유리수

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 추상적 정의
- 2.2. 구체적 정의
3. 표현
4. 연산
5. 성질
- 5.1. 위상적 성질
- 5.2. p진수
6. 용어의 유래
참조

1. 개요

유리수는 두 정수의 비로 나타낼 수 있는 수로, 정수의 분수체로 정의된다. 유리수는 분수, 소수, 연분수 등 다양한 형태로 표현될 수 있으며, 십진법으로 나타낼 경우 유한 소수 또는 순환 소수가 된다. 유리수 전체의 집합은 '''Q'''로 표기하며, 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 연산에 닫혀 있는 체를 이룬다. 유리수는 조밀 집합이며, 실수 집합의 조밀 부분 집합이기도 하다. 유리수는 p진수를 이용한 또 다른 위상을 가질 수 있으며, p진 절댓값에 의한 완비화는 p진수체가 된다. "유리수"라는 용어는 비를 의미하는 라틴어 "ratio"에서 유래되었으며, 고대 그리스 수학에서는 무리수를 "말할 수 없는 것"으로 여겼다.

2. 정의

'''유리수'''는 정수환 ℤ^영어의 분수체로, 다음과 같은 집합으로 정의된다.

: $\mathbb Q=\left\{\frac mn\colon m,n\in\mathbb Z,\;n\ne0\right\}$

이는 1895년 페아노가 처음 사용했으며, 몫()을 의미하는 ''quoziente''^it에서 유래했다^[21]. 손으로 쓸 때는 흑판 볼드체 $\mathbb{Q}$ 를 사용한다.

유리수는 십진법 등 기수법으로 나타낼 때 유한 소수 또는 순환 소수로 표현되며, 유한 정칙 연분수 전개를 갖는다.

공리적 집합론에서 분수는 정수 쌍의 동치류(의 대표원)로 나타내며, 유리수 집합 '''Q'''는 몫체의 가장 초등적인 예이다.

거리 공간으로서 유리수의 완비화를 통해 실수나 ''p''진수를 얻는다. 유리수가 아닌 실수는 무리수이다.

2. 1. 추상적 정의

유리수체 Q^영어는 다음 공리를 만족하는 체이다.^[6]^[14]

Q^영어의 표수는 0이다.
표수가 0인 임의의 환 R^영어에 대해, 유일한 환 준동형 Q→R^영어이 존재한다.

유리수는 정수로 이루어진 순서쌍들의 동치류로 구성된다.^[6]^[14]

을 만족하는 정수의 쌍 의 집합 위에서 동치 관계는 다음과 같이 정의된다.

:

(m_1, n_1) \sim (m_2, n_2) \iff m_1 n_2 = m_2 n_1.

^[6]^[14]

덧셈과 곱셈은 다음 규칙으로 정의된다.

:

(m_1, n_1) + (m_2, n_2) \equiv (m_1n_2 + n_1m_2, n_1n_2),

:

(m_1, n_1) \times (m_2, n_2) \equiv (m_1m_2, n_1n_2).

^[6]

이 동치 관계는 합동 관계이며, 위에서 정의된 덧셈, 곱셈과 호환된다. 유리수의 집합 Q^영어는 이 동치 관계에 의한 몫집합 으로 정의된다. 이 집합에는 위 연산에 의해 유도된 덧셈과 곱셈이 정의된다. 이 구성은 임의의 정역에서 수행될 수 있으며, 그 분수체를 생성한다.^[6]

쌍 의 동치류는 으로 표기한다. 두 쌍 과 가 같은 동치류에 속하면(동치이면) 다음이 성립한다.

:

m_1n_2 = m_2n_1.

이는 다음 조건과 동치이다.^[6]^[14]

:

\frac{m_1}{n_1} = \frac{m_2}{n_2}

모든 동치류 는 무한히 많은 쌍으로 표현될 수 있다.

:

\cdots  = \frac{-2m}{-2n} = \frac{-m}{-n} = \frac{m}{n} = \frac{2m}{2n} = \cdots.

