벨 다항식

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1. 개요

벨 다항식은 부분 지수 벨 다항식과 완전 지수 벨 다항식, 일반 벨 다항식으로 구분되며, 삼각 배열의 다항식으로 정의된다. 벨 다항식은 집합 분할 방법과 관련된 정보를 제공하며, 파 디 브루노 공식, 멱급수의 지수 함수, 모멘트와 큐물런트, 에르미트 다항식, 대칭 다항식, 순환 지표 등 다양한 수학적 개념과 연관되어 활용된다.

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벨 다항식
개요
유형	다항식
분야	조합론
발견자	에릭 템플 벨
정의
정의	미분 가능한 함수 f(x)에 대해, n번째 벨 다항식은 다음과 같이 정의된다: B_n(x_1, x_2, ...) = \sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1, x_2, ...) 여기서 B_{n,k}(x_1, x_2, ...)은 부분 벨 다항식이다.
부분 벨 다항식	B_{n,k}(x_1, x_2, ...) = \sum_{(\lambda_1, \lambda_2, ...): \sum_{j=1}^n j\lambda_j = n, \sum_{j=1}^n \lambda_j = k} {n \choose \lambda_1, \lambda_2, ...} \prod_{i=1}^n \left( \frac{x_i}{i!} \right)^{\lambda_i}
속성
속성	벨 다항식은 다음과 같은 속성을 가진다: \frac{d}{dx} B_n(x_1, x_2, ...) = \sum_{i=1}^n B_{n-1}(x_1, x_2, ...)
예시
B_1	x₁
B_2	x₁² + x₂
B_3	x₁³ + 3x₁x₂ + x₃
B_4	x₁⁴ + 6x₁²x₂ + 4x₁x₃ + 3x₂² + x₄
B_5	x₁⁵ + 10x₁³x₂ + 10x₁²x₃ + 15x₁x₂² + 5x₁x₄ + 10x₂x₃ + x₅
B_6	x₁⁶ + 15x₁⁴x₂ + 20x₁³x₃ + 45x₁²x₂² + 15x₁²x₄ + 60x₁x₂x₃ + 6x₁x₅ + 15x₂³ + 10x₂x₄ + 15x₃² + x₆
응용
응용	벨 다항식은 조합론, 확률론, 통계 물리학 등 다양한 분야에서 응용된다.
관련 항목
관련 항목	조합론 다항식 에릭 템플 벨

2. 정의

벨 다항식은 조합론에서 사용되는 다항식으로, 집합의 분할과 관련된 정보를 나타낸다. 벨 다항식은 부분 벨 다항식(또는 불완전 벨 다항식)과 완전 벨 다항식으로 나뉜다.

부분 벨 다항식 $B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})$ 는 $n$ 개의 원소를 가진 집합을 $k$ 개의 부분집합으로 분할하는 경우의 수를 나타내는 다항식이다. 이때, 각 변수 $x_i$ 는 크기가 $i$ 인 부분집합의 개수를 의미한다.

완전 벨 다항식 $B_n(x_1,x_2,\dots,x_n)$ 은 $n$ 개의 원소를 가진 집합을 임의의 개수의 부분집합으로 분할하는 모든 경우의 수를 나타낸다. 이는 부분 벨 다항식의 합으로 표현할 수 있다. 즉, $B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})$ 이다.

예를 들어, 집합 {A, B, C}를 두 개의 부분집합으로 분할하는 방법은 {A}, {B, C}, {B}, {A, C}, {C}, {B, A}의 세 가지가 있다. 이는 $B_{3,2}(x_1,x_2) = 3 x_1 x_2$ 로 표현된다. 여기서 $x_1$ 은 크기가 1인 부분집합, $x_2$ 는 크기가 2인 부분집합을 나타내며, 계수 3은 이러한 분할이 3가지임을 의미한다.

부분 벨 다항식과 완전 벨 다항식은 정수 분할, 제2종 스털링 수, 벨 수와 같은 조합론적 개념들과 밀접한 관련이 있다.

일반 벨 다항식(Ordinary Bell polynomials)은 지수 벨 다항식과 관련된 다항식으로, 다른 형태를 가진다. Ordinary Bell polynomials^영어은 다음과 같이 정의된다.

: $\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \sum \frac{k!}{j_1! j_2! \cdots j_{n-k+1}!} x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},$

여기서 합은 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 정수의 모든 수열 ''j''₁, ''j''₂, ''j''₃, ..., ''j''_{''n''−''k''+1}에 대해 수행된다.

: $j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k,$

: $j_1 + 2 j_2 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.$

2. 1. 부분 지수 벨 다항식

부분 지수 벨 다항식 또는 불완전 지수 벨 다항식은 삼각 배열의 다항식이다.

:

B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) = \sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}

:

= n! \sum \prod_{i=1}^{n-k+1} \frac{x_i^{j_i}}{(i!)^{j_i} j_i!},

여기서 합은 다음 두 조건을 만족하는 음이 아닌 정수의 모든 시퀀스 ''j''₁, ''j''₂, ''j''₃, ..., ''j''_{''n''−''k''+1}에 대해 취해진다.

:

j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k,

:

j_1 + 2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.

2. 2. 완전 지수 벨 다항식

지수 벨 다항식은 집합을 분할하는 방법과 관련된 정보를 나타낸다. 예를 들어, 집합 {A, B, C}를 겹치지 않는 두 개의 부분 집합으로 분할하는 방법은 다음과 같이 3가지가 있다.

{A}, {B, C}
{B}, {A, C}
{C}, {B, A}

이러한 분할 정보는 다음과 같이 완전 벨 다항식으로 표현할 수 있다.

:

B_{3,2}(x_1,x_2) = 3 x_1 x_2.

여기서 아래 첨자 ''B''_3,2는 3개의 원소를 가진 집합을 2개의 블록으로 분할하는 것을 의미한다. 각 ''x''_i의 아래 첨자는 주어진 분할에서 ''i''개의 원소를 가진 블록(크기가 ''i''인 블록)의 존재를 나타낸다. ''x''₂는 두 개의 원소를 가진 블록을, ''x''₁은 한 개의 원소를 가진 블록을 나타낸다. ''x''_i^j의 지수는 크기 ''i''인 블록이 ''j''개 있음을 의미한다. 위 식에서 ''x''₁과 ''x''₂ 모두 지수가 1이므로, 각 분할에 해당 크기의 블록이 하나씩 있음을 알 수 있다. 단항식의 계수 3은 이러한 분할이 3가지임을 나타낸다.

