^{\sin \phi_0} \qquad \blacksquare$

4. 1. 일반적인 공식

대상 지점의 위도를

\phi

, 기준 위선의 위도를

\phi_0

, 원뿔의 꼭짓점으로부터의 거리를

\rho

라 하면, 다음과 같이 주어진다.

:

\rho = \cot\phi_0 ((\sec \phi - \tan \phi)(\sec \phi_0 + \tan \phi_0))^{\sin \phi_0}

또는 전개도 형태로 나타내어 직각좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}x &= \rho \sin ((\lambda-\lambda_0) \sin \phi_0) \\y &= - \rho \cos ((\lambda-\lambda_0) \sin \phi_0)\end{align}

여기서

\lambda

는 대상 지점의 경도,

\lambda_0

는 기준점의 경도이다.

구면 기준 타원체의 좌표는 다음 공식을 사용하여 람베르트 정각 원추 도법 좌표로 변환할 수 있다.^[10]

:

\begin{align}x &= \rho \sin\left[n \left(\lambda - \lambda_0\right)\right] \\y &= \rho_0 - \rho \cos\left[n \left(\lambda - \lambda_0\right)\right]\end{align}

여기서:

:

\begin{align}x &= \text{람베르트 x-좌표} \\y &= \text{람베르트 y-좌표} \\\lambda &= \text{경도} \\\phi &= \text{위도} \\\lambda_0 &= \text{중앙 자오선} \\\phi_0 &= \text{중앙 자오선에서 y 좌표가 0이 되는 위도} \\\phi_1 &= \text{첫 번째 표준 위선} \\\phi_2 &= \text{두 번째 표준 위선} \\R &= \text{지구 반지름}\end{align}

그리고:

:

\begin{align}n &= \frac{\ln\left(\cos \phi_1 \sec \phi_2\right)}{\ln \left[\tan \left(\frac14 \pi + \frac12 \phi_2\right) \cot \left(\frac14 \pi + \frac12\phi_1\right)\right]} \\\rho &= RF \cot^{n} \left(\tfrac14 \pi + \tfrac12 \phi\right) \\\rho_0 &= RF \cot^{n} \left(\tfrac14 \pi + \tfrac12 \phi_0\right) \\F &= \frac{\cos \phi_1 \tan^{n} \left(\frac14 \pi + \frac12 \phi_1\right)}{n}\end{align}

하나의 표준 위선이 사용되는 경우(즉,

\phi_1 = \phi_2

), 위의 ''n''에 대한 공식은 불확정적이지만, 이 경우

n=\sin(\phi_1)

이다.^[11]

타원체 기준계에 대한 공식은 더 복잡하다.^[11]

4. 2. 타원체 기준 공식

람베르트 정각원추도법에서 지구를 회전타원체로 간주할 때, 표준 위선을 1개 지정하는 '1표준 위선형'과 2개 지정하는 '2표준 위선형'으로 나뉜다.

적도 반지름이

a

, 이심률이

e

인 회전타원체를 기준으로, 좌표 원점을 극점으로 하고 극점에서 적도 방향을 정방향으로 하는 중앙 자오선을 X축으로 설정한다. 이 중앙 자오선의 경도를

\lambda_0

라고 할 때, 2개의 표준 위도

\varphi_1, \varphi_2

에 대하여, 위도

\varphi

, 경도

\lambda

인 점은 다음과 같이 투영된다.

:

x=r(\varphi)\cos k(\lambda-\lambda_0),\quad y=r(\varphi)\sin k(\lambda-\lambda_0)

:

r(\varphi)=\frac{N(\varphi_1)\cos\varphi_1}{k}\exp\left\{k(q(\varphi_1)-q(\varphi))\right\}

여기서,

:

k=\frac{1}{q(\varphi_1)-q(\varphi_2)}\ln\left(\frac{N(\varphi_2)\cos\varphi_2}{N(\varphi_1)\cos\varphi_1}\right)

이며,

q(\varphi)

및

N(\varphi)=a/\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}

는 각각 위도

\varphi

에 대한 등각 위도 및 난경선곡률 반경이다.

이때 축척 계수

m

은 다음과 같이 표현된다.

