리우빌 장론

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1. 개요
2. 역사와 어원
3. 정의
4. 성질
5. 다른 등각 장론과의 관계
- 5.1. 최소 모형
- 5.2. 초대칭 리우빌 이론
6. 적분가능 모형과의 관계
7. 응용
8. 기타
참조

1. 개요

리우빌 장론은 스칼라장과 실수 매개변수를 갖는 2차원 등각 장론으로, 2차원 곡면의 계량 텐서와 스칼라 곡률을 포함하는 작용으로 정의된다. 이 이론은 조제프 리우빌이 리만 곡면의 균일화 정리를 증명할 때 사용한 방정식과 유사한 운동 방정식을 가지며, 운동 방정식, 등각 대칭, 스펙트럼, 상관 함수 등의 성질을 갖는다. 리우빌 장론은 끈 이론, 2차원 양자 중력, 무작위 에너지 모형 등 다양한 분야에 응용되며, 최소 모형, 초대칭 리우빌 이론 등 다른 등각 장론과 관련이 있다.

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리우빌 장론
개요
유형	등각 장론
차원	2차원
수학적 구조
대칭	바일 대칭(Weyl symmetry)
관련 이론	베스-추미노-노비코프-위튼 모형(Wess–Zumino–Novikov–Witten theory) 토다 장론(Toda field theories)

2. 역사와 어원

이 이론의 운동 방정식은 조제프 리우빌이 리만 곡면의 균일화 정리를 증명할 때 사용했던 2차 비선형 편미분 방정식과 유사하여 이러한 이름이 붙었다.^[26]

3. 정의

'''리우빌 장론'''은 스칼라장 $\phi$ 와 실수 매개 변수 $b\in\mathbb R$ 를 가지는 2차원 등각 장론이며, 그 작용은 다음과 같다.

: $S = \frac{1}{4\pi } \int_\Sigma d^2x\sqrt g\,(g^{\mu \nu} \partial _\mu \phi \partial _{\nu} \phi + (b+b^{-1}) R[g]\phi + 4\pi e^{2b\phi })$

여기서 $g_{\mu\nu}$ 는 2차원 곡면 $\Sigma$ 의 계량 텐서이며, $R[g]$ 는 그 스칼라 곡률이다. 스칼라장 $\phi$ 를 '''리우빌 장'''(Liouville field^영어)이라고 한다.

4. 성질

등각 부트스트랩 접근 방식을 사용하면, 리우빌 장론은 다음과 같은 고유한 성질을 갖는 등각장론으로 알려져 있다.^[1]

스펙트럼은 연속체이며, 중복도는 1보다 크지 않다.
상관 함수는 $b$ 와 운동량에 대해 해석적으로 의존한다.
축퇴장(degenerate fields)이 존재한다.

리우빌 이론의 스펙트럼

\mathcal{S}

는 비라소로 대수의 베르마 모듈의 대각선 조합으로 나타낼 수 있다.

:

\mathcal{S} = \int_{\frac{c-1}{24} + \mathbb{R}_+} d\Delta\ \mathcal{V}_\Delta \otimes \bar{\mathcal{V}}_\Delta\ ,

여기서

\mathcal{V}_\Delta

와

\bar{\mathcal{V}}_\Delta

는 각각 왼쪽 및 오른쪽으로 이동하는 비라소로 대수의 표현으로 간주되는 동일한 베르마 모듈을 나타낸다.

리우빌 이론은

c\in (1,+\infty)

일 때에만 유니타리(unitary)하다. 또한 리우빌 이론의 스펙트럼은 진공 상태를 포함하지 않는데, 진공 상태는 정의될 수 있지만 연산자 곱 전개에 기여하지 않는다.

2차원 등각 장론은 1차장의 스펙트럼과 3점 상관 함수의 계수에 따라서 완전히 결정된다. 리우빌 이론의 경우 3점 계수들이 모두 알려져 있으며, 그 공식을 '''DOZZ 공식'''(DOZZ formula^영어)이라고 한다.

상관 함수는 특정한 쌍대성과 운동량의 반사에 대해 공변(covariant)적이다.

c\notin (-\infty, 1)

에 대해, 3점 구조 상수는 DOZZ 공식에 의해 다음과 같이 주어진다.

