몰리 삼등분 정리

1. 개요

몰리 삼등분 정리는 삼각형의 각을 삼등분하는 선과 관련된 기하학적 정리이다. 삼각형의 각을 삼등분하는 선의 교점을 연결하면 정삼각형, 즉 몰리 삼각형이 생성된다는 내용을 담고 있다. 이 정리는 삼각법과 대수학 등 다양한 방법으로 증명될 수 있으며, 여러 개의 정삼각형을 포함하는 몰리 삼각형을 정의한다. 이 정리는 1900년 프랭크 몰리에 의해 처음 제시되었다.

2. 정의

삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 각 $\backslash angle\; B$와 $\backslash angle\; C$의 변 $BC$와 더 가까운 삼등분선의 교점이 $X$라고 하자. 마찬가지로 각 $\backslash angle\; A$와 $\backslash angle\; C$의 변 $AC$와 더 가까운 삼등분선의 교점이 $Y$라고 하고, 각 $\backslash angle\; A$와 $\backslash angle\; B$의 변 $AB$와 가까운 삼등분선의 교점이 $Z$라고 하자. 몰리 삼등분 정리에 따르면, 삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$는 정삼각형이다. 삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$를 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 몰리 삼각형(몰리 삼각형/Morley triangle^영어)이라고 한다. 즉, 몰리 삼등분 정리는 임의의 삼각형의 몰리 삼각형은 정삼각형이라는 내용이다.

3. 증명

몰리 삼등분 정리에는 여러 가지 증명이 있으며, 그중 일부는 매우 전문적이다. 초기의 몇몇 증명은 섬세한 삼각법적 계산에 기반했다. 최근의 증명으로는 알랭 콩이 특성상 3이 아닌 일반적인 체로 정리를 확장한 대수학적 증명과 존 콘웨이의 초등 기하학적 증명이 있다. 후자의 증명은 정삼각형에서 시작하여 선택된 삼각형과 닮음을 이루는 삼각형을 그 주위에 만들 수 있음을 보여준다. 몰리 정리는 구면 및 쌍곡 기하학에서는 성립하지 않는다.

== 초등적 증명 ==
정삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$를 고정하고, 임의의 삼각형 $\backslash triangle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$에 대해 두 가지 조건을 만족하는 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$를 찾는다.
* 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$와 $\backslash triangle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$은 서로 닮음이다.
* 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 몰리 삼각형은 삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$이다.

우선, $\backslash angle\; A\text{'}=3\backslash alpha,\backslash ;\backslash angle\; B\text{'}=3\backslash beta,\backslash ;\backslash angle\; C\text{'}=3\backslash gamma$라고 하면, $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=60^\backslash circ$이다. 삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$ 외부에 점 $A,B,C$를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash angle\; BZX=\backslash angle\; CYX=60^\backslash circ+\backslash alpha$
:$\backslash angle\; CXY=\backslash angle\; AZY=60^\backslash circ+\backslash beta$
:$\backslash angle\; AYZ=\backslash angle\; BXZ=60^\backslash circ+\backslash gamma$

그러면 $\backslash angle\; YAZ=\backslash alpha,\backslash ;\backslash angle\; XBZ=\backslash beta,\backslash ;\backslash angle\; XCY=\backslash gamma$이다.

직선 $BZ$와 $CY$의 교점을 $U$, 직선 $AZ$와 $CX$의 교점을 $V$, 직선 $AY$와 $BX$의 교점을 $W$라고 하면, $\backslash angle\; UYZ=\backslash angle\; UZY=60^\backslash circ-\backslash alpha$이므로 $UY=UZ$이며, 삼각형 $\backslash triangle\; UYX$와 $\backslash triangle\; UZX$는 서로 합동이다. 특히, 반직선 $UX$는 각 $\backslash angle\; U$의 이등분선이다. 또한, $\backslash angle\; BUC=180^\backslash circ-\backslash angle\; UYZ-\backslash angle\; UZY=60^\backslash circ+2\backslash alpha$이고 $\backslash angle\; BXC=180^\backslash circ-\backslash angle\; CXW=120^\backslash circ+\backslash alpha$이므로, $\backslash angle\; BXC=90^\backslash circ+\backslash frac\; 12\backslash angle\; BUC$이다. 즉, $X$는 삼각형 $\backslash triangle\; BCU$의 내심이며, 반직선 $BX$와 $CX$는 각 $\backslash angle\; CBU$와 $\backslash angle\; BCU$의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 $AY$와 $CY$는 삼각형 $\backslash triangle\; ACV$의 두 각의 이등분선이며, 반직선 $AZ$와 $BZ$는 삼각형 $\backslash triangle\; ABW$의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$는 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 몰리 삼각형이다.

또한, $\backslash angle\; BAC=3\backslash alpha=\backslash angle\; A\text{'}$, $\backslash angle\; ABC=3\backslash beta=\backslash angle\; B\text{'}$, $\backslash angle\; ACB=3\backslash gamma=\backslash angle\; C\text{'}$이므로, 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$와 $\backslash triangle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 $\backslash triangle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

== 삼각법을 통한 증명 ==
몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다. 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 외접원의 반지름이 $R$라고 하고, $\backslash angle\; BAC=3\backslash alpha,\backslash ;\backslash angle\; ABC=3\backslash beta,\backslash ;\backslash angle\; ACB=3\backslash gamma$라고 하면, $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=60^\backslash circ$이다.