일반적으로, ''n''개의 원소를 가진 집합을 1개의 블록으로 분할하는 방법은 ''B''_''n'',1 = ''x''_''n''으로 표현된다. 마찬가지로, ''n''개의 원소를 ''n''개의 블록(각각 한 개의 원소를 가짐)으로 분할하는 방법은 ''B''_''n'',''n'' = ''x''₁^''n''으로 표현된다.

더 복잡한 예시로, 다음을 살펴보자.

:

B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2.

이는 6개의 원소를 가진 집합을 2개의 블록으로 분할할 때, 크기가 5와 1인 블록으로 나누는 경우가 6가지, 크기가 4와 2인 블록으로 나누는 경우가 15가지, 크기가 3인 블록 2개로 나누는 경우가 10가지임을 의미한다.

부분 벨 다항식에서 단항식의 아래 첨자의 합은 전체 원소의 수와 같다. 즉, 부분 벨 다항식에 나타나는 단항식의 수는 정수 ''n''을 ''k''개의 부분으로 정수 분할하는 경우의 수와 같다. 예를 들어, ''B''_3,2의 경우, 3은 2+1로 두 부분으로 분할될 수 있으므로 단 하나의 단항식만 존재한다. 반면, ''B''_6,2의 경우, 6은 5+1, 4+2, 3+3으로 두 부분으로 분할될 수 있으므로 세 개의 단항식이 존재한다. 단항식에서 변수의 아래 첨자는 정수 분할의 결과를 나타내며, 이는 서로 다른 블록의 크기를 의미한다. 완전 벨 다항식 ''B_n''에 나타나는 총 단항식의 수는 ''n''의 총 정수 분할의 수와 같다.

각 단항식의 차수(각 변수의 지수의 합)는 집합이 분할되는 블록의 수 ''k''와 같다. 따라서 완전 벨 다항식 ''B_n''에서 차수가 ''k''인 모든 단항식을 모아 부분 벨 다항식 ''B_n,k''를 얻을 수 있다.

블록의 크기를 무시하고 모든 ''x''_''i'' = ''x''로 설정하면, 부분 벨 다항식 ''B''_''n'',''k''의 계수의 합은 ''n''개의 원소를 가진 집합을 ''k''개의 블록으로 분할하는 총 횟수를 나타내며, 이는 제2종 스털링 수와 같다. 또한, 완전 벨 다항식 ''B_n''의 모든 계수의 합은 ''n''개의 원소를 가진 집합을 겹치지 않는 부분 집합으로 분할하는 총 횟수를 나타내며, 이는 벨 수와 같다.

일반적으로, 정수 ''n''이 "1"이 ''j''₁번, "2"가 ''j''₂번 나타나는 등의 합으로 정수 분할될 때, 해당 정수 ''n''의 분할로 축소되는 크기 ''n''의 집합의 분할 수는 다항식에서 해당 계수와 같다.

''n''차 '''완전 벨 다항식'''은 다음과 같이 정의된다.

:

B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})

완전 벨 다항식은 다음 행렬식으로도 표현할 수 있다.

:

B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}x_1 &{n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & {n-1 \choose 4} x_5 & \cdots & \cdots & x_n \\  \\

1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & {n-2 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\ \\

0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & {n-3 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\ \\0 & 0 & -1 & x_1 & {n-4 \choose 1} x_2 & \cdots & \cdots & x_{n-3} \\ \\0 & 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\ \\0 & 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-5} \\ \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \\0 & 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1\end{bmatrix}.

2. 3. 일반 벨 다항식 (Ordinary Bell polynomials)

부분 ordinary^영어 벨 다항식은 다음과 같이 정의된다.

:

\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \sum \frac{k!}{j_1! j_2! \cdots j_{n-k+1}!} x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},

여기서 합은 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 정수의 모든 수열 ''j''₁, ''j''₂, ''j''₃, ..., ''j''_{''n''−''k''+1}에 대해 수행된다.

:

j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k,

:

j_1 + 2 j_2 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.

지수에 대한 첫 번째 조건 덕분에, 이 공식을 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \sum \binom{k}{j_1, j_2, \ldots, j_{n-k+1}} x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},

여기서 다항 계수를 사용했다.

ordinary^영어 벨 다항식은 지수 벨 다항식의 항으로 표현될 수 있다.

:

\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \frac{k!}{n!}B_{n,k}(1!\cdot x_1,2!\cdot x_2,\ldots,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).

일반적으로, 달리 명시되지 않는 한 벨 다항식은 지수 벨 다항식을 지칭한다.

3. 성질

부분 지수 벨 다항식(불완전 지수 벨 다항식)은 삼각 배열의 다항식으로 표현된다. 여기서 합은 특정 조건을 만족하는 음이 아닌 정수들의 수열에 대해 계산된다. 완전 지수 벨 다항식은 부분 지수 벨 다항식의 합으로 나타낼 수 있다.

부분 ''ordinary'' 벨 다항식도 정의되는데, 이 역시 특정 조건을 만족하는 음이 아닌 정수들의 수열에 대한 합으로 계산된다. 이 다항식은 다항 계수를 사용하여 다시 쓸 수 있으며, 지수 벨 다항식의 항으로 표현 가능하다. 일반적으로 벨 다항식은 지수 벨 다항식을 가리킨다.

지수 벨 다항식은 집합 분할과 관련된 정보를 담고 있다. 예를 들어, 집합 {A, B, C}를 두 개의 겹치지 않는 부분 집합으로 나누는 방법은 세 가지가 있다.

이러한 분할 정보는

B_{3,2}(x_1,x_2) = 3 x_1 x_2

와 같이 벨 다항식으로 표현할 수 있다. 여기서 아래 첨자는 원소 개수와 블록 개수를,

x_i

는 크기가

i

인 블록의 존재를, 지수는 해당 크기의 블록 개수를, 단항식의 계수는 그러한 분할의 총 개수를 나타낸다.

