리 대수 근기

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1. 개요

리 대수 근기는 가환환 K 위의 리 대수 g의 아이디얼 중 가해 리 대수를 이루는 것들의 부분 순서 집합이 최대 원소를 가질 때, 이 최대 원소를 g의 근기라고 정의한다. 리 대수의 근기는 존재한다면 유일하며, K-뇌터 가군인 경우 존재한다. 특히, 체 위의 유한 차원 리 대수는 항상 근기를 갖는다. 리 대수의 근기가 0일 때 반단순 리 대수이며, 근기가 중심과 같을 때 가약 리 대수이다. 가환환 K 위의 가해 리 대수 g의 근기는 g 전체이다.

리 대수 근기

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 근기 존재 증명
  - 3.1.1. ㈎ 증명
  - 3.1.2. ㈏ 증명
- 3.2. 관련 개념과의 관계
4. 예

2. 정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\mathfrak g$ 를 생각하자. $\mathfrak g$ 의 부분 리 대수 $\mathfrak h$ 가 다음 조건을 만족시킬 때, $\mathfrak h$ 를 $\mathfrak g$ 의 아이디얼(ideal^영어)이라고 한다.
: $[\mathfrak g,\mathfrak h] \subseteq \mathfrak h$

만약 $\mathfrak g$ 의 아이디얼 중에서 가해 리 대수인 것들의 집합이 (부분 집합 관계에 대해) 부분 순서 집합으로서 최대 원소를 갖는다면, 이 최대 원소를 $\mathfrak g$ 의 근기라고 하며, 다음과 같이 표기한다.
: $\operatorname{rad}(\mathfrak g)$

체 $k$ 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak{g}$ 는 항상 유일한 최대 가해 아이디얼, 즉 근기를 갖는다. 이는 다음과 같은 이유 때문이다.

먼저, $\mathfrak{a}$ 와 $\mathfrak{b}$ 가 $\mathfrak{g}$ 의 두 가해 아이디얼이라고 하자. 그러면 이들의 합 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 역시 $\mathfrak{g}$ 의 아이디얼이 된다. 또한, 동형 정리에 의해 $(\mathfrak{a}+\mathfrak{b})/\mathfrak{a}\simeq\mathfrak{b}/(\mathfrak{a}\cap\mathfrak{b})$ 가 성립하는데, 우변은 가해 리 대수 $\mathfrak{b}$ 의 몫이므로 가해 리 대수이다. 따라서 $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 는 가해 아이디얼 $\mathfrak{a}$ 를 부분 아이디얼로 갖고 그 몫이 가해 리 대수인 확대 형태이므로, $\mathfrak{a}+\mathfrak{b}$ 자체도 가해 리 대수가 된다. 이제 $\mathfrak{g}$ 의 모든 가해 아이디얼의 합을 생각해보자. 영 아이디얼 $\{0\}$ 도 가해 아이디얼이므로 이 합은 공집합이 아니다. 위에서 보인 것처럼 가해 아이디얼들의 합은 다시 가해 아이디얼이 되므로, 모든 가해 아이디얼의 합은 $\mathfrak{g}$ 내에 존재하는 가장 큰 가해 아이디얼이다. 따라서 이는 유일한 최대 가해 아이디얼, 즉 근기가 된다.

3. 성질

정의에 따라, 리 대수의 근기는 만약 존재한다면 유일하다.

리 대수 $\mathfrak g$ 가 특정 조건(예: $K$ -뇌터 가군인 경우)을 만족하면 근기가 존재한다. 특히, 체 $k$ 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak{g}$ 는 항상 뇌터 가군이므로 근기를 갖는다. 유한 차원 리 대수의 경우, 모든 가해 아이디얼의 합 역시 유한 차원이므로 자연스럽게 최대 원소가 존재하며, 이것이 바로 유일한 최대 가해 아이디얼인 근기가 된다.

3.1. 근기 존재 증명

만약 리 대수 $\mathfrak g$ 가 $K$ -뇌터 가군이라면, $\mathfrak g$ 의 근기가 존재한다. 이는 다음 두 조건을 만족하기 때문에 모든 가해 아이디얼들의 합이 유일한 최대 가해 아이디얼, 즉 근기가 되기 때문이다.

