멱함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 자연수 멱
5. 정수 멱
6. 유리수 멱
7. 실수 멱
8. 복소수 멱
9. 비교
- 9.1. 증가도 비교
- 9.2. 무한소와 횔더 연속
참조

1. 개요

멱함수는 실수 또는 복소수 함수로, f(x) = cx^α 꼴로 표현된다. 지수(α)의 값에 따라 정의역과 치역이 달라지며, 미분 및 적분 가능 여부와 그 결과가 결정된다. 멱의 법칙에 따라 도함수와 부정적분을 구할 수 있으며, 테일러 급수로 전개 가능하다. 멱함수는 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수 범위에서 정의될 수 있으며, 각 경우에 따라 특징적인 성질을 갖는다. 특히 자연수 멱함수는 우함수, 기함수 여부와 그래프의 대칭성을 결정하며, 실수 멱함수는 지수 함수와 로그 함수와 비교하여 증가도를 평가할 수 있다.

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멱함수
개요
함수 종류	수학 함수
정의
형태	f(x) = ax^b (a, b는 상수)
변수	a: 계수 b: 지수
정의역	b가 양의 정수일 때: 모든 실수 b가 음의 정수일 때: 0을 제외한 모든 실수 b가 정수가 아닐 때: 양의 실수
성질
그래프	b > 1: 원점을 지나는 곡선, x가 증가함에 따라 y도 증가 0 < b < 1: 원점을 지나는 곡선, x가 증가함에 따라 y도 증가, 오목 b < 0: 원점을 제외한 모든 점에서 정의, x가 증가함에 따라 y는 0에 가까워짐
대칭성	b가 짝수일 때: y축 대칭 (우함수) b가 홀수일 때: 원점 대칭 (기함수)
예시
예시 함수	f(x) = x^2 (제곱 함수) f(x) = x^3 (세제곱 함수) f(x) = x^(1/2) (제곱근 함수) f(x) = x^(-1) (역수 함수)
활용
활용 분야	물리학 경제학 통계학

2. 정의

'''멱함수'''는 다음과 같은 꼴의 실수 또는 복소수 함수이다.

: $f(x)=cx^\alpha$

각 자연수 n에 대해 ℝ 상의 함수

: $f_n(x):= x^n= \underbrace{x \times \cdots \times x}_n$

를 정의할 수 있다. 이 함수는,

n이 짝수일 때 우함수이며, 임의의 실수 x에 대해 $f(-x) = f(x)$ 이고, 대응하는 함수의 그래프는 y축에 대해 선대칭이 된다.
n이 홀수일 때 기함수이며, 임의의 실수 x에 대해 $f(-x) = -f(x)$ 이고, 대응하는 그래프는 원점에 대해 점대칭이 된다.

작은 n에 대한 거듭제곱 함수를 구체적으로 쓰면 다음과 같다.

n = 1일 때, 항등 변환 $f_1(x) = x$ . 이는 가장 단순한 일차 함수이며, 선형 변환이기도 하다.
n = 2일 때, 제곱 함수 $f_2(x) = x^2$ . 이는 가장 단순한 이차 함수이며, 그래프가 포물선이 되는 유일한 거듭제곱 함수이다.
n = 3일 때, $f_3(x) = x^3$ 는 가장 단순한 삼차 함수이다.
n = 0인 경우도 일반적으로 이 그룹에 포함된다. 이는 규칙에 따라, 대응 $x \mapsto x^0$ 보다는 상수 함수 $f_0(x) \equiv 1$ 으로 정의된다.

이 함수들은 모두 x = 1에서의 값이 1과 같다. 또한 특히, m < n일 때

$x^n < x^m \quad(0< x < 1),$
$x^n > x^m \quad(1 < x)$

가 성립한다.

자연수 거듭제곱의 경우, 상수 함수 1이 되는 n = 0인 경우를 제외하면, 임의의 거듭제곱 함수는 양의 실수 축 위에서 강한 단조 증가하며, x = 0일 때의 값 0에서 x → +∞일 때의 극한 +∞까지 증가한다. 반대로 음의 실수 축에서는 구별이 생겨, n이 0이 아닌 짝수일 때는 강한 단조 감소하며, n이 홀수일 때는 강한 단조 증가한다(특히 n ≠ 1이면 원점에 변곡점을 가진다).

자연수 거듭제곱 함수는 다항 함수를 구성하는 데 사용될 수 있다. 또한, 자연수 거듭제곱 함수의 전체는 다른 함수를 멱급수로 전개할 때의 기저를 제공한다.

