스톤-체흐 콤팩트화

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1. 개요

스톤-체흐 콤팩트화는 위상 공간의 범주와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 사이의 수반 함자이며, 콤팩트 하우스도르프 공간의 반사 부분 범주를 이룬다. 위상 공간 X의 스톤-체흐 콤팩트화는 연속 함수 iX: X → βX와 함께 콤팩트 하우스도르프 공간 βX로 정의되며, 연속 함수 f: X → K (K는 콤팩트 하우스도르프 공간)는 βf: βX → K로 고유하게 확장된다. 스톤-체흐 콤팩트화는 초필터를 이용하거나, 연속 함수를 이용하여 구성할 수 있으며, C*-대수의 스펙트럼과 위상 동형 관계를 갖는다. 스톤-체흐 콤팩트화는 선택 공리에 의존하며, 자연수 집합의 스톤-체흐 콤팩트화는 유계 수열 공간의 쌍대 공간을 특징짓는 데 활용된다. 안드레이 티호노프가 콤팩트화 개념을 도입했고, 마셜 하비 스톤과 에두아르트 체흐가 독립적으로 스톤-체흐 콤팩트화를 개발했다.

스톤-체흐 콤팩트화

정의

유형	위상수학에서의 콤팩트화

역사 및 명칭

명명 유래	마셜 스톤과 에두아르트 체흐의 이름에서 유래
최초 정의	티호노프 (1930)
독립적 발견	스톤(1937) 체흐(1937)

위상수학적 성질

T 성질	티호노프 공간
완전 분리 공간	완전 분리 공간은 스톤-체흐 콤팩트화에서 열린 집합과 닫힌 집합으로 분리됨.
보편 성질	모든 완전 분리 공간에서 연속 함수는 스톤-체흐 콤팩트화로 확장 가능.
함수 공간과의 관계	C(βX)는 X에서 정의된 모든 유계 연속 함수의 공간과 동형.

집합론적 성질

크기	X가 이산 공간이면, \|βX\| = 2^(2^\|X\|)
추가 성질	X가 무한 이산 공간이면, βX X는 셀 수 없는 무한 기수를 가짐.

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 구성
  - 2.1.1. 초필터를 이용한 구성
  - 2.1.2. C*-대수를 이용한 구성
3. 성질
- 3.1. 범주론적 성질
4. 예
- 4.1. 이산 공간
- 4.2. 순서수
5. 자연수 집합의 스톤-체흐 콤팩트화
- 5.1. 응용: 유계 수열 공간의 쌍대 공간
6. 역사

2. 정의

위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$ 와 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{CompHaus}$ 사이에는 망각 함자 $U\colon\operatorname{CompHaus}\to\operatorname{Top}$ 가 존재한다. 이 망각 함자는 왼쪽 수반 함자 $\beta\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{CompHaus}$ 를 가지며, 이를 스톤-체흐 콤팩트화라고 한다.

안드레이 니콜라예비치 티호노프는 1930년에 연속 실수 값 함수가 상수 함수뿐인 하우스도르프 공간의 병리적인 상황을 피하기 위해 완전 정칙 공간을 소개했다. 그는 같은 해 논문에서 모든 티호노프 공간 (즉, 하우스도르프 공간인 완전 정칙 공간)이 하우스도르프 콤팩트화를 가짐을 증명했다. 1937년에 에두아르트 체흐는 티호노프의 기법을 확장하여 이 콤팩트화에 대한 표기법 βX를 소개했고, 마셜 하비 스톤도 같은 해 별도의 논문에서 다른 방법으로 βX를 구성했다. 티호노프의 논문이 스톤-체흐 콤팩트화에 대한 최초의 연구였고, 스톤과 체흐 모두 티호노프의 논문을 참조했지만, βX는 티호노프의 이름과 거의 연관되지 않는다.

위상 공간 X의 스톤-체흐 콤팩트화는 콤팩트 하우스도르프 공간 βX와 연속 함수 i_X : X → βX로 구성되며, 다음의 보편 성질을 갖는다. 연속 함수 f : X → K (K는 콤팩트 하우스도르프 공간)는 βf : βX → K로 유일하게 확장된다. 즉, (βf)i_X = f이다.

이 보편 성질은 βX를 위상 동형까지 특징짓는다. 모든 위상 공간 X에 대해 스톤-체흐 콤팩트화 i_X : X → βX가 존재하며, i_X(X)는 βX에서 조밀하다.

