반올림

3. 종류

특정 기수법에서 절반 미만이면 0으로 버리고, 절반 이상이면 윗자리에 1을 더하는 것을 반올림이라고 한다. 반올림은 임의의 폭으로 가능하지만, 특별히 언급하지 않는 한 반올림 폭을 1로 한다. 임의의 폭으로 반올림하려면, 반올림하기 전에 폭으로 나누고, 반올림한 후에 폭을 곱한다.

주로 정수에 대해 언급하지만, 음수에 대해서도 적절히 언급한다. 정수 부분을 그대로 남기고 소수점 이하를 0으로 만드는 반올림을 "내림"이라고 한다. 소수점 이하가 0이 아닌 경우 정수 부분을 1 증가시키고 소수점 이하를 0으로 만드는 반올림을 "올림"이라고 한다.

음수를 고려하면, "내림", "올림"에 준하는 반올림은 4가지 종류가 있다.

• 부호를 무시하고 절댓값을 반올림하는 경우, "내림"은 0에 가까워지므로 "'''0으로의 반올림'''", "올림"은 수직선상의 무한대에 가까워지므로 "'''무한대로의 반올림'''"이라고 한다. 단순히 "내림", "올림"이라고 하면 이것들을 가리킨다.
• 양수의 경우와 증감을 같은 방향으로 하는 경우에는, "내림"은 감소하므로 "'''음의 무한대로의 반올림'''", "올림"은 증가하므로 "'''양의 무한대로의 반올림'''"이라고 한다.

• 안전 기준은 항상 안전한 쪽으로 반올림된다.
• 오차나 불확실성은 올림된다.
• 수치가 실제보다 증가하면 과장·허위·조작·난해로 간주될 우려가 있을 때는 내림된다.
• 수치가 실제보다 감소하면 왜소화·허위·조작으로 간주될 우려가 있을 때는 올림된다.

3. 1. 사사오입 (四捨五入)

• 73
• * 일의 자리에서 반올림: 70
• * 십의 자리에서 반올림: 100
• 51.6137
• * 소수점 넷째 자리에서 반올림: 51.614
• * 소수점 셋째 자리에서 반올림: 51.61
• * 소수점 둘째 자리에서 반올림: 51.6
• * 소수점 첫째 자리에서 반올림: 52
• * 일의 자리에서 반올림: 50
• * 십의 자리에서 반올림: 100

십진법에서 소수 부분이 0.5 미만이면 버리고, 0.5 이상이면 올림하는 "반올림"을 "사사오입"이라고 한다. JIS Z 8401에서 규칙 B로 규정하고 있다.^[58] "사사오입"이라는 명칭은 소수 첫째 자리가 4 이하면 버리고, 5 이상이면 올림하는 것에 해당한다는 데에서 유래했다. 일반적으로 '''R 반올림'''이라고도 한다.

양수에 대해서는 0.5를 더한 후 버리는 단순한 알고리즘으로 구할 수 있다. 음수에 대해 정상적인 결과를 얻으려면 버림은 음의 무한대로 반올림해야 한다. (0으로 반올림하면 예를 들어 -2가 -1로 반올림된다.) 단, 0.5를 더하고 음의 무한대로 반올림하면, 소수 부분이 0.5일 경우 절대값이 감소한다. (예를 들어 -1.5는 -1로 반올림된다.) 한편, JIS Z 8401에서는 음수를 절대값으로 반올림한다. (-1.5는 -2로 반올림된다.)^[58]

소수 부분이 0.5일 때 항상 증가하는 방향으로 반올림되기 때문에, (소수 부분이 무작위가 아닌 경우에는) 약간의 양의 편향이 발생할 수 있다.

3. 2. 오사오입 (Round-to-nearest-even)

3. 3. 오사육입 (五捨六入)

주어진 숫자를 반올림, 내림, 올림, 오사육입, 짝수로 반올림을 사용하여 대체한 결과는 다음과 같다. 이 예시에서는 반올림 간격은 0.1이다.^[58]

'''굵은 글씨'''는 반올림의 경우와 다른 결과가 나오는 숫자이다.