각 음의 정수 -n에 대해, 0이 아닌 실수의 집합

\mathbb{R}^* \coloneqq \mathbb{R} \setminus \{0\} = \{x \in \mathbb{R} | x \ne 0\}

에 대한 함수

:

f_{-n}(x):= x^{-n}=\frac 1{x^n}=\frac1{f_n(x)}

가 정의된다. 앞 절의

f_n

과 마찬가지로, 함수

f_{-n}

은 n이 짝수일 때 짝함수, 홀수일 때 홀함수이다.

작은 n에 대해 구체적으로 쓰면:

-n = -1일 때, 역함수 $f_{-1}(x) = \frac{1}{x}$ . 이는, 대응하는 함수의 그래프가 쌍곡선이 되는 유일한 멱함수이다.

이들 함수는 모두

f_{-n}(1) = 1

을 만족한다. 또한 특히 m < n일 때

$x^{-n} > x^{-m}\quad (0 < x < 1),$
$x^{-n} < x^{-m}\quad (1 < x)$

이 성립한다.

이러한 음의 정수 멱의 멱함수는 모두 양의 실수 축 위에서 엄밀 단조로 x → +0의 극한인 +∞에서 x → +∞의 극한인 0까지 감소한다. 이러한 그래프는 모두 x = 0과 y = 0의 두 직선을 점근선으로 갖는다. 음의 실수 축 위에서는, 짝수 멱이면 단조 증가, 홀수 멱이면 단조 감소의 구별이 생긴다.

임의의 0이 아닌 자연수 n에 대해,

n이 짝수일 때는 $f_n: [0, +\infty) \to [0, +\infty)$ 로 보고,
n이 홀수일 때는 $f_n: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 로 보고,

함수

f_n

은 전단사 함수이다. 따라서 그 역함수가 존재하지만,

f_n

의 역함수는 n-제곱근 함수라고 하며, 이 또한 멱함수로서

:

f_n^{-1}(x):=\sqrt[n]{x} = x^{1/n} =: f_{1/n}(x)

의 형태로 쓸 수 있다. x → +∞의 극한에서 값은 +∞가 되지만, 그래프는 가로축에 평행하게 접근한다. 직교 좌표계에 그래프를 그리면

f_{1/n}

은 직선 y = x에 관해,

f_n

과 (필요하다면 양의 실축 상의 함수로 제한하여) 대칭이다.

지수 함수와 로그 함수가 알려져 있다면, 그것들을 사용하여 멱함수를 임의의 실수를 멱지수로 하는 것으로 일반화할 수 있다. x는 진정한 양의 값을 취하는 것으로 한다면, 함수

f_a

는

:

f_a(x)=x^a := e^{a\ln(x)}

로 정의된다. a의 값에 따라 이미 본 바와 같이 x = 0이나

\mathbb{R}^*

,

\mathbb{R}

전체 등 정의역을 확장할 수 있다. 혹은 a의 값에 따라 x = 0에서도 미분할 수 있는지 여부가 다르다. 또한 멱함수의 증감 방식은 a의 부호에 따라 결정된다. 함수의 볼록성은 2계 도함수의 부호와 관련이 있으며, 따라서 이 경우 멱함수의 볼록성은 a(a - 1)의 부호에 따라 결정된다.

3. 성질

멱함수는 지수의 값에 따라 다양한 성질을 나타낸다.

지수가 자연수인 경우:
n이 짝수이면 우함수이며, 그래프는 y축에 대해 선대칭이다.
n이 홀수이면 기함수이며, 그래프는 원점에 대해 점대칭이다.
n = 1일 때는 항등 변환으로, 가장 단순한 일차 함수이자 선형 변환이다.
n = 2일 때는 제곱 함수로, 그래프가 포물선이 되는 유일한 멱함수이다.
n = 3일 때는 가장 단순한 삼차 함수이다.
n = 0일 때는 상수 함수이다.
이 함수들은 모두 x = 1에서 함숫값이 1이다.
n = 0인 경우를 제외하면 양의 실수 축 위에서 강한 단조 증가한다.

지수가 음의 정수인 경우:
n이 짝수일 때 짝함수, 홀수일 때 홀함수이다.
-n = -1일 때, 역함수는 그래프가 쌍곡선이 되는 유일한 멱함수이다.
이 함수들은 모두 x = 1에서 함숫값이 1이다.
양의 실수 축 위에서 엄밀 단조로 감소하며, 그래프는 x = 0과 y = 0의 두 직선을 점근선으로 갖는다.