B_{n,1} = x_n

이고,

B_{n,n} = x_1^n

이다.

예를 들어

B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2

는 6개의 원소를 가진 집합을 2개의 블록으로 나누는 경우, 크기가 1과 5인 블록 6개, 크기가 4와 2인 블록 15개, 크기가 3인 블록 10개로 분할될 수 있음을 의미한다.

부분 벨 다항식에 나타나는 단항식의 수는 정수

n

을

k

개의 부분으로 정수 분할하는 경우의 수와 같다. 완전 벨 다항식

B_n

에 나타나는 총 단항식의 수는

n

의 총 정수 분할의 수와 같다. 각 단항식의 차수는 집합이 분할되는 블록의 수와 같으며, 부분 벨 다항식

B_{n,k}

는 완전 벨 다항식

B_n

에서 차수가

k

인 모든 단항식을 모아 분리하여 얻을 수 있다.

부분 벨 다항식

B_{n,k}

의 계수의 합은 제2종 스털링 수와 같고, 완전 벨 다항식

B_n

의 모든 계수의 합은 벨 수와 같다.

정수

n

이 "1"이

j_1

번, "2"가

j_2

번 나타나는 등의 합으로 정수 분할될 때, 집합의 구성원이 구별 불가능하게 되면, 해당 정수 분할로 축소되는 크기

n

의 집합의 분할 수는 다항식에서 해당 계수가 된다.

3. 1. 생성 함수

부분 지수 벨 다항식(또는 불완전 지수 벨 다항식)은 삼각 배열의 다항식으로, 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) &= \sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}} \\&= n! \sum \prod_{i=1}^{n-k+1} \frac{x_i^{j_i}}{(i!)^{j_i} j_i!},\end{align}

여기서 합은 다음 두 조건을 만족하는 음이 아닌 정수 수열 ''j''₁, ''j''₂, ''j''₃, ..., ''j''_{''n''−''k''+1}에 대해 취해진다.

:

j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k,

:

j_1 + 2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.

''n''번째 ''완전 지수 벨 다항식''은 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}B_n(x_1,\dots,x_n)&=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})\\&=n! \sum_{1j_1 +\ldots+ nj_n=n} \prod_{i=1}^n \frac{x_i^{j_i}}{(i!)^{j_i}j_i!}\end{align}

부분 ''ordinary'' 벨 다항식은 다음과 같이 정의된다.

:

\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \sum \frac{k!}{j_1! j_2! \cdots j_{n-k+1}!} x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},

여기서 합은 다음 조건을 만족하는 음이 아닌 정수 수열 ''j''₁, ''j''₂, ''j''₃, ..., ''j''_{''n''−''k''+1}에 대해 수행된다.

:

j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k,

:

j_1 + 2 j_2 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.

위의 식은 다항 계수를 사용하여 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \sum \binom{k}{j_1, j_2, \ldots, j_{n-k+1}} x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}},

ordinary 벨 다항식은 지수 벨 다항식으로 표현할 수 있다.

:

\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \frac{k!}{n!}B_{n,k}(1!\cdot x_1,2!\cdot x_2,\ldots,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).

일반적으로 벨 다항식은 지수 벨 다항식을 의미한다.

지수 부분 벨 다항식은 생성 함수의 이중 급수 전개로 정의될 수 있다.

:

\begin{align}\Phi(t,u) &= \exp\left( u \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right) = \sum_{n\geq k \geq 0} B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) \frac{t^n}{n!} u^k\\&= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!} \sum_{k=1}^n u^k B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}).\end{align}

또는, ''k'' 제곱의 급수 전개로 정의할 수 있다.

:

\frac{1}{k!}\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right)^k = \sum_{n=k}^\infty B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) \frac{t^n}{n!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots

완전 지수 벨 다항식은

\Phi(t,1)

로 정의된다.

:

\Phi(t,1) = \exp\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right) = \sum_{n=0}^\infty B_n(x_1,\ldots, x_n) \frac{t^n}{n!}.

따라서, ''n''차 완전 벨 다항식은 다음과 같다.

:

B_n(x_1,\ldots, x_n) = \left. \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n \exp\left( \sum_{j=1}^n x_j \frac{t^j}{j!} \right) \right|_{t=0}.

''일반'' 부분 벨 다항식은 생성 함수로 정의할 수 있다.

:

\hat{\Phi}(t,u) = \exp \left( u \sum_{j=1}^\infty x_j t^j \right) = \sum_{n\geq k\geq 0} \hat{B}_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) t^n \frac{u^k}{k!}.

또는, ''k'' 제곱의 급수 전개로 표현할 수 있다.

:

\left(\sum_{j=1}^\infty x_j t^j\right)^k = \sum_{n=k}^\infty \hat{B}_{n,k}(x_1, \ldots, x_{n-k+1}) t^n.

생성 함수 변환에서 시퀀스 생성 함수와 시퀀스 생성 함수의 거듭제곱, 로그 및 지수의 합성에 대한 벨 다항식 생성 함수 전개를 참조할 수 있다.

3. 2. 점화 관계

부분 벨 다항식은 다음 점화 관계를 통해 효율적으로 계산할 수 있다.

:

B_{n+1,k+1}(x_1, \ldots, x_{n-k+1}) = \sum_{i=0}^{n-k} \binom{n}{i} x_{i+1} B_{n-i,k}(x_1, \ldots, x_{n-k-i+1})

여기서

:

B_{0,0} = 1;

:

B_{n,0} = 0 \text{ for } n \geq 1;

:

B_{0,k} = 0 \text{ for } k \geq 1.

완전 벨 다항식은 다음 점화 관계를 통해 정의할 수 있다.

:

B_{n+1}(x_1, \ldots, x_{n+1}) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i}) x_{i+1}

초깃값

B_0 = 1

과 함께.

또한, 완전 벨 다항식은 다음 점화 미분 공식을 만족한다.

