미분 갈루아 이론

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1. 개요
2. 역사적 배경 및 기본 개념
3. 기본 성질
4. 예시
5. 응용
참조

1. 개요

미분 갈루아 이론은 초등 함수 부정적분의 초등 함수 표현 가능성을 연구하는 분야이다. 이는 갈루아 이론의 틀을 미분체, 즉 미분 연산을 가진 체의 확장에 적용한 것이다. 미분 갈루아 이론은 갈루아 군이 대수군이라는 점에서 대수적 갈루아 이론과 차이를 보인다. 미분 갈루아 이론은 미분체의 상수체, 로그 확장, 지수 확장, 적분 확장, 피카르-베시오 확장, 리우빌 확장 등의 개념을 통해 미분 방정식의 해의 구조를 분석한다. 이 이론은 미분 방정식의 적분 가능성을 판단하고, 수학 및 물리학 분야에서 다양한 응용을 가진다. 예를 들어, 오차 함수와 사인 적분과 같이 초등 함수로 표현할 수 없는 부정적분을 판별하거나, 에어리 방정식과 같은 미분 방정식의 해의 성질을 분석하는 데 사용된다.

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미분 갈루아 이론
기본 정보
분야	수학, 미분 방정식
하위 분야	갈루아 이론
유형	수학 이론
역사적 맥락
기원	19세기 후반, 에르네스트 피카르, 쥘 베시오
주요 인물	에르네스트 피카르 쥘 베시오 엘리스 콜친 어빙 카플란스키 알렉상드르 프롤로프
핵심 개념
미분체	미분 연산이 정의된 체
피카드-베시오 확장	특정 종류의 선형 미분 방정식의 해를 포함하는 미분체 확장
미분 갈루아 군	피카드-베시오 확장의 자기 동형군
응용 분야
선형 미분 방정식	해의 구조 분석 및 결정
적분 가능성	미분 방정식의 적분 가능성 판정
대수적 독립성	미분 방정식 해의 대수적 독립성 연구
관련 이론
갈루아 이론	대수 방정식의 해를 연구하는 이론
미분 대수학	미분 연산이 있는 대수적 구조 연구
대수적 군	대수적 다양체 구조를 갖는 군 연구

2. 역사적 배경 및 기본 개념

수학에서 어떤 초등 함수는 다른 초등 함수의 부정적분으로 표현할 수 없다. 통계학에서 친숙한 오차 함수 $\operatorname{erf}x$ 가 부정적분인 $e^{-x^2}$ 가 대표적인 예이다. 싱크 함수 $\tfrac{\sin x}{x}$ , $x^x$ 등도 초등 함수로 부정적분을 표현할 수 없는 함수들이다.

하지만 초등 함수의 정의에 오차 함수를 포함하면 $e^{-x^2}$ 의 부정적분은 초등 함수가 된다. 이처럼 초등 함수의 정의는 관습적인 면이 있으며, 아무리 많은 함수를 추가하더라도 부정적분이 초등 함수가 되지 않는 함수는 항상 존재한다.

'''미분 갈루아 이론'''을 사용하면 어떤 초등 함수의 부정적분이 초등 함수로 표현될 수 없는지 결정할 수 있다. 미분 갈루아 이론은 갈루아 이론을 기반으로 한다. 체의 확대를 연구하는 대수적 갈루아 이론과 달리, '''미분체'''(미분 ''D''를 가진 체)의 확장을 연구한다. 미분 갈루아 이론의 갈루아 군은 대수군인 반면, 대수적 갈루아 이론에서는 크룰 위상을 갖춘 프로유한 군이라는 점이 주요한 차이점이다.

2. 1. 미분체

미분 체는 미분 연산(도함수) ''D''가 정의된 체이다.^[3] 미분 갈루아 이론은 미분체의 확장을 연구한다.

미분 ''D''를 갖는 임의의 미분체 ''F''에 대해, ''F''의 '''상수체'''는 다음과 같이 정의되는 부분체이다.

Con(''F'') = {''f'' ∈ ''F'' | ''Df'' = 0}

상수체는 ''F''의 소체를 포함한다.