삼각형 $\backslash triangle\; BCX$에 사인 법칙을 적용하면

:$\backslash begin\{align\}CX$
&=\frac{BC\cdot\sin\beta}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}\\
&=\frac{2R\sin 3\alpha\sin\beta}{\sin(60^\circ-\alpha)}\\
&=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\alpha)
\end{align}

를 얻는다. 마지막 등호는 다음 항등식에 의해 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}\backslash sin\; 3\backslash alpha$
&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\
&=4\sin\alpha\left(\left(\frac{\sqrt 3}2\right)^2-\sin^2\alpha\right)\\
&=4\sin\alpha(\sin 60^\circ+\sin\alpha)(\sin 60^\circ-\sin\alpha)\\
&=4\sin\alpha
\cdot 2\sin\frac{60^\circ+\alpha}2\cos\frac{60^\circ-\alpha}2
\cdot 2\sin\frac{60^\circ-\alpha}2\cos\frac{60^\circ+\alpha}2\\
&=4\sin\alpha\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ-\alpha)
\end{align}

마찬가지로, $CY=8R\backslash sin\backslash alpha\backslash sin\backslash beta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash beta)$가 성립한다.

삼각형 $\backslash triangle\; CXY$에 코사인 법칙을 적용하면

:$\backslash begin\{align\}XY^2$
&=CX^2+CY^2-2CX\cdot CY\cdot\cos\gamma\\
&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta(
\sin^2(60^\circ+\alpha)+\sin^2(60^\circ+\beta)-2\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ+\beta)\cos\gamma)\\
&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma
\end{align}

를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 $60^\backslash circ+\backslash alpha$와 $60^\backslash circ+\backslash beta$ 및 $\backslash gamma$인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉, $XY=8R\backslash sin\backslash alpha\backslash sin\backslash beta\backslash sin\backslash gamma$이다. 이는 $\backslash alpha,\backslash beta,\backslash gamma$에 대하여 대칭적이므로, $XY=XZ=YZ$가 성립한다.

삼각 함수를 이용한 증명에서, 외접원의 반지름을 1로 하면 세 변의 길이는 $\backslash text\{AB\}\; =\; 2\; \backslash sin\; 3c^\{\backslash circ\}$, $\backslash text\{BC\}\; =\; 2\; \backslash sin\; 3a^\{\backslash circ\}$, $\backslash text\{CA\}\; =\; 2\; \backslash sin\; 3b^\{\backslash circ\}$가 된다. $\backslash triangle\; BPC$에 사인 법칙을 적용하고, $\backslash sin\; 3a^\{\backslash circ\}$를 변형하여 대입하면 $\backslash text\{BP\}\; =\; 8\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; (60^\{\backslash circ\}+a^\{\backslash circ\})$를 얻을 수 있다. 마찬가지로 $\backslash text\{BR\}\; =\; 8\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; (60^\{\backslash circ\}+c^\{\backslash circ\})$이다. $\backslash triangle\; BPR$에 코사인 법칙을 적용하면 $\backslash text\{PR\}\; =\; 8\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; b^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}$를 얻고, 같은 방식으로 $\backslash text\{PQ\}\; =\; 8\; \backslash sin\; b^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}$, $\backslash text\{QR\}\; =\; 8\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; b^\{\backslash circ\}$를 얻어, 세 변이 같음이 증명된다.

== 대수학적 증명 ==
한 가지 증명은 다음과 같은 삼각 함수 항등식을 사용한다.

:$\backslash sin(3\backslash theta)=4\backslash sin\backslash theta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash theta)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash theta)$

이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 다음과 같음을 보일 수 있다.

:$\backslash sin(3\backslash theta)=-4\backslash sin^3\backslash theta+3\backslash sin\backslash theta.$

점 $D,\; E,\; F$가 $\backslash overline\{BC\}$ 위에 구성되고, $3\backslash alpha+3\backslash beta+3\backslash gamma=180^\backslash circ$이므로 $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=60^\backslash circ$이다. 따라서 삼각형 $XEF$의 각은 $\backslash alpha,\; (60^\backslash circ+\backslash beta),$ 그리고 $(60^\backslash circ+\backslash gamma)$이다.

또한,

:$\backslash angle\{AYC\}=180^\backslash circ-\backslash alpha-\backslash gamma=120^\backslash circ+\backslash beta$

:$\backslash angle\{AZB\}=120^\backslash circ+\backslash gamma.$

삼각형 $AYC$와 $AZB$에 사인 법칙을 적용하고, 삼각형 $ABC$의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면, 각 $EXF$와 각 $ZAY$가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 $XEF$와 $AZY$는 닮음이다.

닮은 각 $AYZ$와 $XFE$는 $(60^\backslash circ+\backslash gamma)$와 같고, 닮은 각 $AZY$와 $XEF$는 $(60^\backslash circ+\backslash beta)$와 같다. 유사한 논리로 삼각형 $BXZ$와 $CYX$의 밑각을 얻는다.

특히 각 $BZX$는 $(60^\backslash circ+\backslash alpha)$이며,

:$\backslash angle\{AZY\}+\backslash angle\{AZB\}+\backslash angle\{BZX\}+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ.$

:$(60^\backslash circ+\backslash beta)+(120^\backslash circ+\backslash gamma)+(60^\backslash circ+\backslash alpha)+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ$

:$\backslash angle\{XZY\}=60^\backslash circ.$

마찬가지로 삼각형 $XYZ$의 다른 각도 $60^\backslash circ$이다.

== 기타 증명 ==

한 가지 증명은 다음과 같은 삼각 함수 항등식을 사용한다.