일부 저자는 X가 티호노프 공간(또는 국소 콤팩트 하우스도르프 공간)이라는 가정을 추가하는데, 이는 다음과 같은 이유 때문이다.

* X에서 βX의 이미지로의 맵은 X가 티호노프 공간일 때에만 위상 동형이다.
* X에서 βX의 이미지로의 맵은 X가 국소 콤팩트 하우스도르프 공간일 때에만 열린 부분 공간으로의 위상 동형이다.

스톤-체흐 구조는 더 일반적인 공간 X에 대해 수행할 수 있지만, 맵 X → βX가 X의 이미지로의 위상 동형일 필요는 없으며, 때로는 주입적이지도 않다.

확장 속성은 β를 Top (위상 공간의 범주)에서 CHaus (콤팩트 하우스도르프 공간의 범주)로의 함자로 만든다. U를 CHaus에서 Top으로의 포함 함자로 놓으면, (CHaus에 있는 K에 대해) βX에서 K로의 맵은 X에서 UK로의 맵과 전단사로 대응한다. 즉,

:Hom(βX, K) ≅ Hom(X, UK)

이는 β가 U의 수반 함자임을 의미하며, CHaus가 반사자 β를 갖는 Top의 반사적 부분 범주임을 뜻한다.

2.1. 구성

스톤-체흐 콤팩트화는 연속 함수, 곱위상, 폐포 등을 이용하여 구체적으로 구성할 수 있다. 위상 공간 $X$ 에서 단위 구간 [0,1]로 가는 모든 연속 함수들의 집합을 $\mathcal C(X,[0,1])$ 이라 한다.

$[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}$ 에 곱위상을 부여하면, 다음과 같은 자연스러운 함수 $\phi$ 를 정의할 수 있다.

: $\phi\colon X\to[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}$
: $\phi\colon x\mapsto(f(x))_{f\in\mathcal C(X,[0,1])}$

이 함수는 연속 함수이며, $X$ 가 티호노프 공간이라면 단사 함수가 된다. 티호노프 정리에 따라 $[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}$ 는 콤팩트 공간이므로, $\phi(X)$ 의 폐포는 $X$ 의 스톤-체흐 콤팩트화와 동형이다. 즉, 다음이 성립한다.

: $\beta X\cong\operatorname{cl}_{[0,1]^{\mathcal C(X,[0,1])}}\phi(X)$

이 구성에서 단위 구간 [0, 1]은 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주에서 공생성자 역할을 한다. 즉, 서로 다른 사상 f와 g : A → B 가 존재할 때, hf와 hg가 서로 다른 사상 h : B → [0, 1]이 존재한다.

2.1.1. 초필터를 이용한 구성

$X$ 가 이산 공간인 경우, $\beta X$ 는 $X$ 상의 모든 초필터의 집합으로 구성할 수 있으며, $X$ 의 원소는 주 초필터에 해당한다. 스톤 위상은 $X$ 의 부분 집합 $U$ 에 대해 $\{ F : U \in F \}$ 형태의 집합에 의해 생성되는 초필터 집합에 대한 위상이다.

$K$ 가 콤팩트 하우스도르프 공간이고 함수 $f : X \to K$ 가 주어졌을 때, $X$ 상의 초필터 $F$ 에 대해 $F$ 의 푸시포워드인 $K$ 상의 초필터 기저 $f(F)$ 를 생각할 수 있다. $K$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간이므로, $f(F)$ 는 고유한 극한 $x$ 를 가지며, $\beta f(F) = x$ 로 정의하면 $f$ 의 연속적 확장 $\beta f$ 를 얻는다.

$X$ 의 모든 부분 집합의 완비 불 대수의 스톤 공간을 스톤-체흐 콤팩트화로 사용할 수도 있다. 이 스톤 공간은 불 대수의 초필터 (또는 소 아이디얼 또는 2원소 불 대수로의 준동형 사상)의 집합이며, 이는 $X$ 상의 초필터 집합과 같다.

이 구성은 초필터 대신 영 집합의 극대 필터를 사용하여 임의의 티호노프 공간으로 일반화할 수 있다.

2.1.2. C*-대수를 이용한 구성

스톤-체흐 콤팩트화는 C_b(X)의 스펙트럼과 자연스럽게 위상동형이다. 여기서 C_b(X)는 X 상의 모든 연속 유계 복소수 값 함수의 C*-대수를 나타내며, sup-노름을 갖는다. C_b(X)는 C₀(X)의 승수 대수와 자연스럽게 동형이다.

