보어-판레이우언 정리

1. 개요

보어-판레이우언 정리는 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 자기 현상을 설명할 수 없다는 것을 밝히는 정리이다. 1911년 닐스 보어가 처음 언급하고, 1919년 헨드리카 판레이우언이 재발견했으며, 1932년 존 판블렉에 의해 공식화되었다. 이 정리는 양자 역학의 필요성을 제시하며, 보어 모형 개발에 영향을 미쳤다. 보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리학, 전기 기계 및 전기 공학 등 다양한 분야에 응용된다.

2. 역사

보어-판레이우언 정리는 1911년 닐스 보어가 박사 학위 논문에서 처음 언급했고, 1919년 헨드리카 판레이우언(Hendrika Johanna van Leeuwen^{네덜란드어})가 자신의 박사 학위 논문에서 재발견했다. 1932년 존 판블렉은 보어의 초기 정리를 전기 및 자기 감수성에 관한 책에서 공식화하고 확장했다.

이 정리는 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 자기 현상을 설명할 수 없으며, 이를 설명하기 위해서는 양자 역학과 상대성 이론이 필요하다는 것을 밝혀냈다. 이 결과는 보어가 1913년 수소 원자의 보어 모형을 고안하는 데 영향을 주었을 것으로 추정된다.

2.1. 초기 역사

현재 "보어-판레이우언 정리"로 알려진 이 정리는 1911년 닐스 보어가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였다. 이후 1919년 헨드리카 판레이우언(Hendrika Johanna van Leeuwen^{네덜란드어})가 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다. 1932년에는 물리학자 존 판블렉이 보어가 작성한 전기 감수율과 자화율에 대한 책에 등장한 초기 정리를 토대로 이 정리를 공식화하고 확장하였다.

2.2. 재발견과 발전

현재 "보어-판레이우언 정리"로 알려진 이 정리는 1911년 닐스 보어가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였다. 이후 1919년 헨드리카 판레이우언(Hendrika Johanna van Leeuwen^{네덜란드어})가 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다. 1932년에는 물리학자 존 판블렉이 이 정리를 공식화하였으며, 보어가 작성한 전기 감수율과 자화율에 대한 책에 등장한 초기 정리를 토대로 정리를 확장하였다. 이 정리는 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 일련의 자기 현상을 설명할 수 없다는 것을 밝혀내었고, 이를 설명하기 위해서는 양자 역학과 상대성 이론이 필요하다는 점을 밝혀냈다는 점에서 중요한 정리이다. 이 정리의 결과는 보어가 1913년 수소 원자의 보어 모형을 고안하는데 영향을 주었을 것으로 추정된다.

2.3. 대한민국에서의 인식

보어-판레이우언 정리는 1911년 닐스 보어가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였고, 1919년 헨드리카 판레이우언(Hendrika Johanna van Leeuwen^{네덜란드어})이 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다.

3. 증명

보어-판레이우언 정리는 고전 물리학에서 자기장 하에 열적 평형 상태에 있는 계의 자화가 0이 됨을 증명하는 정리이다. 이 정리는 전자의 운동과 자기장의 상호작용을 고전역학과 통계역학의 관점에서 분석하여, 자기 모멘트가 0이 되는 과정을 보인다.

수식을 이용한 증명

$N$개의 전자를 가진 시스템을 가정한다. 고체 내 자화의 대부분은 전자에 의해 전달되므로 이는 적절한 가정이며, 전하를 띤 입자가 두 종류 이상인 경우에도 증명은 쉽게 일반화될 수 있다. 각 전자는 음전하 $e$와 질량 $m\_\backslash text\{e\}$를 갖는다. 위치가 $\backslash mathbf\{r\}$이고 속도가 $\backslash mathbf\{v\}$인 전자는 전류 $\backslash mathbf\{j\}\; =\; e\backslash mathbf\{v\}$와 자기 모멘트를 생성한다.