지수가 유리수인 경우:
역함수가 존재하며, n-제곱근 함수라고 불리는 멱함수이다.

지수가 실수인 경우:
지수 함수와 로그 함수를 사용하여 멱함수를 임의의 실수를 멱지수로 하는 것으로 일반화할 수 있다.
멱함수의 증감 방식은 지수의 부호에 따라 결정되며, 볼록성은 지수와 지수-1의 곱의 부호에 따라 결정된다.

3. 1. 정의역·치역

편의상

c=1

이라고 하자. 실수 멱함수

x^\alpha

의 정의역과 치역은 다음과 같다.

지수	정의역	치역	예시
분모와 분자가 홀수인 양의 기약 분수 (특히, 양의 홀수)	전체 실수	전체 실수	$x^{1/3}$
분모가 홀수, 분자가 짝수인 양의 기약 분수 (특히, 양의 짝수)	전체 실수	음이 아닌 실수	$x^{2/3}$
0	0이 아닌 실수	1	$x^0$
분모와 분자가 홀수인 음의 기약 분수 (특히, 음의 홀수)	0이 아닌 실수	0이 아닌 실수	$x^{-1}$
분모가 홀수, 분자가 짝수인 음의 기약 분수 (특히, 음의 짝수)	0이 아닌 실수	양의 실수	$x^{-2}$
분모가 짝수인 양의 기약 분수	음이 아닌 실수	음이 아닌 실수	$x^{1/2}$
기약 분모가 짝수인 음의 기약 분수	양의 실수	양의 실수	$x^{-1/2}$
무리수	양의 실수	양의 실수	$x^{\sqrt2}$

3. 2. 그래프

지수가 각각 0 (검정), 1 (파랑), 2 (빨강), 3 (녹색), 4 (주황), 5 (보라)인 멱함수

지수가 각각 -0.5 (빨강), 0 (검정), 0.6 (녹색), 1 (파랑), 1.7 (보라)인 멱함수

'''지수가 자연수인 경우'''

각 자연수 n에 대해 정의된 함수 상의 함수

:

f_n(x):= x^n= \underbrace{x \times \cdots \times x}_n

는 다음과 같은 특징을 갖는다.

:* n이 짝수이면 우함수이며, 그래프는 y축에 대해 선대칭이다.

:* n이 홀수이면 기함수이며, 그래프는 원점에 대해 점대칭이다.

작은 n에 대한 멱함수는 다음과 같다.

:* n = 1일 때, 항등 변환 f₁(x) = x는 가장 단순한 일차 함수이자 선형 변환이다.

:* n = 2일 때, 제곱 함수 f₂(x) = x²는 가장 단순한 이차 함수이며, 그래프가 포물선이 되는 유일한 멱함수이다.

:* n = 3일 때, f₃(x) = x³는 가장 단순한 삼차 함수이다.

:* n = 0일 때, 상수 함수 f₀(x) = 1 이다.

이 함수들은 모두 x = 1에서 함숫값이 1이다. m < n일 때,

$x^n < x^m \quad(0< x < 1),$
$x^n > x^m \quad(1 < x)$

가 성립한다.

n = 0인 경우를 제외하면, 양의 실수 축 위에서 강한 단조 증가하며, x = 0일 때 0에서 x → +∞일 때 +∞로 증가한다. n이 0이 아닌 짝수일 때는 음의 실수 축에서 강한 단조 감소하며, n이 홀수일 때는 강한 단조 증가한다(n ≠ 1이면 원점에 변곡점을 갖는다).

'''지수가 음의 정수인 경우'''

각 음의 정수 -n에 대해, 0이 아닌 실수의 집합 R^*에 대한 함수

:

f_{-n}(x):= x^{-n}=\frac 1{x^n}=\frac1{f_n(x)}

는 n이 짝수일 때 짝함수, 홀수일 때 홀함수이다.

작은 n에 대해 구체적으로 쓰면:

-n = -1일 때, 역함수 f_-1(x) = 1/x는 그래프가 쌍곡선이 되는 유일한 멱함수이다.

이 함수들은 모두 f_-n(1) = 1을 만족한다. 또한 m < n일 때

$x^{-n} > x^{-m}\quad (0 < x < 1),$
$x^{-n} < x^{-m}\quad (1 < x)$

이 성립한다.