:

\begin{align}B_n(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=2}^n \right. & \sum_{j=1}^{i-1} (i-1) \binom{i-2}{j-1} x_j x_{i-j}\frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \\[5pt]& \left. {} + \sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^{i-1} \frac{x_{i+1}}{\binom i j} \frac{\partial^2 B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_j \partial x_{i-j}} \right. \\[5pt]& \left. {} + \sum_{i=2}^n x_i \frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \right].\end{align}

3. 3. 미분

벨 다항식은 다음과 같은 미분으로 표현 가능하다.^[6]

:

\begin{align}B_n(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n-1} \left( \sum_{i=2}^n \right. & \sum_{j=1}^{i-1} (i-1) \binom{i-2}{j-1} x_j x_{i-j}\frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \\[5pt]& \left. {} + \sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^{i-1} \frac{x_{i+1}}{\binom i j} \frac{\partial^2 B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_j \partial x_{i-j}} \right. \\[5pt]& \left. {} + \sum_{i=2}^n x_i \frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \right)\end{align}

완전 벨 다항식의 편미분은 다음과 같다.

:

\frac{\partial B_{n}}{\partial x_i} (x_1, \ldots, x_{n}) = \binom{n}{i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i}).

부분 벨 다항식의 편미분은 다음과 같다.

:

\frac{\partial B_{n,k}}{\partial x_i} (x_1, \ldots, x_{n-k+1}) = \binom{n}{i} B_{n-i,k-1}(x_1, \ldots, x_{n-i-k+2}).

벨 다항식의 인수가 1차원 함수인 경우, 연쇄 법칙을 사용하면 다음을 얻을 수 있다.

:

\frac{d}{dx} \left(B_{n,k}(a_1(x), \cdots, a_{n-k+1}(x))\right) = \sum_{i=1}^{n-k+1} \binom{n}{i} a_i'(x) B_{n-i,k-1}(a_1(x), \cdots, a_{n-i-k+2}(x)).

3. 4. 합성곱 항등식

수열 ''x''_''n'', ''y''_''n'', ''n'' = 1, 2, ...에 대해 합성곱을 다음과 같이 정의한다.

:

(x \mathbin{\diamondsuit} y)_n = \sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} x_j y_{n-j}.

합의 경계는 1과 ''n'' − 1이며, 0과 ''n''이 아니다.

x_n^{k\diamondsuit}\,

를 다음 수열의 ''n''번째 항이라고 하자.

:

\underbrace{x\mathbin{\diamondsuit}\cdots\mathbin{\diamondsuit} x}_{k \text{ factors}}.\,

그러면

:

B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_n^{k\diamondsuit} \over k!}.\,

예를 들어,

B_{4,3}(x_1,x_2)

를 계산해 보자.

:

x = ( x_1 \ , \ x_2 \ , \ x_3 \ , \ x_4 \ , \dots )

:

x \mathbin{\diamondsuit} x = ( 0,\  2 x_1^2 \ ,\  6 x_1 x_2 \ , \  8 x_1 x_3 + 6 x_2^2 \ , \dots )

:

x \mathbin{\diamondsuit} x \mathbin{\diamondsuit} x = (  0 \ ,\ 0 \  , \ 6 x_1^3 \ , \ 36 x_1^2 x_2 \ , \dots )

따라서,

:

B_{4,3}(x_1,x_2) = \frac{ ( x \mathbin{\diamondsuit} x \mathbin{\diamondsuit} x)_4 }{3!} = 6 x_1^2 x_2.

3. 5. 행렬 표현

완전 벨 다항식은 행렬식으로 표현할 수 있다.^[1]

:

B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}x_1 & {n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_n \\  \\

1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\ \\

0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\ \\0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-3} \\ \\0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\ \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1 \end{bmatrix}

다음과 같이 표현할 수도 있다.^[1]

:

B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}\frac{x_1}{0!} & \frac{x_2}{1!} & \frac{x_3}{2!} & \frac{x_4}{3!} & \cdots & \cdots & \frac{x_n}{(n-1)!} \\  \\

1 & \frac{x_1}{0!} & \frac{x_2}{1!} & \frac{x_3}{2!} & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-1}}{(n-2)!} \\ \\

0 & -2 & \frac{x_1}{0!} & \frac{x_2}{1!} & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-2}}{(n-3)!} \\ \\0 & 0 & -3 & \frac{x_1}{0!} & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-3}}{(n-4)!} \\ \\0 & 0 & 0 & -4 & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-4}}{(n-5)!} \\ \\\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ \\0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -(n-1) & \frac{x_1}{0!} \end{bmatrix}.

4. 조합론적 의미

부분 지수 벨 다항식(불완전 지수 벨 다항식)은 삼각 배열의 다항식으로, 다음과 같이 정의된다.

: $B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) = \sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}$

여기서 합은 다음 두 조건을 만족하는 음이 아닌 정수의 모든 수열 ''j''₁, ''j''₂, ''j''₃, ..., ''j''_{''n''−''k''+1}에 대해 취해진다.

: $j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k,$

: $j_1 + 2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.$

부분 벨 다항식은 집합의 분할과 관련된 정보를 담고 있다. 예를 들어, 집합 {A, B, C}를 겹치지 않는 두 개의 부분 집합(블록)으로 나누는 방법은 3가지이다.

{A}, {B, C}
{B}, {A, C}
{C}, {B, A}

이를 벨 다항식으로 표현하면 다음과 같다.

:

B_{3,2}(x_1,x_2) = 3 x_1 x_2.

여기서 아래 첨자 3, 2는 3개의 원소를 가진 집합을 2개의 블록으로 분할함을 의미한다. ''x''_i의 아래 첨자는 크기가 ''i''인 블록을, 지수는 해당 크기의 블록 개수를 나타낸다. 위 예시에서 ''x''₁은 크기가 1인 블록, ''x''₂는 크기가 2인 블록을 의미하며, 각 지수가 1이므로 크기가 1인 블록과 2인 블록이 각각 하나씩 있음을 뜻한다. 단항식의 계수 3은 이러한 분할이 3가지임을 나타낸다.

일반적으로, ''n''개의 원소를 가진 집합을 ''k''개의 블록으로 분할하는 경우, 부분 벨 다항식 ''B''_''n'',''k''는 다음과 같이 해석된다.