두 개의 미분체 ''F''와 ''G''가 주어졌을 때, ''G''가 ''F''의 단순 미분 확대^[3]이고, 다음 조건을 만족하면 ''G''를 ''F''의 '''로그 확대'''라고 한다.

∃''s''∈''F''; ''Dt'' = ''Ds''/''s''

이는 로그 미분의 형식을 하고 있으며, 직관적으로 ''t''를 ''F''의 어떤 요소 ''s''의 로그라고 생각할 수 있다.

'''지수 확대'''는 다음 조건을 만족하는 단순 미분 확대이다.

∃''s''∈''F''; ''Dt'' = ''tDs''

'''적분 확대'''는 다음 조건을 만족하는 단순 미분 확대이다.

∃''s''∈''F''; ''Dt'' = ''s''

체의 표수가 0이고 확대체의 상수체가 일치할 때, 적분 확대나 지수 확대는 피카르-베시오 확대가 된다.

''F''에서 ''G''에 이르는 부분체의 유한 열이 존재하고, Con(''F'') = Con(''G'')가 대수적 폐체이며 열의 각 확대가 유한 차수 대수 확대, 로그 확대 또는 지수 확대 중 하나일 때, ''G''를 '''초등 미분 확대'''라고 한다.

a_1, \cdots , a_n \in F

에 대해, 다음과 같은 제차 선형 미분 방정식을 생각할 수 있다.

$D^{n}y + a_{1}D^{n-1}y + \cdots + a_{n-1}Dy + a_{n}y = 0$

상수체 상에서 일차 독립인 위 방정식의 해는 기껏해야 ''n''개 존재한다. ''F''의 확대 ''G''가 위 미분 방정식에 대한 '''피카르-베시오 확대'''란, ''G''가 위 방정식의 해 전체로 생성된 미분체이고, Con(''F'') = Con(''G'')를 만족하는 것이다.

미분체 ''F''의 확대 ''G''가 '''리우빌 확대'''란, Con(''F'') = Con(''G'')가 대수적 폐체이고, 다음과 같은 부분체의 증대 열이 존재하는 것을 말한다.

''F'' = ''F''₀ ⊂ ''F''₁ ⊂ … ⊂ ''F_n'' = ''G''

여기서 각 확대 ''F''_''k''+1 : ''F_k''는 유한 차수 대수 확대, 적분 확대, 또는 지수 확대이다. 유리 함수체 '''C'''(''x'')의 리우빌 확대는 유리 함수, 지수 함수, 대수 방정식의 근을 취하는 조작 및 그것들의 부정적분을 유한 번 조합하여 만들 수 있는 함수의 집합이 된다. 로그 함수나 삼각 함수, 그것들의 역함수도 '''C'''(''x'') 상 리우빌적인 함수이며, 특히 초등 미분 확대는 리우빌 확대이다.

'''C'''(''x'') 위의 초등 확대에 포함되지만 리우빌 확대에는 포함되지 않는 함수의 예로는

e^{-x^2}

의 부정적분이 있다.

2. 2. 상수체

미분체 *F*의 상수체는 Con(*F*) = {*f* ∈ *F* | *Df* = 0}으로 정의되는 부분체이다.^[1] 이는 *F*의 미분 *D*에 대해, 그 미분값이 0이 되는 *F*의 원소들의 집합이다.^[1] 상수체는 *F*의 소체를 포함한다.^[1]

2. 3. 로그, 지수, 적분 확대

어떤 미분체 *F*의 단순 미분 확대 *G*가 다음 조건을 만족하면 *G*는 *F*의 로그 확대라고 한다.^[1]

: ∃*s*∈*F*; *Dt* = *Ds*/ *s*

이는 로그 함수의 미분 형태를 띠고 있다. 직관적으로 *t*는 *F*의 어떤 원소 *s*의 로그라고 생각할 수 있으며, 이는 일반적인 연쇄 법칙에 해당한다. 하지만 *F*에서 로그가 유일하게 정의되는 것은 아니다.
지수 확대는 다음 조건을 만족하는 단순 미분 확대이다.