이 멱함수들은 모두 양의 실수 축 위에서 엄밀 단조로 x → +0의 극한인 +∞에서 x → +∞의 극한인 0까지 감소한다. 그래프는 모두 x = 0과 y = 0의 두 직선을 점근선으로 갖는다. 음의 실수 축 위에서는, 짝수 멱이면 단조 증가, 홀수 멱이면 단조 감소한다.

'''지수가 유리수인 경우'''

0이 아닌 자연수 n에 대해, n이 짝수일 때는 f_n: [0, +∞) → [0, +∞), 홀수일 때는 f_n: ℝ → ℝ로 보면, 함수 f_n은 전단사 함수이다. 따라서 역함수가 존재하며, f_n의 역함수는 n-제곱근 함수라고 하며, 멱함수로서

:

f_n^{-1}(x):=\sqrt[n]{x} = x^{1/n} =: f_{1/n}(x)

로 쓸 수 있다. x → +∞의 극한에서 값은 +∞가 되지만, 그래프는 가로축에 평행하게 접근한다. 직교 좌표계에 그래프를 그리면 f_1/n은 직선 y = x에 관해 f_n과 대칭이다.

'''지수가 실수인 경우'''

지수 함수와 로그 함수를 사용하여 멱함수를 임의의 실수를 멱지수로 하는 것으로 일반화할 수 있다. x가 양의 값을 취하는 경우, 함수 f_a는

:

f_a(x)=x^a := e^{a\ln(x)}

로 정의된다. a의 값에 따라 정의역을 확장할 수 있다. 멱함수의 증감 방식은 a의 부호에 따라 결정되며, 볼록성은 a(a - 1)의 부호에 따라 결정된다.

3. 3. 미적분

멱의 법칙에 따라 멱함수의 도함수는

(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}

와 같이 나타낼 수 있으며, 멱함수는 구간

(0, +∞)

에서 항상 미분 가능하다.^[1]

멱함수

x^\alpha

의 부정적분은 다음과 같다.

:

\int x^\alpha dx=\begin{cases}\textstyle\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C&\alpha\ne-1\\\ln x+C&\alpha=-1\end{cases}

멱지수가 -1이 아닐 때는

\frac{x^{a+1}}{a+1}

를, -1일 때는 자연 로그를 원시함수로 갖는다.

3. 3. 1. 도함수

멱함수

x^\alpha

의 도함수는 다음과 같다. 이를 멱의 법칙이라고 한다.^[1]

:

(x^\alpha)'=\alpha x^{\alpha-1}

멱함수는 구간

(0, +∞)

에서 항상 미분 가능하다.^[1]

3. 3. 2. 부정적분

power function|멱함수^영어

x^\alpha

의 부정적분은 다음과 같다.

:

\int x^\alpha dx=\begin{cases}\textstyle\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C&\alpha\ne-1\\\ln x+C&\alpha=-1\end{cases}

멱지수가 -1이 아닐 때, 원시함수는

\frac{x^{a+1}}{a+1}

로 주어진다. 멱지수가 -1일 때는 자연 로그가 원시함수로 나타난다.

3. 4. 테일러 급수

멱함수

(1+x)^\alpha

의 테일러 급수 전개는 다음과 같다.

:

(1+x)^\alpha=\sum_{n=0}^\infty\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-n+1)}{n!}x^n

멱함수

f_a

는

x_0

의 근방에서 멱급수로 전개할 수 있다.

:

(x_0+x)^a =\sum_{n=0}^{+{\infty}}{{a \choose n}\, x_0^{a-n}x^n}

여기서

{a \choose n} := \frac{a(a-1)(a-2)\cdots (a-n+1)}{n!}

및

{a \choose 0} := 1

는 일반 이항 계수이다.

a

가 자연수이면 위의 합은 유한 항에서 멈추고 이항 정리가 되며, 이 경우 수렴 반경은 무한대이다. 그렇지 않으면 합은 무한 항을 포함하며, 수렴 반경은

x_0

이다.

4. 자연수 멱

각 자연수 n에 대해, 실수 전체 집합(ℝ)에서 정의되는 함수

: $f_n(x):= x^n= \underbrace{x \times \cdots \times x}_n$

를 생각할 수 있다.

이 함수는 n의 값에 따라 다음과 같은 성질을 갖는다.

n이 짝수일 때: 우함수이며, 모든 실수 x에 대해 $f_n(-x) = f_n(x)$ 가 성립한다. 그래프는 y축에 대해 선대칭이다.
n이 홀수일 때: 기함수이며, 모든 실수 x에 대해 $f_n(-x) = -f_n(x)$ 가 성립한다. 그래프는 원점에 대해 점대칭이다.