''x''_i^j: 크기가 ''i''인 블록이 ''j''개 존재함을 의미한다.
단항식의 계수: 조건을 만족하는 분할의 가짓수를 나타낸다.
단항식 아래 첨자의 합: ''n''과 같다.
단항식 차수(각 변수의 지수의 합): ''k''와 같다.

예를 들어,

:

B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2.

는 6개의 원소를 가진 집합을 2개의 블록으로 분할할 때, 크기가 1과 5인 블록(6가지), 크기가 4와 2인 블록(15가지), 크기가 3인 블록 2개(10가지)로 분할하는 방법이 있음을 나타낸다.

부분 벨 다항식 ''B''_''n'',''k''에서 모든 ''x''_''i''를 ''x''로 치환하면, 계수의 합은 ''n''개의 원소를 ''k''개의 블록으로 분할하는 방법의 수, 즉 제2종 스털링 수가 된다. 또한, 완전 벨 다항식 ''B_n''의 모든 계수의 합은 ''n''개의 원소를 가진 집합을 겹치지 않는 부분 집합으로 분할하는 모든 경우의 수, 즉 벨 수가 된다.

만약 집합의 원소가 구별되지 않는다면, 정수 분할의 개념을 사용하여 분할의 수를 계산할 수 있다. 예를 들어, ''B''_6,2의 경우, 6을 5+1, 4+2, 3+3으로 분할하는 각 경우의 수가 해당 항의 계수가 된다.

5. 관련된 수

부분 지수 벨 다항식(또는 불완전 지수 벨 다항식)은 삼각 배열의 다항식으로, 다음과 같이 정의된다.

: $B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) = \sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}\left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}}$

여기서 합은 다음 두 조건을 만족하는 음이 아닌 정수의 모든 수열 ''j''₁, ''j''₂, ''j''₃, ..., ''j''_{''n''−''k''+1}에 대해 취해진다.

: $j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k,$

: $j_1 + 2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.$

부분 ''ordinary'' 벨 다항식은 다음과 같이 정의된다.

: $\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \sum \frac{k!}{j_1! j_2! \cdots j_{n-k+1}!} x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}}$

여기서 합은 위와 동일한 조건을 만족하는 음이 아닌 정수의 모든 수열에 대해 수행된다.

ordinary 벨 다항식은 지수 벨 다항식의 항으로 표현될 수 있다.

: $\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \frac{k!}{n!}B_{n,k}(1!\cdot x_1,2!\cdot x_2,\ldots,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).$

일반적으로 벨 다항식은 지수 벨 다항식을 의미한다.

지수 벨 다항식은 집합 분할과 관련된 정보를 담고 있다. 예를 들어 집합 {A, B, C}를 겹치지 않는 두 개의 부분 집합으로 나누는 방법은 세 가지이다.

{A}, {B, C}
{B}, {A, C}
{C}, {B, A}

이 정보는

B_{3,2}(x_1,x_2) = 3 x_1 x_2

로 표현할 수 있다. 여기서 아래 첨자 3, 2는 3개의 원소를 2개의 블록으로 분할함을 의미한다. ''x''₂는 두 개의 원소를 가진 블록, ''x''₁은 한 개의 원소를 가진 블록을 나타낸다. 지수는 각 크기의 블록 개수를, 단항식의 계수는 그러한 분할의 총 개수를 나타낸다.

''n''개의 원소를 1개의 블록으로 분할하는 경우는 ''B''_''n'',1 = ''x''_''n'', ''n''개의 원소를 ''n''개의 블록으로 분할하는 경우는 ''B''_''n'',''n'' = ''x''₁^''n''이다.

B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2

는 6개의 원소를 2개의 블록으로 나누는 경우, 크기가 1과 5인 블록 6개, 크기가 4와 2인 블록 15개, 크기가 3인 블록 10개로 분할될 수 있음을 의미한다.

부분 벨 다항식에 나타나는 단항식의 수는 정수 ''n''을 ''k''개의 부분으로 정수 분할하는 경우의 수와 같다. 완전 벨 다항식 ''B_n''에 나타나는 총 단항식의 수는 ''n''의 총 정수 분할의 수와 같다.

각 단항식의 차수(지수의 합)는 집합이 분할되는 블록의 수 ''k''와 같다. 따라서 완전 벨 다항식 ''B_n''에서 차수가 ''k''인 모든 단항식을 모아 부분 벨 다항식 ''B_n,k''를 얻을 수 있다.

부분 벨 다항식 ''B''_''n'',''k''의 계수의 합은 ''n''개의 원소를 가진 집합을 ''k''개의 블록으로 분할하는 총 횟수를 나타내며, 이는 제2종 스털링 수와 같다. 완전 벨 다항식 ''B_n''의 모든 계수의 합은 ''n''개의 원소를 가진 집합을 겹치지 않는 부분 집합으로 분할하는 총 횟수를 나타내며, 이는 벨 수와 같다.

정수 ''n''이 "1"이 ''j''₁번, "2"가 ''j''₂번 나타나는 등의 합으로 정수 분할될 때, 해당 분할로 축소되는 크기 ''n''의 집합의 분할 수는 다항식의 해당 계수이다.

다음은 불완전 벨 다항식

B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})

의 삼각 행렬이다.

n ＼ k	0	1	2	3	4	5	6
0	$1$
1	$0$	$x_1$
2	$0$	$x_2$	$x_1^2$
3	$0$	$x_3$	$3x_1x_2$	$x_1^3$
4	$0$	$x_4$	$3x_2^2+4x_1x_3$	$6x_1^2x_2$	$x_1^4$
5	$0$	$x_5$	$10x_2x_3+5x_1x_4$	$15x_1x_2^2+10x_1^2x_3$	$10x_1^3x_2$	$x_1^5$
6	$0$	$x_6$	$10x_3^2+15x_2x_4+6x_1x_5$	$15x_2^3+60x_1x_2x_3+15x_1^2x_4$	$45x_1^2x_2^2+20x_1^3x_3$	$15x_1^4x_2$	$x_1^6$

벨 다항식 ''B''_''n'',''k''(''x''₁,''x''₂,...)에서 계승 수열에 대한 값은 부호 없는 제1종 스털링 수와 같다.