* ㈎ $\mathfrak g$ 의 두 가해 아이디얼의 합은 가해 아이디얼이다.
* ㈏ $\mathfrak g$ 의 임의의 부분 가군들의 족 $\mathcal I$ 에 대하여, 그 합 $\textstyle\sum\mathcal I$ 은 어떤 유한 집합 $\mathcal I'\subseteq\mathcal I$ 에 대하여 $\textstyle\sum\mathcal I = \sum\mathcal I'$ 를 만족한다. (이 성질은 $\mathfrak g$ 가 뇌터 가군이라는 조건으로부터 직접적으로 유도된다.)

특히, 체 위의 유한 차원 리 대수는 항상 뇌터 가군이므로 근기를 갖는다. 유한 차원 리 대수 $\mathfrak{g}$ 의 경우, 모든 가해 아이디얼의 합은 유한 차원이므로 자동적으로 최대 원소가 되며, 이것이 바로 유일한 최대 가해 아이디얼, 즉 근기이다.

3.1.1. ㈎ 증명

$\mathfrak g$ 의 두 가해 아이디얼이 주어졌다고 하자.
: $\mathfrak a,\mathfrak b\subseteq\mathfrak g$
그렇다면, $\mathfrak a+\mathfrak b$ 는 역시 $\mathfrak g$ 의 아이디얼이다.

또한, 가해 리 대수의 몫과, 가해 리 대수의 가해 리 대수에 대한 확대는 역시 가해 리 대수이다.
짧은 완전열
: $0\to\mathfrak a\to\mathfrak a+\mathfrak b \to \frac{\mathfrak a+\mathfrak b}{\mathfrak a}\cong \frac{\mathfrak b}{\mathfrak a\cap \mathfrak b}\to0$
에 의하여, $\mathfrak a+\mathfrak b$ 는 가해 리 대수 $\mathfrak b$ 의 몫 $\mathfrak b/(\mathfrak a\cap \mathfrak b)$ 의, 가해 리 대수 $\mathfrak a$ 에 대한 확대이므로, 역시 가해 리 대수이다.

3.1.2. ㈏ 증명

$\mathfrak g$ 의 $K$ -부분 가군들의 족
: $\mathcal I\subseteq\operatorname{Pow}(\mathfrak g)$
이 주어졌다고 하자. 귀류법을 사용하여, 임의의 유한 집합
: $\mathcal I'\subseteq\mathcal I$
: $|\mathcal I'|<\aleph_0$
에 대하여
: $\sum\mathcal I' \subsetneq \sum\mathcal I$
라고 가정하자.

그렇다면, 선택 공리를 사용하여, $\mathcal I$ 의 원소들의 열 $\mathfrak a_0,\mathfrak a_1,\dotsc$ 을 다음과 같이 재귀적으로 고르자.
:임의의 $i\in\mathbb N$ 에 대하여, 귀류법 가정에 따라 $\textstyle\sum_{j 이므로, \{\mathfrak b\in\mathcal I\colon \mathfrak b\not\subseteq\textstyle\sum_{j 이다. 선택 공리 를 사용하여, \mathfrak a_i\in\{\mathfrak b\in\mathcal I\colon \mathfrak b\not\subseteq\textstyle\sum_{j 를 임의로 고른다.$
그렇다면, 구성에 따라
: $0\subsetneq \mathfrak a_0 \subsetneq\mathfrak a_0 + \mathfrak a_1 \subsetneq\mathfrak a_0+\mathfrak a_1+\mathfrak a_2\subsetneq\dotsb$
이다. 이는 $\mathfrak g$ 가 뇌터 가군이라는 가정에 모순된다.

3.2. 관련 개념과의 관계

체 $K$ 위의 유한 차원 리 대수 $\mathfrak g$ 에 대하여, 그 근기( $\operatorname{rad}\mathfrak g$ )와 다른 개념들 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

* 리 대수 $\mathfrak g$ 가 반단순 리 대수인 것은 그 근기가 0인 것과 동치이다. 즉, $\operatorname{rad}\mathfrak g = 0$ 일 때, 그리고 오직 그때만 $\mathfrak g$ 는 반단순 리 대수이다.

* 만약 리 대수 $\mathfrak g$ 의 근기가 그 중심 $\operatorname Z(\mathfrak g)$ 과 같다면, 즉 $\operatorname{rad}\mathfrak g = \operatorname Z(\mathfrak g)$ 이라면, $\mathfrak g$ 를 가약 리 대수(可約Lie代數, reductive Lie algebra^영어)라고 한다. 다시 말해, 리 대수는 그 근기가 중심과 같을 때, 그리고 오직 그때만 가약 리 대수이다.

4. 예

가환환 $K$ 위의 가해 리 대수 $\mathfrak g$ 의 근기는 (항상 존재하며) $\mathfrak g$ 전체이다.