몇몇 자연수 n에 대한 멱함수는 다음과 같다.

n = 1일 때: 항등 변환 $f_1(x) = x$ . 이는 가장 단순한 일차 함수이며, 선형 변환이기도 하다.
n = 2일 때: 제곱 함수 $f_2(x) = x^2$ . 이는 가장 단순한 이차 함수이며, 그래프가 포물선이 되는 유일한 멱함수이다.
n = 3일 때: $f_3(x) = x^3$ 는 가장 단순한 삼차 함수이다.
n = 0일 때: 상수 함수 $f_0(x) = 1$ 로 정의된다.

이 함수들은 모두 x = 1에서 함숫값이 1이다. 또한, m < n일 때 다음이 성립한다.

$x^n < x^m \quad(0< x < 1)$
$x^n > x^m \quad(1 < x)$

상수 함수가 되는 n = 0인 경우를 제외하면, 자연수 멱함수는 양의 실수 축 위에서 강한 단조 증가하며, x = 0일 때의 값 0에서 x → +∞일 때의 극한 +∞까지 증가한다. 음의 실수 축에서는 n이 0이 아닌 짝수일 때는 강한 단조 감소하며, n이 홀수일 때는 강한 단조 증가한다(특히 n ≠ 1이면 원점에 변곡점을 갖는다).

자연수 멱함수는 다항 함수를 구성하는 데 사용될 수 있다. 또한, 자연수 멱함수의 전체는 다른 함수를 멱급수로 전개할 때의 기저를 제공한다.

5. 정수 멱

음의 정수 $-n$ 에 대해, 0이 아닌 실수 집합 $\mathbb{R} \setminus \{0\} = \{x \in \mathbb{R} | x \ne 0\}$ 에서 정의된 함수는 다음과 같다.

: $f_{-n}(x):= x^{-n}=\frac 1{x^n}=\frac1{f_n(x)}$

앞 절의 $f_n$ 과 마찬가지로, 함수 $f_{-n}$ 는 $n$ 이 짝수일 때 짝함수, 홀수일 때 홀함수이다.

$-n = -1$ 일 때, 역함수 $f_{-1}(x) = \frac{1}{x}$ 를 얻는다. 이 함수의 그래프는 쌍곡선이며, 이는 멱함수 중 유일하다.

이 함수들은 모두 $f_{-n}(1) = 1$ 을 만족한다. 또한 $m < n$ 일 때 다음이 성립한다.

$x^{-n} > x^{-m}\quad (0 < x < 1)$
$x^{-n} < x^{-m}\quad (1 < x)$

음의 정수 멱을 갖는 멱함수는 모두 양의 실수 축 위에서 엄밀 단조 감소한다. 즉,

x \to +0

일 때 극한은

+\infty

이고,

x \to +\infty

일 때 극한은

0

이다. 이 그래프들은 모두

x = 0

과

y = 0

인 두 직선을 점근선으로 갖는다. 음의 실수 축 위에서는 짝수 멱은 단조 증가, 홀수 멱은 단조 감소한다.

6. 유리수 멱

임의의 0이 아닌 자연수 n에 대해,

n이 짝수일 때는 f_n: [0, +∞) → [0, +∞)로 보고,
n이 홀수일 때는 f_n: ℝ → ℝ로 보고,

함수 f_n은 전단사 함수이다. 따라서 그 역함수가 존재하며, f_n의 역함수는 n-제곱근 함수라고 하고, 이 또한 멱함수로서

:

f_n^{-1}(x):=\sqrt[n]{x} = x^{1/n} =: f_{1/n}(x)

의 형태로 쓸 수 있다. x → +∞의 극한에서 값은 +∞가 되지만, 그래프는 가로축에 평행하게 접근한다. 직교 좌표계에 그래프를 그리면 f_1/n은 직선 y = x에 관해, f_n과 (필요하다면 양의 실축 상의 함수로 제한하여) 대칭이다.

7. 실수 멱

지수 함수와 로그 함수를 사용하여 멱함수를 지수가 임의의 실수인 경우로 일반화할 수 있다. 이때, x는 양의 실수 값을 취한다고 가정하면, 함수 f_a는 다음과 같이 정의된다.

