와인버그-위튼 정리

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1. 개요

와인버그-위튼 정리는 3+1차원 양자장론에서 푸앵카레 대칭성을 따르는 무질량 입자에 대한 제약 조건을 제시하는 정리이다. 이 정리는 보존되는 4차원 벡터류를 운반하는 입자의 헬리시티는 1/2보다 작아야 하고, 에너지-운동량 텐서를 운반하는 입자의 헬리시티는 1보다 작아야 함을 명시한다. 와인버그-위튼 정리는 복합 입자나 창발된 이론의 가능성을 제한하며, 비가환적 게이지 이론, 일반 상대성 이론, 추가 차원, 등각 장론 등 특정 상황에서는 예외가 발생할 수 있다.

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와인버그-위튼 정리
일반 정보
이름	와인버그-위튼 정리
로마자 표기	Wainbeogeu-Witeun jeongni
영어 이름	Weinberg–Witten theorem
내용
분야	이론물리학
설명	질량이 없는 스핀 2 이상의 입자는 로런츠 공변 이론(Lorentz covariant theory)에서 복합 입자로서 나타날 수 없다는 정리이다. 질량이 없는 입자는 스핀이 1보다 크면 게이지 이론이 된다.
세부 내용	질량이 없는 입자는 스핀이 1보다 크면 게이지 이론이 된다. 질량이 없는 스핀이 2 이상인 입자는 로런츠 공변 이론에서 복합 입자로서 나타날 수 없다.
적용	질량이 없는 스핀 2 이상의 입자는 중력자이다. 중력자는 로런츠 공변 이론에서 복합 입자로서 나타날 수 없다.
역사
발표	1980년
발표자	스티븐 와인버그와 에드워드 위튼

2. 역사

1980년대 학계에서는 앞선입자(프리온)나 테크니컬러 등 오늘날 기본 입자로 이해하는 입자가 사실은 강입자처럼 더 작은 입자가 뭉쳐진 복합 입자(composite)라고 보는 관점이 유행하였다. 이 관점을 힘을 매개하는 보손에 적용하면 기본힘도 사실은 단순히 현상론적일 수 있다고 많은 이들은 생각하였다.

이러한 모형이 수학적으로 불가능할 수 있다고 케이스(K. M. Case^영어)와 가시오로비츠(S. G. Gasiorowicz^영어)가 제안하였고,^[1] 스티븐 와인버그와 에드워드 위튼이 이러한 모형들이 수학적으로 불가능하다는 사실을 증명하였다.^[2] 이 정리는 오늘날 '''와인버그-위튼 정리'''라고 불린다.

1980년대 동안 프리온 이론, 테크니컬러 등과 같은 이론들이 매우 인기를 끌었고, 일부 사람들은 중력이 창발 현상일 수 있으며 글루온이 복합 입자일 수 있다고 추측했다. 반면에 와인버그와 위튼은 매우 일반적인 가정을 바탕으로 가상의 복합 이론과 창발 이론을 배제하는 불가능성 정리를 개발했다.

3. 정리

와인버그-위튼 정리는 3+1차원 양자장론에서 푸앵카레 공변성을 따르는 두 가지 중요한 제약을 제시한다.^[1]

보존 4-벡터 전류 $J^\mu$ 를 가진 3+1차원 양자장론(QFT)은 푸앵카레 공변적이며, 해당 보존 전류와 관련된 비영 전하를 가진 질량이 없는 입자를 헬리시티 |''h''| > 1/2로 허용하지 않는다.
비영 보존 응력-에너지 텐서 $T^{\mu \nu}$ 를 가진 3+1차원 QFT는 푸앵카레 공변적이며, 헬리시티 |''h''| > 1인 질량이 없는 입자를 허용하지 않는다.

1980년대 동안 프리온 이론, 테크니컬러 등과 같은 이론들이 매우 인기를 끌었고, 일부 사람들은 중력이 창발 현상일 수 있으며 글루온이 복합 입자일 수 있다고 추측했다. 반면에 와인버그와 위튼은 매우 일반적인 가정을 바탕으로 가상의 복합 이론과 창발 이론을 배제하는 불가능성 정리를 개발했다.

3. 1. 보존되는 4차원 벡터류의 경우

푸앵카레 공변하고 무질량 입자에 의해 운반되는 4차원 벡터류(流)가 보존되기 위해서는, 그 입자의 나선도(helicity) |h|가 1/2보다 작아야 한다. 즉, 나선도가 ±1/2보다 큰 무질량 입자는 보존되는 4차원 벡터류를 통해 상호작용할 수 없다. 이는 전하를 띤 스핀 1의 무질량 입자가 광역 대칭 (global symmetry)을 통해 상호작용하는 것을 금지한다.