:

C_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3} =  \frac{\left[b^{\frac{2}{b}-2b}\lambda\right]^{Q-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3}\Upsilon_b'(0) \Upsilon_b(2\alpha_1) \Upsilon_b(2\alpha_2) \Upsilon_b(2\alpha_3)}{\Upsilon_b(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-Q) \Upsilon_b(\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3)\Upsilon_b(\alpha_2+\alpha_3-\alpha_1)\Upsilon_b(\alpha_3+\alpha_1-\alpha_2)}\ ,

여기서 특수 함수

\Upsilon_b

는 일종의 다중 감마 함수이다.

리우빌 이론은 구면뿐만 아니라 속

g\geq 1

의 모든 리만 곡면에서도 존재한다.

4. 1. 운동 방정식

리우빌 장의 고전적 운동 방정식은 다음과 같다.^[8]

:

\Delta \phi(x) = \frac {1}{2} (b+b^{-1}) R(x) + 4\pi b e^{2b\phi (x)}

여기서

\Delta = g^{-1/2} \partial _{\mu} (g^{1/2} g^{\mu \nu} \partial_{\nu} )

는 굽은 공간의 라플라스-벨트라미 연산자이다. 평탄한 공간에서는 이는 다음과 같다.^[8]

:

\left(\frac{\partial ^2}{\partial  x^2} + \frac{\partial ^2}{\partial y^2} \right) \phi (x,y) = 4\pi b e^{2b \phi (x,y)}

이 작용에 해당하는 운동 방정식은 다음과 같다.^[8]

:

\Delta \varphi(x) = \frac {1}{2} Q R(x) + \lambda' b e^{2b\varphi (x)} \ ,

여기서

\Delta = |g|^{-1/2} \partial _{\mu} (|g|^{1/2} g^{\mu \nu} \partial_{\nu} )

는 라플라스-벨트라미 연산자이다. 만약

g_{\mu \nu}

가 유클리드 계량 텐서라면, 이 방정식은 다음과 같이 단순화된다.^[8]

:

\left(\frac{\partial ^2}{\partial  x_1^2} + \frac{\partial ^2}{\partial x_2^2} \right) \varphi (x_1,x_2) = \lambda' b e^{2b \varphi (x_1,x_2)} \ ,

이것은 리우빌 방정식과 동등하다.

4. 2. 등각 대칭

리우빌 장론은 등각 대칭성을 가지며, 비라소로 대수의 중심 전하(central charge^영어)

c

는 다음과 같다.^[24]

:

c=1+6(b+1/b)^2

보통

Q=b+1/b

로 정의한다.

등각 변환에서 운동량

\alpha

를 가진 에너지 고유 벡터는 일차장으로 변환되며, 등각 차원

\Delta

는 다음과 같다.

:

\Delta = \alpha(Q-\alpha)

중심 전하와 등각 차원은 다음의 쌍대성에 대해 불변이다.

:

b \to \frac{1}{b}

4. 3. 스펙트럼

리우빌 이론의 (규격화 가능) 상태들은 연산자-상태 대응에 따라서

\exp((Q+2ip)\phi)

꼴의 국소 연산자에 대응한다.^[24] 여기서

p\in\mathbb R

이다. 이러한 상태의 등각 차원은

\Delta=Q^2/4+p^2

이다. 스펙트럼이 연속적이므로, 이 경우 카디 엔트로피 공식이 적용되지 않는다.^[27]

또한, 일반적으로

\exp(2\alpha\phi)

(

\operatorname{Re}\alpha\le Q/2

) 형태의 연산자가 존재하지만,

\operatorname{Re}\alpha\ne Q/2

라면 이는 규격화 가능한 상태에 대응하지 않는다.^[24] 이 부등식을 '''자이베르그 한계'''(Seiberg bound^영어)라고 한다.^[28]

리우빌 이론의 스펙트럼

\mathcal{S}

는 비라소로 대수의 베르마 모듈의 대각선 조합이다.

:

\mathcal{S} = \int_{\frac{c-1}{24} + \mathbb{R}_+} d\Delta\ \mathcal{V}_\Delta \otimes \bar{\mathcal{V}}_\Delta\ ,

여기서

\mathcal{V}_\Delta

와

\bar{\mathcal{V}}_\Delta

는 각각 왼쪽 및 오른쪽으로 이동하는 비라소로 대수의 표현으로 간주되는 동일한 베르마 모듈을 나타낸다. 운동량으로 표현하면,

\Delta \in \frac{c-1}{24} + \mathbb{R}_+

는

\alpha\in \frac{Q}{2}+i\mathbb{R}_+.