3. 성질

스톤-체흐 콤팩트화는 보편 성질을 가지며, 이는 위상 동형까지 유일하게 결정된다. 임의의 위상 공간 $X$ 에 대해 표준적인 연속 함수 $\eta_X\colon X\to\beta X$ 가 존재한다. $X$ 가 티호노프 공간이라면, 이는 단사 함수이며, $X$ 와 그 상 $\eta_X(X)$ 사이의 위상동형을 정의한다.

일반적인 공간의 스톤-체흐 콤팩트화의 존재를 증명하려면 선택 공리가 필요하다. 스톤-체흐 콤팩트화의 성질은 사용하는 집합론의 공리(연속체 가설 등)에 따라 크게 달라진다.

3.1. 범주론적 성질

위상 공간의 범주 $\operatorname{Top}$ 에서 콤팩트 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname{CompHaus}$ 로 가는 망각 함자
: $U\colon\operatorname{CompHaus}\to\operatorname{Top}$
는 왼쪽 수반 함자
: $\beta\colon\operatorname{Top}\to\operatorname{CompHaus}$
: $\beta\dashv U$
를 갖는다. 이때, $\beta$ 를 스톤-체흐 콤팩트화라고 한다. 이에 따라, $\operatorname{CompHaus}$ 는 $\operatorname{Top}$ 의 반사 부분 범주를 이룬다.

수반 함자의 단위원 $\eta\colon\operatorname{id}_{\operatorname{Top}}\Rightarrow U\circ\beta$ 로부터, 임의의 위상 공간 $X$ 에 대하여 표준적인 연속 함수
: $\eta_X\colon X\to\beta X$
가 존재한다. $X$ 가 티호노프 공간이라면, 이는 단사 함수이며, $X$ 와 그 상 $\eta_X(X)$ 사이의 위상동형을 정의하며, $\eta_X(X)$ 는 $\beta X$ 의 조밀 집합을 이룬다. 만약 $X$ 가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면 $\beta X$ 는 $X$ 와 위상동형이다.

위상 공간 X의 스톤-체흐 콤팩트화는 다음의 보편 성질을 갖는 연속 함수 i_X : X → βX와 함께 콤팩트 하우스도르프 공간 βX이다. 연속 함수 f : X → K (K는 콤팩트 하우스도르프 공간)가 주어지면, βf : βX → K로 고유하게 확장된다. 즉, (βf)i_X = f이다.

이는 βX를 위상 동형까지 특징짓는다.

모든 위상 공간 X에 대해 스톤-체흐 콤팩트화 i_X : X → βX가 존재함을 증명할 수 있다. 또한, 이미지 i_X(X)는 βX에서 조밀하다.

X에서 βX의 이미지로의 맵은 X가 티호노프 공간일 때에만 위상 동형이기 때문에, 일부 저자는 X가 티호노프 공간이라는 가정을 추가하기도 한다.

확장 속성은 β를 Top (위상 공간의 범주)에서 CHaus (콤팩트 하우스도르프 공간의 범주)로의 함자로 만든다. U를 CHaus에서 Top으로의 포함 함자로 놓으면, βX에서 K로의 맵은 X에서 UK로의 맵과 전단사로 대응한다. 즉,
:Hom(βX, K) ≅ Hom(X, UK),
이는 β가 U의 수반 함자임을 의미한다. 이것은 CHaus가 반사자 β를 갖는 Top의 반사적 부분 범주임을 의미한다.

4. 예

콤팩트 하우스도르프 공간은 자기 자신의 스톤-체흐 콤팩트화와 위상동형이다.

순서 위상을 갖춘 가산 무한 순서수 $\omega_1$ 의 스톤-체흐 콤팩트화는 순서수 $\omega_1 + 1$ 이다.

4.1. 이산 공간

이산 공간 $X$ 의 스톤-체흐 콤팩트화 $\beta X$ 의 크기, 무게, 작은 귀납적 차원은 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

성질

값

크기

>\beta X|=2^{2^

👆

좌우로 밀어서 보기

}

무게	\operatorname{wt}(\beta X)=2^{>X\|}
작은 귀납적 차원	$\operatorname{ind}(\beta X)=0$

특히,

\beta X

는 완전 분리 공간이다.

자연수의 이산 공간

\mathbb N

의 스톤-체흐 콤팩트화

\beta\mathbb N

은 추가적으로 다음 성질들을 만족시킨다.