만약 전역 대칭과 관련된 근본적인 보존된 4-전류를 가진 이론을 가지고 있다면, 우리는 그 전역 대칭 하에서 전하를 띠는 창발/복합 질량이 없는 스핀-1 입자를 가질 수 없다.

3. 2. 에너지-운동량 텐서의 경우

푸앵카레 공변하는 에너지-운동량 텐서가 보존되기 위해서는, 모든 무질량 입자의 나선도(helicity) |h|가 1보다 작아야 한다. 즉, 나선도가 ±1보다 큰 무질량 입자는 중력과 같이 에너지-운동량 텐서를 통해 상호작용할 수 없다. 이는 스핀 2의 무질량 입자인 중력자가 창발적으로 나타나는 것을 금지한다.^[1]

어떤 입자의 나선도는 스핀의 선형 운동량 방향에 대한 사영이다. 스핀이 n일 때 가능한 나선도는 n, n-1,.., -n이다.

만약 중력이 평평한 민코프스키 시공간 위의 근본적으로 평평한 이론의 창발 이론이라고 가정하면, 뇌터 정리에 의해 푸앵카레 공변성을 갖는 보존된 응력-에너지 텐서를 갖게 된다. 만약 그 이론이 (양-밀스 종류의) 내부 게이지 대칭을 가진다면, 게이지 불변인 벨린판테-로젠펠드 응력-에너지 텐서를 선택할 수 있다. 근본적인 미분 동형 사상 대칭이 없으므로, 이 텐서가 미분 동형 사상 하에서 BRST 닫혀 있지 않다는 것을 걱정할 필요가 없다. 따라서, 와인버그-위튼 정리가 적용되어 질량이 없는 스핀-2 (즉, 헬리시티 ±2) 복합/창발 중력자를 얻을 수 없다.^[1]

4. 증명

보존 전하 ''Q''는 $\int d^3x\, J^0$ 으로 주어진다. 전하와 전류 $J^\mu$ 의 행렬 요소들을 헬리시티가 같은 1입자 점근 상태, $|p \rangle$ 와 $|p' \rangle$ 에 대해 고려한다. 이들은 광로 4-운동량으로 표시된다. $(p - p')$ 이 0이 아닌 경우, 즉 운동량 전달이 공간유사인 경우를 고려한다. ''q''를 전하 연산자 ''Q''에 대한 이러한 상태의 고윳값이라고 하면:

: $\begin{align}q\delta^3(\vec{p}'-\vec{p}) =\langle p'|Q|p\rangle &= \int d^3x\, \langle p'|J^0(\vec{x},0)|p\rangle \\& =\int d^3x\, \langle p'|e^{-i\vec{P}\cdot\vec{x}}J^0(0,0)e^{i\vec{P}\cdot\vec{x}}|p\rangle \\& =\int d^3x\, e^{i(\vec{p}-\vec{p}')\cdot \vec{x}} \langle p'|J^0(0,0)|p\rangle = (2\pi)^3\delta^3(\vec{p}'-\vec{p})\langle p'|J^0(0,0)|p\rangle\end{align}$

여기에서 푸앵카레 공변성의 일부인 병진 공변성을 사용했다. 따라서:

: $\langle p'|J^0(0)|p\rangle =\frac{q}{(2\pi)^3}$

이며, $q\neq 0$ 이다.

''p''가 양의 ''z''축을 따라 움직이고 ''p''′가 음의 ''z''축을 따라 움직이는 기준틀로 변환한다. 이것은 어떤 공간유사 운동량 전달에도 항상 가능하다.

이 기준틀에서 $\langle p' | J^0 (0) | p \rangle$ 와 $\langle p' | J^3 (0) | p \rangle$ 는 ''z''축을 중심으로 θ만큼 반시계 방향으로 회전하면 위상 인자 $e^{i(h-(-h))\theta}=e^{2ih\theta}$ 만큼 변하는 반면, $\langle p' | J^1 (0) + i J^2 (0) | p \rangle$ 와 $\langle p' | J^1 (0) - i J^2 (0) | p \rangle$ 는 각각 위상 인자 $e^{i(2h+1)\theta}$ 와 $e^{i(2h-1)\theta}$ 만큼 변한다.

''h''가 0이 아니면, 상태의 위상을 지정해야 한다. 일반적으로 이것은 로렌츠 불변 방식으로 수행될 수 없지만 (토마스 세차), 1입자 힐베르트 공간은 로렌츠 공변적이다. 따라서 위상에 대해 임의적이지만 고정된 선택을 한다면, 이전 단락의 각 행렬 성분은 ''z''축을 중심으로 한 회전에 불변해야 한다. 따라서 |''h''| = 0 또는 1/2가 아니면, 모든 성분은 0이어야 한다.