값에 해당한다. 반사 관계는 자유 이론의 전체 선이 아닌 반선에서 운동량이 값을 갖도록 한다.

리우빌 이론은

c\in (1,+\infty)

일 때에만 유니타리하다. 리우빌 이론의 스펙트럼은 진공 상태를 포함하지 않는다. 진공 상태는 정의될 수 있지만, 연산자 곱 전개에 기여하지 않는다.

4. 4. 상관 함수

2차원 등각 장론은 1차장의 스펙트럼과 3점 상관 함수의 계수에 따라서 완전히 결정된다. 리우빌 이론의 경우 3점 계수들이 모두 알려져 있으며, 그 공식을 '''DOZZ 공식'''(DOZZ formula^영어)이라고 한다. 이는 하랄트 도른(Harald Dorn^de), 한스외르크 오토(Hans-Jörg Otto^de)^[29], 알렉산드르 자몰롯치코프, 알렉세이 자몰롯치코프(Алексей Борисович Замолодчиков^ru)^[30] 가 발견하였다.

리우빌 이론의 상관 함수는 특정한 쌍대성과 운동량의 반사에 대해 공변적(covariant)이다.

c\notin (-\infty, 1)

에 대해, 3점 구조 상수는 DOZZ 공식(Dorn–Otto^[2] 및 Zamolodchikov–Zamolodchikov^[3])에 의해 다음과 같이 주어진다.

:

C_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3} =  \frac{\left[b^{\frac{2}{b}-2b}\lambda\right]^{Q-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3}\Upsilon_b'(0) \Upsilon_b(2\alpha_1) \Upsilon_b(2\alpha_2) \Upsilon_b(2\alpha_3)}{\Upsilon_b(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-Q) \Upsilon_b(\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3)\Upsilon_b(\alpha_2+\alpha_3-\alpha_1)\Upsilon_b(\alpha_3+\alpha_1-\alpha_2)}\ ,

여기서 특수 함수

\Upsilon_b

는 일종의 다중 감마 함수이다.

c\in (-\infty, 1)

에 대해 3점 구조 상수는^[1] 다음과 같다.

:

\hat{C}_{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3} =  \frac{\left[(ib)^{\frac{2}{b}-2b}\lambda\right]^{Q-\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3}\hat{\Upsilon}_b(0) \hat{\Upsilon}_b(2\alpha_1) \hat{\Upsilon}_b(2\alpha_2) \hat{\Upsilon}_b(2\alpha_3)}{\hat{\Upsilon}_b(\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3-Q) \hat{\Upsilon}_b(\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3)\hat{\Upsilon}_b(\alpha_2+\alpha_3-\alpha_1)\hat{\Upsilon}_b(\alpha_3+\alpha_1-\alpha_2)}\ ,

여기서

:

\hat{\Upsilon}_b(x) = \frac{1}{\Upsilon_{ib}(-ix+ib)}\ .

구면 위의

N

점 함수는 3점 구조 상수와 등각 블록으로 표현될 수 있다.

N

점 함수는 여러 다른 표현식을 가질 수 있는데, 이들이 일치한다는 것은 4점 함수의 교차 대칭성과 동등하며, 이는 수치적으로 확인되었고^[3]^[2], 분석적으로 증명되었다.^[4]^[5]

리우빌 이론은 구면뿐만 아니라 속

g\geq 1

의 모든 리만 곡면에서도 존재한다. 기술적으로 이것은 원환면 1점 함수의 모듈러 불변성과 동등하다. 등각 블록과 구조 상수의 놀라운 항등식으로 인해, 이 모듈러 불변성 속성은 구면 4점 함수의 교차 대칭성에서 유추할 수 있다.^[6]^[7]

N

점 상관 함수의 경로 적분 표현은 다음과 같다.

:

\left\langle\prod_{i=1}^N V_{\alpha_i}(z_i)\right\rangle = \int D\varphi\ e^{-S[\varphi]}\prod_{i=1}^N e^{2\alpha_i\varphi(z_i)}\ .

4. 5. 반사 관계

표현

\mathcal{V}_\Delta \otimes \bar{\mathcal{V}}_\Delta

의 주된 상태에 해당하는 두 장

V_\alpha(z)

와

V_{Q-\alpha}(z)

는 반사 관계에 의해 관련되어 있다.^[1]

:

V_\alpha(z) = R(\alpha) V_{Q-\alpha}(z)\ ,

여기서 반사 계수는 다음과 같다.