* 임의의 무한 닫힌집합

F\subset\beta\mathbb N

은

\beta\mathbb N

과 위상 동형인 부분 집합을 갖는다.
* 모든 수렴 점렬은 최종적으로 상수 점렬이다. 따라서,

\beta\mathbb N

의 점렬 집합은 이산 집합밖에 없다.

만약 X가 국소 컴팩트 공간인 경우(예: N(자연수 집합), R(실수 집합)) X의 이미지는 βX 또는 모든 컴팩트화의 열린 부분 집합을 형성한다. 이는 컴팩트 하우스도르프 공간의 열린 부분 집합은 국소 컴팩트이기 때문에 필요 조건이기도 하다. 이 경우 종종 공간의 잉여 부분(βX \ X)을 연구한다. 이는 βX의 닫힌 부분 집합이므로 컴팩트하다. N에 이산 위상을 부여하고 βN \ N = N*로 표기한다.

βN은 N에 대한 초필터의 집합으로 볼 수 있으며, 위상은 N의 부분 집합 U에 대해

\{ F : U \in F \}

형태의 집합에 의해 생성된다. N은 주 초필터의 집합에 해당하고, N*는 자유 초필터의 집합에 해당한다.

βN의 연구, 특히 N*의 연구는 현대 집합론적 위상수학의 주요 분야이다. 파로비첸코의 정리는 연속체 가설 하에서 그 동작을 특징짓는다.

파로비첸코의 정리는 다음과 같다.

* 무게가 최대

\aleph_1

인 모든 컴팩트 하우스도르프 공간(알레프 수 참조)은 N*의 연속적인 이미지이다. (이는 연속체 가설을 필요로 하지 않지만, 없을 때는 덜 흥미롭다.)
* 연속체 가설이 참이면 N*는 동형 사상까지 유일한 파로비첸코 공간이다.

이들은 원래 부울 대수를 고려하고 스톤 쌍대성을 적용하여 증명되었다.

얀 반 밀은 βN을 "세 개의 머리를 가진 괴물"로 묘사했는데, 세 개의 머리는 웃고 친근한 머리(연속체 가설 하에서의 행동), 끊임없이 혼란을 주는 독립의 못생긴 머리(집합론의 다른 모델에서 가능한 행동 결정), 가장 작은 머리(ZFC에서 증명할 수 있는 것)이다. 그러나 최근에는 βN에 네 번째 머리가 있다는 것이 밝혀졌다. 강제 공리와 램지 유형 공리가 연속체 가설 하에서의 그것과 거의 정반대의 βN 성질을 부여하여, N*로부터의 맵을 매우 적게 제공한다. 이러한 공리의 예로는 마틴의 공리와 열린 채색 공리의 조합이 있으며, (N*)² ≠ N*임을 증명하는 반면, 연속체 가설은 그 반대를 의미한다.

4.2. 순서수

순서 위상을 갖춘 최소의 비가산 순서수 $\omega_1$ 의 스톤-체흐 콤팩트화는 $\omega_1+1$ 이다. 가산 무한 순서수 $\omega_1$ 에 순서 위상을 부여한 공간의 스톤-체흐 콤팩트화는 순서수 $\omega_1 + 1$ 이다.

5. 자연수 집합의 스톤-체흐 콤팩트화

$\beta$ N을 N에 대한 초필터의 집합으로 볼 수 있다. 집합 N은 주 초필터의 집합에 해당하고, 집합 N*는 자유 초필터의 집합에 해당한다.

파로비첸코의 정리는 연속체 가설 하에서 자연수 집합의 스톤-체흐 콤팩트화의 잉여 부분 (N*)의 동작을 특징짓는다. 이 정리에 따르면,

* 무게가 최대 $\aleph_1$ 인 모든 컴팩트 하우스도르프 공간( 알레프 수 참조)은 N*의 연속적인 이미지이다.
* 연속체 가설이 참이면 N*는 동형 사상까지 유일한 파로비첸코 공간이다.

얀 반 밀은 βN을 "세 개의 머리를 가진 괴물"로 묘사했는데, 이는 연속체 가설 하에서의 행동, 집합론의 다른 모델에서 가능한 행동, 그리고 ZFC에서 증명할 수 있는 것을 나타낸다.

자연수는 덧셈에 대해 모노이드를 이루는데, 이 연산은 βN으로 확장될 수 있다. N의 임의의 부분 집합 A와 N의 양의 정수 n에 대해, $A-n=\{k\in\mathbf{N}\mid k+n\in A\}.$ 로 정의한다.