:

m=\frac{r(\varphi)N(\varphi_1)\cos\varphi_1}{r(\varphi_1)N(\varphi)\cos\varphi}=\frac{r(\varphi)N(\varphi_2)\cos\varphi_2}{r(\varphi_2)N(\varphi)\cos\varphi}

위도

\varphi_1, \varphi_2

상에서 축척 계수는 1로 동일하며, 그 사이에서는 이보다 작아진다. 2개의 표준 위도를 지정하면 축척 변화를 어느 정도 줄일 수 있어, 비교적 넓은 범위를 다룰 때 일반적으로 사용된다.

1 표준 위선형은 2 표준 위선형에서

\varphi_1=\varphi_2=\varphi_0

인 극한으로 생각할 수 있으며, 이때

k=\sin\varphi_0

이므로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

x=r(\varphi)\cos\{(\lambda-\lambda_0)\sin\varphi_0\},\quad y=r(\varphi)\sin\{(\lambda-\lambda_0)\sin\varphi_0\}

:

r(\varphi)=\frac{N(\varphi_0)}{\tan\varphi_0}\exp\left\{(q(\varphi_0)-q(\varphi))\sin\varphi_0\right\}

:

m=\frac{N(\varphi_0)\cos\varphi_0}{N(\varphi)\cos\varphi}\exp\left\{(q(\varphi_0)-q(\varphi))\sin\varphi_0\right\}

축척 계수는 표준 위선

\varphi_0

에서 가장 작고(위 식에서는 1), 남북으로 멀어질수록 커진다. 1 표준 위선형은 지정해야 할 매개변수가 적고 계산이 비교적 쉬워, 대상 범위가 좁은 아이슬란드 등에서 사용되기도 한다.

4. 3. 2 표준 위선형 (일본어 위키백과)

대상 지점의 위도를

\phi

, 기준 위선의 위도를

\phi_0

, 원뿔의 꼭짓점으로부터의 거리를

\rho

라 하면, 다음과 같이 주어진다.

\rho = \cot\phi_0 ((\sec \phi - \tan \phi)(\sec \phi_0 + \tan \phi_0))^{\sin \phi_0}

또는 전개도 형태로 나타내어 직각좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}x &= \rho \sin ((\lambda-\lambda_0) \sin \phi_0) \\y &= - \rho \cos ((\lambda-\lambda_0) \sin \phi_0)\end{align}

여기서

\lambda

는 대상 지점의 경도,

\lambda_0

는 기준점의 경도이다.

구면 기준 타원체의 좌표는 다음 공식을 사용하여 람베르트 정각 원추 도법 좌표로 변환할 수 있다.^[10]

:

\begin{align}x &= \rho \sin\left[n \left(\lambda - \lambda_0\right)\right] \\y &= \rho_0 - \rho \cos\left[n \left(\lambda - \lambda_0\right)\right]\end{align}

여기서:

:

\begin{align}x &= \text{람베르트 x-좌표} \\y &= \text{람베르트 y-좌표} \\\lambda &= \text{경도} \\\phi &= \text{위도} \\\lambda_0 &= \text{중앙 자오선} \\\phi_0 &= \text{중앙 자오선에서 y 좌표가 0이 되는 위도} \\\phi_1 &= \text{첫 번째 표준 위선} \\\phi_2 &= \text{두 번째 표준 위선} \\R &= \text{지구 반지름}\end{align}

그리고:

:

\begin{align}n &= \frac{\ln\left(\cos \phi_1 \sec \phi_2\right)}{\ln \left[\tan \left(\frac14 \pi + \frac12 \phi_2\right) \cot \left(\frac14 \pi + \frac12\phi_1\right)\right]} \\\rho &= RF \cot^{n} \left(\tfrac14 \pi + \tfrac12 \phi\right) \\\rho_0 &= RF \cot^{n} \left(\tfrac14 \pi + \tfrac12 \phi_0\right) \\F &= \frac{\cos \phi_1 \tan^{n} \left(\frac14 \pi + \frac12 \phi_1\right)}{n}\end{align}

하나의 표준 위선이 사용되는 경우(즉,

\phi_1 = \phi_2

), 위의 ''n''에 대한 공식은 불확정적이지만, 이 경우

n=\sin(\phi_1)

이다.^[11]

타원체 기준계에 대한 공식은 더 복잡하다.^[11]