:$\backslash sin(3\backslash theta)=4\backslash sin\backslash theta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash theta)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash theta)$

이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 다음과 같음을 보일 수 있다.

:$\backslash sin(3\backslash theta)=-4\backslash sin^3\backslash theta+3\backslash sin\backslash theta.$

마지막 방정식은 두 각의 합 항등식을 왼쪽에 두 번 적용하고 코사인을 제거하여 확인할 수 있다.

점 D, E, F가 그림과 같이 $\backslash overline\{BC\}$ 위에 구성된다. $3\backslash alpha+3\backslash beta+3\backslash gamma=180^\backslash circ$, 즉 어떤 삼각형의 각의 합을 가지므로 $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=60^\backslash circ$이다. 따라서 삼각형 XEF의 각은 $\backslash alpha,\; (60^\backslash circ+\backslash beta),$ 그리고 $(60^\backslash circ+\backslash gamma).$이다.

그림에서

:$\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash beta)=\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XE\}\}$

그리고

:$\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash gamma)=\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XF\}\}.$

또한 그림에서

:$\backslash angle\{AYC\}=180^\backslash circ-\backslash alpha-\backslash gamma=120^\backslash circ+\backslash beta$

그리고

:$\backslash angle\{AZB\}=120^\backslash circ+\backslash gamma.$

삼각형 AYC와 AZB에 사인 법칙을 적용하면

:$\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash beta)=\backslash frac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AY\}\}\backslash sin\backslash gamma$

:$\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash gamma)=\backslash frac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AZ\}\}\backslash sin\backslash beta.$

삼각형 ABC의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면

::$h=\backslash overline\{AB\}\; \backslash sin(3\backslash beta)=\backslash overline\{AB\}\backslash cdot\; 4\backslash sin\backslash beta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash beta)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash beta)$

그리고

::$h=\backslash overline\{AC\}\; \backslash sin(3\backslash gamma)=\backslash overline\{AC\}\backslash cdot\; 4\backslash sin\backslash gamma\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash gamma)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash gamma).$

여기서 첫 번째 식은 이 두 방정식에서 $\backslash sin(3\backslash beta)$와 $\backslash sin(3\backslash gamma)$를 대체하는 데 사용되었다. 두 번째 식과 다섯 번째 식을 $\backslash beta$ 방정식에 대입하고 세 번째 식과 여섯 번째 식을 $\backslash gamma$ 방정식에 대입하면

::$h=4\backslash overline\{AB\}\backslash sin\backslash beta\backslash cdot\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XE\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AY\}\}\backslash sin\backslash gamma$

그리고

::$h=4\backslash overline\{AC\}\backslash sin\backslash gamma\backslash cdot\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XF\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AZ\}\}\backslash sin\backslash beta$

분자가 같으므로

::$\backslash overline\{XE\}\backslash cdot\backslash overline\{AY\}=\backslash overline\{XF\}\backslash cdot\backslash overline\{AZ\}$

또는

::$\backslash frac\{\backslash overline\{XE\}\}\{\backslash overline\{XF\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{AZ\}\}\{\backslash overline\{AY\}\}.$

각 EXF와 각 ZAY가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 XEF와 AZY는 닮음이다.

닮은 각 AYZ와 XFE는 $(60^\backslash circ+\backslash gamma)$와 같고, 닮은 각 AZY와 XEF는 $(60^\backslash circ+\backslash beta)$와 같다. 유사한 논리로 삼각형 BXZ와 CYX의 밑각을 얻는다.

특히 각 BZX는 $(60^\backslash circ+\backslash alpha)$로 발견되며 그림에서

::$\backslash angle\{AZY\}+\backslash angle\{AZB\}+\backslash angle\{BZX\}+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ.$

대입하면

::$(60^\backslash circ+\backslash beta)+(120^\backslash circ+\backslash gamma)+(60^\backslash circ+\backslash alpha)+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ$

여기서 네 번째 식은 각 AZB에 사용되었으므로

::$\backslash angle\{XZY\}=60^\backslash circ.$

마찬가지로 삼각형 XYZ의 다른 각도 $60^\backslash circ$이다.

3.1. 초등적 증명

정삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$를 고정하고, 임의의 삼각형 $\backslash triangle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$에 대해 두 가지 조건을 만족하는 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$를 찾는다.
* 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$와 $\backslash triangle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$은 서로 닮음이다.
* 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 몰리 삼각형은 삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$이다.

우선, $\backslash angle\; A\text{'}=3\backslash alpha,\backslash ;\backslash angle\; B\text{'}=3\backslash beta,\backslash ;\backslash angle\; C\text{'}=3\backslash gamma$라고 하면, $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=60^\backslash circ$이다. 삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$ 외부에 점 $A,B,C$를 다음과 같이 정의한다.

:$\backslash angle\; BZX=\backslash angle\; CYX=60^\backslash circ+\backslash alpha$
:$\backslash angle\; CXY=\backslash angle\; AZY=60^\backslash circ+\backslash beta$
:$\backslash angle\; AYZ=\backslash angle\; BXZ=60^\backslash circ+\backslash gamma$

그러면 $\backslash angle\; YAZ=\backslash alpha,\backslash ;\backslash angle\; XBZ=\backslash beta,\backslash ;\backslash angle\; XCY=\backslash gamma$이다.

