보어-판레이우언 정리

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1. 개요
2. 역사
3. 증명
4. 랑주뱅 함수와 브릴루앙 함수의 관계 (고전 상자성과 양자 상자성)
5. 보어-판레이우언 정리의 응용
참조

1. 개요

보어-판레이우언 정리는 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 자기 현상을 설명할 수 없다는 것을 밝히는 정리이다. 1911년 닐스 보어가 처음 언급하고, 1919년 헨드리카 판레이우언이 재발견했으며, 1932년 존 판블렉에 의해 공식화되었다. 이 정리는 양자 역학의 필요성을 제시하며, 보어 모형 개발에 영향을 미쳤다. 보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리학, 전기 기계 및 전기 공학 등 다양한 분야에 응용된다.

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보어-판레이우언 정리

2. 역사

보어-판레이우언 정리는 1911년 닐스 보어가 박사 학위 논문에서 처음 언급했고, 1919년 헨드리카 판레이우언(Hendrika Johanna van Leeuwen^nl)가 자신의 박사 학위 논문에서 재발견했다.^[24]^[25] 1932년 존 판블렉은 보어의 초기 정리를 전기 및 자기 감수성에 관한 책에서 공식화하고 확장했다.

이 정리는 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 자기 현상을 설명할 수 없으며, 이를 설명하기 위해서는 양자 역학과 상대성 이론이 필요하다는 것을 밝혀냈다. 이 결과는 보어가 1913년 수소 원자의 보어 모형을 고안하는 데 영향을 주었을 것으로 추정된다.

2. 1. 초기 역사

현재 "보어-판레이우언 정리"로 알려진 이 정리는 1911년 닐스 보어가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였다.^[24] 이후 1919년 헨드리카 판레이우언(Hendrika Johanna van Leeuwen^nl)가 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다.^[25] 1932년에는 물리학자 존 판블렉이 보어가 작성한 전기 감수율과 자화율에 대한 책에 등장한 초기 정리를 토대로 이 정리를 공식화하고 확장하였다.

2. 2. 재발견과 발전

현재 "보어-판레이우언 정리"로 알려진 이 정리는 1911년 닐스 보어가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였다.^[24] 이후 1919년 헨드리카 판레이우언(Hendrika Johanna van Leeuwen^nl)가 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다.^[25] 1932년에는 물리학자 존 판블렉이 이 정리를 공식화하였으며, 보어가 작성한 전기 감수율과 자화율에 대한 책에 등장한 초기 정리를 토대로 정리를 확장하였다. 이 정리는 고전 역학으로는 반자성, 상자성, 강자성과 같은 일련의 자기 현상을 설명할 수 없다는 것을 밝혀내었고, 이를 설명하기 위해서는 양자 역학과 상대성 이론이 필요하다는 점을 밝혀냈다는 점에서 중요한 정리이다. 이 정리의 결과는 보어가 1913년 수소 원자의 보어 모형을 고안하는데 영향을 주었을 것으로 추정된다.

2. 3. 대한민국에서의 인식

보어-판레이우언 정리는 1911년 닐스 보어가 박사 학위 논문에서 처음으로 언급하였고,^[24] 1919년 헨드리카 판레이우언(Hendrika Johanna van Leeuwen^nl)이 자신의 박사 학위 논문을 집필하는 과정에서 재발견하였다.^[25]

3. 증명

보어-판레이우언 정리는 고전 물리학에서 자기장 하에 열적 평형 상태에 있는 계의 자화가 0이 됨을 증명하는 정리이다. 이 정리는 전자의 운동과 자기장의 상호작용을 고전역학과 통계역학의 관점에서 분석하여, 자기 모멘트가 0이 되는 과정을 보인다.

