리 유형 군

1. 개요

리 유형 군은 유한체 위에서 정의되는 특수한 종류의 군으로, 고전군, 슈발레 군, 스테인베르그 군, 스즈키-리 군 등이 있다. 카미유 조르당에 의해 고전군의 연구가 시작되었으며, 슈발레 군은 리 대수를 통해, 스테인베르그 군은 슈발레 군의 구성을 수정하여, 스즈키-리 군은 새로운 무한 군 시리즈를 발견하는 방식으로 정의되었다. 리 유형 군은 유한 단순군의 분류에 중요한 역할을 하며, 유한 단순군은 순환군, 교대군, 티츠 군, 산발 단순군을 제외하고는 모두 리 유형의 군에 포함된다. 리 유형 군의 표기법은 통일되어 있지 않아 혼란을 야기할 수 있다.

2. 고전군

카미유 조르당이 유한체 등에서 고전군을 정의하고 연구하기 시작했다. 이러한 군은 레너드 유진 딕슨과 장 디오도네가 연구했으며, 에밀 아르틴은 이러한 군의 순서를 조사했다.

고전군은 특수한 선형군, 직교군, 심플렉틱군 또는 유니터리 군이다. 이들은 실수에서 구성되는 것과 거의 같은 방식으로 유한체 등에서도 구성될 수 있으며, 슈발레 및 스테인베르그 군의 시리즈 A_n, B_n, C_n, D_n,²A_n, ²D_n에 해당한다.

3. 슈발레 군

슈발레 군은 유한체 위의 리 군으로 생각할 수 있다. 이 이론은 대수군 이론과 클로드 슈발레 (슈발레 (1955))의 리 대수에 대한 연구를 통해 명확해졌으며, 이를 통해 슈발레 군 개념이 고립되었다. 클로드 슈발레는 모든 복소 단순 리 대수 (또는 보편적인 포괄 대수)에 대해 슈발레 기저 (일종의 적분 형태이지만 유한체 위)를 구성했으며, 이를 사용하여 정수 위의 해당 대수군을 정의하였다. 특히 그는 모든 유한체에서 값을 갖는 점들을 가질 수 있었다. 리 대수 A_n, B_n, C_n, D_n 의 경우, 이는 잘 알려진 고전군을 산출했지만, 그 구성은 또한 예외적인 리 대수 E₆, E₇, E₈, F₄ 및 G₂와 관련된 군을 산출했다. G₂ 유형 (때때로 딕슨 군이라고도 함)은 이미 'Dickson (1905)'에 의해 구축되었으며, E₆ 유형은 레너드 유진 딕슨 'Dickson(1901)'에 의해 구축되었다.

4. 스테인베르그 군

로베르트 스테인베르그는 슈발레 군의 구성을 수정하여 유니터리 군과 비분할 직교 군, 그리고 두 개의 새로운 집합 ³D₄, ²E₆을 발견하였다(Steinberg (1959)). 자크 티츠도 거의 같은 시기에 다른 관점에서 이 두 번째 집합을 발견하였다(Tits(1958)). 스테인베르그 군의 구성은 일반 선형 군에서 유니터리 군을 구성하는 방법을 일반화한 것이다.

유니터리 군은 다음과 같이 만들어진다. 복소수에 대한 일반 선형 군은 딘킨 도표 A_n을 뒤집는 다이어그램 자기 동형 사상(전치 역행렬을 취하는 것과 같음)과 복소 켤레를 취하는 체 자기 동형 사상을 갖는다. 이 두 사상은 서로 교환 가능하다. 유니터리 군은 이 두 자기 동형 사상의 곱의 고정점, 즉 곱했을 때 변하지 않는 점들의 집합이다.

이와 비슷하게, 많은 슈발레 군은 딘킨 도표의 자기 동형 사상과 유한체의 자기 동형 사상에 의해 유도된 다이어그램 자기 동형 사상과 체의 자기 동형 사상을 갖는다. 스테인베르그는 유니터리 군의 경우처럼 다이어그램과 체의 자기 동형 사상의 곱의 고정점을 취하여 군의 집합을 구성했다.

이렇게 구성된 군은 다음과 같다.

* A_n의 2차 자기 동형 사상에서 유니터리 군 ²A_n
* D_n의 2차 자기 동형 사상에서 추가 직교 군 ²D_n
* E₆의 2차 자기 동형 사상에서 새로운 급수 ²E₆
* D₄의 3차 자기 동형 사상에서 새로운 급수 ³D₄

³D₄ 유형의 군은 실수에서는 찾을 수 없다. 복소수에는 3차 자기 동형 사상이 없기 때문이다.