3. 4. 기타 반올림 방법

4. 반올림 오차

반올림 오차는 반올림으로 인해 발생하는 오차를 의미한다. 반올림 오차의 상계는 사용하는 반올림 방법에 따라 달라진다.

여러 번의 계산을 순차적으로 할 때, 반올림 방법에 따라서 결과에 큰 영향을 줄 수 있다. 1982년 밴쿠버 증권 거래소에서 새로 설정한 주가 지수의 경우, 초기값은 1000.000이었으나 22개월 후 약 520으로 하락했다. 이는 매일 수천 번 지수를 재계산하면서 소수점 3자리에서 절삭(내림)하여 반올림 오차가 누적되었기 때문이다. 같은 기간 동안 절삭 대신 가장 가까운 천분위수로 반올림하여 다시 계산한 결과, 지수 값은 1098.892로 수정되었다.^[4]

반올림 오차는 여러 번의 계산 과정에서 누적될 수 있으며, 특히 많은 수를 더하거나 뺄 때 주의해야 한다.

다음은 여러가지 반올림 방법에 따른 반올림 오차를 나타낸 표이다.

만약 소수 부분이 0.5가 아니라면, 가장 가까운 정수로 반올림하는 방법으로 인한 반올림 오차는 대칭적이다.

고정 소수점 숫자의 큰 집합을 균등하게 분포된 소수 부분으로 반올림할 때, 소수 부분이 0.5인 숫자를 제외하면 모든 값의 반올림 오차는 통계적으로 서로 상쇄된다.

실제로 부동 소수점 숫자가 일반적으로 사용되는데, 이는 간격이 균등하지 않기 때문에 더 많은 계산적 주의가 필요하다.

정수 정의역과 치역을 가진 함수의 정확한 값을 평가하기 위해 반올림된 산술 연산을 사용할 수 있다. 예를 들어, 정수 n이 완전 제곱수라는 것이 알려져 있으면, n을 부동 소수점 값 z로 변환하고, 부동 소수점을 사용하여 z의 근사 제곱근 x를 계산한 다음, x를 가장 가까운 정수 y로 반올림하여 제곱근을 계산할 수 있다. n이 너무 크지 않으면, x의 부동 소수점 반올림 오차가 0.5보다 작으므로 반올림된 값 y는 n의 정확한 제곱근이 된다.

'홀수로 반올림'(round to odd)^[51]은 '짝수로 반올림'의 대칭이다. 소수 부분이 0.5보다 작으면 "내림", 소수 부분이 0.5보다 크면 "올림"이라는 점은 '최근접 반올림'과 동일하지만, 소수 부분이 정확히 0.5인 경우 "내림"과 "올림" 중 결과가 홀수가 되는 쪽으로 반올림한다는 점이 다르다.

소수점 0.5의 데이터가 유한 비율로 존재하는 경우, "사사오입"에서는 오차가 발생하지만, "홀수로 반올림"에서는 오차가 없다. 즉, 다수를 더해도 반올림 오차가 특정 측으로 치우쳐 누적되는 일이 없다. 다만, 짝수+0.5는 나타나지만 홀수+0.5는 나타나지 않는 데이터와 같이 분포에 특수한 특징이 있는 경우에는 오차가 발생할 수 있다.

4. 1. 반올림의 상대오차

5. 특수한 반올림

반올림은 다음과 같은 특수한 경우에 적용될 수 있다.