각 동치류는 유일한 ''표준 대표 원소''를 포함한다. 표준 대표는 과 이 서로소이고, 을 만족하는 유일한 쌍 이다. 이를 유리수의 기약 분수 표현이라 한다.

정수 을 유리수 과 동일시하여 유리수로 간주할 수 있다.

전순서는 정수의 자연 순서를 확장하여 유리수 위에 정의할 수 있다.

:

\frac{m_1}{n_1} \le \frac{m_2}{n_2}

이는 다음과 동치이다.

:

\begin{align}& (n_1n_2 > 0 \quad \text{and} \quad m_1n_2 \le n_1m_2) \\& \qquad \text{or} \\& (n_1n_2 < 0 \quad \text{and} \quad m_1n_2 \ge n_1m_2).\end{align}

각 직선(의 정수점)이 각각 하나의 동치류(즉, 유리수)에 대응한다. 어떤 직선도 원점을 포함하지 않지만, 원점을 사이에 둔 반대편은 같은 동치류이다(그림에서는 같은 색으로 칠해져 그것을 나타낸다).

집합론의 형식에 의해, 정수 전체 '''Z'''에서 유리수 전체 '''Q'''를 구성할 수 있다. 정수의 순서쌍 에서 인 것의 전체 ''E'' = '''Z''' ×('''Z''' − {0})를 생각한다. ''E''상의 관계 ∼을 다음과 같이 정의한다.

:

(a,b) \sim (c,d) \iff ad-bc=0 \quad (a,b,c,d \in \mathbb{Z}, b \neq 0, d \neq 0)

이 관계 ∼은 동치 관계가 된다.

몫 집합 ''E''/∼를 다시 '''Q'''로 표기하고, '''Q'''에서의 쌍 에 속하는 동치류를 로 표기한다. 이 표기는 유일하지 않고, 다른 대표원 에 대해 다음이 성립한다.

:

{a \over b} = {c \over d} \iff ad-bc=0

'''Q'''에서의 덧셈 및 곱셈은 다음과 같이 정의된다.

:

{a \over b} + {c \over d} = {ad+bc \over bd},\quad{a \over b} \times {c \over d} = {ac \over bd}

이 덧셈과 곱셈은 잉여류끼리의 연산으로서 모순 없이 정의된다.

''E''에서의 덧셈 및 곱셈을 다음과 같이 정의한다.

:

(a,b)+(c,d)=(ad+bc,bd),\quad(a,b) \times (c,d) = (ac,bd)

라면 다음이 성립한다.

:

(a,b)+(c,d) \sim (a',b')+(c',d'),\quad(a,b) \times (c,d) \sim (a',b') \times (c',d')

따라서, '''Q'''에서의 덧셈 및 곱셈은 잉여류 각각의 대표원 의 취하는 방법에 의존하지 않는다. 에 속하는 동치류 이 '''Q'''에서의 영원 및 단위원이 된다. 마이너스원과 역원이 존재하므로, '''Q'''에서의 사칙연산이 모두 형식적으로 정당화된다.

사상 ι를 다음과 같이 정의한다.

:

\iota \colon \mathbb{Z} \to \mathbb{Q} = E /\sim{};\ m \mapsto {m \over 1}

ι는 단사이고, ''E''에서 및 이 성립한다. 또한 ι(1) = 이므로 ι는 단위적 환의 준동형이 된다. 따라서 '''Z'''는 ι에 의해 연산까지 포함하여 '''Q'''에 매립된다. 정수 과 잉여류 을 동일시하여 '''Q'''는 '''Z'''를 포함하는 것으로 간주한다.

이 구성은 일반적인 정역의 분수체 구성에도 적용 가능하다. 따라서 "'''Q'''는 '''Z'''의 분수체이다"라고 할 수 있다.

2. 2. 구체적 정의

유리수체 ℚ^영어는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 집합 위에 다음과 같은 동치 관계 ∼^영어를 정의한다.

::

유리수체 ℚ^영어는 집합으로서 몫집합 이며, 덧셈과 곱셈은 다음과 같다.