:$\backslash mathbf\{\backslash mu\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2c\}\backslash mathbf\{r\}\backslash times\backslash mathbf\{j\}\; =\; \backslash frac\{e\}\{2c\}\backslash mathbf\{r\}\backslash times\backslash mathbf\{v\}.$

자기 모멘트는 속도 좌표의 선형 함수이므로, 주어진 방향의 총 자기 모멘트는 다음 형태의 선형 함수여야 한다.

:$\backslash mu\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\backslash mathbf\{a\}\_i\backslash cdot\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\_i,$

여기서 점은 시간 미분을 나타내고, $\backslash mathbf\{a\}\_i$는 위치 좌표 $\backslash \{\backslash mathbf\{r\}\_i,i=1\backslash ldots\; N\backslash \}$에 의존하는 벡터 계수이다. 맥스웰-볼츠만 통계는 n번째 입자가 운동량 $\backslash mathbf\{p\}\_n$과 좌표 $\backslash mathbf\{r\}\_n$을 가질 확률을 제공한다.

:$dP\; \backslash propto\; \backslash exp\{\backslash left[-\backslash frac\{\backslash mathcal\{H\}(\backslash mathbf\{p\}\_1,\backslash ldots,\backslash mathbf\{p\}\_N;\backslash mathbf\{r\}\_1,\backslash ldots,\backslash mathbf\{r\}\_N)\}\{k\_\backslash text\{B\}T\}\backslash right]\}d\backslash mathbf\{p\}\_1,\backslash ldots,d\backslash mathbf\{p\}\_Nd\backslash mathbf\{r\}\_1,\backslash ldots,d\backslash mathbf\{r\}\_N,$

여기서 $\backslash mathcal\{H\}$는 해밀토니안으로, 시스템의 총 에너지이다. 이러한 일반화된 좌표의 임의의 함수 $f(\backslash mathbf\{p\}\_1,\backslash ldots,\backslash mathbf\{p\}\_N;\backslash mathbf\{r\}\_1,\backslash ldots,\backslash mathbf\{r\}\_N)$의 열적 평균은 다음과 같다.

:$\backslash langle\; f\backslash rangle\; =\backslash frac\{\backslash int\; f\; dP\}\{\backslash int\; dP\}.$

자기장이 있는 경우, 해밀토니안은 다음과 같다.

:$\backslash mathcal\{H\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2m\_\backslash text\{e\}\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash left(\backslash mathbf\{p\}\_i\; -\; \backslash frac\{e\}\{c\}\backslash mathbf\{A\}\_i\; \backslash right)^2\; +\; e\backslash phi(\backslash mathbf\{q\}),$

여기서 $\backslash mathbf\{A\}\_i$는 자기 벡터 포텐셜이고 $\backslash phi(\backslash mathbf\{q\})$는 전기 스칼라 포텐셜이다. 각 입자에 대해 운동량 $\backslash mathbf\{p\}\_i$와 위치 $\backslash mathbf\{r\}\_i$의 성분은 해밀턴 역학의 방정식에 의해 관련된다.

:$\backslash begin\{align\}$
\dot{\mathbf{p}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\
\dot{\mathbf{r}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i.
\end{align}

따라서,

:$\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\_i\; \backslash propto\; \backslash mathbf\{p\}\_i\; -\; \backslash frac\{e\}\{c\}\backslash mathbf\{A\}\_i,$

이므로 모멘트 $\backslash mu$는 운동량 $\backslash mathbf\{p\}\_i$의 선형 함수이다. 열평균된 모멘트는,

:$\backslash langle\; \backslash mu\; \backslash rangle\; =\; \backslash frac\{\backslash int\; \backslash mu\; dP\}\{\backslash int\; dP\},$

다음 형태의 적분과 비례하는 항의 합이다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; (\backslash mathbf\{p\}\_i\; -\; \backslash frac\{e\}\{c\}\backslash mathbf\{A\}\_i)\; dP,$

여기서 $p$는 운동량 좌표 중 하나를 나타낸다. 피적분 함수는 $p$의 홀함수이므로 사라진다. 따라서 $\backslash langle\backslash mu\backslash rangle=0$이다.