직선 $BZ$와 $CY$의 교점을 $U$, 직선 $AZ$와 $CX$의 교점을 $V$, 직선 $AY$와 $BX$의 교점을 $W$라고 하면, $\backslash angle\; UYZ=\backslash angle\; UZY=60^\backslash circ-\backslash alpha$이므로 $UY=UZ$이며, 삼각형 $\backslash triangle\; UYX$와 $\backslash triangle\; UZX$는 서로 합동이다. 특히, 반직선 $UX$는 각 $\backslash angle\; U$의 이등분선이다. 또한, $\backslash angle\; BUC=180^\backslash circ-\backslash angle\; UYZ-\backslash angle\; UZY=60^\backslash circ+2\backslash alpha$이고 $\backslash angle\; BXC=180^\backslash circ-\backslash angle\; CXW=120^\backslash circ+\backslash alpha$이므로, $\backslash angle\; BXC=90^\backslash circ+\backslash frac\; 12\backslash angle\; BUC$이다. 즉, $X$는 삼각형 $\backslash triangle\; BCU$의 내심이며, 반직선 $BX$와 $CX$는 각 $\backslash angle\; CBU$와 $\backslash angle\; BCU$의 이등분선이다. 마찬가지로, 반직선 $AY$와 $CY$는 삼각형 $\backslash triangle\; ACV$의 두 각의 이등분선이며, 반직선 $AZ$와 $BZ$는 삼각형 $\backslash triangle\; ABW$의 두 각의 이등분선이다. 즉, 이 6개의 반직선은 모두 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 세 각의 삼등분선이며, 삼각형 $\backslash triangle\; XYZ$는 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 몰리 삼각형이다.

또한, $\backslash angle\; BAC=3\backslash alpha=\backslash angle\; A\text{'}$, $\backslash angle\; ABC=3\backslash beta=\backslash angle\; B\text{'}$, $\backslash angle\; ACB=3\backslash gamma=\backslash angle\; C\text{'}$이므로, 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$와 $\backslash triangle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$은 서로 닮음이다. 닮음은 직선을 보존하고 두 직선 사이의 각의 크기를 보존하며, 특히 각의 삼등분선을 각의 삼등분선으로, 정삼각형을 정삼각형으로 변환한다. 이에 의하여 원래 삼각형 $\backslash triangle\; A\text{'}B\text{'}C\text{'}$의 몰리 삼각형 역시 정삼각형이다.

몰리 삼등분 정리에는 여러 가지 증명이 있으며, 그중 일부는 매우 전문적이다. 초기 증명은 삼각법적 계산에 기반했다. 알랭 콩은 체로 정리를 확장한 대수학적 증명을 제시했고, 존 콘웨이는 초등 기하학적 증명을 제시했다. 몰리 정리는 구면 및 쌍곡 기하학에서는 성립하지 않는다.

삼각 함수 항등식 $\backslash sin(3\backslash theta)=4\backslash sin\backslash theta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash theta)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash theta)$를 사용하여 증명할 수 있다. 이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 $\backslash sin(3\backslash theta)=-4\backslash sin^3\backslash theta+3\backslash sin\backslash theta$임을 보일 수 있다.

점 $D,\; E,\; F$가 $\backslash overline\{BC\}$ 위에 구성되고, $3\backslash alpha+3\backslash beta+3\backslash gamma=180^\backslash circ$이므로 $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=60^\backslash circ$이다. 따라서 삼각형 $XEF$의 각은 $\backslash alpha,\; (60^\backslash circ+\backslash beta),$ 그리고 $(60^\backslash circ+\backslash gamma)$이다.

$\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash beta)=\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XE\}\}$ 이고, $\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash gamma)=\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XF\}\}$이다. 또한 $\backslash angle\{AYC\}=180^\backslash circ-\backslash alpha-\backslash gamma=120^\backslash circ+\backslash beta$ 이고, $\backslash angle\{AZB\}=120^\backslash circ+\backslash gamma$이다.

삼각형 $AYC$와 $AZB$에 사인 법칙을 적용하면 $\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash beta)=\backslash frac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AY\}\}\backslash sin\backslash gamma$ 이고, $\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash gamma)=\backslash frac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AZ\}\}\backslash sin\backslash beta$이다.

삼각형 $ABC$의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면, $h=\backslash overline\{AB\}\; \backslash sin(3\backslash beta)=\backslash overline\{AB\}\backslash cdot\; 4\backslash sin\backslash beta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash beta)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash beta)$ 이고, $h=\backslash overline\{AC\}\; \backslash sin(3\backslash gamma)=\backslash overline\{AC\}\backslash cdot\; 4\backslash sin\backslash gamma\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash gamma)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash gamma)$이다.

위 식들을 정리하면 $\backslash frac\{\backslash overline\{XE\}\}\{\backslash overline\{XF\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{AZ\}\}\{\backslash overline\{AY\}\}$를 얻는다. 각 $EXF$와 각 $ZAY$가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 $XEF$와 $AZY$는 닮음이다.

닮은 각 $AYZ$와 $XFE$는 $(60^\backslash circ+\backslash gamma)$와 같고, 닮은 각 $AZY$와 $XEF$는 $(60^\backslash circ+\backslash beta)$와 같다. 유사한 논리로 삼각형 $BXZ$와 $CYX$의 밑각을 얻는다.

특히 각 $BZX$는 $(60^\backslash circ+\backslash alpha)$이며, $\backslash angle\{AZY\}+\backslash angle\{AZB\}+\backslash angle\{BZX\}+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ$이다.