• 지정된 배수로 반올림: 숫자를 특정 값의 가장 가까운 배수로 반올림한다. 예를 들어, 달러를 센트 단위로 반올림하거나, 정수를 1000 단위로 반올림하는 경우가 있다.^[3]
• 로그 스케일 반올림: 로그 척도를 사용하여 숫자를 반올림한다. 저항기 값 표시에 사용되는 E12 계열과 같이, 선호 숫자를 사용하는 경우가 대표적이다.
• 부동 소수점 반올림: 부동 소수점 산술에서 주어진 값을 지정된 유효 숫자를 가진 값으로 변환한다. 이때, 반올림 결과가 오버플로될 수 있으며, 이 경우 적절한 무한대 또는 표현 가능한 가장 큰/작은 유한수로 처리된다.
• 간단한 분수로 반올림: 주어진 숫자를 분자와 분모가 특정 최댓값을 넘지 않는 가장 가까운 분수로 반올림한다. 페이 수열, 스턴-브로콧 트리, 연분수와 관련이 있다.
• 사용 가능한 값으로 반올림: 목재, 종이 등 표준 크기로 판매되는 제품의 경우, 계산된 값을 가장 가까운 표준 크기로 반올림한다.^[12][13]

5. 1. 지정된 배수로 반올림

5. 2. 로그 스케일 반올림

6. 프로그래밍 언어에서의 반올림 함수

대부분의 프로그래밍 언어는 분수를 반올림하는 함수나 특수 구문을 제공한다.^[60] 초기 수치 언어는 절삭(0으로)하는 한 가지 방법만 제공했지만, 최근에는 최소한 네 가지 기본 반올림 함수(올림, 내림, 가장 가까운 정수로, 0으로)를 제공하는 경우가 많다. 동률 처리 방법은 언어 및 버전에 따라 다를 수 있으며, 프로그래머가 선택할 수 있다.

IEEE 754 표준을 따르는 언어는 여러 반올림 모드를 제공하고, 사용자가 선택할 수 있도록 하는 경우가 많다. 예를 들어, C99에서는 `round` 함수(사사오입), `fegetround`/`fesetround` (반올림 모드 설정) 등을 제공한다.
일반적인 함수

• '''내림''' (floor): 주어진 수보다 작거나 같은 가장 큰 정수를 반환한다. `floor` 함수로 표현한다.
• '''올림''' (ceil): 주어진 수보다 크거나 같은 가장 작은 정수를 반환한다. `ceil` 또는 `ceiling` 함수로 표현한다.
• '''절삭''' (trunc): 소수점 이하 자릿수를 버리고 0에 가까운 정수를 반환한다. `trunc`, `truncate`, `fix` 함수로 표현한다.

• '''가장 가까운 정수로 반올림''' (round): 가장 가까운 정수로 반올림한다. `round` 함수로 표현하며, 동점 처리 방식(예: 사사오입, 오사오입)은 언어마다 다를 수 있다.

주의 사항

• C 언어 등에서 부동 소수점 형식을 정수 형식으로 형 변환할 때, 소수 부분이 버려지는 경우가 많다. (0으로 반올림)
• C 언어의 `modf` 함수는 실수를 정수부와 소수부로 분할하며, 정수부는 0으로 반올림된다.
• 일부 언어(Ruby, PHP 등)는 소수점 이하 몇 자리에서 반올림할지 지정할 수 있지만, 2진 부동 소수점 표현의 한계로 인해 정확한 결과를 얻지 못할 수 있다.
• `round` 함수가 반환하는 값은 정수이지만, 형은 부동 소수점형인 경우가 많다.

7. 기타 반올림 표준

일부 학문 분야 또는 기관에서는 반올림에 대한 표준 또는 지침을 발표했다.^[50]

1966년 중반에 발표된 지침에서, 미국 연방 기상 조정관실은 기상 데이터를 가장 가까운 정수로 반올림하도록 결정했으며, "반올림" 규칙을 적용했다. 예를 들어 1.5는 정수로 반올림하면 2가 되고, -1.5는 -1이 된다. 그 이전에는 동률 규칙이 "0에서 먼 방향으로 반올림"이었다.^[50]

일부 기상학자들은 정수로 반올림된 0.0도와 -0.5도 사이(0.0도 제외)의 온도를 나타내기 위해 "−0"으로 표기할 수 있다. 이 표기법은 크기가 아무리 작더라도 음수 부호가 중요하다고 간주될 때 사용된다. 예를 들어, 섭씨 눈금에서 온도를 반올림할 때, 0도 미만은 어는점을 나타낸다.

