보스 기체

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 열역학적 극한
3. 성질
- 3.1. 바닥 상태와 상전이 (보스-아인슈타인 응집)
- 3.2. 열역학
4. 저차원 시스템
5. 역사
6. 같이 보기
참조

1. 개요

보스 기체는 라플라스-벨트라미 연산자의 스펙트럼을 이용하여 열역학적 극한에서의 거동을 분석하는 데 사용되는 이상 기체 모델이다. 이 모델은 비상대론적 및 상대론적 극한에서 다중로그 함수를 사용하여 표현되며, 특히 3차원 이상에서 보스-아인슈타인 응집이라는 상전이를 겪는다. 보스 기체의 열역학적 성질은 대 정준 앙상블을 통해 계산되며, 온도에 따라 다양한 열역학적 값들이 고전 이상 기체와 유사한 형태로 나타난다. 2차원 이하의 저차원 시스템에서는 보스-아인슈타인 응집이 발생하지 않는다. 이 모델은 사티엔드라 나트 보스와 알베르트 아인슈타인에 의해 제안되었으며, 보스-아인슈타인 통계, 보스-아인슈타인 응축, 초유체, 초전도 현상 등을 설명하는 데 중요한 역할을 한다.

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보스 기체

2. 정의

콤팩트 리만 다양체 $(M,g)$ 위에 정의된 질량 $m$ 의 자유 보손 장을 통해 이상 보스 기체를 정의할 수 있다. 이 계의 해밀토니언은 다음과 같다.

: $H[\phi,\pi] = \int_M \sqrt{\det g} \frac12(g_{ij}\pi^i \pi^j + g^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi + m^2 \phi^2)$

여기서 $\pi^i$ 는 $\phi^i$ 에 대한 운동량장이다. 이를 양자화하면, 그 힐베르트 공간은 포크 공간을 구성한다.

다입자 힐베르트 공간과 해밀토니언 $(\mathcal H,H)$ 은 그 위의 포크 공간으로 주어진다.

: $\mathcal H = \operatorname{Sym}\mathcal H_1 = \mathbb C \oplus \operatorname L^2(M;\mathbb C) \oplus \operatorname{Sym}^2\operatorname L^2(M;\mathbb C) \oplus \dotsb$

이 위의 해밀토니언 연산자 $H$ 는 1입자 해밀토니언들의 합으로 구성되며, 입자수 연산자를 정의할 수 있다.

이 계의 큰 분배 함수는 다음과 같다.

: $Z(\beta,z) = \operatorname{tr}\left(z^N\exp(-\beta H)\right) = \operatorname{tr}(-\beta H + \beta\mu N)$

이는 큰 바른틀 앙상블에 해당한다. 여기서 $\beta = \frac1{k_{\mathrm B}T}$ 는 절대 온도의 역수이며, $z = \exp(\beta\mu)$ 는 퓨가시티, $\mu$ 는 화학 퍼텐셜이다.

큰 분배 함수의 로그 × −1인 큰 퍼텐셜 $-\ln Z(\beta,z)$ 는 다음과 같다.

: $-\ln Z(\beta,z) = \sum_{i\in I}\ln\left(1-z\exp(-\beta E_i)\right)$

2. 1. 열역학적 극한

Laplace–Beltrami operator|라플라스-벨트라미 연산자^영어의 스펙트럼을 이용하여 열역학적 극한에서의 이상 보스 기체의 거동을 분석한다. 토머스-페르미 근사를 통해 큰 퍼텐셜을 계산하고, 비상대론적 극한과 상대론적 극한에서 다중로그 함수를 이용한 표현을 유도한다.

편의상, 진공 에너지를 0으로 놓는다.

(M,g)

위의 라플라스-벨트라미 연산자

:

\nabla^2 = g^{ij}\partial_i\partial_j

의 스펙트럼은 다음 조건을 만족시킨다.

:

N(E) = (2\pi)^{-\dim M} E^{D/2} \operatorname{vol}(\mathbb B^D) V + O(E^{D/2-1})\qquad(E\gg1)

여기서

N(E)

는

H_1

의

E

이하의 고윳값들의 (중복수를 고려한) 수이다.