좌표 원점을 극점으로 하고, 극점에서 적도를 향하는 방향을 정방향으로 한 중앙 자오선을 X축으로 설정하고, 해당 중앙 자오선의 경도를 λ₀^일본어로 할 때, 2개의 표준 위도 φ₁, φ₂^일본어에 대하여, 위도 φ^일본어, 경도 λ^일본어의 점을

:

x=r(\varphi)\cos k(\lambda-\lambda_0),\quad y=r(\varphi)\sin k(\lambda-\lambda_0)

:

r(\varphi)=\frac{N(\varphi_1)\cos\varphi_1}{k}\exp\left\{k(q(\varphi_1)-q(\varphi))\right\}

에 투영한다. 단,

:

k=\frac{1}{q(\varphi_1)-q(\varphi_2)}\ln\left(\frac{N(\varphi_2)\cos\varphi_2}{N(\varphi_1)\cos\varphi_1}\right)

이며,

q(\varphi)

및

N(\varphi)=a/\sqrt{1-e^2\sin^2\varphi}

는 각각 위도 φ^일본어에 대한 등각 위도 및 난경선곡률 반경이다.

이때, 축척 계수 m^일본어는

:

m=\frac{r(\varphi)N(\varphi_1)\cos\varphi_1}{r(\varphi_1)N(\varphi)\cos\varphi}=\frac{r(\varphi)N(\varphi_2)\cos\varphi_2}{r(\varphi_2)N(\varphi)\cos\varphi}

로 표시되며, 위도 φ₁, φ₂^일본어상의 축척 계수는 동일한 1이 되며, 그 사이에서 작아진다.

2개의 위도를 지정하여 축척의 편차를 어느 정도 억제할 수 있으므로, 비교적 넓은 범위를 대상으로 하는 경우 일반적으로 이것이 사용된다.

4. 4. 1 표준 위선형 (일본어 위키백과)

대상 지점의 위도를

\phi

, 기준 위선의 위도를

\phi_0

, 원뿔의 꼭짓점으로부터의 거리를

\rho

라 하면, 다음과 같이 주어진다.

:

\rho = \cot\phi_0 ((\sec \phi - \tan \phi)(\sec \phi_0 + \tan \phi_0))^{\sin \phi_0}

또는 전개도 형태로 나타내어 직각좌표계로 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\begin{align}x &= \rho \sin ((\lambda-\lambda_0) \sin \phi_0) \\y &= - \rho \cos ((\lambda-\lambda_0) \sin \phi_0)\end{align}

여기서

\lambda

는 대상 지점의 경도,

\lambda_0

는 기준점의 경도이다.

구면 기준 타원체의 좌표는 다음 공식을 사용하여 람베르트 정각 원추 도법 좌표로 변환할 수 있다.^[10]

:

\begin{align}x &= \rho \sin\left[n \left(\lambda - \lambda_0\right)\right] \\y &= \rho_0 - \rho \cos\left[n \left(\lambda - \lambda_0\right)\right]\end{align}

여기서:

:

\begin{align}x &= \text{람베르트 x-좌표} \\y &= \text{람베르트 y-좌표} \\\lambda &= \text{경도} \\\phi &= \text{위도} \\\lambda_0 &= \text{중앙 자오선} \\\phi_0 &= \text{중앙 자오선에서 y 좌표가 0이 되는 위도} \\\phi_1 &= \text{첫 번째 표준 위선} \\\phi_2 &= \text{두 번째 표준 위선} \\R &= \text{지구 반지름}\end{align}

그리고:

:

\begin{align}n &= \frac{\ln\left(\cos \phi_1 \sec \phi_2\right)}{\ln \left[\tan \left(\frac14 \pi + \frac12 \phi_2\right) \cot \left(\frac14 \pi + \frac12\phi_1\right)\right]} \\\rho &= RF \cot^{n} \left(\tfrac14 \pi + \tfrac12 \phi\right) \\\rho_0 &= RF \cot^{n} \left(\tfrac14 \pi + \tfrac12 \phi_0\right) \\F &= \frac{\cos \phi_1 \tan^{n} \left(\frac14 \pi + \frac12 \phi_1\right)}{n}\end{align}