: ∃*s*∈*F*; *Dt* = *tDs*
적분 확대는 다음 조건을 만족하는 단순 미분 확대이다.

: ∃*s*∈*F*; *Dt* = *s*

체의 표수가 0이고 확대체의 상수체가 일치하면, 적분 확대 또는 지수 확대는 피카르-베시오 확대가 된다.

2. 4. 초등 미분 확대

미분체 ''F''에서 ''G''에 이르는 부분체의 유한 열이 존재하고, Con(''F'') = Con(''G'')이며, 그 열의 각 확대가 유한 차수 대수 확대, 로그 확대, 지수 확대 중 하나일 때 ''G''를 ''F''의 초등 미분 확대라고 한다.^[1]

여기서,

로그 확대: ∃''s''∈''F''; ''Dt'' = ''Ds''/''s'' 를 만족하는 ''F''의 단순 미분 확대 ''G''를 말한다. ''t''는 ''F''의 어떤 원소 ''s''의 로그로 생각할 수 있다.
지수 확대: ∃''s''∈''F''; ''Dt'' = ''tDs''를 만족하는 ''F''의 단순 미분 확대 ''G''를 말한다.
적분 확대: ∃''s''∈''F''; ''Dt'' = ''s''를 만족하는 단순 미분 확대이다.

2. 5. 피카르-베시오 확대

a_1, \cdots , a_n \in F

에 대한 동차 선형 미분 방정식은 다음과 같다.

:

D^{n}y + a_{1}D^{n-1}y + \cdots + a_{n-1}Dy + a_{n}y = 0

　…　(1)

상수체 위에서 선형 독립인 (1)의 해는 최대 ''n''개 존재한다. ''F''의 확대 ''G''가 미분 방정식 (1)에 대한 '''피카르-베시오 확대'''가 되려면, ''G''는 (1)의 모든 해에 의해 생성되고 Con(''F'') = Con(''G'')를 만족해야 한다.^[1]

2. 6. 리우빌 확대

미분체 ''F''의 확대 ''G''가 '''리우빌 확대'''란, Con(''F'') = Con(''G'')가 대수적 폐체이고, 다음과 같은 부분체의 증가 열이 존재하는 경우를 말한다.

: ''F'' = ''F''₀ ⊂ ''F''₁ ⊂ … ⊂ ''F_n'' = ''G''

여기서 각 확대 ''F''_''k''+1 : ''F_k''는 유한 차수 대수 확대, 적분 확대 또는 지수 확대 중 하나이다.^[1] 유리 함수체 '''C'''(''x'')의 리우빌 확대는 유리 함수, 지수 함수, 대수 방정식의 근을 취하는 연산 및 그것들의 부정적분을 유한 번 조합하여 만들 수 있는 함수들의 집합이다. 로그 함수나 삼각 함수, 그리고 அவற்ற의 역함수도 '''C'''(''x'') 상에서 리우빌 함수이며, 특히 초등 미분 확대는 리우빌 확대이다.

3. 기본 성질

미분체 *F*에 대해, *G*가 분리 가능 대수적 확대체이면, *F*의 미분은 *G*의 미분으로 유일하게 확장된다.^[1] 따라서 *G*는 *F*의 미분 구조를 유일하게 상속받는다.

F*와 *G*가 Con(*F*) = Con(*G*)를 만족하는 미분체이고, *G*가 *F*의 초등 미분 확대라고 가정하자. *a* ∈ *F*이고 *Dy* = *a*인 *y* ∈ *G* (즉, *G*는 *a*의 부정적분을 포함한다)가 있다고 할 때, *c*₁, …, *c*_*n* ∈ Con(*F*)와 *u*₁, …, *u*_*n*, *v* ∈ *F*가 존재하여 다음이 성립한다.

:

a = c_1\frac{Du_1}{u_1} + \dotsb + c_n\frac{Du_n}{u_n} + Dv

(리우빌의 정리). 즉, 부정적분이 기본인 함수(즉, 기껏해야 *F*의 초등 미분 확장에 포함되는 함수)만이 정리에 명시된 형태를 갖는다. 직관적으로, 기본 부정적분만이 간단한 함수들의 유한 개 로그의 합으로 표현될 수 있다.