:

:

체가 만족시켜야 하는 연산 법칙과 덧셈 항등원 및 각 유리수의 덧셈 역원 및 곱셈 항등원 및 0이 아닌 각 유리수 ≠의 곱셈 역원의 존재가 성립하므로, 이는 체를 이룬다.

정수환과 유리수체 사이의 표준적인 단사 환 준동형은 다음과 같다.

:ℤ ↪ ℚ^영어

:n ↦ [(n,1)]^영어

각 유리수를 분수 꼴로 나타내면, 유리수를 마치 두 정수의 비율인 것처럼 다룰 수 있다.

유리수는 동치류의 순서쌍으로 구성될 수 있으며, 이 순서쌍들은 정수로 이루어져 있다.^[6]^[14]

더 정확하게 말하면, 을 을 만족하는 정수의 쌍의 집합이라고 하고, 이 집합 위에서 다음과 같은 동치 관계를 정의한다.

:^[6]^[14]

덧셈과 곱셈은 다음 규칙에 의해 정의될 수 있다.

:

:^[6]

이 동치 관계는 합동 관계이며, 위에서 정의된 덧셈과 곱셈과 호환된다. 유리수의 집합 ℚ^영어는 이 동치 관계에 의한 몫집합으로 정의되며, 위에는 위 연산에 의해 유도된 덧셈과 곱셈이 정의된다. (이 구성은 임의의 정역으로 수행될 수 있으며, 그 분수체를 생성한다.)^[6]

쌍의 동치류는으로 표기한다.

두 쌍 과 가 동일한 동치류에 속한다면(즉, 동치라면) 다음이 성립한다.

:

이는 다음을 의미한다.

:는 다음 조건이 성립할 때만 가능하다.^[6]^[14]

:

모든 동치류는 무한히 많은 쌍으로 표현될 수 있다.

:

각 동치류는 유일한 ''표준 대표 원소''를 포함한다. 표준 대표는 동치류 내에서 과 이 서로소이고, 을 만족하는 유일한 쌍 이다. 이는 유리수의 기약 분수 표현이라고 불린다.

정수는 정수 을 유리수 과 동일시하여 유리수로 간주할 수 있다.

전순서는 정수의 자연 순서를 확장하여 유리수 위에 정의될 수 있다. 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

만약

:

집합론의 형식에 의해, 정수 전체 Z^영어에서 유리수 전체 Q^영어를 구성할 수 있다. 먼저 정수의 순서쌍 에서 인 것의 전체 ''E'' 를 생각한다. 여기서 ''E''상의 관계 ∼^영어을

:

로 정하면, 관계 ∼^영어은 동치 관계가 된다.

몫 집합 ''E''/∼^영어를 다시 Q^영어로 표기하고, Q^영어에서의 쌍 에 속하는 동치류를 로 표기하면, 이 표기는 유일하지 않고, 다른 대표원에 대해

:

이 된다. 이 때, Q^영어에서의 덧셈 및 곱셈을 전 절에서 언급한 것처럼

:

로 정하면, 이 덧셈과 곱셈은 잉여류끼리의 연산으로서 모순 없이 정의된다. 실제로, ''E''에서의 덧셈 및 곱셈을

:

로 정하면, 라면

:

이 성립하므로, Q^영어에서의 덧셈 및 곱셈은 잉여류 각각의 대표원의 취하는 방법에 의존하지 않는다. 에 속하는 동치류 이 Q^영어에서의 영원 및 단위원이 됨을 확인할 수 있으며, 마이너스원과 역원이 상술한 바와 같이 얻어지므로, 이로써 Q^영어에서의 상술한 사칙연산이 모두 형식적으로 정당화된다. 또한, 사상 ι^영어를

:

로 정하면 ι^영어는 단사이고, ''E''에서 및 이 성립하므로 (또한 ι(1) =^영어 이므로 ι^영어는 단위적 환의 준동형이 된다) Z^영어는 ι^영어에 의해 연산까지 포함하여 Q^영어에 매립된다. 그래서 정수 과 잉여류 을 동일시하여 Q^영어는 Z^영어를 포함하는 것으로 간주한다.