하나의 표준 위선이 사용되는 경우(즉,

\phi_1 = \phi_2

), 위의 ''n''에 대한 공식은 불확정적이지만, 이 경우

n=\sin(\phi_1)

이다.^[11]

타원체 기준계에 대한 공식은 더 복잡하다.^[11]

1 표준 위선형은 2 표준 위선형에서

\varphi_1=\varphi_2=\varphi_0

의 극한으로 생각할 수 있으며, 이때

k=\sin\varphi_0

이므로

:

x=r(\varphi)\cos\{(\lambda-\lambda_0)\sin\varphi_0\},\quad y=r(\varphi)\sin\{(\lambda-\lambda_0)\sin\varphi_0\}

:

r(\varphi)=\frac{N(\varphi_0)}{\tan\varphi_0}\exp\left\{(q(\varphi_0)-q(\varphi))\sin\varphi_0\right\}

:

m=\frac{N(\varphi_0)\cos\varphi_0}{N(\varphi)\cos\varphi}\exp\left\{(q(\varphi_0)-q(\varphi))\sin\varphi_0\right\}

로 나타낼 수 있다. 축척 계수는 표준 위선 상에서 최소가 되고(이 식의 경우 1), 남북으로 멀어질수록 커진다.

지정 매개변수가 적고, 어느 정도 계산이 쉬워서, 대상 범위가 좁은 아이슬란드 등에서 사용되는 경우가 있다.

5. 활용

람베르트 정각원추도법은 여러 분야에서 활용된다. 특히 조종사들은 이 도법을 기반으로 한 항공 지도를 사용하는데, 이는 이 도법 상에서 그어진 직선이 일반적인 비행 거리에서 종착점 사이의 대권 항로를 근사하기 때문이다. 미국의 시각 비행 규칙(VFR) 구역도와 터미널 구역도는 이 도법을 기반으로 작성된다.^[3]

유럽 환경청과 좌표계에 대한 INSPIRE 사양은 1:500,000 이하의 축척으로 범유럽 지도 제작을 위해 이 투영법(ETRS89-LCC라고도 함)을 사용할 것을 권장한다.^[4]^[5] 프랑스에서는 람베르-93이라는 람베르트 원추 투영법을 사용한다.^[6]^[7]

인도의 국가 공간 프레임워크는 LCC 투영법과 함께 Datum WGS84를 사용하며, NNRMS 표준으로 권장된다. 각 주(州)는 표준에 주어진 자체적인 참조 매개변수를 가지고 있다.^[8]

미국 국립 측지 조사국의 "1983년 주 평면 좌표 시스템"은 테네시주와 같이 동서로 길쭉한 주에서 사용되는 격자 좌표 시스템을 정의하기 위해 람베르트 정각원추도법을 사용한다. 람베르트 투영법은 사용하기 비교적 쉽다. 측지학에서 위도/경도를 주 평면 격자 좌표로 변환하는 것은 삼각 함수 방정식을 포함하며, 이는 매우 간단하고 대부분의 과학 계산기, 특히 프로그래밍 가능한 모델에서 풀 수 있다.^[9]

5. 1. 항공 및 항해

조종사들은 람베르트 정각원추도법(LCC)을 기반으로 한 항공 지도를 사용한다. 이는 LCC 상에서 그어진 직선이 일반적인 비행 거리에서 종착점 사이의 대권 항로를 근사하기 때문이다. 미국 시각 비행 규칙(VFR)의 구역도와 터미널 구역도 시스템은 북위 33°와 45°를 표준 위선으로 하여 LCC를 기반으로 작성된다.^[3]

유럽 환경청^[4]과 좌표계에 대한 INSPIRE 사양^[5]은 1:500,000 이하의 축척으로 범유럽 지도 제작을 위해 이 투영법(ETRS89-LCC라고도 함)을 사용할 것을 권장한다. 프랑스 대도시권에서는 공식적인 투영법은 람베르-93^[6]으로, RGF93 측지계를 사용하고 북위 44°와 49°를 기준으로 하는 람베르트 원추 투영법이다.^[7]

인도의 국가 공간 프레임워크는 LCC 투영법과 함께 Datum WGS84를 사용하며, NNRMS 표준으로 권장된다. 각 주(州)는 표준에 주어진 자체적인 참조 매개변수를 가지고 있다.^[8]