8. 이중 반올림

같은 값을 두 번 이상 반올림하는 것은 피해야 한다. 특히, 정밀도가 다른 두 번의 연속적인 반올림은 최종 정밀도로 한 번 반올림하는 것과 동일한 결과를 보장하지 않을 수 있다.^[16] 예를 들어, 9.46을 소수점 한 자리로 반올림하면 9.5가 되고, 짝수로 반올림하는 경우 정수로 반올림하면 10이 되지만, 정수로 직접 반올림하면 9가 된다.

Borman과 Chatfield^[16]는 소수점 한 자리로 반올림된 데이터를 정수로 표현된 사양 한계와 비교할 때 반복적인 반올림의 영향을 논의했다.

1995년에서 1997년 사이에 진행된 ''Martinez v. Allstate''와 ''Sendejo v. Farmers'' 소송에서 보험 회사는 보험료를 반복해서 반올림하는 것이 허용되며 실제로 필요하다고 주장했다. 미국 법원은 보험 회사의 주장에 반하여 판결하고 단일 반올림을 보장하기 위한 규칙을 채택하도록 명령했다.^[17]

일부 컴퓨터 언어와 IEEE 754-2008 표준은 간단한 계산에서 결과를 두 번 반올림해서는 안 된다고 규정한다. 이는 서로 다른 기계에서 동일하게 실행되도록 설계된 Java에서 특히 문제였으며, x87 부동 소수점과 함께 이를 달성하기 위해 특별한 프로그래밍 기법을 사용해야 했다.^[18][19] Java 언어는 차이가 중요하지 않은 경우 다른 결과를 허용하도록 변경되었으며, 결과가 정확하게 일치해야 하는 경우 strictfp 한정자를 사용해야 한다. strict floating point는 Java 17에서 복원되었다.^[20]

일부 알고리즘에서는 중간 결과를 더 큰 정밀도로 계산한 다음 최종 정밀도로 반올림해야 한다. 중간 계산에 적절한 반올림을 선택하여 반복적인 반올림을 피할 수 있다.

짝수 반올림을 할 때, 잘라내기가 과도하게 이루어지는 예와 올림이 과도하게 이루어지는 예는 다음과 같다.

• 122.51은 123으로 반올림해야 한다. 하지만 먼저 122.5로 반올림하면, 다음은 122가 되어 잘라내기가 과도하게 된다.
• 123.49도 123으로 반올림해야 한다. 하지만 먼저 123.5로 반올림하면, 다음은 124가 되어 올림이 과도하게 된다.

9. 테이블 작성자의 딜레마 (Table-maker's dilemma)

윌리엄 카한이 제시한 개념으로, 초월 함수를 올바르게 반올림하는 데 필요한 계산 비용을 예측하는 것이 어렵다는 문제를 지적한다. IEEE 754 표준은 사칙 연산, 제곱근 등에 대해서는 정확하게 반올림된 결과를 보장하지만, 더 복잡한 함수에 대해서는 이러한 보장이 없다.^[24]

겔폰트-슈나이더 정리와 린데만-바이어슈트라스 정리를 사용하면, 많은 표준 초등 함수가 일부 잘 알려진 인수를 제외하고 초월수 결과를 반환하는 것으로 증명될 수 있다. 따라서 이론적인 관점에서 볼 때, 이러한 함수를 정확하게 반올림하는 것은 항상 가능하다. 그러나 이러한 함수의 구현 시, 정확하게 반올림된 결과를 보장하기 전에 주어진 정밀도에 대해 결과의 정확성을 계산해야 하는 한계를 결정하는 데 많은 계산 시간이 소요되거나 불가능할 수 있다.^[25]

일부 프로그래밍 패키지는 정확한 반올림을 제공한다. GNU MPFR 패키지는 정확하게 반올림된 임의 정밀도 결과를 제공한다. 다른 일부 라이브러리는 IEEE 754 배정밀도 (binary64)에서 정확한 반올림으로 기본 함수를 구현한다.