양자역학적 증명

고전역학에서 분배 함수는 $\backslash boldsymbol\{r\}$과 $\backslash boldsymbol\{p\}$에 대한 적분이었지만, 양자역학에서는 대각합을 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

:$$Z = \operatorname{Tr}( e^{-\beta \mathcal{H}})$$

고전역학에서는 변수 $\backslash boldsymbol\{p\}$와 $\backslash boldsymbol\{A\}$가 가환이었지만, 양자역학에서는 이러한 변수가 비가환이므로 0이 아닌 항이 남고, 이 항이 실제로 관측되는 현상을 기술하는 항이 된다.

이후 이론은 확장되어 특수 상대성 이론을 고려해야 할 필요성이 밝혀졌다. 상대론을 고려하지 않으면, $\backslash hbar\; \backslash to\; 0$와 $c\; \backslash to\; 0$이 되어 두 자기적 효과가 상쇄된다. 따라서 자성은 상대론적 양자역학에 의해서만 설명될 수 있다.

3.1. 직관적인 증명

보어-판레이우언 정리는 회전 불가능한 고립계에 적용된다. 만약 고립계가 외부에서 가해진 자기장에 반응하여 회전하도록 허용된다면, 이 정리는 적용되지 않는다. 또한, 주어진 온도와 자기장에서 열적 평형 상태가 하나뿐이고, 자기장이 가해진 후 계가 평형 상태로 돌아갈 시간을 갖는다면, 자화는 일어나지 않을 것이다.

계가 어떤 특정한 운동 상태에 있을 확률은 맥스웰-볼츠만 통계로 예측할 수 있는데, 맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 이 확률은
:$\backslash exp(-U/k\_\backslash mathrm\{B\}T)$
에 비례한다. 여기서 $U$는 계의 에너지이고, $k\_\backslash mathrm\{B\}$는 볼츠만 상수, $T$는 절대 온도이다. 여기서 에너지는 운동 에너지($m$가 입자의 질량이고, $v$가 속력일 때, 입자의 $m\; v^2/2$ 값)와 위치 에너지이다.

하지만 자기장은 위치 에너지에 전혀 기여하지 않는다. 전하 $q$의 속도가 $\backslash mathbf\{v\}$인 입자에 가해지는 로런츠 힘은

:$\backslash mathbf\{F\}\; =\; q\; \backslash left(\backslash mathbf\{E\}\; +\; \backslash mathbf\{v\}\backslash times\backslash mathbf\{B\}\backslash right),$
으로 나타난다. 여기서 $\backslash mathbf\{E\}$는 전기장이고, $\backslash mathbf\{B\}$는 자기 선속 밀도이다. 이 식에서 일률을 구해보면 $\backslash mathbf\{F\}\backslash cdot\backslash mathbf\{v\}\; =\; q\backslash mathbf\{E\}\backslash cdot\backslash mathbf\{v\}$가 되는데, 이 식에서 일률은 자기장 $\backslash mathbf\{B\}$와 무관하다는 것을 알 수 있다. 그러므로 에너지는 자기장에 영향을 받지 않고, 따라서 입자 운동의 분포 역시 자기장에 영향을 받지 않는다.

회전할 수 없다는 가정으로 인하여, 장의 세기가 0인 경우에는 입자들의 알짜 운동이 0이 된다. 따라서 평균 자기 모멘트 역시 0이 될 것이다. 운동의 분포가 자기장에 전혀 영향을 받지 않으므로, 결국 자기장에 관계없이 열평형 상태에서의 자기 모멘트는 0이 된다.