: $f_a(x)=x^a := e^{a\ln(x)}$

a의 값에 따라, 이미 알려진 바와 같이 x = 0이나 ℝ*, ℝ 전체 등으로 정의역을 확장할 수 있다. 또는, a의 값에 따라 x = 0에서 미분 가능한지 여부가 달라진다. 또한, 멱함수의 증가와 감소는 a의 부호에 따라 결정된다. 함수의 볼록성은 2계 도함수의 부호와 관련이 있으며, 이 경우 멱함수의 볼록성은 a(a - 1)의 부호에 따라 결정된다.

멱함수는 구간 (0, +∞)에서 항상 미분 가능하며, 그 도함수는 다음과 같다.

: $f_a'(x)=ax^{a-1}$

따라서, 멱지수가 -1이 아닌 경우, 같은 구간에서 항상 원시함수가 존재하며, 그 중 하나는 다음과 같다.

: $F_a(x):=\frac{x^{a+1}}{a+1}$

a = -1인 경우에는, 자연 로그가 원시함수로 나타난다.

8. 복소수 멱

복소 변수를 고려하는 경우, 임의의 자연수 n에 대해 가우스 평면 '''C'''상의 함수 z ↦ zⁿ이 정의될 수 있다. 자연수 거듭제곱 함수의 전체는 '''C'''상의 다항 함수의 구성이나 정칙 함수의 멱급수 전개에 이용된다. 또한 음의 정수 -n에 대해서도, 0이 아닌 복소수의 집합 '''C'''* = '''C''' \ {0} = {z ∈ '''C''' | z ≠ 0}상의 함수 z ↦ z^-n이 정해진다.

하지만 a가 실수 또는 복소수일 때, '''C'''*상에서 유일한 멱함수 z^a를 정의하는 것은 불가능하다. 실제로 그러한 것을 정의하려면, 정의역을 '''C'''*의 열린 집합이며, 그 위에서 복소 로그 함수 L이 정해지는 것으로 제한할 필요가 있다. 그리고 그러한 열린 집합 위에서, 멱함수는

: $f_a(z)=z^a :=\exp(aL(z))$

으로 정의되는 정칙 함수가 된다.

9. 비교

a|a^영어 > 0에 대한 멱 함수는 로그 함수, 밑이 1보다 큰 지수 함수와 함께 x|x^영어 → +∞의 극한에서 +∞로 발산한다.

하위 섹션 '증가도 비교'에서는 이러한 함수들의 증가도를 비교하고, '무한소와 횔더 연속'에서는 멱함수의 극한과 횔더 연속성에 대해 설명한다.

9. 1. 증가도 비교

로그 함수, 밑이 1보다 큰 지수 함수 및 a|a^영어 > 0에 대한 멱 함수는 모두 x|x^영어 → +∞의 극한에서 +∞로 발산한다. 따라서, 이들에 대해 각각의 "강도"를 정의하여 증가도를 비교할 수 있다. 즉, +∞에서 지수 함수는 임의의 멱 함수보다 "강하게", 마찬가지로 임의의 멱 함수는 로그 함수보다 "강하게" 증가한다:

:

\lim_{x\to +\infty} \frac{b^x}{x^a} = +\infty,\quad\lim_{x\to +\infty} \frac{\log_b(x)}{x^a}=0.

9. 2. 무한소와 횔더 연속

양수 a|a^영어에 대해

lim_{x \to 0} f_a(x) = 0

이다. 다른 함수와 이 극한의 수렴 정도를 비교해 보자. 함수

f

가 차수

n

의 무한소란,

\frac{f(x)}{x^n}

이

x=0

을 포함하는 충분히 작은 열린 구간 위에서 유계인 것을 말한다.^[1]

함수

f

가 구간

I

위에서

a

-횔더 연속이란, 실수

M

이 존재하여

:

|f(x) - f(y)|\le M|x - y|^a\quad (\forall x,y\in I)

로 할 수 있을 때를 말한다. 일반적으로

a

는

0 < a \le 1

로 생각한다(

a > 1

이면

f

는

I

위에서 상수가 되어 버린다).

멱지수

a

(

0 < a \le 1

)의 멱함수는 가장 간단한

a

-횔더 연속 함수가 된다. 실제로 실수

x \ge y \ge 0

에 대해

:

0\le x^a-y^a \le(x-y)^a

가 성립한다.

참조

_[1] 서적 Cours de mathématiques, T2 Bordas
_[2] 서적 Mathématiques supérieures, pour ingénieurs et polytechniciens De Boeck

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