• IBM의 ''정확한 이식 가능한 수학 라이브러리'' (APMathLib 또는 MathLib, libultim이라고도 불림)^[28][29][30]: 가장 가까운 값으로만 반올림한다. 최대 768비트의 작업 정밀도를 사용한다. 2001년에 GNU C 라이브러리에 포함되었지만,^[31] "느린 경로"(정확한 반올림 제공)는 2018년부터 2021년까지 제거되었다.
• CRlibm: 이전 Arénaire 팀(LIP, ENS 리옹)에서 작성되었으며, 2003년에 처음 배포되었다.^[32] 4가지 반올림 모드를 지원하며 가장 어려운 반올림 사례에 대한 지식을 사용하여 증명된다.^[33][34] Metalibm(2014)이 뒤를 이었으며, 이는 공식적인 증명을 자동화한다.^[35]
• 선 마이크로시스템즈의 libmcr (2004): 4가지 반올림 모드로 제공된다.^[36][37] 어려운 경우, 이 라이브러리는 다중 정밀도도 사용하며 Table-maker's dilemma가 발생할 때마다 단어 수가 2씩 증가한다(머신의 일부 제한에 도달할 가능성이 매우 낮을 경우 정의되지 않은 동작).

참조

_[1] 서적 'Linear Algebra as an Introduction to Abstract Mathematics.' World Scientific 2016
_[2] 논문 Mathematical foundation of computer arithmetic 1977-07
_[3] 문서
_[4] 서적 Accuracy and stability of numerical algorithms https://books.google[...] 2002
_[4] 논문 Rounding Errors to Knock Your Stocks Off
_[4] 뉴스 Ever had problems rounding off figures? This stock exchange has https://www5.in.tum.[...] 1983-11-08
_[4] 뉴스 Vancouver stock index has right number at last https://www5.in.tum.[...] 1983-11-29
_[5] 웹사이트 java.math.RoundingMode https://docs.oracle.[...] Oracle
_[6] 웹사이트 decimal – Decimal fixed point and floating point arithmetic https://docs.python.[...] Python Software Foundation
_[7] 문서 Engineering Drafting Standards Manual https://web.archive.[...] NASA
_[8] 서적 Postcards 4 Language Booster: Workbook with Grammar Builder Pearson Education
_[8] 서적 Microsoft Pascal Compiler for the MS-DOS Operating System User's Guide Microsoft Corporation
_[9] 문서 Schedule 1 of the Decimal Currency Act 1969
_[10] 문서 IBM z/Architecture Principles of Operation https://www.ibm.com/[...]
_[11] arXiv Deep Learning with Limited Numerical Precision 2016-02-09
_[12] 웹사이트 Zener Diode Voltage Regulators https://www.kennethk[...] 2010-11-24
_[13] 문서 Build a Mirror Tester https://stellafane.o[...]
_[14] 간행물 Excel Formula Calculates Standard 1%-Resistor Values https://www.electron[...] Electronic Design 2002-01-21
_[15] 웹사이트 Monte Carlo Arithmetic: a framework for the statistical analysis of roundoff errors http://web.cs.ucla.e[...] IEEE Computation in Science and Engineering 2000-03-28
_[16] 논문 Avoid the perils of using rounded data 2015-11-10
_[17] 서적 Class Action Dilemmas: Pursuing Public Goals for Private Gain https://archive.org/[...] RAND 2000
_[18] 논문 When is double rounding innocuous? ACM 1995-07