3.2. 수식을 이용한 증명

간결함을 위해 $N$개의 전자가 존재하는 계를 생각한다. 고체에서 나타나는 대부분의 자기 효과는 전자로 인해 발생하고, 전자를 다른 대전 입자로 치환해 일반화시킬 수도 있으므로, 이 가정은 일반적이다. 각 전자들은 질량 $m\_e$와 음의 전하 $e$를 갖는다. 전자의 위치를 $\backslash mathbf\{r\}$라고 하고, 그 속도를 $\backslash mathbf\{v\}$라고 한다면, 각 전자는 전류 $\backslash mathbf\{j\}\; =\; e\backslash mathbf\{v\}$와
:$\backslash boldsymbol\{\backslash mu\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2c\}\backslash mathbf\{r\}\backslash times\backslash mathbf\{j\}\; =\; \backslash frac\{e\}\{2c\}\backslash mathbf\{r\}\backslash times\backslash mathbf\{v\}$
의 자기 모멘트를 갖게 된다. 위 식은 자기 모멘트가 전자의 위치에 대해 선형적이라는 것을 보여준다. 따라서 계 전체 자기 모멘트의 특정 방향 성분은 다음과 같이 선형 함수로 나타나게 된다.
:$\backslash mu\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^N\backslash mathbf\{a\}\_i\backslash cdot\backslash dot\{\backslash mathbf\{r\}\}\_i,$
여기서 $\backslash mathbf\{r\}\_i$ 위의 점 표시는 위치의 시간에 대한 미분을 나타낸 것이고, $\backslash mathbf\{a\}\_i$는 위치 $\backslash \{\backslash mathbf\{r\}\_i,i=1\backslash ldots\; N\backslash \}$에 의존적인 벡터 계수이다.

맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 n번째 입자가 운동량 $\backslash boldsymbol\{p\}\_n$을 갖고, 위치 $\backslash boldsymbol\{r\}\_n$을 가질 확률은 다음과 같다.
:$dP\; \backslash propto\; \backslash exp\{\backslash left[-\backslash frac\{\backslash mathcal\{H\}(\backslash boldsymbol\{p\}\_1,\backslash ldots,\backslash boldsymbol\{p\}\_N;\backslash boldsymbol\{r\}\_1,\backslash ldots,\backslash boldsymbol\{r\}\_N)\}\{k\_\backslash mathrm\{B\}T\}\backslash right]\}d\backslash boldsymbol\{p\}\_1,\backslash ldots,d\backslash boldsymbol\{p\}\_Nd\backslash boldsymbol\{r\}\_1,\backslash ldots,d\backslash boldsymbol\{r\}\_N.$
여기서 $\backslash mathcal\{H\}$는 해밀토니언으로, 계의 전체 에너지와 같다.

이를 이용하여 어떤 일반화 좌표에 대한 함수 $f(\backslash boldsymbol\{p\}\_1,\backslash ldots,\backslash boldsymbol\{p\}\_N;\backslash boldsymbol\{r\}\_1,\backslash ldots,\backslash boldsymbol\{r\}\_N)$의 열 평균을 구하면 다음과 같다.
:$\backslash langle\; f\backslash rangle\; =\backslash frac\{\backslash int\; f\; dP\}\{\backslash int\; dP\}.$

자기장의 존재 하에 해밀토니언은
:$\backslash mathcal\{H\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{2m\_e\}\backslash sum\_\{i=1\}^N\; \backslash left(\backslash mathbf\{p\}\_i\; -\; \backslash frac\{e\}\{c\}\backslash mathbf\{A\}\_i\; \backslash right)^2\; +\; e\backslash phi(\backslash mathbf\{q\}),$
으로 나타난다. 여기서 $\backslash mathbf\{A\}\_i$는 자기 벡터 퍼텐셜이고, $\backslash phi(\backslash mathbf\{q\})$는 전기 스칼라 퍼텐셜이다. 각각의 입자의 운동량 성분 $\backslash mathbf\{p\}\_i$와 위치 성분 $\backslash mathbf\{r\}\_i$는 해밀턴 역학에 의하면 다음과 같은 관계를 갖는다.
:$\backslash begin\{align\}$
\dot{\mathbf{p}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\
\dot{\mathbf{r}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i.
\end{align}

열 평균
:$\backslash langle\; \backslash mu\; \backslash rangle\; =\; \backslash frac\{\backslash int\; \backslash mu\; dP\}\{\backslash int\; dP\},$
의 각 항은
:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; p\; dp,$
에 비례한다. (여기서 $p$는 일반화 운동량 가운데 하나다.) 그런데 여기서 피적분함수는 $p$의 기함수이므로, 적분값이 0이 된다. 따라서 자기 쌍극자 모멘트의 열 평균 $\backslash langle\backslash mu\backslash rangle=0$이 된다.