G*/*F*가 피카르-베시오 확대체이면, *G*가 *F*의 리우빌 확대체인 것은 미분 갈루아 군이 가해 항등 성분을 갖는 것과 동치이다.^[2] 또한, *G*가 *F*의 리우빌 확대체인 것은 *G*가 *F*의 어떤 리우빌 확대체에 매장될 수 있는 것과 동치이다.

4. 예시

변수 복소 유리 함수체 '''C'''(''x'')는 변수 ''x''에 대한 일반적인 미분으로 미분체가 된다. 이 체의 상수체는 복소수체 '''C'''이다.
리우빌의 정리에 따르면, ''f''(''z'')와 ''g''(''z'')가 ''z''에 대한 유리 함수이고, ''f''(''z'')는 0이 아니며, ''g''(''z'')는 상수 함수가 아닐 때, $\textstyle \int f(z)e^{g(z)} \, dz$ 가 초등 함수가 되기 위한 필요충분조건은 $f(z) = h'(z) + h(z)g'(z)\,$ 를 만족하는 유리함수 ''h''(''z'')가 존재하는 것이다. 오차 함수와 사인 적분(싱크 함수의 부정 적분)이 초등 함수로 표현될 수 없다는 것은 이 성질로부터 바로 유도된다.
에어리 방정식 $y'' - xy = 0\,$ 의 미분 갈루아 군은 복소수체 위의 유니모듈러 2차 행렬 전체이다. 이는 가해 단위원의 성분을 가지지 않는다. 따라서, 이 방정식의 해는 에어리 함수라고 하며, 해석학의 표준적인 함수를 포함하는 간결한 식으로 표현될 수 없다.

4. 1. 유리 함수체 C(x)

복소 변수 하나에 대한 유리 함수체 '''C'''(''x'')는 변수 ''x''에 대한 통상적인 미분을 도함수로 취하면 미분체가 된다. 이 체의 상수체는 복소수체 '''C'''이다.^[1]

4. 2. 초등 함수로 표현 불가능한 부정적분

수학에서 일부 기본 함수는 다른 기본 함수의 부정적분으로 표현할 수 없다. 잘 알려진 예로 오차 함수

\operatorname{erf}x

의 부정적분인

e^{-x^2}

이 있다. 다른 예로는 싱크 함수

\tfrac{\sin x}{x}

와

x^x

가 있다.

리우빌 정리에 따르면, ''f''(''z'')와 ''g''(''z'')가 ''z''의 유리함수이고, ''f''(''z'')가 0이 아니며, ''g''(''z'')가 상수 함수가 아닐 때,

\textstyle \int f(z)e^{g(z)} \, dz

가 초등 함수가 되기 위한 필요충분조건은

f(z) = h'(z) + h(z)g'(z)\,

를 만족하는 유리함수 ''h''(''z'')가 존재하는 것이다. 오차 함수와 사인 적분(싱크 함수의 부정 적분)이 초등 함수로 표현될 수 없다는 것은 이 성질로부터 바로 유도된다.

4. 3. 에어리 방정식

에어리 방정식

y'' - xy = 0

의 미분 갈루아 군은 2차 특수 선형군 SL(2,C)이다. 이 군은 가해군이 아니므로, 그 해( 에어리 함수)는 초등 함수를 사용하여 표현할 수 없다.^[1]

5. 응용

미분 갈루아 이론은 수학과 물리학 분야에서 여러 응용 분야를 가진다. 예를 들어 주어진 미분 방정식을 구적법(적분)으로 풀 수 있는지 여부를 결정하는 데 사용된다. 또한 고전 역학의 해밀턴 시스템의 적분 가능성을 포함하여 동적 시스템 연구에도 응용된다.

한 가지 중요한 응용 분야는 미분 방정식의 적분 가능 조건 분석인데, 이는 물리학에서 대칭성과 보존 법칙 연구에 영향을 미친다.

참조

_[1] 문서
_[2] 문서
_[3] 문서
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