N의 두 초필터 F와 G가 주어지면, 그 합은 $F+G = \Big\{A\subseteq\mathbf{N}\mid \{n\in\mathbf{N}\mid A-n\in F\}\in G\Big\};$ 로 정의된다. 이 연산은 βN에서 결합 법칙을 만족하지만 교환 법칙은 만족하지 않으며, 0은 βN에서의 연산 +에 대한 항등원으로 작용한다.

5.1. 응용: 유계 수열 공간의 쌍대 공간

스톤-체흐 콤팩트화 $\beta \mathbb{N}$ 는 $\ell^\infty(\mathbb{N})$ (상한 노름을 갖는 모든 유계 실수 또는 복소수 수열의 바나흐 공간)과 그 쌍대 공간을 특징짓는 데 사용될 수 있다.

유계 수열 $a \in \ell^\infty(\mathbb{N})$ 이 주어지면, $a$ 의 상을 포함하는 닫힌 공 $B$ 가 존재한다. $a$ 는 N에서 $B$ 로의 함수인데, N은 이산 공간이고 $B$ 는 콤팩트 하우스도르프 공간이므로 $a$ 는 연속 함수이다. 따라서 보편 성질에 따라 유일한 확장 $\beta a\colon \beta \mathbb{N} \to B$ 가 존재한다. 이 확장은 공 $B$ 에 의존하지 않는다.

이러한 확장을 통해 유계 스칼라 값 수열의 공간에서 $\beta \mathbb{N}$ 위의 연속 함수 공간으로 가는 사상을 정의할 수 있다.

: $\ell^\infty(\mathbb{N}) \to C(\beta \mathbb{N})$

이 사상은 $C(\beta \mathbb{N})$ 의 모든 함수가 유계이고 유계 스칼라 수열로 제한될 수 있으므로 전단사 함수이다.

두 공간에 상한 노름을 부여하면, 이 확장 사상은 등거리 변환이 된다. 따라서 $\ell^\infty(\mathbb{N})$ 는 $C(\beta \mathbb{N})$ 와 동일시될 수 있다. 리스-마르코프-카쿠타니 표현 정리에 따라 $\ell^\infty(\mathbb{N})$ 의 쌍대 공간은 $\beta \mathbb{N}$ 위의 유한 보렐 측도 공간과 동일시될 수 있다.

6. 역사

마셜 하비 스톤과 에두아르트 체흐가 1937년에 독자적으로 스톤-체흐 콤팩트화를 도입하였다.

안드레이 니콜라예비치 티호노프는 1930년에 연속 실수 값 함수가 상수 함수뿐인 하우스도르프 공간의 병리적인 상황을 피하기 위해 완전 정칙 공간을 소개했다.

티호노프는 1930년 완전 정칙 공간을 정의한 논문에서 모든 티호노프 공간(하우스도르프 공간인 완전 정칙 공간)이 하우스도르프 콤팩트화를 가짐을 증명했다(같은 논문에서 티호노프 정리도 증명했다). 1937년에 체흐는 티호노프의 기법을 확장하여 이 콤팩트화에 대한 표기법 βX를 소개했다. 스톤도 1937년 논문에서 매우 다른 방법을 사용하여 βX를 구성했다. 티호노프의 논문이 스톤-체흐 콤팩트화에 대한 최초의 연구였고, 스톤과 체흐 모두 티호노프의 논문을 참조했음에도 불구하고, 티호노프의 이름은 βX와 거의 연관되지 않는다.

스톤-체흐 콤팩트화

정의

유형	위상수학에서의 콤팩트화

역사 및 명칭

명명 유래	마셜 스톤과 에두아르트 체흐의 이름에서 유래
최초 정의	티호노프 (1930)
독립적 발견	스톤(1937) 체흐(1937)

위상수학적 성질

T 성질	티호노프 공간
완전 분리 공간	완전 분리 공간은 스톤-체흐 콤팩트화에서 열린 집합과 닫힌 집합으로 분리됨.
보편 성질	모든 완전 분리 공간에서 연속 함수는 스톤-체흐 콤팩트화로 확장 가능.
함수 공간과의 관계	C(βX)는 X에서 정의된 모든 유계 연속 함수의 공간과 동형.

집합론적 성질

크기	X가 이산 공간이면, \|βX\| = 2^(2^\|X\|)
추가 성질	X가 무한 이산 공간이면, βX X는 셀 수 없는 무한 기수를 가짐.