3.3. 양자역학적 관점

고전역학에서 분배 함수는 $$\boldsymbol{r}$$, $$\boldsymbol{p}$$에 대한 적분이었지만, 양자역학에서는 대각합을 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

: $$Z = \operatorname{Tr}( e^{-\beta \mathcal{H}})$$

고전역학에서는 변수 $$\boldsymbol{p}$$와 $$\boldsymbol{A}$$가 가환(교환 법칙을 만족하는)인 반면, 양자역학에서는 이러한 변수가 비가환이므로 0이 아닌 항이 남고, 이 항이 실제로 관측되는 현상을 기술하는 항이 된다.

이 이론은 후에 확장되어, 특수 상대성 이론도 고려할 필요가 있음이 밝혀졌다. 상대론을 고려하지 않으면, $$\hbar \to 0$$와 $$c \to 0$$이 되어, 두 자기적 효과가 상쇄된다. 따라서 자성은 상대론적 양자역학에 의해 비로소 설명된다.

4. 랑주뱅 함수와 브릴루앙 함수의 관계 (고전 상자성과 양자 상자성)

랑주뱅 함수는 종종 고전적인 상자성 이론으로 간주되는 반면, 브릴루앙 함수는 상자성의 양자론이다. 랑주뱅이 1905년에 상자성 이론을 발표했을 때는 양자 물리학이 채택되기 전이었다. 즉, 랑주뱅은 고전 물리학의 개념만을 사용했다는 의미이다.

그럼에도 불구하고, 닐스 보어는 그의 논문에서 고전 통계 역학으로는 상자성을 설명할 수 없으며, 양자론을 사용해야 함을 보였다(보어-판 레이우언 정리). 이는 나중에 보어 마그네톤을 사용하고, 시스템의 에너지가 연속적으로 변하지 않는다고 간주하는 브릴루앙 함수와 같은 양자론에 기반한 자화 현상을 설명하는 데 기여했다.

랑주뱅과 보어의 접근 방식에는 차이가 있는데, 랑주뱅은 유도를 위해 자기 편극을 기본으로 가정하는 반면, 보어는 전자의 운동과 원자 모델에서 유도를 시작한다는 점에 주목할 수 있다. 즉, 랑주뱅은 여전히 양자화된 고정된 자기 쌍극자를 가정하고 있는 것이다. 이는 J. H. 반 플렉에 의해 다음과 같이 표현될 수 있다.

"랑주뱅이 원자 또는 분자의 자기 모멘트가 고정된 값을 가진다고 가정했을 때, 그는 깨닫지 못한 채 시스템을 양자화한 것이다."

이로 인해 랑주뱅 함수는 고전 통계 역학과 양자론의 경계에 위치하게 된다(반고전 또는 반양자).

5. 보어-판레이우언 정리의 응용

보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리학, 전기 기계학, 전기 공학, 전기역학 등 여러 분야에서 응용된다.

5.1. 플라스마 물리학

플라스마 물리학에서 보어-판레이우언 정리는 유용하게 사용된다. 순수한 고전적 성질의 반자성은 플라스마에서도 발생하지만, 플라스마 밀도 기울기와 같은 열적 평형 상태가 아닐 때 나타난다.

5.2. 전기 기계 및 전자 공학

보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리학 외에도 전기 기계학과 전기 공학 분야에서도 응용되어 실질적인 이점을 제공한다. 순수한 고전적 성질의 반자성은 플라스마 밀도 기울기와 같은 열적 평형 상태가 아닐 때 플라스마에서도 발생한다.

5.3. 기타 분야

보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리, 전기기계기술, 전자전기 공학 등 여러 응용 분야에서 유용하게 사용된다. 플라스마 물리학에서, 순수한 고전적 성질의 반자성은 플라스마 밀도 기울기와 같은 열적 평형 상태가 아닐 때 나타난다. 전기 기계학과 전기 공학 역시 보어-판레이우언 정리로부터 실질적인 이점을 얻는다.