D₄ 다이어그램의 대칭성은 삼중성을 발생시킨다.

5. 스즈키-리 군

미치오 스즈키는 알려진 대수군과 관련이 없어 보이는 새로운 무한 군 시리즈를 발견했다. 이임학은 대수군 B₂가 특성 2에서 제곱이 프로베니우스 자기 동형인 "추가" 자기 동형을 가지고 있다는 것을 알아냈다. 그는 특성 2의 유한체에도 제곱이 프로베니우스 사상인 자기 동형이 있다면, 로베르트 스테인베르크의 구성과 유사한 것이 스즈키 군을 산출한다는 것을 발견했다. 그러한 자기 동형을 가진 체는 2²ⁿ⁺¹차의 체가 되고, 해당 군은 스즈키 군이 된다.

:²B₂(2²ⁿ⁺¹) = Suz(2²ⁿ⁺¹).

군 Suz(2)는 단순하지 않기 때문에 스즈키 군으로 간주되지 않으며, 20차 프로베니우스 군이다.

이임학은 F₄와 G₂가 특성 2와 3에서 추가 자기 동형을 갖는다는 사실을 사용하여 단순군의 두 개의 새로운 유사한 체

:²F₄(2²ⁿ⁺¹) 와

:²G₂(3²ⁿ⁺¹)

를 찾을 수 있게 되었다.

²F₄ 유형의 가장 작은 군 ²F₄(2)는 단순하지 않지만, 티츠 군이라고 하는 지수 2의 단순 부분군이 있다. ²G₂유형의 가장 작은 군 ²G₂(3)는 단순하지 않지만, 지수 3의 단순 정규 부분군이 있으며, A₁(8)과 동형이다.

유한 단순군의 분류에서 리 군 ²G₂(3²ⁿ⁺¹)은 구조를 명확하게 파악하기 가장 어려운 군이다. 이들은 또한 최초의 현대 산발군을 발견하는데 큰 역할을 했다. 이들은 q = 3ⁿ에 대해 Z/2Z × PSL(2, q) 형태의 역전 중심화자를 가지고 있으며, 유사한 형태 Z/2Z × PSL(2, 5)의 역전 중심화자를 가진 군을 조사하여 즈보니미르 얀코는 산발군 J₁을 발견했다.

스즈키 군은 3으로 나누어 떨어지지 않는 차수를 가진 유일한 유한 비아벨 단순군이다. 이들은 차수 2^2(2n+1)(2^2(2n+1) + 1)(2⁽²ⁿ⁺¹⁾ - 1)을 갖는다.

6. 유한 단순군과의 관계

에바리스트 갈루아는 1830년대에 소수 유한체 PSL(2, p)에 대한 사영 특수 선형군을 구성했는데, 이는 리 유형의 유한군 중 초기에 고려된 군 중 하나이다. 카미유 조르당은 사영 특수 선형군 PSL(2, q)가 q ≠ 2, 3일 때 단순하다는 정리를 발표하면서 리 유형의 유한군에 대한 체계적인 연구를 시작했다. 이 정리는 고차원 사영군으로 일반화되어 유한 단순군의 중요한 무한 집합 PSL(n, q)를 도출했다.

레너드 유진 딕슨은 20세기 초에 다른 고전군을 연구했다. 1950년대 클로드 슈발레는 반단순 리 군에 대한 많은 정리가 임의의 체 k에 대한 대수군에 대한 유사성을 허용하여 현재 슈발레 군이라고 불리는 것을 구성할 수 있음을 발견했다. 해당 군은 추상 군처럼 거의 단순하다는 것이 밝혀졌다(티츠 단순성 정리).

19세기부터 마티외 군과 같은 다른 유한 단순 군이 존재한다는 사실이 알려졌지만, 거의 모든 유한 단순 군이 순환군과 교대군과 함께 슈발레의 구성을 적절히 확장하여 설명할 수 있다는 공식이 점차 형성되었다. 예외적인 산발군은 리 유형의 유한군과 많은 속성을 공유하며, 특히 자크 티츠의 의미에서 기하학을 기반으로 구성하고 특성화할 수 있다.

유한 단순군은 순환군, 교대군, 티츠 군, 26개의 산발군, 그리고 유한체에 대한 리 유형의 군으로 분류된다.

