삼색 칠하기 가능

3. 예시

매듭 이론에서는 매듭을 세 가지 색으로 칠하는 규칙을 다루는데, 이를 삼색 칠하기라고 한다. 관습적으로는 주로 빨강, 초록, 파랑 세 가지 색을 사용한다.

삼색 칠하기에는 두 가지 중요한 규칙이 있다.

# 모든 교차점에서 만나는 세 가닥은 모두 같은 색이거나, 또는 모두 다른 세 가지 색이어야 한다.

# 매듭 전체를 칠할 때 최소 두 가지 이상의 색을 사용해야 한다.

이 규칙을 만족시키는 매듭을 삼색 칠하기 가능하다고 한다. 예를 들어, 세잎매듭이나 두 개의 고리로 이루어진 자명한 얽힘은 삼색 칠하기가 가능하다. 반면, 8자매듭, 호프 연환, 화이트헤드 연환 등은 이 규칙에 따라 칠할 수 없어 삼색 칠하기 불가능하다.^[6][7]

어떤 매듭이 삼색 칠하기 가능한지 여부는 그 매듭의 고유한 성질, 즉 매듭 불변량이다. 이는 매듭의 모양을 라이데마이스터 이동을 통해 변형시켜도 삼색 칠하기 가능 여부는 변하지 않는다는 의미이다. 따라서 삼색 칠하기 가능성을 이용하면 서로 다른 매듭을 구별할 수 있다. 예를 들어, 삼색 칠하기가 가능한 세잎매듭은 삼색 칠하기가 불가능한 8자매듭과 다른 종류의 매듭임을 알 수 있다.^[6][7] 또한, 호프 연환이나 화이트헤드 연환이 단순히 풀린 고리 두 개(자명한 얽힘)와 다르다는 것도 이 성질을 통해 증명할 수 있다.

3. 1. 삼색 칠하기 가능한 매듭

• 6₁
• 7₄
• 7₇
• 8₅
• 8₁₀
• 8₁₁
• 8₁₅
• 8₁₈
• 8₁₉
• 8₂₀
• 8₂₁

3. 2. 삼색 칠하기 불가능한 매듭

4. 동위 불변량

삼색 칠하기 가능성은 매듭이나 연환이 가진 고유한 성질 중 하나로, 매듭의 모양을 연속적으로 변형시켜도 그 성질이 변하지 않는 동위 불변량이다.^[5] 이 성질은 라이데마이스터 변형을 통해 증명될 수 있으며, 각 변형 단계를 거쳐도 삼색 칠하기 가능성은 보존된다. 따라서 어떤 매듭이 삼색 칠하기가 가능하다면, 그 매듭과 동위 관계에 있는 모든 매듭 역시 삼색 칠하기가 가능하다. 반대로, 삼색 칠하기가 불가능한 매듭은 삼색 칠하기가 가능한 매듭과 동위가 될 수 없다. 이러한 불변성은 서로 다른 매듭들을 구별하는 데 중요한 도구로 사용된다.^[6][7]

4. 1. 라이데마이스터 변형과 삼색 칠하기 가능성

라이데마이스터 변형과 삼색 칠하기 가능성 보존

라이데마이스터 변형 I	라이데마이스터 변형 II	라이데마이스터 변형 III

매듭 또는 얽힘의 그림에서, 한 교점에서 다른 교점까지 이어지는 부분을 '길'이라고 정의한다. 이때 길의 양 끝 교점에서는 아래를 지나지만, 중간에서는 다른 길의 위를 지날 수 있다. 자명한 매듭의 그림 전체도 하나의 길로 간주한다.

이렇게 정의된 길을 사용하여 매듭 그림을 다음 두 조건을 만족하도록 세 가지 이하의 색으로 칠할 수 있을 때, 그 매듭 또는 얽힘은 삼색 칠하기 가능하다고 한다.

# 모든 교점에서, 그 교점에 모이는 세 개의 길(중복될 수 있음)은 모두 같은 색이거나, 모두 다른 세 가지 색이어야 한다.

# 매듭 그림 전체에 두 가지 이상의 색이 사용되어야 한다.

예를 들어, 세 잎 매듭이나 두 성분으로 이루어진 자명한 얽힘은 삼색 칠하기가 가능하지만, 8자 매듭, 호프 연환, 화이트헤드 연환은 불가능하다. 삼색 칠하기 가능성은 라이데마이스터 변형에 의해 변하지 않으므로, 이를 통해 세 잎 매듭이 풀리지 않는 매듭이라는 것, 세 잎 매듭과 8자 매듭이 서로 다른 매듭이라는 것 등을 증명할 수 있다.^[6][7]

위의 조건 중 두 번째 조건(두 가지 이상 색 사용)을 제외하면 모든 매듭 그림은 삼색 칠하기가 가능해진다. 이때 가능한 칠하기 방법의 총 수를 삼색 칠하기 수(3-coloring number)라고 부르며, 이 역시 매듭의 불변량이다.^[8][9] 예를 들어, 자명한 매듭의 삼색 칠하기 수는 3이고, 세 잎 매듭의 삼색 칠하기 수는 9이다.

