리 대수 아이디얼

1. 개요

리 대수 아이디얼은 가환환 K 위의 리 대수 g의 부분 집합으로, 특정 조건을 만족하는 경우를 의미한다. g의 부분 리 대수, K-부분 가군, 덧셈 부분군, 부분 집합 관계를 가지며, 모든 리 대수 아이디얼은 부분 리 대수이지만 그 역은 성립하지 않는다. 리 대수 아이디얼을 통해 몫 리 대수를 정의할 수 있으며, 단순 리 대수, 반단순 리 대수, 아벨 리 대수 등의 성질을 정의하는 데 사용된다. 또한, 자명한 아이디얼, 직합 성분, 리 대수 중심, 유도 리 대수, 리 대수 근기 등이 리 대수 아이디얼의 예시로 제시된다.

2. 정의

가환환 $K$ 위의 리 대수 $(\backslash mathfrak\; g,[-,-])$의 부분 리 대수(Lie subalgebra^영어) $\backslash mathfrak\; h$는 리 괄호에 대하여 닫혀 있는 $K$-부분 가군이다. 즉, $\backslash mathfrak\; h\backslash subset\backslash mathfrak\; g$이며 $[\backslash mathfrak\; h,\backslash mathfrak\; h]\backslash subset\backslash mathfrak\; h$이다.

가환환 $K$ 위의 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 부분 집합 $I\backslash subseteq\backslash mathfrak\; g$가 다음 두 조건을 만족시키면 리 대수 아이디얼(Lie algebra ideal^영어)이라고 한다.
* $K$-부분 가군이며, $[\backslash mathfrak\; g,I]\backslash subseteq\; I$이다.
* $\backslash ker\; \backslash phi\; =\; I$인 리 대수 준동형 $\backslash phi\; \backslash colon\backslash mathfrak\; g\backslash to\backslash mathfrak\; h$가 존재한다.

리 대수 아이디얼이 존재하면, 몫 리 대수(quotient Lie algebra^영어) $\backslash mathfrak\; g/I$를 정의할 수 있다.

2.1. 리 대수의 부분 대수와 아이디얼

가환환 K 위의 리 대수 (\mathfrak g,[-,-])의 부분 리 대수 \mathfrak h는 리 괄호에 대하여 닫힌 K-부분 가군이다. 즉, \mathfrak h\subset\mathfrak g이며 [\mathfrak h,\mathfrak h]\subset\mathfrak h이다.

가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g의 부분 집합 I\subseteq\mathfrak g가 다음 두 조건을 만족시키면 리 대수 아이디얼이라고 한다.
* K-부분 가군이며, [\mathfrak g,I]\subseteq I이다.
* \ker \phi = I 인 리 대수 준동형 \phi \colon\mathfrak g\to\mathfrak h가 존재한다.

리 대수 아이디얼에 대하여, 몫 리 대수 \mathfrak g/I를 정의할 수 있다.

2.2. 리 초대수의 부분 대수와 아이디얼

가환환 K 위의 리 초대수 (\mathfrak{g}, [-, -])의 부분 리 초대수 (Lie sub-superalgebra^영어) \mathfrak{h} ⊆ \mathfrak{g}는 리 초괄호에 대하여 닫힌 K-부분 가군이다. 즉, 다음이 성립한다.
* [\mathfrak{h}, \mathfrak{h}] ⊆ \mathfrak{h}

가환환 K 위의 리 초대수 (\mathfrak{g}, [-, -])의 아이디얼 (ideal^영어) \mathfrak{h} ⊆ \mathfrak{g}는 다음 조건을 만족시키는 K-부분 가군이다.
* [\mathfrak{g}, \mathfrak{h}] ⊆ \mathfrak{h}

즉, \mathfrak{g} = \mathfrak{g}_0 ⊕ \mathfrak{g}_1이라고 할 때, 다음이 성립한다.
* \mathfrak{h}_0 ⊆ \mathfrak{g}_0는 리 대수 \mathfrak{g}_0의 아이디얼이다.
* \mathfrak{h}_1 ⊆ \mathfrak{g}_1는 \mathfrak{g}_0의 표현을 이루며 ([\mathfrak{g}_0, \mathfrak{h}_1] ∈ \mathfrak{h}_1), 또한 {\mathfrak{g}_1, \mathfrak{h}_1} ⊆ \mathfrak{h}_1을 만족시킨다.

2.3. L∞-대수의 부분 대수와 아이디얼

가환환 $K$ 위의 L∞-대수 $\backslash mathfrak\; g$의 부분 L∞-대수(部分L∞-代數, L∞-subalgebra^영어) $\backslash mathfrak\; h\backslash subseteq\backslash mathfrak\; g$는 모든 항수의 괄호에 대하여 닫혀 있는, 동차 $K$-부분 가군이다. 즉, 다음과 같다.
:$[\backslash overbrace\{\backslash mathfrak\; h,\backslash mathfrak\; h,\backslash dotsc,\backslash mathfrak\; h\}^k]\_k\; \backslash subseteq\backslash mathfrak\; h\backslash qquad(k\backslash in\backslash mathbb\; Z^+)$
:$\backslash operatorname\{proj\}\_n\; (\backslash mathfrak\; h)\; \backslash subseteq\backslash mathfrak\; h\backslash qquad(n\backslash in\backslash mathbb\; N)$
여기서 $\backslash operatorname\{proj\}\_n$은 등급 $n$의 성분을 취하는 사영 함수이다.