D\in\mathbb N

는

M

의 차원이며,

V

는

M

의

D

차원 부피이며,

:

\operatorname{vol}(\mathbb B^D)= \frac{\pi^{(\dim M)/2}}{\Gamma((\dim M)/2 + 1)}

는

D

차원 단위 공의 부피이다. 편의상 비례 상수를

:

C = \frac D2 (2\pi)^D \operatorname{vol}(\mathbb B^D)

라고 적는다. 즉,

:

N_\Delta(E) \sim \int_0^E \mathrm dE'\,6C\operatorname{vol}(M) {E'}^{D/2-1}

이다. 이 표현을 통하여, 디랙 델타로 구성된 측도

:

\mathrm dN(E)

를

:

C\operatorname{vol}(M) {E'}^{(\dim M)/2-1}

로 근사할 수 있다. 이는

E

가 매우 클 때 유효하다. 이 조건을 만족시키기 위하여, 임의의 고정된

(\beta,z)

의 값에 대하여

(z>1)

,

:

g \mapsto \alpha g

:

\alpha \to \infty

와 같은 극한을 취할 수 있다. 이는

g

의 등각 다양체 구조를 바꾸지 않지만, 그 부피는

:

V \propto \alpha^{D/2}

이므로 부피가 무한대가 되는 열역학적 극한에 해당한다.

z \to 1^+

일 경우, 큰 퍼텐셜의 정의에서

\ln\left(1-z\exp(-\beta E)\right)

가

E \to 0

에서 무한대로 발산하게 된다. 즉, 이 경우

E = 0

인 경우는 따로 고려해야 한다.

즉, 이를 통하여, 다음과 같은 근사를 취할 수 있다. (물리학에서 이와 같은 꼴의 근사는 토머스-페르미 근사라고 한다.)

:

-\ln Z(\beta,z) =\int_0^\infty \mathrm dN(E)\,\ln\left(1-z\exp(-\beta\sqrt{m^2+E})\right) \approxC\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta\sqrt{m^2+E})\right)

이 적분은 일반적으로 기초 함수로 계산될 수 없다. 다만, 비상대론적인 극한

:

m\beta \gg 1

및 상대론적인 극한

:

m\beta \ll 1

의 경우 이는 다중로그라는 특수 함수로 계산될 수 있다. 비상대론적 극한에서

:

\sqrt{m^2+E} = m \sqrt{1 + E/m^2} = m + \frac1{2m^2}E + \dotsb

이다. 따라서, 이 경우 처음 두 항만을 취하면

:

-\ln Z(\beta,z) = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta m-\beta E/2m^2)\right)

이 된다. 여기서, 첫 항

m

은 입자의 정지 에너지이므로, 이는 퓨가시티가 흡수할 수 있다. 즉, 이 경우

:

z' = z\exp(-\beta m)

:

\beta' = \beta / 2m^2

를 정의하면,

:

-\ln Z(\beta',z') = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z'\exp(-\beta' E)\right)

이다. 이를 계산하면 다음과 같다.

-\ln Z \approx -C\operatorname{vol}(M) {\beta'}^{-D/2}\Gamma((\dim M)/2) \operatorname{Li}_{(\dim M)/2}(z)

여기서

:

\operatorname{Li}_s(z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}{n^s}

는 다중로그 함수이며,

\Gamma(-)

는 감마 함수이다.

'''적분의 계산:'''

D = \dim M

으로 놓자.

:

\begin{aligned}

\int_0^\infty \mathrm dE\,E^{D/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta E)\right) &= -\beta^{-D/2}\int_0^\infty \mathrm dx\,x^{D/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-x)\right) \\

& = \beta^{-D/2}\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n\right)\left(\int_0^\infty \mathrm dx\,x^{D/2-1}\,\exp(-nx)\right) \\& = \beta^{-(D/2} \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n n^{-D/2} \left(\int_0^\infty \mathrm dy\,y^{D/2-1}\,\exp(-y)\right) \\& = \beta^{-D/2} \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n n^{-D/2} \Gamma(D/2) \\&= \beta^{-D/2}\Gamma(D/2) \operatorname{Li}_{D/2+1}(z)\end{aligned}

여기서

:

x/\beta = E

:

y/n = x

와 같은 치환을 사용하였으며, 테일러 급수

:

\ln(1-z) = \sum_{n=1}^\infty \frac{z^n}n

를 사용하였다.

이 표현은 다음과 같은 문제를 갖는다.

$z \to 1$ 일 때, 피적분량이 $E\to0$ 극한에서 발산한다. 따라서, 이 경우를 따로 다루어야 한다.

이 문제를 교정하면, 다음과 같은 표현을 얻는다.

:

\Omega=-\ln Z(\beta,z) = g_0 \ln(1-z) - (E_{\text{c}}\beta)^{-\alpha} \operatorname{Li}_{\alpha+1}(z)

여기서

g_0

은 바닥 상태의 고윳값의

E_0 = 0

의 중복수이며,

C

를 비롯한 다른 비례 상수들을

E_{\text{c}}

에 흡수하였다. 또한 변수

:

\alpha = \frac12 \dim M

를 정의하였다. 이 표현은

\Delta

가 라플라스-벨트라미 연산자일 때, 즉 비상대론적 입자에 대하여 유효하다.