이상의 구성은 일반적인 정역의 분수체의 구성에도 거의 그대로 적용할 수 있는 방법이며, 따라서 "Q^영어는 Z^영어의 분수체이다"라고 말할 수 있다.

3. 표현

유리수는 다양한 방법으로 표현될 수 있다. 어떤 정수 n은 n/1과 같이 유리수로 나타낼 수 있다. 유리수의 표현 방법은 다음과 같다.

진분수: 8/3
대분수: 2\tfrac{2}{3}
순환소수 (비쿨럼 사용): 2.\overline{6}
순환소수 (괄호 사용): 2.(6)
연분수 (전통적인 표기): 2 + \tfrac{1}{1 + \tfrac{1}{2}}
연분수 (약식 표기): [2; 1, 2]
이집트 분수: 2 + \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{6}
소수 거듭제곱 분해: 2³ × 3^-1
인용 표기법: 3'6

위의 표현들은 모두 동일한 유리수를 나타낸다.

유리수는 십진법 등의 기수법에서 소수로 나타낼 경우 유한 소수 또는 순환 소수가 된다.^[21] 또한, 유리수는 유한 정칙 연분수로 전개할 수 있다.

3. 1. 분수 표현

유리수는 두 정수의 비율이므로, 나눗셈 기호와 의미가 같은 분수 기호를 통해 나타낼 수 있다. 분자와 분모를 동시에 그 공약수로 나누어 원래와 값이 같지만 꼴이 더 단순한 분수를 얻는 과정을 약분이라고 한다. 분자와 분모가 서로소이어서 더 이상 약분할 수 없는 분수를 기약 분수라고 한다. 예를 들어, 을 최대 공약수 6으로 나눠 약분하면 기약 분수 을 얻는다. 분자가 분모보다 작은 분수를 진분수, 작지 않은 분수를 가분수라고 한다. 가분수는 정수와 진분수의 합으로 표현한 것을 대분수라고 한다. 예를 들어, 의 대분수 표현은 1이다.

모든 유리수는 유일한 방법으로 기약 분수 로 표현될 수 있으며, 여기서 와 는 서로소 정수이고 이다. 이것을 종종 유리수의 표준형이라고 부른다.

유리수 에서 시작하여, 와 를 그들의 최대공약수로 나누고, 만약 이면 결과 분자와 분모의 부호를 바꿈으로써 표준형을 얻을 수 있다.

3. 2. 십진법 표현

유리수의 십진법 전개는 유한 소수이거나 순환 소수이다. 십진법 전개의 예는 다음과 같다.

:

\frac75=1.4

:

\frac13=0.\dot3=0.333\cdots

:

\frac16=0.1\dot6=0.1666\cdots

:

\frac17=0.\dot14285\dot7=0.142857142857\cdots

:

\frac19=0.\dot1=0.111\cdots

:

\frac1{11}=0.\dot0\dot9=0.090909\cdots

:

\frac1{12}=0.08\dot3=0.083333\cdots

분수를 소수로 바꾸려면 나머지 있는 나눗셈을 통해 순환 마디를 구하면 된다. 유한 소수나 순환 소수를 분수로 전환하려면 0.1, 0.01, 0.001 및 0.111..., 0.010101..., 0.001001001... 따위를 이용하면 된다.

유리수는 (십진법 등) 기수법에서 소수로 표시하면 유한 소수 또는 순환 소수 중 하나가 된다.

3. 3. 연분수 표현

유리수는 유한 연분수로 표현할 수 있으며, 이는 유클리드 호제법을 통해 구할 수 있다. 예를 들면 다음과 같다.