'''수식을 이용한 증명'''

$N$ 개의 전자를 가진 시스템을 가정한다. 고체 내 자화의 대부분은 전자에 의해 전달되므로 이는 적절한 가정이며, 전하를 띤 입자가 두 종류 이상인 경우에도 증명은 쉽게 일반화될 수 있다. 각 전자는 음전하 $e$ 와 질량 $m_\text{e}$ 를 갖는다. 위치가 $\mathbf{r}$ 이고 속도가 $\mathbf{v}$ 인 전자는 전류 $\mathbf{j} = e\mathbf{v}$ 와 자기 모멘트를 생성한다.^[6]

: $\mathbf{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}.$

자기 모멘트는 속도 좌표의 선형 함수이므로, 주어진 방향의 총 자기 모멘트는 다음 형태의 선형 함수여야 한다.^[6]

: $\mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i,$

여기서 점은 시간 미분을 나타내고, $\mathbf{a}_i$ 는 위치 좌표 $\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}$ 에 의존하는 벡터 계수이다. 맥스웰-볼츠만 통계는 n번째 입자가 운동량 $\mathbf{p}_n$ 과 좌표 $\mathbf{r}_n$ 을 가질 확률을 제공한다.^[6]

: $dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)}{k_\text{B}T}\right]}d\mathbf{p}_1,\ldots,d\mathbf{p}_Nd\mathbf{r}_1,\ldots,d\mathbf{r}_N,$

여기서 $\mathcal{H}$ 는 해밀토니안으로, 시스템의 총 에너지이다. 이러한 일반화된 좌표의 임의의 함수 $f(\mathbf{p}_1,\ldots,\mathbf{p}_N;\mathbf{r}_1,\ldots,\mathbf{r}_N)$ 의 열적 평균은 다음과 같다.^[6]

: $\langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}.$

자기장이 있는 경우, 해밀토니안은 다음과 같다.^[6]

: $\mathcal{H} = \frac{1}{2m_\text{e}}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}),$

여기서 $\mathbf{A}_i$ 는 자기 벡터 포텐셜이고 $\phi(\mathbf{q})$ 는 전기 스칼라 포텐셜이다. 각 입자에 대해 운동량 $\mathbf{p}_i$ 와 위치 $\mathbf{r}_i$ 의 성분은 해밀턴 역학의 방정식에 의해 관련된다.

: $\begin{align}\dot{\mathbf{p}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\\dot{\mathbf{r}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i.\end{align}$

따라서,^[6]

: $\dot{\mathbf{r}}_i \propto \mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i,$

이므로 모멘트 $\mu$ 는 운동량 $\mathbf{p}_i$ 의 선형 함수이다. 열평균된 모멘트는,^[6]

: $\langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP},$

다음 형태의 적분과 비례하는 항의 합이다.^[6]

: $\int_{-\infty}^\infty (\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i) dP,$

여기서 $p$ 는 운동량 좌표 중 하나를 나타낸다. 피적분 함수는 $p$ 의 홀함수이므로 사라진다. 따라서 $\langle\mu\rangle=0$ 이다.^[6]

'''양자역학적 증명'''

고전역학에서 분배 함수는 $\boldsymbol{r}$ 과 $\boldsymbol{p}$ 에 대한 적분이었지만, 양자역학에서는 대각합을 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

:$$Z = \operatorname{Tr}( e^{-\beta \mathcal{H}})$$

고전역학에서는 변수 $\boldsymbol{p}$ 와 $\boldsymbol{A}$ 가 가환이었지만, 양자역학에서는 이러한 변수가 비가환이므로 0이 아닌 항이 남고, 이 항이 실제로 관측되는 현상을 기술하는 항이 된다.

이후 이론은 확장되어 특수 상대성 이론을 고려해야 할 필요성이 밝혀졌다. 상대론을 고려하지 않으면, $\hbar \to 0$ 와 $c \to 0$ 이 되어 두 자기적 효과가 상쇄된다. 따라서 자성은 상대론적 양자역학에 의해서만 설명될 수 있다.

3. 1. 직관적인 증명

보어-판레이우언 정리는 회전 불가능한 고립계에 적용된다. 만약 고립계가 외부에서 가해진 자기장에 반응하여 회전하도록 허용된다면, 이 정리는 적용되지 않는다.^[13] 또한, 주어진 온도와 자기장에서 열적 평형 상태가 하나뿐이고, 자기장이 가해진 후 계가 평형 상태로 돌아갈 시간을 갖는다면, 자화는 일어나지 않을 것이다.