와인버그와 위튼은 다음의 연속성을 가정하지 않았다.

: $\langle p|J^0(0)|p\rangle =\lim_{p'\rightarrow p}\langle p'|J^0(0)|p\rangle$ .

오히려, 저자들은 질량이 없는 입자의 "물리적"(즉, 측정 가능한) 양자수는 항상 공간유사 운동량 전달의 시퀀스에 대해 정의된, 영 운동량의 극한에서 행렬 요소에 의해 정의된다고 주장한다. 또한, 첫 번째 방정식의 $\delta^3(\vec{p}'-\vec{p})$ 는 "분산된" 디랙 델타 함수로 대체될 수 있으며, 이는 유한한 상자 위에서 $d^3x$ 부피 적분을 수행하는 것에 해당한다.

정리의 두 번째 부분의 증명은 완전히 유사하며, 전류의 행렬 요소를 응력-에너지 텐서 $T^{\mu \nu}$ 의 행렬 요소로 대체한다:

: $p^\mu=\int d^3x\, T^{\mu 0}(\vec{x},0)$ 및

: $\langle p|T^{0 0}(0)|p\rangle =\frac{E}{(2\pi)^3}$

이며, $E\neq 0$ 이다.

공간유사 운동량 전달의 경우, ''p''′ + ''p''가 ''t''축을 따라 있고, ''p''′ − ''p''가 ''z''축을 따라 있는 기준틀로 갈 수 있다. 이 기준틀에서, $\langle p'|\mathbf{T}(0)|p\rangle$ 의 성분은 ''z''축을 중심으로 θ만큼 회전하면 $e^{i(2h-2)\theta}$ , $e^{i(2h-1)\theta}$ , $e^{i(2h)\theta}$ , $e^{i(2h+1)\theta}$ 또는 $e^{i(2h+2)\theta}$ 로 변환된다. 유사하게, $|h|=0,\frac{1}{2},1$ 임을 결론지을 수 있다.

이 정리는 자유장 이론에도 적용된다. 만약 이러한 이론이 "잘못된" 헬리시티/전하를 가진 질량이 없는 입자를 포함한다면, 그들은 게이지 이론이어야 한다.

5. 적용

스티븐 와인버그와 에드워드 위튼이 제시한 이 정리는 크게 두 가지 종류의 이론에 적용될 수 있다.^[2]

창발된 이론: 게이지 대칭성을 이용하여 중력자를 만들고 중력을 설명하려는 시도와 같이, 기존에 알려진 입자나 힘이 더 근본적인 구성 요소로부터 나타난다는 이론이다.
합성 이론: 앞선입자나 테크니컬러처럼, 오늘날 기본 입자로 알려진 입자들이 실제로는 더 작은 입자들로 구성되어 있다는 이론이다.

1980년대에는 프리온 이론, 테크니컬러 등과 같이 기본 입자가 복합 입자일 수 있다는 가설이나, 중력이 창발 현상일 수 있다는 추측이 제기되었다. 와인버그-위튼 정리는 이러한 특정 가설들을 바탕으로 한 이론을 배제하는 불가능성 정리를 제시하였다.^[2]

하지만 창발 이론의 대부분은 로렌츠 공변성을 갖지 않기 때문에 와인버그-위튼 정리가 직접 적용되지 않는다. 그럼에도 불구하고 로렌츠 공변성 위반은 다른 문제로 이어질 수 있다는 점이 지적된다.

5. 1. 창발된 이론 (Emergent Theories)

창발된 중력 이론은 게이지 대칭성을 이용하여 중력자를 만들어 중력을 설명하려는 시도이다. 만약 중력이 4차원 민코프스키 공간에서 나타나는 현상이라면, 뇌터 정리에 따라 푸앵카레 공변하며 보존되는 에너지-운동량 텐서를 만들 수 있다. 양-밀스 이론과 같은 내부 게이지 대칭성을 갖는다면 벨린판테-로젠펠트 스트레스-에너지 텐서를 통해 게이지 불변성을 확보할 수 있다.^[2]

그러나 이 공간에서는 미분동형사상 대칭이 없기 때문에 와인버그-위튼 정리에 의해 스핀 2인 중력자는 나타날 수 없다. 마찬가지로, 광역 대칭으로 보존되는 4차원 벡터류를 고려하더라도, 이 대칭에 대해 전하를 갖는 스핀 1의 무질량 벡터 보손은 존재할 수 없다. 이는 광역 대칭을 나타내는 게이지 이론을 구축하는 것을 불가능하게 한다.^[2]

5. 2. 합성 이론 (Composite Theories)

1980년대 학계에서는 앞선입자나 테크니컬러 등, 오늘날 기본 입자로 이해하는 입자가 사실은 강입자처럼 더 작은 입자가 뭉쳐진 복합 입자(composite)라는 관점이 유행하였다. 많은 이들은 이 관점을 힘을 매개하는 보손에 적용하면 기본힘도 사실은 단순히 현상론적일 수 있다고 생각하였다.^[1]^[2]

와인버그-위튼 정리는 이러한 복합 입자 모형에도 적용될 수 있다. 예를 들어, 쿼크나 렙톤이 더 작은 구성 입자들로 이루어져 있다면, 이 구성 입자들 사이의 상호작용을 설명하는 새로운 힘이 필요할 것이다. 이 힘이 와인버그-위튼 정리의 조건을 만족한다면, 특정 성질을 가진 복합 입자의 존재가 제한될 수 있다.