_[19] 웹사이트 Efficiently producing default orthogonal IEEE double results using extended IEEE hardware https://www.open-std[...] Intel 1998-10
_[20] 웹사이트 JEP 306: Restore Always-Strict Floating-Point Semantics http://openjdk.java.[...] 2021-09-12
_[21] 논문 A mechanically checked proof of the correctness of the kernel of the AMD5K86 floating-point division algorithm https://www.cs.utexa[...] 2016-08-02
_[22] 논문 Emulation of a FMA and correctly-rounded sums: proved algorithms using rounding to odd https://inria.hal.sc[...] 2016-08-02
_[23] 웹사이트 21718 – real.c rounding not perfect https://gcc.gnu.org/[...]
_[24] 웹사이트 A Logarithm Too Clever by Half https://people.eecs.[...] 2008-11-14
_[25] 서적 Handbook of Floating-Point Arithmetic "[[Birkhäuser]]" 2010
_[26] 웹사이트 NA Digest Sunday, April 18, 1999 Volume 99 : Issue 16 https://netlib.org/n[...] 1999-04-18
_[27] 웹사이트 Math Library for Java http://www.alphawork[...]
_[28] 웹사이트 Accurate Portable Mathematical Library http://oss.software.[...]
_[29] Github dreal-deps/mathlib
_[30] 웹사이트 libultim – ultimate correctly-rounded elementary-function library http://www.math.utah[...]
_[31] 웹사이트 Git - glibc.git/commit https://sourceware.o[...] Sourceware.org
_[32] 논문 Fast and correctly rounded logarithms in double-precision 2007-01
_[33] 웹사이트 CRlibm – Correctly Rounded mathematical library http://lipforge.ens-[...]
_[34] Github taschini/crlibm
_[35] conference Metalibm: A Mathematical Functions Code Generator https://hal.science/[...] 2014
_[36] 웹사이트 libmcr – correctly-rounded elementary-function library http://www.math.utah[...] 2021-02-25
_[37] Github simonbyrne/libmcr
_[38] 웹사이트 The CORE-MATH project https://core-math.gi[...] 2022-08-30
_[39] conference The CORE-MATH Project https://inria.hal.sc[...] 2022
_[40] 웹사이트 Math Functions — The LLVM C Library https://libc.llvm.or[...]
_[41] 문서 YBC 7289 clay tablet http://it.stlawu.edu[...] Duncan J. Melville 2006
_[42] 간행물 Rules for Rounding Off Numerical Values American Standards Association
_[43] 서적 Probability and theory of errors https://archive.org/[...] J. Wiley & Son
_[44] 서적 Logarithmic and Other Mathematical Tables with Examples of their Use and Hints on the Art of Computation https://archive.org/[...] Henry Holt 1882
_[45] 서적 The Theory of Measurements https://archive.org/[...] Jefferson Laboratory of Physics
_[46] 서적 Selected Techniques of Statistical Analysis for Scientific and Industrial Research, and Production and Management Engineering McGraw-Hill 2014-01-30