: $B_{n,k}(0!,1!,\dots,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)| = \left[{n\atop k}\right].$

이 값들의 합은 계승 수열에 대한 완전 벨 다항식의 값을 제공한다.

: $B_n(0!,1!,\dots,(n-1)!)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(0!,1!,\dots,(n-k)!) = \sum_{k=1}^n \left[{n\atop k}\right] = n!.$

벨 다항식 ''B''_''n'',''k''(''x''₁,''x''₂,...)에서 1의 수열에 대한 값은 제2종 스털링 수와 같다.

: $B_{n,k}(1,1,\dots,1)=S(n,k)=\left\{{n\atop k}\right\}.$

이 값들의 합은 1의 수열에 대한 완전 벨 다항식의 값을 제공하며, 이는 ''n''번째 벨 수이다.

: $B_n(1,1,\dots,1)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(1,1,\dots,1) = \sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\}$

: $B_{n,k}(1!,2!,\ldots,(n-k+1)!) = \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} = L(n,k)$ 는 라 수를 제공한다.

6. 응용

지수 벨 다항식은 집합 분할 방법에 대한 정보를 담고 있다. 예를 들어, 집합 {A, B, C}를 겹치지 않는 두 부분 집합(블록)으로 나누는 방법은 다음과 같이 3가지이다.

{A}, {B, C}
{B}, {A, C}
{C}, {B, A}

이는 벨 다항식으로

B_{3,2}(x_1,x_2) = 3 x_1 x_2

와 같이 나타낼 수 있다. 여기서 아래 첨자 3, 2는 3개의 원소를 가진 집합을 2개의 블록으로 분할함을 의미한다.

x_i

는

i

개의 원소를 가진 블록을 나타내므로,

x_2

는 두 개,

x_1

은 한 개의 원소를 가진 블록을 의미한다.

x_i^j

의 지수는 크기가

i

인 블록이

j

개 있음을 뜻한다. 위 식에서

x_1

과

x_2

의 지수가 모두 1이므로, 크기가 1, 2인 블록이 각각 하나씩 존재함을 알 수 있다. 단항식의 계수는 이러한 분할이 3가지임을 나타낸다.

모든 집합은 단 하나의 블록으로 나눌 수 있으므로

B_{n,1} = x_n

이다.

n

개의 원소를 가진 집합을

n

개의 단일 집합으로 나누는 방법은 하나뿐이므로,

B_{n,n} = x_1^n

이다.

B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2

는 6개의 원소를 가진 집합을 2개의 블록으로 나누는 경우, 크기가 1과 5인 블록으로 나누는 6가지 방법, 크기가 4와 2인 블록으로 나누는 15가지 방법, 크기가 3인 블록 2개로 나누는 10가지 방법이 있음을 의미한다.

단항식 아래 첨자의 합은 전체 원소의 수와 같다. 부분 벨 다항식에 나타나는 단항식의 수는 정수

n

을

k

개의 부분으로 정수 분할하는 방법의 수와 같다. 예를 들어

B_{3,2}

는 3을 2개의 부분(2+1)으로 분할하는 방법이 한 가지이므로 단항식도 하나뿐이다. 반면

B_{6,2}

는 6을 2개의 부분(5+1, 4+2, 3+3)으로 분할하는 방법이 세 가지이므로 단항식도 세 개이다. 단항식 변수의 아래 첨자는 정수 분할의 각 부분의 크기를 나타낸다. 완전 벨 다항식

B_n

에 나타나는 총 단항식의 수는

n

의 총 정수 분할의 수와 같다.

각 단항식의 차수(각 변수 지수의 합)는 집합이 분할되는 블록의 수

k

와 같다. 따라서 완전 벨 다항식

B_n

에서 차수가

k

인 모든 단항식을 모으면 부분 벨 다항식

B_{n,k}

를 얻을 수 있다.

블록 크기를 무시하고 모든

x_i = x

로 놓으면, 부분 벨 다항식

B_{n,k}

계수의 합은

n

개의 원소를 가진 집합을

k

개의 블록으로 분할하는 총횟수를 나타내며, 이는 제2종 스털링 수와 같다. 또한 완전 벨 다항식

B_n

의 모든 계수의 합은

n

개의 원소를 가진 집합을 겹치지 않는 부분 집합으로 분할하는 총횟수를 나타내며, 이는 벨 수와 같다.

일반적으로, 정수

n

이 "1"이

j_1

번, "2"가

j_2

번 나타나는 등의 합으로 정수 분할될 때, 집합의 원소가 구별 불가능하게 되면 해당 정수

n

의 분할로 축소되는 크기

n

의 집합의 분할 수는 다항식의 해당 계수와 같다.

대칭군

S_n

의 순환 지표는 완전 벨 다항식을 이용하여

Z(S_n) = \frac{B_n(0!\,a_1, 1!\,a_2, \dots, (n-1)!\,a_n)}{n!}

와 같이 표현할 수 있다.

터차드 다항식

T_n(x) = \sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}\cdot x^k

는 모든 인수가

x

인 완전 벨 다항식의 값으로 표현될 수 있다. :

T_n(x) = B_n(x,x,\dots,x).

6. 1. 파 디 브루노 공식

파 디 브루노 공식은 벨 다항식을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.^[1]

:

{d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k} \left(g'(x),g''(x), \dots, g^{(n-k+1)}(x)\right).

마찬가지로, 파 디 브루노 공식의 멱급수 버전은 벨 다항식을 사용하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad \text{and} \qquad g(x) = \sum_{n=0}^\infty {b_n \over n!} x^n.

그러면,

:

g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty\frac{\sum_{k=0}^n b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1})}{n!} x^n.

특히, 완전 벨 다항식은 형식적 멱급수의 지수 함수에 다음과 같이 나타난다.^[1]

:

\exp\left(\sum_{i=1}^\infty {a_i \over i!} x^i \right)= \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n,

이는 고정된 인수열

a_1, a_2, \dots

에 대한 완전 벨 다항식의 지수 생성 함수를 나타낸다.

6. 2. 멱급수의 지수 함수

지수 부분 벨 다항식은 생성 함수의 이중 급수 전개로 정의될 수 있다.