미국 국립 측지 조사국의 "1983년 주 평면 좌표 시스템"은 여러 주, 특히 테네시주와 같이 동서로 길쭉한 주에서 사용되는 격자 좌표 시스템을 정의하기 위해 람베르트 정각원추도법을 사용한다. 람베르트 투영법은 사용하기 비교적 쉽다. 측지학에서 위도/경도를 주 평면 격자 좌표로 변환하는 것은 삼각 함수 방정식을 포함하며, 이는 매우 간단하고 대부분의 과학 계산기, 특히 프로그래밍 가능한 모델에서 풀 수 있다.^[9] CCS83에서 사용되는 투영법은 축척 오차가 1/10,000로 제한된 지도를 생성한다.

5. 2. 지리 정보 시스템 (GIS)

유럽 환경청^[4]과 좌표계에 대한 INSPIRE 사양^[5]은 1:500,000 이하의 축척으로 범유럽 지도 제작을 위해 이 투영법(ETRS89-LCC라고도 함)을 사용할 것을 권장한다. 프랑스 대도시권에서는 공식적인 투영법은 람베르-93^[6]으로, RGF93 측지계를 사용하고 북위 44°와 49°를 기준으로 하는 람베르트 원추 투영법이다.^[7]

인도의 국가 공간 프레임워크는 LCC 투영법과 함께 Datum WGS84를 사용하며, NNRMS 표준으로 권장된다. 각 주(州)는 표준에 주어진 자체적인 참조 매개변수를 가지고 있다.^[8]

미국 국립 측지 조사국의 "1983년 주 평면 좌표 시스템"은 여러 주, 특히 테네시주와 같이 동서로 길쭉한 주에서 사용되는 격자 좌표 시스템을 정의하기 위해 람베르트 정각원추도법을 사용한다. 람베르트 투영법은 사용하기 비교적 쉽다. 측지학에서 위도/경도를 주 평면 격자 좌표로 변환하는 것은 삼각 함수 방정식을 포함하며, 이는 매우 간단하고 대부분의 과학 계산기, 특히 프로그래밍 가능한 모델에서 풀 수 있다.^[9] CCS83에서 사용되는 투영법은 축척 오차가 1/10,000로 제한된 지도를 생성한다.

5. 3. 국가별 활용 사례

조종사들은 람베르트 정각원추도법(LCC)을 기반으로 한 항공 지도를 사용하는데, 이는 LCC 상에서 그어진 직선이 일반적인 비행 거리에서 종착점 사이의 대원 항로를 근사하기 때문이다. 미국 시각 비행 규칙(VFR)의 구역도와 터미널 구역도 시스템은 북위 33°와 45°를 표준 위선으로 하여 LCC를 기반으로 작성된다.^[3]

유럽 환경청^[4]과 좌표계에 대한 INSPIRE 사양^[5]은 1:500,000 이하의 축척으로 범유럽 지도 제작을 위해 이 투영법(ETRS89-LCC라고도 함)을 사용할 것을 권장한다. 프랑스 대도시권에서는 공식적인 투영법은 람베르-93^[6]으로, RGF93 측지계를 사용하고 북위 44°와 49°를 기준으로 하는 람베르트 원추 투영법이다.^[7]

인도의 국가 공간 프레임워크는 LCC 투영법과 함께 Datum WGS84를 사용하며, NNRMS 표준으로 권장된다. 각 주(州)는 표준에 주어진 자체적인 참조 매개변수를 가지고 있다.^[8]

미국 국립 측지 조사국의 "1983년 주 평면 좌표 시스템"은 여러 주, 특히 테네시주와 같이 동서로 길쭉한 주에서 사용되는 격자 좌표 시스템을 정의하기 위해 람베르트 정각원추도법을 사용한다. 람베르트 투영법은 사용하기 비교적 쉽다. 측지학에서 위도/경도를 주 평면 격자 좌표로 변환하는 것은 삼각 함수 방정식을 포함하며, 이는 매우 간단하고 대부분의 과학 계산기, 특히 프로그래밍 가능한 모델에서 풀 수 있다.^[9] CCS83에서 사용되는 투영법은 축척 오차가 1/10,000로 제한된 지도를 생성한다.