:

\frac{11}9=[1;4,2]=1+\frac1{4+\dfrac12}

:

\frac{15}{11}=[1;2,1,3]=1+\frac1{2+\dfrac1{1+\dfrac13}}

:

\frac{734}{367}=[2;5,3,7,3]=2+\frac1{5+\dfrac1{3+\dfrac1{7+\dfrac13}}}

분수를 연분수로 나타내려면, 분자와 분모에 유클리드 호제법을 응용하면 된다.^[21]

4. 연산

두 유리수 a/b^영어, c/d^영어 (a^영어, b^영어, c^영어, d^영어는 정수, b^영어, d^영어는 모두 0이 아님)의 덧셈은 통분을 통해 $\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}$ 로 계산된다. 반수는 $-\frac{a}{b} = \frac{-a}{b} = \frac{a}{-b}$ 이며, 이를 이용하여 뺄셈을 $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}$ 로 계산할 수 있다.

곱셈은 $\frac{a}{b} \times \frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}$ 로 계산된다. 0이 아닌 유리수 a/b^영어의 역수는 $\left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}$ 이며, 이를 이용하여 나눗셈을 $\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{ad}{bc}$ 로 계산할 수 있다.

이와 같이 유리수는 사칙 연산에 대해 닫혀 있으며, 체의 공리를 만족한다.

4. 1. 등식과 부등식

두 유리수

\frac ab

,

\frac cd

(a, b, c, d는 정수, b, d는 0이 아님)가 같을 필요충분조건은 다음과 같다.

:

\frac ab=\frac cd\iff ad=bc\qquad(a,b,c,d\in\mathbb Z,\;b,d\ne0)

즉,

\frac{a}{b} = \frac{c}{d}

는

ad = bc

일 때에만 참이다.

두 분모가 모두 양수일 경우(특히 두 분수가 표준형일 경우), 두 유리수의 크기 비교는 다음과 같다.

:

\frac ab<\frac cd\iff ad 0)

즉,

\frac{a}{b} < \frac{c}{d}

는

ad < bc

일 때에만 참이다.

분모 중 하나라도 음수일 경우, 음의 분모를 가진 각 분수는 먼저 분자와 분모의 부호를 모두 변경하여 양의 분모를 가진 동등한 형태로 변환해야 한다.^[6]

4. 2. 덧셈과 뺄셈

두 유리수의 덧셈에는 통분 기법이 쓰이며, 다음과 같다.

:

\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{ad+bc}{bd}

유리수의 반수를 구하는 공식은 다음과 같다.

:

-\frac{a}{b}=\frac{-a}{b}

두 유리수의 뺄셈은 반수를 더하는 것과 같다.

:

\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\left(-\frac{c}{d}\right)=\frac{ad-bc}{bd}

분모의 최소 공배수를 공분모로 취하여 통분하면 더 간단히 구할 수 있다.

두 분수의 덧셈은 다음과 같이 수행된다.

:

\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.

두 분수가 기약 분수 형태일 때, 결과 또한 기약 분수 형태가 되는 필요충분조건은 b, d가 서로소인 정수일 경우이다.^[6]^[14]

:

\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}.

두 분수가 정규 형식일 경우, 결과는 b, d가 서로소 정수일 때만 정규 형식이 된다.^[14]

4. 3. 곱셈과 나눗셈

두 유리수의 곱셈은 다음과 같다.

:

\frac ab\cdot\frac cd=\frac{ac}{bd}

여기서 결과는 약분 가능한 분수가 될 수 있는데, 원본 분수가 모두 기약 분수 형태인 경우에도 마찬가지이다.^[6]^[14]

0이 아닌 유리수 a/b^영어의 역수는 다음과 같다.

:

\left(\frac ab\right)^{-1}=\frac ba

두 유리수의 나눗셈은 역수를 곱하는 것과 같다.

:

\frac ab\div\frac cd=\frac ab\cdot\left(\frac cd\right)^{-1}=\frac{ad}{bc}

^[14]

5. 성질

유리수 집합 $\mathbb{Q}$ 는 정수 집합 $\mathbb{Z}$ 로 만든 분수체이므로 사칙연산이 자유로운 체이다.^[6] 또한, 표수가 0인 가장 작은 체로, 표수가 0인 다른 체는 반드시 $\mathbb{Q}$ 와 동형인 체를 포함한다.