반대로,

m \to 0

극한을 생각하자. 이 경우

:

\sqrt{m^2+E} = \sqrt E \sqrt{1+m^2/E} = \sqrt E + \frac{m^2}{2\sqrt E} + \dotsb

가 된다. 이 경우, 첫 항만을 취하면,

:

-\ln Z(\beta,z) = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE\,E^{(\dim M)/2-1}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta\sqrt E)\right)

이다. 이 경우 변수

E

를

:

E' = E^2

:

\mathrm dE = \frac1{2E'^{1/2}}\mathrm dE'

로 치환하면,

:

-\ln Z(\beta,z) = C\operatorname{vol}(M) \int_0^\infty \mathrm dE'^{(\dim M)/4}\,\ln\left(1-z\exp(-\beta E')\right)

가 된다. 즉, 이 경우

:

\alpha = \frac14 \dim M

이 된다.

3. 성질

진공 에너지를 편의상 0으로 설정하면, $(M,g)$ 위의 라플라스-벨트라미 연산자의 스펙트럼은 특정 조건을 만족시킨다. 이 조건은 유클리드 공간 속 매끄러운 경계를 가진 닫힌 집합에서 디리클레 또는 노이만 경계 조건을 가했을 때도 성립한다.

$N(E)$ 는 $H_1$ 의 $E$ 이하 고윳값들의 수(중복 고려)를 나타내며, $D$ 는 $M$ 의 차원, $V$ 는 $M$ 의 $D$ 차원 부피이다. $D$ 차원 단위 공의 부피는 $\operatorname{vol}(\mathbb B^D)$ 로 표현된다.

큰 $E$ 에 대해 $\mathrm dN(E)$ 를 $C\operatorname{vol}(M) {E'}^{(\dim M)/2-1}$ 로 근사할 수 있는데, 이는 토머스-페르미 근사와 유사하다.

일반적으로 기초 함수로 계산할 수 없는 적분은 비상대론적 극한( $m\beta \gg 1$ )과 상대론적 극한( $m\beta \ll 1$ )에서 다중로그라는 특수 함수로 계산될 수 있다. 비상대론적 극한에서는 입자의 정지 에너지를 고려하여 퓨가시티를 재정의하면, 다중로그 함수와 감마 함수를 이용해 표현할 수 있다.

하지만 $z \to 1$ 일 때, 피적분량이 $E\to0$ 극한에서 발산하는 문제가 발생한다. 이를 교정하면 다음과 같은 표현을 얻는다.

: $\Omega=-\ln Z(\beta,z) = g_0 \ln(1-z) - (E_{\text{c}}\beta)^{-\alpha} \operatorname{Li}_{\alpha+1}(z)$

여기서 $g_0$ 은 바닥 상태의 고윳값 $E_0 = 0$ 의 중복수이며, $\alpha = \frac12 \dim M$ 이다. 이 표현은 비상대론적 입자에 대해 유효하다.

3. 1. 바닥 상태와 상전이 (보스-아인슈타인 응집)

3차원 이상의 보스 기체는 특정 임계 온도 이하에서 보스-아인슈타인 응집이라는 상전이를 겪는다. 이는 큰 분배 함수에 나타나는 다중로그의 발산으로 인해 발생한다. 2차원 이하에서는 입자들이 장거리 상호작용을 가지기 때문에 상전이가 발생하지 않는다.^[1]

총 입자 수는 큰 퍼텐셜에서 다음과 같이 계산된다.

:

N = N_0+\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}

여기서 ''N₀''는 바닥 상태의 응축 입자 수이며, 다음과 같다.

:

N_0 = \frac{g_0\,z}{1-z}

이 식은 절대 영도에서도 계산 가능하다. 표준화된 온도 τ는 다음과 같이 정의된다.

:

\tau=\frac{T}{T_c}

이 변수들은 낮은 온도에서는 τ^α에 선형적이고, 높은 온도에서는 1/τ^α에 선형적이다(화학 퍼텐셜 제외). 입자 수가 증가하면 응축과 들뜸의 비율은 임계 온도에서 불연속적으로 변한다.

입자 수 방정식은 표준화된 온도로 다음과 같이 표현된다.

:

N = \frac{g_0\,z}{1-z}+N~\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{\zeta(\alpha)}~\tau^\alpha

''N''과 τ가 주어지면, 이 식은 τ^α에 대해 풀 수 있으며, ''z''에 대한 급수해는 τ^α의 급수 또는 τ^α의 급수에 대한 역수의 점근 확장을 이용한 역 급수 방법으로 구할 수 있다. 이 확장에서 ''T'' = 0 근처에서 맥스웰-볼츠만 분포에서 온도가 무한대로 접근하는 것을 알 수 있다.^[2]