6. 증명 (한국어 위키백과)

투영 대상이 되는 원뿔 위의 각 점에서 축까지의 거리를 $r$ 이라 한다. 정각성에 의해 다음이 성립한다.

: $\frac {d\phi}{\cos \phi \, d\lambda} = - \frac {d\rho}{r \, d\lambda}$

이때 투영 대상이 되는 곡면은 원뿔이므로, $\frac {\rho}{r}$ 의 값은 상수이다. 이를 $k$ 로 놓는다.

: $- \sec \phi \, d\phi = \frac{k}{\rho} d\rho$

: $k \log \rho = \log (\sec \phi - \tan \phi) + C$

: $\rho ^k = e^C (\sec \phi - \tan \phi)$

이제 $k$ 와 $C$ 의 값을 구하면 된다.

기준위선에서 길이가 보존되어야 하므로

: $\cos \phi_0 = r(\phi_0)$

또 그러한 위선은 기준위선 하나밖에 없으므로, 기준위선에서 구면에 접하는 원뿔에 투영시키는 것으로 볼 수 있다. 그렇다면 $\cos \phi = r$ 은 이중근을 가져야 한다. 즉

: $- \sin \phi_0 = r'( \phi_0 )$

이다.

다시, 기준위선에서 길이가 보존된다는 성질에 의해 $\rho ' ( \phi_0 ) = -1$ 이 성립하므로, $-1 = \rho ' ( \phi_0 ) = kr' ( \phi_0 ) = -k \sin \phi_0$ 이다.

따라서 $k = \csc \phi_0$ 이다.

이제 위의 식 $\rho ^k = e^C (\sec \phi - \tan \phi)$ 의 양변에 $\frac {1}{k}$ 승을 취한 후 $k = \csc \phi_0$ 를 대입해 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\rho = e^{ C \sin \phi_0 } (\sec \phi - \tan \phi)^{ \sin \phi_0 }$

여기서 $\phi = \phi_0$ 를 대입하면,

: $e^{ C \sin \phi_0 } ( \sec \phi_0 - \tan \phi_0 )^{ \sin \phi_0 } = \rho ( \phi_0 ) = \cot \phi_0$

: $e^{ C \sin \phi_0 } = \cot \phi_0 ( \sec \phi_0 + \tan \phi_0 )^{ \sin \phi_0 }$

: $\quad \therefore \; \rho = \cot\phi_0 ((\sec \phi - \tan \phi)(\sec \phi_0 + \tan \phi_0))^{\sin \phi_0} \qquad \blacksquare$

참조

_[1] 서적 Notes and Comments on the Composition of Terrestrial and Celestial Maps (Translated and Introduced by W. R. Tobler, 1972) http://esripress.esr[...] ESRI Press 2014-07-13
_[2] 웹사이트 CMAPF FAQ http://www.arl.noaa.[...] NOAA 2011-12-28
_[3] 간행물 United States Government Specifications for the Sectional Aeronautical and VFR Terminal Area Charts https://www.faa.gov/[...] Interagency Air Committee 2023-05-11
_[4] 웹사이트 Short Proceedings of the 1st European Workshop on Reference Grids, Ispra, 27-29 October 2003 http://eusoils.jrc.e[...] European Environment Agency 2009-08-27
_[5] 웹사이트 D2.8.I.1 INSPIRE Specification on Coordinate Reference Systems - Guidelines http://inspire.jrc.e[...] European Commission 2012-10-07
_[6] 웹사이트 RGF93 / Lambert-93: EPSG:2154 -- Spatial Reference https://spatialrefer[...]
_[7] 웹사이트 RGF93 https://georepositor[...] 2021-01-28
_[8] 웹사이트 NNRMS standards, Government of India http://www.nnrms.gov[...] Government of India
_[9] 웹사이트 State Plane Coordinate System of 1983, NOAA Manual NOS NGS 5 http://www.ngs.noaa.[...] National Oceanic and Atmospheric Administration 2011-10-27
_[10] 웹사이트 Lambert Conformal Conic Projection http://mathworld.wol[...] Wolfram Research 2009-02-07
_[11] 간행물 Map Projections:A Working Manual (USGS Professional Paper: 1395) https://pubs.er.usgs[...] USGS 2014-07-12

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