대입하면 $(60^\backslash circ+\backslash beta)+(120^\backslash circ+\backslash gamma)+(60^\backslash circ+\backslash alpha)+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ$ 이므로, $\backslash angle\{XZY\}=60^\backslash circ$이다. 마찬가지로 삼각형 $XYZ$의 다른 각도 $60^\backslash circ$이다.

3.2. 삼각법을 통한 증명

몰리 삼각형의 세 변의 길이를 직접 구하여 증명할 수 있다. 삼각형 $\backslash triangle\; ABC$의 외접원의 반지름이 $R$라고 하고, $\backslash angle\; BAC=3\backslash alpha,\backslash ;\backslash angle\; ABC=3\backslash beta,\backslash ;\backslash angle\; ACB=3\backslash gamma$라고 하면, $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=60^\backslash circ$이다.

삼각형 $\backslash triangle\; BCX$에 사인 법칙을 적용하면

:$\backslash begin\{align\}CX$
&=\frac{BC\cdot\sin\beta}{\sin(180^\circ-\beta-\gamma)}\\
&=\frac{2R\sin 3\alpha\sin\beta}{\sin(60^\circ-\alpha)}\\
&=8R\sin\alpha\sin\beta\sin(60^\circ+\alpha)
\end{align}

를 얻는다. 마지막 등호는 다음 항등식에 의해 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}\backslash sin\; 3\backslash alpha$
&=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\\
&=4\sin\alpha\left(\left(\frac{\sqrt 3}2\right)^2-\sin^2\alpha\right)\\
&=4\sin\alpha(\sin 60^\circ+\sin\alpha)(\sin 60^\circ-\sin\alpha)\\
&=4\sin\alpha
\cdot 2\sin\frac{60^\circ+\alpha}2\cos\frac{60^\circ-\alpha}2
\cdot 2\sin\frac{60^\circ-\alpha}2\cos\frac{60^\circ+\alpha}2\\
&=4\sin\alpha\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ-\alpha)
\end{align}

마찬가지로, $CY=8R\backslash sin\backslash alpha\backslash sin\backslash beta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash beta)$가 성립한다.

삼각형 $\backslash triangle\; CXY$에 코사인 법칙을 적용하면

:$\backslash begin\{align\}XY^2$
&=CX^2+CY^2-2CX\cdot CY\cdot\cos\gamma\\
&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta(
\sin^2(60^\circ+\alpha)+\sin^2(60^\circ+\beta)-2\sin(60^\circ+\alpha)\sin(60^\circ+\beta)\cos\gamma)\\
&=64R^2\sin^2\alpha\sin^2\beta\sin^2\gamma
\end{align}

를 얻는다. 마지막 등호는 세 각의 크기가 $60^\backslash circ+\backslash alpha$와 $60^\backslash circ+\backslash beta$ 및 $\backslash gamma$인 삼각형에 코사인 법칙을 적용한 결과이다. 즉, $XY=8R\backslash sin\backslash alpha\backslash sin\backslash beta\backslash sin\backslash gamma$이다. 이는 $\backslash alpha,\backslash beta,\backslash gamma$에 대하여 대칭적이므로, $XY=XZ=YZ$가 성립한다.

삼각 함수를 이용한 증명에서, 외접원의 반지름을 1로 하면 세 변의 길이는 $\backslash text\{AB\}\; =\; 2\; \backslash sin\; 3c^\{\backslash circ\}$, $\backslash text\{BC\}\; =\; 2\; \backslash sin\; 3a^\{\backslash circ\}$, $\backslash text\{CA\}\; =\; 2\; \backslash sin\; 3b^\{\backslash circ\}$가 된다. $\backslash triangle\; BPC$에 사인 법칙을 적용하고, $\backslash sin\; 3a^\{\backslash circ\}$를 변형하여 대입하면 $\backslash text\{BP\}\; =\; 8\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; (60^\{\backslash circ\}+a^\{\backslash circ\})$를 얻을 수 있다. 마찬가지로 $\backslash text\{BR\}\; =\; 8\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; (60^\{\backslash circ\}+c^\{\backslash circ\})$이다. $\backslash triangle\; BPR$에 코사인 법칙을 적용하면 $\backslash text\{PR\}\; =\; 8\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; b^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}$를 얻고, 같은 방식으로 $\backslash text\{PQ\}\; =\; 8\; \backslash sin\; b^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}$, $\backslash text\{QR\}\; =\; 8\; \backslash sin\; a^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; c^\{\backslash circ\}\; \backslash sin\; b^\{\backslash circ\}$를 얻어, 세 변이 같음이 증명된다.

3.3. 대수학적 증명

몰리 삼등분 정리에는 여러 증명이 있으며, 그중 일부는 매우 전문적이다. 초기의 몇몇 증명은 섬세한 삼각법적 계산에 기반했다. 최근에는 알랭 콩이 특성상 3이 아닌 일반적인 체로 정리를 확장한 대수학적 증명과 존 콘웨이의 초등 기하학적 증명이 있다.

한 가지 증명은 다음과 같은 삼각 함수 항등식을 사용한다.

:$\backslash sin(3\backslash theta)=4\backslash sin\backslash theta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash theta)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash theta)$

이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 다음과 같음을 보일 수 있다.

:$\backslash sin(3\backslash theta)=-4\backslash sin^3\backslash theta+3\backslash sin\backslash theta.$

점 $D,\; E,\; F$가 $\backslash overline\{BC\}$ 위에 구성되고, $3\backslash alpha+3\backslash beta+3\backslash gamma=180^\backslash circ$이므로 $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=60^\backslash circ$이다. 따라서 삼각형 $XEF$의 각은 $\backslash alpha,\; (60^\backslash circ+\backslash beta),$ 그리고 $(60^\backslash circ+\backslash gamma)$이다.