5. 성질

삼색 칠하기 가능성은 매듭이나 연환이 삼색으로 칠할 수 있는지 없는지를 판별하는 이분법적 분류이기 때문에, 상대적으로 약한 매듭 불변량이다. 삼색 칠하기 가능성은 라이데마이스터 이동에 의해 변하지 않으므로 매듭 불변량이 된다.^[6][7] 이를 통해 서로 다른 매듭을 구별하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어, 삼색 칠하기가 가능한 세 잎 매듭은 삼색 칠하기가 불가능한 8자 매듭과 다른 매듭임을 알 수 있다.

삼색 칠하기가 가능한 매듭과 다른 매듭을 합성하면, 그 결과 역시 항상 삼색 칠하기가 가능하다. 또한, 분리 가능한 연환의 경우, 그 구성 요소 중 하나라도 삼색 칠하기가 가능하면 전체 연환도 삼색 칠하기가 가능하다.

삼색 칠하기 가능성이라는 불변량을 강화하기 위해, 가능한 삼색 칠하기 방법의 수를 세는 3채색 수 개념을 사용하기도 한다.^[8] 3채색 수를 계산할 때는 '최소 두 가지 색을 사용해야 한다'는 원래의 조건을 완화한다. 이렇게 하면 모든 호를 같은 색으로 칠하는 단색 칠하기 3가지(예: 모두 빨강, 모두 파랑, 모두 초록)가 항상 가능하므로, 모든 매듭이나 연환은 최소 3개의 3채색 수를 갖는다. 어떤 매듭이나 연환의 3채색 수가 3보다 크다면, 이는 원래 정의에 따른 삼색 칠하기가 가능하다는 것과 같다. 3채색 수 자체도 매듭 불변량이다.^[9] 예를 들어, 자명한 매듭의 3채색 수는 3이고, 세 잎 매듭의 3채색 수는 9이다.

5. 1. 원환면 매듭에서의 성질

6. p-채색 가능성 (일본어 문서)

3색 채색 가능성의 개념을 확장하여, 소수 ''p''에 대해 '''p색 채색 가능성'''을 정의할 수 있다.^[10] 이는 매듭이나 얽힘의 각 길에 0부터 ''p''-1까지의 정수를 부여하여 특정 조건을 만족하는 채색이 가능한지를 따지는 방식으로, 3색 채색 가능성과 마찬가지로 매듭 불변량이 된다.

6. 1. 정의

6. 2. p-채색 가능성의 성질

7. 채색수 (일본어 문서)

얽힘은 여러 다른 ''p''에 대해 p-채색 가능성을 만족할 수 있다. 여기서, 얽힘이 p-채색 가능하게 되는 최소의 ''p''를 그 얽힘의 '''채색수'''로 정의한다. 채색수는 얽힘의 불변량이다.^[12]

참조

_[1] 간행물 Knot Theory Week 2: Tricolorability http://web.math.ucsb[...] 2015-01-20
_[2] 서적 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics http://mathworld.wol[...] 2010
_[3] 서적 Knots and Surfaces 1994
_[4] 간행물 Knots: a handout for mathcircles http://www.math.utah[...] Math.Utah.edu 2003-02
_[5] 서적 The knot book: an elementary introduction to the mathematical theory of knots https://www.worldcat[...] American Mathematical Society 2004
_[6] 서적 結び目理論とその応用
_[7] 서적 結び目の数学
_[8] 서적 結び目と量子群
_[9] 서적 結び目と量子群
_[10] 서적 結び目理論とその応用
_[11] 문서 記号modの意味は合同式を参照。
_[12] 서적 結び目理論とその応用
_[13] 간행물 Knot Theory Week 2: Tricolorability http://web.math.ucsb[...] 2015-01-20
_[14] 매스월드 Tricolorable 2010
_[15] 서적 Knots and Surfaces 1994
_[16] 매스월드 Tricolorable 2010
_[17] 간행물 Knots: a handout for mathcircles http://www.math.utah[...] Math.Utah.edu 2003-02