:

R(\alpha) =  \pm \lambda^{Q-2\alpha} \frac{\Gamma(b(2\alpha-Q))\Gamma(\frac{1}{b}(2\alpha-Q))}{\Gamma(b(Q-2\alpha))\Gamma(\frac{1}{b}(Q-2\alpha))}\ .

(부호는

c\in(-\infty, 1)

이면

+1

이고, 그렇지 않으면

-1

이며, 정규화 매개변수

\lambda

는 임의적이다.)

5. 다른 등각 장론과의 관계

리우빌 장론은 다른 등각 장론과 다음과 같은 관계를 갖는다.

최소 모형: 중심 전하와 등각 차원이 특정 이산 값으로 주어지면, 리우빌 장론의 상관 함수는 대각(A-계열) 비라소로 최소 모형의 상관 함수로 축소된다.^[1]
초대칭 리우빌 이론: $\mathcal{N}=1$ 초대칭 리우빌 장론과 $\mathcal{N}=2$ 초대칭 리우빌 장론이라는 두 가지 다른 초대칭 확장을 허용한다.^[14]

5. 1. 최소 모형

중심 전하와 등각 차원이 특정 이산 값으로 보내지면, 리우빌 장론의 상관 함수는 대각(A-계열) 비라소로 최소 모형의 상관 함수로 축소된다.^[1]

5. 2. 초대칭 리우빌 이론

리우빌 장론은 $\mathcal{N}=1$ 초대칭 리우빌 장론과 $\mathcal{N}=2$ 초대칭 리우빌 장론이라는 두 가지 다른 초대칭 확장을 허용한다.^[14]

6. 적분가능 모형과의 관계

(소스에 내용이 없으므로 내용을 생성할 수 없습니다.)

7. 응용

끈 이론에서, 리우빌 장론은 10차원 미만의 차원에서 존재하는, 소위 '''비임계 끈 이론'''(non-critical string theory^영어)들의 세계면 등각 장론의 하나로 등장한다.^[31]

$d$ 차원 시공간에서 움직이는 비임계 끈의 작용은 다음과 같은 리우빌 이론이다.^[24]

$c=26-d$
$Q=\sqrt{(25-d)/6}$

리우빌 이론은 경이론의 비-임계 버전을 경로 적분 공식으로 공식화하려는 시도에서 나타난다.^[17] 이 이론은 선형 딜라톤과 타키온 배경을 가진 2차원 시공간에서의 보존적 끈 이론의 설명으로도 나타난다. 선형 딜라톤 배경에서의 타키온 장 운동 방정식은 지수 함수 해를 갖도록 요구한다. 이 배경에서의 폴리야코프 작용은 리우빌 장 이론과 동일하며, 선형 딜라톤은 배경 전하 항을 담당하고 타키온은 지수 포텐셜에 기여한다.^[18]

리우빌 이론은 계량 텐서

g

를 동역학적 장으로 취급하면 2차원 양자 중력의 한 종류인 '''리우빌 중력'''(Liouville gravity^영어)이라는 장난감 모형이 된다. 2차원에서는 아인슈타인 방정식이 리우빌 방정식으로 축소되기 때문이다. 이는 CGHS 모형 또는 자키우-테이텔보임 중력과 혼동해서는 안 된다.^[15]^[16]

리우빌 이론(

c\geq 25

)과 특정 로그 상관 랜덤 에너지 모델 사이에는 정확한 매핑이 존재한다.^[21] 이러한 모델은 로그 상관 관계가 있는 임의의 포텐셜 내 열적 입자를 설명한다. 2차원에서는 이러한 포텐셜이 가우시안 자유장과 일치한다. 이 경우, 리우빌 이론에서 기본 필드 간의 특정 상관 함수는 입자의 깁스 측정 상관 함수에 매핑된다. 이는 2차원 가우시안 자유장의 극값 통계에 적용되며, 로그 상관 랜덤 에너지 모델(2차원 및 그 이상)의 특정 보편적 특성을 예측할 수 있게 해준다.

7. 1. 끈 이론

끈 이론에서, 리우빌 장론은 10차원 미만의 차원에서 존재하는, 소위 '''비임계 끈 이론'''(non-critical string theory^영어)들의 세계면 등각 장론의 하나로 등장한다.^[31]

끈 이론에서,

d

차원 시공간에서 움직이는 비임계 끈의 작용은 다음과 같다.