:

다르게 표현하면, ''k'' 제곱의 급수 전개로도 정의할 수 있다.

:

완전 지수 벨 다항식은

\Phi(t,1)

|Phi(t,1)^영어로 정의되며, 다음과 같다.

:

따라서, ''n''차 완전 벨 다항식은 다음과 같이 주어진다.

:

마찬가지로, ''일반'' 부분 벨 다항식은 생성 함수로 정의할 수 있다.

:

또는, 동등하게 ''k'' 제곱의 급수 전개로 표현하면 다음과 같다.

:

특히, 완전 벨 다항식은 형식적 멱급수의 지수 함수 안에 다음과 같이 나타난다.

:

6. 3. 모멘트와 큐뮬런트

벨 다항식 ''B''_''n'',''k''(''x''₁,''x''₂,...)에서 계승 수열에 대한 값은 부호 없는 제1종 스털링 수와 같다.

:B^영어_{''n'',''k''}(0!,1!,\dots,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)| = left^영어atop|n^영어k^영어right^영어

이 값들의 합은 계승 수열에 대한 완전 벨 다항식의 값을 제공하며, 이는 ''n''!과 같다.

:B^영어_{n}(0!,1!,\dots,(n-1)!)=sum_{k=1}^n B^영어_{n,k}(0!,1!,\dots,(n-k)!) = sum_{k=1}^n left^영어atop|n^영어k^영어right^영어 = ''n''!

벨 다항식 ''B''_''n'',''k''(''x''₁,''x''₂,...)에서 1의 수열에 대한 값은 제2종 스털링 수와 같다.

:B^영어_{''n'',''k''}(1,1,\dots,1)=S(n,k)=brace|n^영어atop|k^영어brace^영어

이 값들의 합은 1의 수열에 대한 완전 벨 다항식의 값을 제공하며, 이는 ''n''번째 벨 수이다.

:B^영어_{n}(1,1,\dots,1)=sum_{k=1}^n B^영어_{n,k}(1,1,\dots,1) = sum_{k=1}^n brace|n^영어atop|k^영어brace^영어

B^영어_{n,k}(1!,2!,\ldots,(n-k+1)!) = binom|n-1|k-1^영어 frac|n!|k!^영어 = L(n,k)는 라 수를 나타낸다.

첫 번째 ''n''개의 큐물런트가 ''κ''₁, ..., ''κ''_''n''인 확률 분포의 ''n''번째 원적률 μ'_n은 다음과 같이 표현된다.

:μ'_n = B^영어_{n}(κ₁,\dots,κ_n)=sum_{k=1}^n B^영어_{n,k}(κ₁,\dots,κ_n-k+1)

즉, ''n''번째 적률은 처음 ''n''개의 큐물런트에서 평가된 ''n''번째 완전 벨 다항식이다. 마찬가지로, ''n''번째 큐물런트는 적률을 통해 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:κ_n = sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)! B^영어_{n,k}(μ'₁,\ldots,μ'_n-k+1)

''n''차 모멘트는 처음 ''n''개의 큐물런트에 의해 평가되는 ''n''차 완전 벨 다항식으로 표현된다.

:B^영어_{n}(κ₁,\dots,κ_n)=sum_{k=1}^n B^영어_{n,k}(κ₁,\dots,κ_n-k+1)

6. 4. 에르미트 다항식

에르미트 다항식은 벨 다항식으로 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

\operatorname{He}_n(x) = B_n(x,-1,0,\ldots,0),

여기서 모든 ''i'' > 2에 대해 ''x''_''i'' = 0이다. 이는 에르미트 다항식의 계수에 대한 조합론적 해석을 가능하게 한다. 다음과 같은 에르미트 다항식의 생성 함수를 벨 다항식의 생성 함수와 비교하면 이를 알 수 있다.

:

\exp \left(xt-\frac{t^2}{2} \right) = \sum_{n=0}^\infty \operatorname{He}_n(x) \frac {t^n}{n!}

6. 5. 대칭 다항식

기본 대칭 다항식

e_n

과 멱합 대칭 다항식

p_n

은 벨 다항식을 사용하여 서로 관련될 수 있다.

:

\begin{align}e_n & = \frac{1}{n!}\; B_{n}(p_1, -1! p_2, 2! p_3, -3! p_4, \ldots, (-1)^{n-1}(n-1)! p_n ) \\& = \frac{(-1)^n}{n!}\; B_{n}(-p_1, -1! p_2, -2! p_3, -3! p_4, \ldots, -(n-1)! p_n ),\end{align}

:

\begin{align}p_n & = \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)!\; B_{n,k}(e_1,2! e_2, 3! e_3,\ldots,(n-k+1)! e_{n-k+1}) \\& = (-1)^n\; n\; \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \; \hat{B}_{n,k}(-e_1,\dots,-e_{n-k+1}).\end{align}

이 공식들은 단항 다항식의 계수를 그 근의 벨 다항식으로 표현할 수 있게 해준다. 예를 들어, 케일리-해밀턴 정리와 함께, 이는 ''n'' × ''n'' 정사각 행렬 ''A''의 행렬식을 그 거듭제곱의 대각합으로 표현하는 데 사용된다.

:

\det (A) = \frac{(-1)^{n}}{n!} B_n(s_1, s_2, \ldots, s_n), ~\qquad \text{where }  s_k = - (k - 1)! \operatorname{tr}(A^k).

6. 6. 순환 지표

지수 벨 다항식은 집합을 분할하는 방법과 관련된 정보를 담고 있다. 예를 들어, 집합 {A, B, C}를 겹치지 않는 두 개의 부분 집합(블록)으로 나누는 방법은 다음과 같이 3가지가 있다.

{A}, {B, C}
{B}, {A, C}
{C}, {B, A}

이러한 분할 정보는 다음과 같이 벨 다항식으로 나타낼 수 있다.

:

B_{3,2}(x_1,x_2) = 3 x_1 x_2.