또한,

:$\backslash angle\{AYC\}=180^\backslash circ-\backslash alpha-\backslash gamma=120^\backslash circ+\backslash beta$

:$\backslash angle\{AZB\}=120^\backslash circ+\backslash gamma.$

삼각형 $AYC$와 $AZB$에 사인 법칙을 적용하고, 삼각형 $ABC$의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면, 각 $EXF$와 각 $ZAY$가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 $XEF$와 $AZY$는 닮음이다.

닮은 각 $AYZ$와 $XFE$는 $(60^\backslash circ+\backslash gamma)$와 같고, 닮은 각 $AZY$와 $XEF$는 $(60^\backslash circ+\backslash beta)$와 같다. 유사한 논리로 삼각형 $BXZ$와 $CYX$의 밑각을 얻는다.

특히 각 $BZX$는 $(60^\backslash circ+\backslash alpha)$이며,

:$\backslash angle\{AZY\}+\backslash angle\{AZB\}+\backslash angle\{BZX\}+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ.$

:$(60^\backslash circ+\backslash beta)+(120^\backslash circ+\backslash gamma)+(60^\backslash circ+\backslash alpha)+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ$

:$\backslash angle\{XZY\}=60^\backslash circ.$

마찬가지로 삼각형 $XYZ$의 다른 각도 $60^\backslash circ$이다.

3.4. 기타 증명

몰리 삼등분 정리에는 여러 가지 증명이 있으며, 그중 일부는 매우 전문적이다. 초기의 몇몇 증명은 섬세한 삼각법적 계산에 기반했다. 최근의 증명으로는 알랭 콩이 특성상 3이 아닌 일반적인 체로 정리를 확장한 대수학적 증명과 존 콘웨이의 초등 기하학적 증명이 있다. 후자의 증명은 정삼각형에서 시작하여 선택된 삼각형과 닮음을 이루는 삼각형을 그 주위에 만들 수 있음을 보여준다. 몰리 정리는 구면 및 쌍곡 기하학에서는 성립하지 않는다.

한 가지 증명은 다음과 같은 삼각 함수 항등식을 사용한다.

:$\backslash sin(3\backslash theta)=4\backslash sin\backslash theta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash theta)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash theta)$

이는 두 각의 합의 항등식을 사용하면 다음과 같음을 보일 수 있다.

:$\backslash sin(3\backslash theta)=-4\backslash sin^3\backslash theta+3\backslash sin\backslash theta.$

마지막 방정식은 두 각의 합 항등식을 왼쪽에 두 번 적용하고 코사인을 제거하여 확인할 수 있다.

점 D, E, F가 그림과 같이 $\backslash overline\{BC\}$ 위에 구성된다. $3\backslash alpha+3\backslash beta+3\backslash gamma=180^\backslash circ$, 즉 어떤 삼각형의 각의 합을 가지므로 $\backslash alpha+\backslash beta+\backslash gamma=60^\backslash circ$이다. 따라서 삼각형 XEF의 각은 $\backslash alpha,\; (60^\backslash circ+\backslash beta),$ 그리고 $(60^\backslash circ+\backslash gamma).$이다.

그림에서

:$\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash beta)=\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XE\}\}$

그리고

:$\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash gamma)=\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XF\}\}.$

또한 그림에서

:$\backslash angle\{AYC\}=180^\backslash circ-\backslash alpha-\backslash gamma=120^\backslash circ+\backslash beta$

그리고

:$\backslash angle\{AZB\}=120^\backslash circ+\backslash gamma.$

삼각형 AYC와 AZB에 사인 법칙을 적용하면

:$\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash beta)=\backslash frac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AY\}\}\backslash sin\backslash gamma$

:$\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash gamma)=\backslash frac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AZ\}\}\backslash sin\backslash beta.$

삼각형 ABC의 높이를 두 가지 방법으로 표현하면

::$h=\backslash overline\{AB\}\; \backslash sin(3\backslash beta)=\backslash overline\{AB\}\backslash cdot\; 4\backslash sin\backslash beta\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash beta)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash beta)$

그리고

::$h=\backslash overline\{AC\}\; \backslash sin(3\backslash gamma)=\backslash overline\{AC\}\backslash cdot\; 4\backslash sin\backslash gamma\backslash sin(60^\backslash circ+\backslash gamma)\backslash sin(120^\backslash circ+\backslash gamma).$

여기서 첫 번째 식은 이 두 방정식에서 $\backslash sin(3\backslash beta)$와 $\backslash sin(3\backslash gamma)$를 대체하는 데 사용되었다. 두 번째 식과 다섯 번째 식을 $\backslash beta$ 방정식에 대입하고 세 번째 식과 여섯 번째 식을 $\backslash gamma$ 방정식에 대입하면

::$h=4\backslash overline\{AB\}\backslash sin\backslash beta\backslash cdot\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XE\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash overline\{AC\}\}\{\backslash overline\{AY\}\}\backslash sin\backslash gamma$

그리고

::$h=4\backslash overline\{AC\}\backslash sin\backslash gamma\backslash cdot\backslash frac\{\backslash overline\{DX\}\}\{\backslash overline\{XF\}\}\backslash cdot\backslash frac\{\backslash overline\{AB\}\}\{\backslash overline\{AZ\}\}\backslash sin\backslash beta$

분자가 같으므로

::$\backslash overline\{XE\}\backslash cdot\backslash overline\{AY\}=\backslash overline\{XF\}\backslash cdot\backslash overline\{AZ\}$

또는

::$\backslash frac\{\backslash overline\{XE\}\}\{\backslash overline\{XF\}\}=\backslash frac\{\backslash overline\{AZ\}\}\{\backslash overline\{AY\}\}.$

각 EXF와 각 ZAY가 같고 이 각을 이루는 변이 동일한 비율을 가지므로 삼각형 XEF와 AZY는 닮음이다.