7. 리 유형의 소규모 군

일반적으로 단순 연결 단순 대수군의 엔도모사상에 연관된 유한 군은 단순 군의 보편적 중심 확장이므로, 완벽하고 사소한 슈어 승수를 갖는다. 그러나 체에서 가장 작은 군 중 일부는 완벽하지 않거나 "예상"보다 큰 슈어 승수를 갖는 등 예외적인 성질을 보인다. 이러한 예외성은 특정 산발적 단순 군과 관련이 있는 경우가 많다. 작은 교대군도 예외적인 성질을 갖는다.

그룹이 완벽하지 않은 경우는 다음과 같다.

군이 완벽하지만, 예상보다 슈어 승수가 큰 경우는 다음과 같다.


다양한 리 유형의 작은 군 (및 교대 군) 사이에는 "우연적" 동형사상이 많다. 예를 들어, 그룹 SL(2, 4), PSL(2, 5) 및 5개 지점의 교대 그룹은 모두 동형이다.

이러한 예외의 전체 목록은 유한 단순 군 목록을 참조한다.

교대군은 때때로 하나의 원소가 있는 필드 위의 리 유형의 군인 것처럼 행동한다. 일부 작은 교대 그룹도 예외적인 속성을 갖는다. 교대 그룹은 일반적으로 2차의 외부 자기 동형 그룹을 갖지만, 6개 지점의 교대 그룹은 4차의 외부 자기 동형 그룹을 갖는다. 교대 그룹은 일반적으로 2차의 슈어 승수를 갖지만 6개 또는 7개 지점의 교대 그룹은 6차의 슈어 승수를 갖는다.

8. 표기법 문제

리 유형의 유한군에 대한 표준 표기법은 없으며, 문헌에는 이에 대한 수십 개의 비호환적이고 혼란스러운 표기법이 나와 있다.

* 단순군 PSL(n, q)는 일반적으로 대수군 PSL(n)의 F_q-값 점의 군 PSL(n, F_q)와 동일하지 않다. 문제는 SL(n) → PSL(n)과 같은 대수군의 전사 사상이 반드시 어떤 (비대수적으로 닫힌) 체에 값이 있는 해당 군의 전사 사상을 유도하지 않는다는 것이다. 유한 체에 값이 있는 다른 대수군의 점에도 비슷한 문제가 있다.

* A_n−1 유형의 군은 때때로 PSL(n, q) (사영 특수 선형 군) 또는 L(n, q)로 표시된다.

* C_n 유형의 군은 때때로 Sp(2n, q) (심플렉틱 군) 또는 (혼란스럽게도) Sp(n, q)로 표시된다.

* D_n 유형의 군("직교" 군)에 대한 표기법은 특히 혼란스럽다. 사용된 일부 기호는 O(n, q), O⁻(n, q), PSO(n, q), Ω_n(q)이지만, 너무 많은 규칙이 있어서 명시적으로 지정하지 않고는 이것이 어떤 군에 해당하는지 정확히 말할 수 없다. 문제의 근원은 단순군이 직교군 O도 아니고 사영 특수 직교군 PSO도 아니지만 PSO의 하위 군이라는 것이다. 따라서 PSO는 고전적 표기법이 없다. 특히 심각한 함정은 ATLAS와 같은 일부 저자가 직교군이 아닌 군에 대해 O(n, q)를 사용하지만, 해당 단순군에 사용한다는 것이다. Ω, PΩ 표기법은 장 디외도네가 도입했지만, 그의 정의는 n ≤ 4에 대해 간단하지 않다. 따라서 n ≥ 5에서는 일치하지만, 더 낮은 차원에서는 일치하지 않는 약간 다른 군에 대해 동일한 표기법을 사용할 수 있다.

* 스테인베르그 군의 경우, 일부 저자는 다른 저자가 ²A_n(q)로 표시하는 군에 대해 ²A_n(q²) (등등)을 쓴다. 문제는 두 개의 필드가 관련되어 있다는 것이다. 하나는 q² 순서이고, 다른 하나는 q 순서의 고정 필드이며, 사람들은 표기법에 어느 것을 포함해야 하는지에 대해 서로 다른 생각을 가지고 있다. "²A_n(q²)" 규칙은 더 논리적이고 일관성이 있지만, "²A_n(q)" 규칙은 훨씬 더 일반적이고 대수군 규칙에 더 가깝다.

* A_n(q)와 같은 그룹이 단순 연결 대수 그룹 또는 단순 연결 대수 그룹에서 값을 갖는 점의 그룹인지에 대한 저자의 의견은 다르다. 예를 들어, A_n(q)는 특수 선형 그룹 SL(n+1, q) 또는 사영 특수 선형 그룹 PSL(n+1, q)을 의미할 수 있다. 따라서 ²A₂(4)는 저자에 따라 4개의 다른 그룹 중 하나일 수 있다.