여기서 아래 첨자 3,2는 3개의 원소를 가진 집합을 2개의 블록으로 분할하는 것을 의미한다. ''x''_i는 ''i''개의 원소를 가진 블록을 나타낸다. 즉, ''x''₂는 두 개의 원소를 가진 블록을, ''x''₁은 한 개의 원소를 가진 블록을 나타낸다. ''x''_i^j의 지수는 크기가 ''i''인 블록이 ''j''개 있음을 의미한다. 위 예시에서 ''x''₁과 ''x''₂의 지수가 모두 1이므로, 크기가 1인 블록과 크기가 2인 블록이 각각 하나씩 존재함을 알 수 있다. 단항식의 계수는 이러한 분할이 3가지임을 나타낸다.

모든 집합은 단 하나의 블록으로 나눌 수 있으므로, ''B''_''n'',1 = ''x''_''n''이다. 마찬가지로, ''n''개의 원소를 가진 집합을 ''n''개의 단일 집합으로 나누는 방법은 하나뿐이므로, ''B''_''n'',''n'' = ''x''₁^''n''이다.

조금 더 복잡한 예시를 살펴보자.

:

B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2.

이는 6개의 원소를 가진 집합을 2개의 블록으로 나누는 경우, 크기가 1과 5인 블록으로 나누는 6가지 방법, 크기가 4와 2인 블록으로 나누는 15가지 방법, 크기가 3인 블록 2개로 나누는 10가지 방법이 있음을 의미한다.

단항식의 아래 첨자의 합은 전체 원소의 수와 같다. 부분 벨 다항식에 나타나는 단항식의 수는 정수 ''n''을 ''k''개의 부분으로 정수 분할하는 방법의 수와 같다. 예를 들어, ''B''_3,2의 경우, 3을 2개의 부분(2+1)으로 분할하는 방법은 한 가지이므로 단항식도 하나뿐이다. 반면 ''B''_6,2의 경우, 6을 2개의 부분(5+1, 4+2, 3+3)으로 분할하는 방법은 세 가지이므로 단항식도 세 개이다. 단항식 변수의 아래 첨자는 정수 분할의 각 부분의 크기를 나타낸다. 완전 벨 다항식 ''B_n''에 나타나는 총 단항식의 수는 ''n''의 총 정수 분할의 수와 같다.

각 단항식의 차수(각 변수의 지수의 합)는 집합이 분할되는 블록의 수 ''k''와 같다. 따라서 완전 벨 다항식 ''B_n''에서 차수가 ''k''인 모든 단항식을 모으면 부분 벨 다항식 ''B_n,k''를 얻을 수 있다.

블록의 크기를 무시하고 모든 ''x''_''i'' = ''x''로 놓으면, 부분 벨 다항식 ''B''_''n'',''k'' 계수의 합은 ''n''개의 원소를 가진 집합을 ''k''개의 블록으로 분할하는 총 횟수를 나타내며, 이는 제2종 스털링 수와 같다. 또한 완전 벨 다항식 ''B_n''의 모든 계수의 합은 ''n''개의 원소를 가진 집합을 겹치지 않는 부분 집합으로 분할하는 총 횟수를 나타내며, 이는 벨 수와 같다.

일반적으로, 정수 ''n''이 "1"이 ''j''₁번, "2"가 ''j''₂번 나타나는 등의 합으로 정수 분할될 때, 집합의 원소가 구별 불가능하게 되면 해당 정수 ''n''의 분할로 축소되는 크기 ''n''의 집합의 분할 수는 다항식의 해당 계수와 같다.

대칭군

S_n

의 순환 지표는 완전 벨 다항식을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

Z(S_n) = \frac{B_n(0!\,a_1, 1!\,a_2, \dots, (n-1)!\,a_n)}{n!}.

7. 초기 벨 다항식

: B₀ = 1

: B₁(x₁) = x₁

: B₂(x₁, x₂) = x₁² + x₂

: B₃(x₁, x₂, x₃) = x₁³ + 3x₁x₂ + x₃

: B₄(x₁, x₂, x₃, x₄) = x₁⁴ + 6x₁²x₂ + 4x₁x₃ + 3x₂² + x₄

: B₅(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅) = x₁⁵ + 10x₂x₁³ + 15x₂²x₁ + 10x₃x₁² + 10x₃x₂ + 5x₄x₁ + x₅

: B₆(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆) = x₁⁶ + 15x₂x₁⁴ + 20x₃x₁³ + 45x₂²x₁² + 15x₂³ + 60x₃x₂x₁ + 15x₄x₁² + 10x₃² + 15x₄x₂ + 6x₅x₁ + x₆

: B₇(x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇) = x₁⁷ + 21x₁⁵x₂ + 35x₁⁴x₃ + 105x₁³x₂² + 35x₁³x₄ + 210x₁²x₂x₃ + 105x₁x₂³ + 21x₁²x₅ + 105x₁x₂x₄ + 70x₁x₃² + 105x₂²x₃ + 7x₁x₆ + 21x₂x₅ + 35x₃x₄ + x₇

다음은 몇 가지 완전한 벨 다항식이다.

8. 소프트웨어

Mathematica는 [http://reference.wolfram.com/mathematica/ref/BellY.html BellY]로 구현된다.
Maple은 [http://www.maplesoft.com/support/help/Maple/view.aspx?path=BellB IncompleteBellB]로 구현된다.
SageMath는 [http://doc.sagemath.org/html/en/reference/combinat/sage/combinat/combinat.html#sage.combinat.combinat.bell_polynomial bell_polynomial]로 구현된다.
벨 다항식, 완전 벨 다항식 및 일반화 벨 다항식은 Mathematica에서는 BellY^[3]로, Maple에서는 BellB^[4]로, Sage에서는 bell_polynomial^[5]로 계산할 수 있다.

참조

_[1] 논문 Application of Faà di Bruno's formula in characterization of inverse relations 2006-06-01
_[2] 논문 Bell Polynomials and Nonlinear Inverse Relations https://www.combinat[...] 2021-11-19
_[3] 웹사이트 BellY http://reference.wol[...]
_[4] 웹사이트 BellB http://www.maplesoft[...]
_[5] 웹사이트 bell_polynomial http://www.sagemath.[...]
_[6] 논문 Generalized Hultman Numbers and Cycle Structures of Breakpoint Graphs https://arxiv.org/ab[...] 2017

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