계가 어떤 특정한 운동 상태에 있을 확률은 맥스웰-볼츠만 통계로 예측할 수 있는데, 맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 이 확률은

:

\exp(-U/k_\mathrm{B}T)

에 비례한다. 여기서

U

는 계의 에너지이고,

k_\mathrm{B}

는 볼츠만 상수,

T

는 절대 온도이다. 여기서 에너지는 운동 에너지(

m

가 입자의 질량이고,

v

가 속력일 때, 입자의

m v^2/2

값)와 위치 에너지이다.^[13]

하지만 자기장은 위치 에너지에 전혀 기여하지 않는다. 전하

q

의 속도가

\mathbf{v}

인 입자에 가해지는 로런츠 힘은

:

\mathbf{F} = q \left(\mathbf{E} + \mathbf{v}\times\mathbf{B}\right),

으로 나타난다. 여기서

\mathbf{E}

는 전기장이고,

\mathbf{B}

는 자기 선속 밀도이다. 이 식에서 일률을 구해보면

\mathbf{F}\cdot\mathbf{v} = q\mathbf{E}\cdot\mathbf{v}

가 되는데, 이 식에서 일률은 자기장

\mathbf{B}

와 무관하다는 것을 알 수 있다. 그러므로 에너지는 자기장에 영향을 받지 않고, 따라서 입자 운동의 분포 역시 자기장에 영향을 받지 않는다.^[13]

회전할 수 없다는 가정으로 인하여, 장의 세기가 0인 경우에는 입자들의 알짜 운동이 0이 된다. 따라서 평균 자기 모멘트 역시 0이 될 것이다. 운동의 분포가 자기장에 전혀 영향을 받지 않으므로, 결국 자기장에 관계없이 열평형 상태에서의 자기 모멘트는 0이 된다.^[13]

3. 2. 수식을 이용한 증명

간결함을 위해

N

개의 전자가 존재하는 계를 생각한다. 고체에서 나타나는 대부분의 자기 효과는 전자로 인해 발생하고, 전자를 다른 대전 입자로 치환해 일반화시킬 수도 있으므로, 이 가정은 일반적이다.^[23] 각 전자들은 질량

m_e

와 음의 전하

e

를 갖는다. 전자의 위치를

\mathbf{r}

라고 하고, 그 속도를

\mathbf{v}

라고 한다면, 각 전자는 전류

\mathbf{j} = e\mathbf{v}

와^[23]

:

\boldsymbol{\mu} = \frac{1}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{j} = \frac{e}{2c}\mathbf{r}\times\mathbf{v}

의 자기 모멘트를 갖게 된다. 위 식은 자기 모멘트가 전자의 위치에 대해 선형적이라는 것을 보여준다. 따라서 계 전체 자기 모멘트의 특정 방향 성분은 다음과 같이 선형 함수로 나타나게 된다.^[23]

:

\mu = \sum_{i=1}^N\mathbf{a}_i\cdot\dot{\mathbf{r}}_i,

여기서

\mathbf{r}_i

위의 점 표시는 위치의 시간에 대한 미분을 나타낸 것이고,

\mathbf{a}_i

는 위치

\{\mathbf{r}_i,i=1\ldots N\}

에 의존적인 벡터 계수이다.

맥스웰-볼츠만 통계에 의하면 n번째 입자가 운동량

\boldsymbol{p}_n

을 갖고, 위치

\boldsymbol{r}_n

을 가질 확률은 다음과 같다.^[23]

:

dP \propto \exp{\left[-\frac{\mathcal{H}(\boldsymbol{p}_1,\ldots,\boldsymbol{p}_N;\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_N)}{k_\mathrm{B}T}\right]}d\boldsymbol{p}_1,\ldots,d\boldsymbol{p}_Nd\boldsymbol{r}_1,\ldots,d\boldsymbol{r}_N.

여기서

\mathcal{H}

는 해밀토니언으로, 계의 전체 에너지와 같다.^[23]

이를 이용하여 어떤 일반화 좌표에 대한 함수

f(\boldsymbol{p}_1,\ldots,\boldsymbol{p}_N;\boldsymbol{r}_1,\ldots,\boldsymbol{r}_N)

의 열 평균을 구하면 다음과 같다.