:

c=26-d

:

Q=\sqrt{(25-d)/6}

위 식을 만족하는 리우빌 이론이다.^[24] 리우빌 이론은 경이론의 비-임계 버전을 경로 적분 공식으로 공식화하려는 시도에서 나타난다.^[17] 이 이론은 선형 딜라톤과 타키온 배경을 가진 2차원 시공간에서의 보존적 끈 이론의 설명으로도 나타난다. 선형 딜라톤 배경에서의 타키온 장 운동 방정식은 지수 함수 해를 갖도록 요구한다. 이 배경에서의 폴리야코프 작용은 리우빌 장 이론과 동일하며, 선형 딜라톤은 배경 전하 항을 담당하고 타키온은 지수 포텐셜에 기여한다.^[18]

7. 2. 2차원 양자 중력

리우빌 이론은 계량 텐서

g

를 동역학적 장으로 취급하면 2차원 양자 중력의 장난감 모형이 된다. 이 경우, 이 이론을 '''리우빌 중력'''(Liouville gravity^영어)이라고 한다.

2차원에서는 아인슈타인 방정식이 리우빌 방정식으로 축소되므로, 리우빌 이론은 양자 중력의 한 종류인 리우빌 중력을 제공한다. 이는 CGHS 모형 또는 자키우-테이텔보임 중력과 혼동해서는 안 된다.^[15]^[16]

7. 3. 무작위 에너지 모형

리우빌 이론(

c\geq 25

)과 특정 로그 상관 랜덤 에너지 모델 사이에는 정확한 매핑이 존재한다.^[21] 이러한 모델은 로그 상관 관계가 있는 임의의 포텐셜 내 열적 입자를 설명한다. 2차원에서는 이러한 포텐셜이 가우시안 자유장과 일치한다. 이 경우, 리우빌 이론에서 기본 필드 간의 특정 상관 함수는 입자의 깁스 측정 상관 함수에 매핑된다. 이는 2차원 가우시안 자유장의 극값 통계에 적용되며, 로그 상관 랜덤 에너지 모델(2차원 및 그 이상)의 특정 보편적 특성을 예측할 수 있게 해준다.

8. 기타

리우빌 장론은 음의 곡률을 가진 3차원 일반 상대성 이론, 리만 곡면의 균일화 문제, 등각 사상 등 물리학 및 수학의 여러 분야와 관련이 있다. 또한 AGT 대응을 통해 특정 4차원 초등각 대수 게이지 이론의 인스턴톤 분배 함수와도 관련되어 있다.

참조

_[1] arXiv Conformal field theory on the plane
_[2] journal Two and three point functions in Liouville theory 1994
_[3] journal Conformal bootstrap in Liouville field theory 1996
_[4] journal A lecture on the Liouville vertex operators
_[5] arXiv Conformal Bootstrap in Liouville Theory
_[6] journal Modular bootstrap in Liouville field theory
_[7] journal Liouville theory with a central charge less than one
_[8] journal Cylinder quantum field theories at small coupling
_[9] arXiv Integrability of Liouville theory: Proof of the DOZZ Formula
_[10] journal Rolling Tachyons from Liouville theory
_[11] journal H(3)+ correlators from Liouville theory
_[12] journal H^+_3 WZNW model from Liouville field theory
_[13] journal A family of solvable non-rational conformal field theories
_[14] journal Liouville Field Theory: A Decade After the Revolution 2004
_[15] Submitted manuscript Dilaton Gravity in Two Dimensions https://cds.cern.ch/[...] 2002-10
_[16] journal Ramifications of Lineland http://mistug.tubita[...]
_[17] journal Quantum geometry of bosonic strings 1981
_[18] book String Theory Volume I: An Introduction to the Bosonic String Cambridge University Press 1998
_[19] journal Correlators in Timelike Bulk Liouville Theory https://projecteucli[...]
_[20] journal On the Three-point Function in Minimal Liouville Gravity
_[21] journal Operator Product Expansion in Liouville Field Theory and Seiberg type transitions in log-correlated Random Energy Models 2018-01-30
_[22] journal The sinh-Gordon model beyond the self dual point and the freezing transition in disordered systems 2021-12-10
_[23] arXiv Segal's axioms and bootstrap for Liouville Theory 2021-12-29
_[24] 저널 Liouville field theory: a decade after the revolution 2004
_[25] 저널 Liouville theory revisited 2001
_[26] 서적 https://archive.org/[...]
_[27] 저널
_[28] 저널
_[29] 저널
_[30] 저널
_[31] 저널 Quantum geometry of bosonic strings

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