_[47] 웹사이트 The Introduction of the Euro and the Rounding of Currency Amounts https://ec.europa.eu[...] 2011-08-19
_[48] 학술저널 Quantifying Quantitative Literacy: Age Heaping and the History of Human Capital http://repositori.up[...] 2009
_[49] 웹사이트 ECMA-262 ECMAScript Language Specification http://www.ecma-inte[...]
_[50] 간행물 Federal Meteorological Handbook No. 1 http://www.ofcm.gov/[...] OFCM 2005
_[51] 문서 '"The Art of Computer Programming" D. E. Knuth (1997, § 4.2.2)'
_[52] 서적 C언어에 의한 수치 계산 입문 - 해법 · 알고리즘 · 프로그램 (UNIX & Information Science) 사이언스사
_[53] 서적 수치 계산 공학 1989-04-26
_[54] 문서 '"최근접 짝수에게 둥글게 함", "짝수 둥글게 함", "최근접 둥글게 함", "JIS 둥글게 함", "ISO 둥글게 함", "은행가의 둥글게 함", "은행 둥글게 함", "오사오입", "짝버림 홀수 올림"이라는 용어를 채용하고 있는 문헌은, 현재로서는 발견할 수 없었다. 자세한 내용은, 노트를 참조.'
_[55] 문서 부의 수의 경우도 포함한 명시적 표현으로서는, 그렇게 된다.
_[56] 문서 물론 이것은 기수법에 의존한 명칭이다. 본문에서는 십진법에 있어서의 성질을 설명하고 있지만, [[십이진법]]에 있어서 「오사육입」이라고 불리울 처리은 통상의 반수 올림이다.
_[57] 문서 일반적으로 함수의 수치 계산의 경우, ...000과 같이 0이 계속되고 있어도, 아래의 자리수에서 위의 자리수로부터의 자리 빌림이 발생할지도 모른다. 또 lexer에 의한 [[리터럴]]의 읽어들임의 경우, 부동 소수점수의 표현으로서 본래 있을 수 없는 자리수까지 기술되고 있는, XXX...XXX.5000000000000000000000001라고 하는 경우의 아래의 자리수의 취급을 어떻게 해야 할까, 라고 하는 점도 문제가 된다 (전술과 같은 딱 경계였던 경우, 아래의 자리수는 반드시 무의미하다고는 말할 수 없을지도 모른다).
_[58] 문서 JIS Z8401:2019, p.2, 2 e) 「수치를 나타내는 경우, 항상 둥글게 하는 폭을 나타내는 것이 바람직하다.」
_[59] 웹사이트 2진 소수의 10진 자리수에서의 둥글게 하기 https://blog.practic[...] 2016-12-23
_[60] 문서 짝수에게 둥글게 하기가 추천되고 있으며, 서서히 표준이 되어 갈 것으로 생각된다{{요출처|date=2017년 8월}}. Microsoft의 일부 환경 등, 사양으로 명시하고 있는 것도 있다. 그러나, C99도 C++11도 Java도 ECMAScript(JavaScript)도 다른 룰을 사양에 정하고 있다.
_[61] 문서 이 프레이즈에 포함되는 「테이블 메이커」란, 「[[수표]]」를 계산해, 그것을 출판하기를 꾀하는 자, 라는 의미이다. 수표는 일반적으로, 거기에 인쇄되고 있는 자리수의 범위내는 반드시 올바른 것이 아니면 안 되는 것이 요구된다 (일 것이다)라고 하는 배경이 있다. 예를 들어, 상한과 하한의 양쪽을 계산하는 것으로 결과가 어떤 범위내에 반드시 있는 것을 보증하는 것과 같은 수법이, 수표의 정확성을 위해서 활용되어 왔다, 라고 하는 역사가 있다.
_[62] 웹사이트 Introduction to the Table Maker's Dilemma https://perso.ens-ly[...] 2019-03-10
_[63] 웹사이트 積算における金額の端数処理について（お知らせ） http://www.city.odat[...] 大館市契約検査課 2014-02-21
_[64] 웹사이트 国土交通省土木工事標準積算基準書(共通編) https://www.mlit.go.[...] 国土交通省 2019-09-20
_[65] 웹사이트 工事費積算における数値の取扱い（例） https://www.mlit.go.[...] 国土交通省 2019-09-20
_[66] 웹사이트 平成30年10月版 土木工事標準積算基準書（改定・訂正） https://www.pref.sai[...] 埼玉県 2019-09-20
_[67] 웹사이트 単価表における諸雑費及び端数処理について（お知らせ） http://www.city.kawa[...] 川崎市建設緑政局総務部技術監理課積算システム担当 2019-09-19
_[68] 웹사이트 「土木工事工事費積算要領及び基準の運用」の一部改定について https://www.mlit.go.[...] 国土交通省 2018-03-20