보손은 양자역학적 입자로, 보스-아인슈타인 통계를 따르거나 정수 스핀을 가진다. 헬륨-4 원자 앙상블은 보스 기체의 흥미로운 예시이다. ⁴He 원자 시스템이 절대 영도 근처로 냉각되면 많은 양자역학적 효과가 나타난다. 2.17 K 미만에서는 앙상블이 거의 0에 가까운 점성을 가진 초유체처럼 행동한다. 보스 기체는 이러한 상전이를 설명하는 가장 간단한 정량적 모델이다. 냉각될 때 많은 수의 보손이 가장 낮은 에너지 상태인 바닥 상태를 차지하고, 파동 간섭과 같은 양자 효과가 거시적으로 나타나는 보스-아인슈타인 응축을 형성한다.^[1]

보스-아인슈타인 응축 및 보스 기체 이론은 전하 운반자가 쌍으로 결합하여 (쿠퍼 쌍) 보손처럼 행동하는 초전도 현상의 일부 특징도 설명한다. 그 결과, 초전도체는 저온에서 전기 저항이 없는 것처럼 행동한다.^[1]

3. 2. 열역학

큰 분배 함수를 통해 이상 보스 기체의 다양한 열역학적 값을 계산할 수 있다. 큰 퍼텐셜(

-\ln Z(\beta,z)

)은 다음과 같이 표현된다.^[2]

:

-\ln Z(\beta,z) = \sum_{i\in I}\ln\left(1-z\exp(-\beta E_i)\right)

여기서

z

는 퓨가시티,

\beta

는 절대 온도의 역수,

E_i

는 에너지 고윳값이다.

평균 입자 수:

:

N(\beta,z) = z\frac{\partial}{\partial z}\ln Z

평균 에너지:

:

E(\beta,z) = \frac{\partial}{\partial\beta}\ln Z

다음은 낮은 온도와 높은 온도 극한에서 계산된 열역학적 값들을 나타낸 표이다.

물리량	일반적 경우	$T \ll T_c$	$T \gg T_c$
z	Vapor fraction	$=1$	$\approx \frac{\zeta(\alpha)}{\tau^\alpha}$
Vapor fraction $1-\frac{N_0}{N}\,$	$=\frac{\textrm{Li}_{\alpha}(z)}{\zeta(\alpha)}$	$=\tau^\alpha$	$=1$
상태 방정식 $\frac{PV\beta}{N}=$	$=$	$=$	$\approx$
기브스 자유 에너지 $G=\ln(z)\,$	$=\ln(z)\,$	$=0$	$\approx$

표에서 보듯이 모든 값들은 높은 온도의 극한에서 고전 이상 기체에 근접한다.엔트로피는 다음 식으로 표현된다.:

TS=U+PV-G\,

높은 온도의 극한에서는

:

TS=(\alpha+1)+\ln\left(\frac{\tau^\alpha}{\zeta(\alpha)}\right)

의 식을 얻게 되며, α=3/2에 대하여 이는 자쿠어-테트로데 방정식(Sackur-Tetrode equation^영어)으로 표현된다.

4. 저차원 시스템

2차원 이하의 저차원 시스템에서는 보스-아인슈타인 응집이 발생하지 않는다. 하지만 장거리 상호작용이 존재하면 저차원에서도 응집이 나타날 수 있다.

1차원 보스 기체의 경우, 베테 가설을 통해 정확하게 풀 수 있다. 이 기체는 페르미온처럼 행동하며 파울리 배타 원리를 따른다. 1차원 보스 기체의 벌크 자유 에너지와 열역학적 포텐셜은 양전닝에 의해 계산되었으며, 상관 함수도 평가되었다.^[5] 1차원 보스 기체는 양자 비선형 슈뢰딩거 방정식과 동일하다.

5. 역사

이상 보스 기체 모델은 사티엔드라 나트 보스와 알베르트 아인슈타인이 제안한 보스-아인슈타인 통계를 따른다.^[1] 보스가 개발한 광자 가스는 여러 보손을 가진 기체를 다룬 최초의 모델로, 플랑크의 법칙과 흑체 복사를 더 잘 이해하는 데 기여했다.^[1] 페터 데바이는 금속의 결정 격자 진동을 질량이 없는 보손으로 취급하는 포논 기체(데바이 모델)를 통해 저온에서 금속의 열용량 변화를 설명했다.^[1]

6. 같이 보기

참조

_[1] 서적 Statistical Mechanics https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2013-03-09
_[2] 논문 Grand Canonical Versus Canonical Ensemble: Universal Structure of Statistics and Thermodynamics in a Critical Region of Bose–Einstein Condensation of an Ideal Gas in Arbitrary Trap Springer Science and Business Media LLC 2015-09-07
_[3] 논문 Number-of-particle fluctuations in systems with Bose-Einstein condensate 2005-03-01
_[4] 논문 Bose–Einstein condensation, fluctuations, and recurrence relations in statistical mechanics
_[5] 서적 Quantum Inverse Scattering Method and Correlation Functions https://books.google[...] Cambridge University Press 1997-03-06

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