닮은 각 AYZ와 XFE는 $(60^\backslash circ+\backslash gamma)$와 같고, 닮은 각 AZY와 XEF는 $(60^\backslash circ+\backslash beta).$와 같다. 유사한 논리로 삼각형 BXZ와 CYX의 밑각을 얻는다.

특히 각 BZX는 $(60^\backslash circ+\backslash alpha)$로 발견되며 그림에서

::$\backslash angle\{AZY\}+\backslash angle\{AZB\}+\backslash angle\{BZX\}+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ.$

대입하면

::$(60^\backslash circ+\backslash beta)+(120^\backslash circ+\backslash gamma)+(60^\backslash circ+\backslash alpha)+\backslash angle\{XZY\}=360^\backslash circ$

여기서 네 번째 식은 각 AZB에 사용되었으므로

::$\backslash angle\{XZY\}=60^\backslash circ.$

마찬가지로 삼각형 XYZ의 다른 각도 $60^\backslash circ.$이다.

4. 몰리 삼각형

몰리의 정리는 18개의 정삼각형을 수반한다. 위 삼등분 정리에서 설명된 삼각형은 첫 번째 몰리 삼각형이라고 불리며, 삼각형 ABC를 기준으로 다음과 같은 삼선좌표로 꼭짓점이 주어진다.

:A \text{-꼭짓점} = 1 : 2 \cos\tfrac13 C : 2 \cos\tfrac13 B
:B \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13 C : 1 : 2 \cos\tfrac13 A
:C \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13 B : 2 \cos\tfrac13 A : 1

몰리의 또 다른 정삼각형 중 하나는 중심 삼각형이기도 하며 두 번째 몰리 삼각형이라고 불리며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.

:A \text{-꼭짓점} = 1 : 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) : 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi)
:B \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) : 1 : 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi)
:C \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) : 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) : 1

몰리의 18개 정삼각형 중 세 번째는 중심 삼각형이기도 하며, 세 번째 몰리 삼각형이라고 불리며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.

:A \text{-꼭짓점} = 1 : 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) : 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi)
:B \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) : 1 : 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi)
:C \text{-꼭짓점} = 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) : 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) : 1

첫 번째, 두 번째, 세 번째 몰리 삼각형은 쌍별로 호모테틱이다. 또 다른 호모테틱 삼각형은 삼각형 ABC의 외접원 위에 있는 세 점 X에 의해 형성되는데, 여기서 선 XX ^-1는 외접원에 접하며, 여기서 X ^-1는 X의 등각 공액을 나타낸다. 이 정삼각형은 외접 접선 삼각형이라고 불리며, 다음과 같은 꼭짓점을 갖는다.

:A \text{-꼭짓점} = \phantom{-}\csc\tfrac13(C - B) : \phantom{-}\csc\tfrac13(2C + B) : -\csc\tfrac13(C + 2B)
:B \text{-꼭짓점} = -\csc\tfrac13(A + 2C) : \phantom{-}\csc\tfrac13(A - C) : \phantom{-}\csc\tfrac13(2A + C)
:C \text{-꼭짓점} = \phantom{-}\csc\tfrac13(2B + A) : -\csc\tfrac13(B + 2A) : \phantom{-}\csc\tfrac13(B - A)

다섯 번째 정삼각형은 다른 정삼각형과 호모테틱하며, 외접 접선 삼각형을 중심을 기준으로 /6 회전하여 얻는다. 외접 법선 삼각형이라고 불리며, 그 꼭짓점은 다음과 같다.

:A \text{-꼭짓점} = \phantom{-}\sec\tfrac13(C - B) : -\sec\tfrac13(2C + B) : -\sec\tfrac13(C + 2B)
:B \text{-꼭짓점} = -\sec\tfrac13(A + 2C) : \phantom{-}\sec\tfrac13(A - C) : -\sec\tfrac13(2A + C)
:C \text{-꼭짓점} = -\sec\tfrac13(2B + A) : -\sec\tfrac13(B + 2A) : \phantom{-}\sec\tfrac13(B - A)

"외향"이라는 연산을 사용하여 다른 18개의 몰리 삼각형 중 하나를 얻을 수 있다. 18개의 몰리 삼각형과 27쌍의 외향 삼각형은 파푸스 그래프의 18개의 꼭짓점과 27개의 변을 형성한다.
임의의 삼각형에서 각 내각의 삼등분선을 긋는다. 각 변에 가까운 선끼리의 교점을 P, Q, R이라고 하면 삼각형 PQR은 정삼각형이 된다. 이 정삼각형을 (제1) 몰리 삼각형이라고 한다。

내각의 삼등분선 외에도 외각의 삼등분선 등으로도 마찬가지로 정삼각형을 만들 수 있다. 이 정삼각형을 제2 몰리 삼각형이라고 한다。 또한 대각 방향으로 (내각+4π)/3만큼 회전한 선분으로도 정삼각형을 만들 수 있으며, 이를 제3 몰리 삼각형이라고 한다。

4.1. 제2, 제3 몰리 삼각형

몰리의 정리는 18개의 정삼각형을 수반한다. 몰리의 또 다른 정삼각형 중 하나는 중심 삼각형이기도 하며 '두 번째 몰리 삼각형'이라고 불리며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.