유리수는 조밀하게 정렬된 집합이다.^[6] 즉, 서로 다른 어떤 두 유리수 사이에도 또 다른 유리수가 존재하며, 따라서 무한히 많은 다른 유리수가 있다. 예를 들어,

: $\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$

(여기서 $b,d$ 는 양수)인 두 분수에 대해, 다음이 성립한다.

: $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}.$

$\mathbb{Q}$ 와 $\mathbb{Z}$ 사이에는 일대일 대응이 가능하므로, $\mathbb{Q}$ 는 가산 무한 집합이다. 모든 유리수의 집합은 가산 집합이며, 이는 오른쪽 그림에 묘사되어 있다. 유리수는 두 정수의 비로 표현될 수 있으므로, 데카르트 좌표계처럼 정사각 격자의 임의의 점에 두 정수를 할당하여, 모든 격자점이 유리수에 해당하도록 할 수 있다. 그러나 이 방법은 몇몇 다른 격자점이 동일한 유리수에 해당하므로 중복성을 나타낸다.

$\mathbb{Q}$ 는 항등원 외에는 체 자기동형 사상을 갖지 않으며, 자기 자신 외에는 부분체를 갖지 않는 체인 소체이다.^[15] 유리수는 표수가 0인 가장 작은 체이며, 위에 정의된 순서로, $\mathbb{Q}$ 는 자기 자신 외에는 부분체를 갖지 않는 순서체이며, 모든 순서체가 $\mathbb{Q}$ 와 동형인 고유한 부분체를 포함한다는 의미에서 가장 작은 순서체이다.^[14]

5. 1. 위상적 성질

유리수는 조밀 부분 집합으로, 모든 실수에 임의로 가까운 유리수가 존재한다.^[6]

실수의 일반적인 위상수학에서, 유리수는 열린 집합도 닫힌 집합도 아니다.^[19]

순서에 따라 유리수는 순서 위상을 가지며, 실수의 부분 공간으로서 부분 공간 위상을 갖는다. 유리수는 절대 차이 메트릭

d(x,y)=|x-y|

를 사용하여 거리 공간을 형성하며, 이는 에 대한 세 번째 위상을 생성한다. 세 위상은 모두 일치하며 유리수를 위상체로 만든다. 유리수는 국소 콤팩트 공간이 아닌 공간의 중요한 예이다. 유리수는 가산 거리화 가능 공간으로 고립점이 없는 유일한 공간으로 위상적으로 특징지어진다. 이 공간은 또한 완전 분리 공간이다. 유리수는 완비 거리 공간을 형성하지 않으며, 실수는 위에서 언급한 메트릭

d(x,y)=|x-y|

하에서 의 완비화이다.^[14]

5. 2. p진수

유리수체에는 p진 절댓값이 정의될 수 있으며, 이에 대한 완비화는 p진수체를 이룬다.^[20]

소수 p와 0이 아닌 정수 a에 대해,

|a|_p = p_{-n}

으로 정의한다. 여기서

p^n

은 a를 약수로 가지는 p의 가장 높은 거듭제곱이다.

또한

|0|_p = 0

으로 정의한다. 모든 유리수

\frac{a}{b}

에 대해, 다음과 같이 정의한다.

:

\left|\frac{a}{b}\right|_p = \frac{|a|_p}

6. 용어의 유래

"유리수"라는 용어는 rational number^영어를 번역한 것이다. rational^영어은 "합리적인", "이치에 맞는", "이성적인"이라는 뜻이다. 반면에 "rational"의 어근인 ratio^영어(λογος|로고스^el)는 "비"를 의미한다. 따라서 "유비수" 등으로 번역하는 것이 더 낫다는 견해도 있지만,^[22]^[23]^[24]^[25]^[26] 메이지 시대의 번역 과정에서 영어를 충실히 번역한 결과,^[27] 현재의 "유리수"가 되었다.