가환환 $K$ 위의 L∞-대수 $\backslash mathfrak\; g$의 아이디얼(ideal^영어) $\backslash mathfrak\; h\backslash subseteq\backslash mathfrak\; g$는 다음 조건을 만족시키는 $K$-부분 가군이다.
:$[\backslash mathfrak\; h,\backslash overbrace\{\backslash mathfrak\; g,\backslash mathfrak\; g,\backslash dotsc,\backslash mathfrak\; g\}^k]\_k\; \backslash subseteq\backslash mathfrak\; h\backslash qquad(k\backslash in\backslash mathbb\; Z^+)$
:$\backslash operatorname\{proj\}\_n\; (\backslash mathfrak\; h)\; \backslash subseteq\backslash mathfrak\; h\backslash qquad(n\backslash in\backslash mathbb\; N)$
특히, $k=1$일 때 이 조건은 다음과 같다.
:$\backslash mathrm\; d\backslash mathfrak\; h\; \backslash subseteq\backslash mathfrak\; h$
즉, $\backslash mathfrak\; h$는 $\backslash mathfrak\; g$의 부분 공사슬 복합체를 이룬다.

3. 성질

리 대수 아이디얼은 항상 부분 리 대수이지만, 그 역은 일반적으로 성립하지 않는다. 표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수에 대하여, 단순 리 대수, 반단순 리 대수, 아벨 리 대수 등의 성질은 아이디얼을 통해 정의된다.

3.1. 함의 관계

가환환 \(K\) 위의 리 대수 \(\mathfrak g\)의 부분 집합에 대하여 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

: 리 대수 아이디얼 ⊆ 부분 리 대수 ⊆ \(K\)-부분 가군 ⊆ 덧셈 부분군 ⊆ 부분 집합

3.2. 다른 성질과의 관계

표수 0의 체 위의 유한 차원 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$에 대하여, 다음과 같은 성질들이 아이디얼로서 정의된다.

4. 예

리 대수에는 자명한 리 대수 아이디얼이 존재한다. 리 대수의 직합에서 각 성분은 아이디얼을 이룬다. 리 대수의 중심은 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다.

4.1. 자명한 리 대수 아이디얼

모든 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$에 대하여, $\backslash \{0\backslash \}\backslash subseteq\backslash mathfrak\; g$과 $\backslash mathfrak\; g\backslash subseteq\backslash mathfrak\; g$는 (자명하게) $\backslash mathfrak\; g$의 리 대수 아이디얼이다. 이들에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

:$\backslash mathfrak\; g/\backslash \{0\backslash \}\; \backslash cong\; \backslash mathfrak\; g$

:$\backslash mathfrak\; g/\backslash mathfrak\; g\; \backslash cong\; \backslash \{0\backslash \}$

4.2. 직합 성분

같은 가환환 위의 두 리 대수 ${\mathfrak {g}}$, ${\mathfrak {h}}$의 직합 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$에서, ${\mathfrak {g}}\oplus 0,0\oplus {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$는 각각 ${\mathfrak {g}}\oplus {\mathfrak {h}}$의 리 대수 아이디얼을 이루며, 이에 대한 몫 리 대수는 각각 다음과 같다.

* ${\frac \oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {g}}}\cong {\mathfrak {h}}$
* ${\frac \oplus {\mathfrak {h}}}{\mathfrak {h}}}\cong {\mathfrak {g}}$

4.3. 리 대수 중심

가환환 K 위의 리 대수 $\backslash mathfrak\; g$의 중심(center^영어) $\backslash operatorname\; Z(\backslash mathfrak\; g)$는 모든 원소와 가환하는 원소들로 구성된 부분 리 대수이다.

:$\backslash operatorname\; Z(\backslash mathfrak\; g)=\backslash \{x\backslash in\backslash mathfrak\; g\backslash colon[x,\backslash mathfrak\; g]=0\backslash \}$

이는 아벨 리 대수를 이루며, 항상 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이는 군론에서의 군의 중심 개념에 대응한다.

4.4. 유도 리 대수

가환환 K 위의 리 대수 \mathfrak g가 주어졌을 때, 부분 공간
:$[\backslash mathfrak\; g,\backslash mathfrak\; g]\; =\; \backslash left\backslash \{[x\_1,y\_1]+\backslash dotsb+[x\_n,y\_n]\; \backslash colon\; n\; \backslash in\; \backslash mathbb\; N,\backslash ,x\_1,x\_2,\backslash dotsc,x\_n,y\_1,y\_2,\backslash dotsc,y\_n\backslash in\backslash mathfrak\; g\backslash right\backslash \}\backslash subseteq\backslash mathfrak\; g$
는 \mathfrak g의 리 대수 아이디얼을 이룬다. 이를 \mathfrak g의 유도 리 대수(derived Lie algebra^영어)라고 한다.

4.5. 리 대수 근기

리 대수 근기는 리 대수의 최대 가해 아이디얼이다.