벨 수

3. 성질

벨 수는 여러 가지 중요한 성질을 가지고 있으며, 이를 통해 다양한 계산 및 응용이 가능하다.

벨 수는 투샤르 다항식(Touchard polynomial)의 $x=1$인 값이다. 투샤르 다항식은 다음과 같이 정의된다.

:$T\_n(x)=\backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash left\backslash \{\{n\backslash atop\; k\}\backslash right\backslash \}x^k$

여기서 $\backslash left\backslash \{\{n\backslash atop\; k\}\backslash right\backslash \}$는 제2종 스털링 수를 나타낸다. 따라서 벨 수는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:$B\_n=T\_n(1)=\backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash left\backslash \{\{n\backslash atop\; k\}\backslash right\backslash \}$

투샤르 다항식은 이항형 다항식열이며, 이에 대응하는 델타 작용소는 $\backslash log\backslash left(1+\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash right)$이다.

또한, 벨 수는 로그 볼록 수열을 이룬다. 이 수를 계승으로 나눈 값, 즉 ''B''_''n''/''n''!은 로그 오목 수열을 이룬다.

3. 1. 점화식

• {a}, {b}, {c}
• {a}, {b, c}
• {b}, {a, c}
• {c}, {a, b}
• {a, b, c}

3. 2. 도빈스키 공식

3. 3. 생성 함수

3. 4. 합동식

3. 5. 적분 표현

3. 6. 로그 오목성

4. 계산

벨 수는 파스칼의 삼각형과 유사한 방법으로 계산할 수 있다. 먼저 첫 번째 벨 수 1을 세로로 나열하고, ''x''의 값은 ''x''의 왼쪽 숫자와 그 위에 있는 숫자를 더해 계산한다. ''y''의 값은 한 칸 위 행의 오른쪽 끝 숫자와 같이 쓴다. ''z''는 ''x''처럼 왼쪽 이웃 숫자와 대각선 왼쪽 위 숫자를 더한다. 가장 왼쪽 숫자를 제외하고는 마찬가지로 계산하며, 왼쪽 숫자는 ''y''처럼 삼각형 빗변 위 숫자를 복사한다. n번째 행의 오른쪽 끝 숫자가 n번째 벨 수이다.

제2종 스털링 수를 이용해 벨 수를 계산할 수도 있다. ''n''번째 벨 수 ''B''_''n''은 제2종 스털링 수의 합으로 표현된다. 제2종 스털링 수 $\backslash textstyle\backslash \{\{n\backslash atop\; k\}\backslash \}$는 $n$개 원소로 된 집합을 $k$개 조각으로 분할하는 방법의 수이며, 벨 수는 이들의 합으로 나타낼 수 있다.^[11]

:$B\_n=\backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash left\backslash \{\{n\backslash atop\; k\}\backslash right\backslash \}$

벨 수는 투샤르 다항식(또는 벨 다항식)에서 $x=1$을 대입한 값과 같다.

:$B\_n=T\_n(1)=\backslash sum\_\{k=0\}^n\backslash left\backslash \{\{n\backslash atop\; k\}\backslash right\backslash \}$

4. 1. 벨 삼각형 (에이트킨 배열, 피어스 삼각형)

4. 2. 제2종 스털링 수와의 관계

5. 역사

벨 수는 중세 일본의 겐지코(源氏香^일본어) 놀이에서 처음 등장한다.^[11] 겐지코 놀이는 5개의 향 가운데 어떤 것들이 같은 냄새를 가지는지 구별하는 놀이인데, 가능한 해는 총 $B\_5=52$가지이다. 이 52가지의 해는 겐지몬(源氏紋^일본어)이라는 문양으로 나타내어져, 겐지모노가타리의 각 장 표지에 표시되었다.^[11]

이후 1877년에 폴란드의 구스타브 도빈스키(Gustaw Dobiński^pl)가 도빈스키 공식을 발표하였고,^[12] 벨 삼각형은 찰스 샌더스 퍼스(1880년)^[13], 알렉산더 에잇컨(Alexander C. Aitken^영어)(1933년)^[14]이 거론하였다. 스리니바사 라마누잔은 노트에서^[15] 투샤르 다항식과 벨 수에 대해 연구하였으나 출판하지는 않았다.^[16]

에릭 템플 벨(Eric Temple Bell^영어)은 1934년부터 이 수들을 연구하기 시작했다.^[17] 벨은 이 수들을 "지수적 수"(exponential number^영어)라고 불렀으나, 이후 벨을 기려 "벨 수"라고 불리게 되었다.

참조

_[1] 서적 Naive set theory https://books.google[...] Springer-Verlag, New York-Heidelberg
_[2] 문서
_[3] OEIS
_[4] 저널 Some formulas for Bell numbers http://www.doiserbia[...] 2018
_[5] 서적 Complex Analysis http://www.math.calt[...] 2012-09-02
_[6] 웹사이트 The Moser-Wyman expansion of the Bell numbers http://www.austinmoh[...] 1994-07
_[7] OEIS
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 서적 Combinatorics: The Rota Way http://www.math.tamu[...] Cambridge University Press 2009
_[11] 저널 The Bells: versatile numbers that can count partitions of a set, primes and even rhymes
_[12] 저널 Summirung der Reihe $\backslash textstyle\backslash sum\backslash frac\{n^m\}\{n!\}$ für ''m'' = 1, 2, 3, 4, 5, … http://www.archive.o[...] 1877
_[13] 저널 On the algebra of logic 1880
_[14] 저널 A problem in combinations 1933
_[15] 서적 1957
_[16] 저널 Ramanujan reaches his hand from his grave to snatch your theorems from you http://www.asiapacif[...] 2011-04
_[17] 저널 Exponential polynomials
_[18] 저널 Sur les cycles des substitutions