오늘날 "유리수"는 "비"의 관점에서 정의되지만, "rational(유리수)"이라는 용어는 "ratio(비)"에서 파생된 것이 아니다. 오히려 "ratio(비)"가 "rational(유리수)"에서 파생되었다. 현대적 의미의 "ratio(비)"는 1660년경에 영어에서 처음 사용되었고,^[8] 수를 수식하는 "rational(유리수)"은 그보다 거의 한 세기 전인 1570년에 나타났다.^[9] "rational(유리수)"의 이러한 의미는 1551년에 처음 사용된 "irrational(무리수)"의 수학적 의미에서 유래되었으며, "유클리드의 번역(그의 독특한 ἄλογος|알로고스^grc 사용을 따름)"에서 사용되었다.^[10]^[11]

이러한 특이한 역사는 고대 그리스 수학에서 "그들[무리수]의 길이를 수로 생각하는 것을 금지함으로써 이단에 빠지는 것을 피"했다는 사실에서 비롯되었다.^[12] 따라서 이러한 길이는 "illogical(비논리적인)" 의미에서 "irrational(무리수)"였으며, 즉 "말할 수 없는 것"이었다(그리스어 ἄλογος|알로고스^grc).^[13]

참조

_[1] 서적 Discrete Mathematics and its Applications McGraw-Hill
_[2] 서적 Elements of Pure and Applied Mathematics https://books.google[...] Courier Corporation
_[3] 서적 The Collected Works of Julia Robinson https://books.google[...] American Mathematical Soc
_[4] 웹사이트 Rational number https://www.britanni[...] 2020-08-11
_[5] 웹사이트 Rational Number https://mathworld.wo[...] 2020-08-11
_[6] 서적 Discrete Mathematics Oxford University Press
_[7] 서적 Elements of Modern Algebra Thomson Brooks/Cole
_[8] 서적 Oxford English Dictionary Oxford University Press 1989
_[9] 서적 Oxford English Dictionary Oxford University Press 1989
_[10] 서적 Oxford English Dictionary Oxford University Press 1989
_[11] 웹사이트 Does rational come from ratio or ratio come from rational https://english.stac[...] 2021-03-19
_[12] 웹사이트 How a Mathematical Superstition Stultified Algebra for Over a Thousand Years https://nautil.us/bl[...] 2021-03-20
_[13] 서적 The Nature and Growth of Modern Mathematics Princeton University Press 1983
_[14] 웹사이트 Fraction - Encyclopedia of Mathematics https://encyclopedia[...] 2021-08-17
_[15] 서적 Encyclopedic Dictionary of Mathematics, Volume 1 https://books.google[...] MIT Press
_[16] 서적 Algebra II: Chapters 4 - 7 Springer Science & Business Media 2003
_[17] 간행물 Any two countable densely ordered sets without endpoints are isomorphic - a formal proof with KIV https://www.uio.no/s[...] 2021-08-17
_[18] 서적 Introduction to Number Theory https://books.google[...] CRC Press
_[19] 서적 A First Course in Discrete Dynamical Systems https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[20] 웹사이트 p-adic Number https://mathworld.wo[...] 2021-08-17
_[21] 문서 Jean C. Baudet (2005), Mathématique et Vérité. Une philosophie du nombre
_[22] 문서 一松信『sqrt2の数学無理数を見直す』海鳴社、1990年 ISBN 978-4875250562
_[23] 문서 志賀浩二『数の世界』岩波書店、1992年 ISBN 978-4001152722
_[24] 문서 長岡亮介 (数学者)|長岡亮介『本質の研究数学Ⅰ+A』旺文社、2004年 ISBN 978-4010332115
_[25] 문서 吉田武 (サイエンスライター)|吉田武『レオンハルト・オイラー|オイラーの贈物人類の至宝オイラーの等式e{sup|iπ}}=-1を学ぶ』学校法人東海大学出版会|東海大学出版会、2010年 ISBN 978-4486018636
_[26] 문서 吉田武『虚数』の情緒中学生からの全方位独学法』東海大学出版会、2000年 ISBN 978-4486014850
_[27] 서적 数学用語と記号ものがたり裳華房 2003-08-25

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