:

\langle f\rangle =\frac{\int f dP}{\int dP}.

자기장의 존재 하에 해밀토니언은

:

\mathcal{H} = \frac{1}{2m_e}\sum_{i=1}^N \left(\mathbf{p}_i - \frac{e}{c}\mathbf{A}_i \right)^2 + e\phi(\mathbf{q}),

으로 나타난다. 여기서

\mathbf{A}_i

는 자기 벡터 퍼텐셜이고,

\phi(\mathbf{q})

는 전기 스칼라 퍼텐셜이다. 각각의 입자의 운동량 성분

\mathbf{p}_i

와 위치 성분

\mathbf{r}_i

는 해밀턴 역학에 의하면 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

\begin{align}\dot{\mathbf{p}}_i &= \partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{r}_i\\\dot{\mathbf{r}}_i &= -\partial \mathcal{H} / \partial \mathbf{p}_i.\end{align}

열 평균

:

\langle \mu \rangle = \frac{\int \mu dP}{\int dP},

의 각 항은

:

\int_{-\infty}^\infty p dp,

에 비례한다. (여기서

p

는 일반화 운동량 가운데 하나다.) 그런데 여기서 피적분함수는

p

의 기함수이므로, 적분값이 0이 된다. 따라서 자기 쌍극자 모멘트의 열 평균

\langle\mu\rangle=0

이 된다.^[23]

3. 3. 양자역학적 관점

고전역학에서 분배 함수는 $$\boldsymbol{r}$$, $$\boldsymbol{p}$$에 대한 적분이었지만, 양자역학에서는 대각합을 사용하여 다음과 같이 나타낸다.

: $$Z = \operatorname{Tr}( e^{-\beta \mathcal{H}})$$

고전역학에서는 변수 $$\boldsymbol{p}$$와 $$\boldsymbol{A}$$가 가환(교환 법칙을 만족하는)인 반면, 양자역학에서는 이러한 변수가 비가환이므로 0이 아닌 항이 남고, 이 항이 실제로 관측되는 현상을 기술하는 항이 된다.

이 이론은 후에 확장되어, 특수 상대성 이론도 고려할 필요가 있음이 밝혀졌다. 상대론을 고려하지 않으면, $$\hbar \to 0$$와 $$c \to 0$$이 되어, 두 자기적 효과가 상쇄된다. 따라서 자성은 상대론적 양자역학에 의해 비로소 설명된다.

4. 랑주뱅 함수와 브릴루앙 함수의 관계 (고전 상자성과 양자 상자성)

랑주뱅 함수는 종종 고전적인 상자성 이론으로 간주되는 반면,^[8] 브릴루앙 함수는 상자성의 양자론이다.^[9] 랑주뱅이 1905년에 상자성 이론을 발표했을 때^[10]^[11]는 양자 물리학이 채택되기 전이었다. 즉, 랑주뱅은 고전 물리학의 개념만을 사용했다는 의미이다.^[12]

그럼에도 불구하고, 닐스 보어는 그의 논문에서 고전 통계 역학으로는 상자성을 설명할 수 없으며, 양자론을 사용해야 함을 보였다^[12](보어-판 레이우언 정리). 이는 나중에 보어 마그네톤을 사용하고, 시스템의 에너지가 연속적으로 변하지 않는다고 간주하는 브릴루앙 함수와 같은 양자론에 기반한 자화 현상을 설명하는 데 기여했다.

랑주뱅과 보어의 접근 방식에는 차이가 있는데, 랑주뱅은 유도를 위해 자기 편극을 기본으로 가정하는 반면, 보어는 전자의 운동과 원자 모델에서 유도를 시작한다는 점에 주목할 수 있다.^[12] 즉, 랑주뱅은 여전히 양자화된 고정된 자기 쌍극자를 가정하고 있는 것이다. 이는 J. H. 반 플렉에 의해 다음과 같이 표현될 수 있다.