:$$\backslash begin\{array\}\{ccccccc\}$$
A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) \\[5mu]
B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) \\[5mu]
C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) &:& 1
\end{array}

몰리의 18개 정삼각형 중 세 번째는 중심 삼각형이기도 하며, '세 번째 몰리 삼각형'이라고 불리며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.

:$$\backslash begin\{array\}\{ccccccc\}$$
A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) \\[5mu]
B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) \\[5mu]
C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) &:& 1
\end{array}

첫 번째, 두 번째, 세 번째 몰리 삼각형은 쌍별로 호모테틱하다.

4.2. 기타 몰리 삼각형

몰리의 정리는 18개의 정삼각형을 수반한다. 이 중 첫 번째 몰리 삼각형은 삼각형 ABC를 기준으로 다음과 같은 삼선좌표로 꼭짓점이 주어진다.

:$$\backslash begin\{array\}\{ccccccc\}$$
A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13 C &:& 2 \cos\tfrac13 B \\[5mu]
B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13 C &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13 A \\[5mu]
C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13 B &:& 2 \cos\tfrac13 A &:& 1
\end{array}

두 번째 몰리 삼각형은 중심 삼각형이기도 하며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.

:$$\backslash begin\{array\}\{ccccccc\}$$
A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) \\[5mu]
B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(C - 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) \\[5mu]
C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(B - 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A - 2\pi) &:& 1
\end{array}

세 번째 몰리 삼각형 역시 중심 삼각형이며, 다음 꼭짓점으로 주어진다.

:$$\backslash begin\{array\}\{ccccccc\}$$
A \text{-꼭짓점} &=& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) \\[5mu]
B \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(C + 2\pi) &:& 1 &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) \\[5mu]
C \text{-꼭짓점} &=& 2 \cos\tfrac13(B + 2\pi) &:& 2 \cos\tfrac13(A + 2\pi) &:& 1
\end{array}

첫 번째, 두 번째, 세 번째 몰리 삼각형은 쌍별로 호모테틱하다. 또 다른 호모테틱 삼각형은 삼각형 ABC의 외접원 위에 있는 세 점 X에 의해 형성되는데, 여기서 선 XX ⁻¹는 외접원에 접하며, X ⁻¹는 X의 등각 공액을 나타낸다. 이 정삼각형은 외접 접선 삼각형이라고 불리며, 다음과 같은 꼭짓점을 갖는다.

:$$\backslash begin\{array\}\{lllllll\}$$
A \text{-꼭짓점} &=& \phantom{-}\csc\tfrac13(C - B) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(2C + B) &:& -\csc\tfrac13(C + 2B) \\[5mu]
B \text{-꼭짓점} &=& -\csc\tfrac13(A + 2C) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(A - C) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(2A + C) \\[5mu]
C \text{-꼭짓점} &=& \phantom{-}\csc\tfrac13(2B + A) &:& -\csc\tfrac13(B + 2A) &:& \phantom{-}\csc\tfrac13(B - A)
\end{array}

다섯 번째 정삼각형은 다른 정삼각형과 호모테틱하며, 외접 접선 삼각형을 중심을 기준으로 회전하여 얻는다. 외접 법선 삼각형이라고 불리며, 그 꼭짓점은 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{array\}\{lllllll\}$$
A \text{-꼭짓점} &=& \phantom{-}\sec\tfrac13(C - B) &:& -\sec\tfrac13(2C + B) &:& -\sec\tfrac13(C + 2B) \\[5mu]
B \text{-꼭짓점} &=& -\sec\tfrac13(A + 2C) &:& \phantom{-}\sec\tfrac13(A - C) &:& -\sec\tfrac13(2A + C) \\[5mu]
C \text{-꼭짓점} &=& -\sec\tfrac13(2B + A) &:& -\sec\tfrac13(B + 2A) &:& \phantom{-}\sec\tfrac13(B - A)
\end{array}

외향 연산을 사용하여 다른 18개의 몰리 삼각형 중 하나를 얻을 수 있다. 18개의 몰리 삼각형과 27쌍의 외향 삼각형은 파푸스 그래프의 18개의 꼭짓점과 27개의 변을 형성한다.

5. 관련 삼각형 중심

몰리 중심, X(356)는 제1 몰리 삼각형의 무게중심이며, 삼선좌표는 다음과 같다.

:$$$$
\cos\tfrac13A + 2\cos\tfrac13B\,\cos\tfrac13C \,:\, \cos\tfrac13B + 2\cos\tfrac13C\,\cos\tfrac13A \,:\, \cos\tfrac13C + 2\cos\tfrac13A\,\cos\tfrac13B


제1 몰리-테일러-마르 중심, X(357)은 제1 몰리 삼각형과 원래 삼각형이 사영 관계에 있을 때, 원래 삼각형의 각 꼭짓점과 몰리 삼각형의 반대편 꼭짓점을 연결하는 각 선이 만나는 공점점이며, 삼선좌표는 다음과 같다.

:$$$$
\sec\tfrac13A \,:\, \sec\tfrac13B \,:\, \sec\tfrac13C

6. 역사

미국의 수학자 프랭크 몰리가 1900년에 제시하였다.

7. 한국 수학 교육에의 영향