"랑주뱅이 원자 또는 분자의 자기 모멘트가 고정된 값을 가진다고 가정했을 때, 그는 깨닫지 못한 채 시스템을 양자화한 것이다."^[12]

이로 인해 랑주뱅 함수는 고전 통계 역학과 양자론의 경계에 위치하게 된다(반고전 또는 반양자).^[12]

5. 보어-판레이우언 정리의 응용

보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리학, 전기 기계학, 전기 공학, 전기역학 등 여러 분야에서 응용된다.^[14]^[21]

5. 1. 플라스마 물리학

플라스마 물리학에서 보어-판레이우언 정리는 유용하게 사용된다.^[14] 순수한 고전적 성질의 반자성은 플라스마에서도 발생하지만, 플라스마 밀도 기울기와 같은 열적 평형 상태가 아닐 때 나타난다.^[21]

5. 2. 전기 기계 및 전자 공학

보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리학 외에도 전기 기계학과 전기 공학 분야에서도 응용되어 실질적인 이점을 제공한다.^[14] 순수한 고전적 성질의 반자성은 플라스마 밀도 기울기와 같은 열적 평형 상태가 아닐 때 플라스마에서도 발생한다.

5. 3. 기타 분야

보어-판레이우언 정리는 플라스마 물리, 전기기계기술, 전자전기 공학 등 여러 응용 분야에서 유용하게 사용된다.^[14] 플라스마 물리학에서, 순수한 고전적 성질의 반자성은 플라스마 밀도 기울기와 같은 열적 평형 상태가 아닐 때 나타난다. 전기 기계학과 전기 공학 역시 보어-판레이우언 정리로부터 실질적인 이점을 얻는다.^[21]

참조

_[1] 문서 John Hasbrouck van Vleck stated the Bohr–Van Leeuwen theorem as "At any finite temperature, and in all finite applied electrical or magnetical fields, the net magnetization of a collection of electrons in thermal equilibrium vanishes identically."
_[2] 간행물 Quantum Theory of Triboelectricity https://link.aps.org[...] 2020-10-30
_[3] 서적 Early Works (1905-1911) Elsevier
_[4] 간행물 Problèmes de la théorie électronique du magnétisme https://hal.science/[...]
_[5] 서적 The theory of electric and magnetic susceptibilities Clarendon Press
_[6] 서적 Introduction to the Theory of Ferromagnetism https://archive.org/[...] Clarendon Press
_[7] 서적 Nobel Lectures in Physics 1971-1980 http://nobelprize.or[...] World Scientific
_[8] 서적 Introduction to magnetic materials (2nd ed.) Wiley (IEEE press)
_[9] 서적 Introduction to magnetic materials (2nd ed.) Wiley (IEEE press)
_[10] 간행물 Sur la théorie du magnétisme.
_[11] 간행물 Magnétisme et théorie des électrons https://fr.wikisourc[...]
_[12] 간행물 The story of magnetism: from Heisenberg, Slater, and Stoner to Van Vleck, and the issues of exchange and correlation
_[13] 서적 The Feynman Lectures on Physics Basic Books
_[14] 웹사이트 Plasma Stability and the Bohr–Van Leeuwen Theorem https://ntrs.nasa.go[...] NASA 2008-10-27
_[15] 서적 Introduction to the Theory of Ferromagnetism Oxford Oxford Science Publications
_[16] 서적 History of magnetism
_[17] 문서 Studier over Metallernes Elektrontheori Københavns Universitet
_[18] 문서 Problèmes de la théorie électronique du magnétisme http://hal.archives-[...] Leiden University
_[19] 웹사이트 A history of Magnetism, Physics, Trinity College Dublin. http://www.tcd.ie/Ph[...] 2008-10-27
_[20] 웹사이트 2008 APS March Meeting http://flux.aps.org/[...] APS 2008-10-27
_[21] 웹사이트 Plasma Stability and the Bohr-Van Leeuwen Theorem (1967) http://ntrs.nasa.gov[...] Nasa 2008-10-27
_[22] 문서 존 판블렉(John Hasbrouck van Vleck)은 보어-판레이우언 정리에 대해 다음과 같이 적었다. "어떤 유한한 온도와 유한한 전자기장 하에서, 전자 집합의 알짜 자화는 열 평형 상태에서 동등하게 사라진다".
_[23] 문서
_[24] 문서
_[25] 문서
_[26] 문서

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