만약 중력이 평평한 민코프스키 시공간 위의 근본적으로 평평한 이론의 창발 이론이라고 가정하면, 뇌터 정리에 의해 푸앵카레 공변성을 갖는 보존된 응력-에너지 텐서를 갖게 된다. 만약 그 이론이 (양-밀스 종류의) 내부 게이지 대칭을 가진다면, 게이지 불변인 벨린판테-로젠펠드 응력-에너지 텐서를 선택할 수 있다. 근본적인 미분 동형 사상 대칭이 없으므로, 이 텐서가 미분 동형 사상 하에서 BRST 닫혀 있지 않다는 것을 걱정할 필요가 없다. 따라서 와인버그-위튼 정리가 적용되어 질량이 없는 스핀-2 (즉, 헬리시티 ±2) 복합/창발 중력자를 얻을 수 없다.

만약 전역 대칭과 관련된 근본적인 보존된 4-전류를 가진 이론을 가지고 있다면, 그 전역 대칭 하에서 전하를 띠는 창발/복합 질량이 없는 스핀-1 입자를 가질 수 없다.

6. 예외

와인버그-위튼 정리는 강력한 제약 조건을 제시하지만, 몇 가지 예외적인 경우가 존재한다.

비가환적 게이지 이론: 양-밀스 이론과 같은 비가환적 게이지 이론에서는 게이지 보손을 통해 전류를 생성할 수 있다. 전류 자체는 푸앵카레 불변이 아니지만, 게이지 대칭을 고려한 푸앵카레 불변량은 보존된다.^[1]
일반 상대성 이론: 일반 상대성 이론에서 에너지-운동량 텐서는 푸앵카레 불변이 아니지만, 좌표 변형 대칭을 고려하면 푸앵카레 불변량이 보존된다. 이를 게이지 대칭으로 해석할 수도 있다.^[1]
무거운 게이지 보손, 무거운 중력자 이론: 힘을 매개하는 입자가 질량을 가지는 경우에는 정리가 적용되지 않는다. 예를 들어, W와 Z보손은 전역 대칭에 의해 전하를 띠도록 더 기본적인 가상의 입자(앞선입자 등)를 이용하여 만들 수 있다.
추가 차원: 추가 차원을 고려하는 이론에서는 전류가 흐르는 공간과 로렌츠 대칭이 적용되는 공간이 다르기 때문에 이 정리를 우회할 수 있다.

6. 1. 비가환적 게이지 이론

양-밀스 이론과 같은 비가환적 게이지 이론은 질량이 없고 나선도가 1인 입자, 즉 게이지 보손을 통해 전류를 생성할 수 있다. 이는 전류 자체가 푸앵카레 불변이 아니지만, 게이지 대칭성을 고려한 푸앵카레 불변량이 보존되기 때문이다. 구체적으로,

\partial^\mu J_\mu = 0

은 아니지만,

D^\mu J_\mu = 0

이 성립한다. 여기서 D는 게이지 변환을 포함하는 공변 미분이다. 특정 게이지를 고정하면 이 이론은 푸앵카레 대칭 불변성을 잃게 된다.^[1]

비가환 양-밀스 이론이 쿨롱 위상에서 이 정리를 위반하지 않는 이유는 여러 가지가 있다. 양-밀스 이론은 푸앵카레 공변적이고 게이지 불변적인 양-밀스 전하와 관련된 보존되는 4-전류를 가지고 있지 않다. 뇌터 정리는 보존되고 푸앵카레 공변적이지만 게이지 불변적이지 않은 전류를 제공한다.

J^\mu(x)\equiv\frac{\delta}{\delta A_\mu(x)}S_\mathrm{matter}

로 정의된 전류는

\partial_\mu J^\mu=0

대신

D_\mu J^\mu=0

을 만족하므로 보존되지 않으며, 여기서 D는 공변 미분이다. 쿨롱 게이지와 같은 게이지 고정 후에 정의된 전류는 보존되지만 로렌츠 공변적이지 않다.^[1]

N=1 손지기 초 QCD를

N_f-2 \ge N_c > \frac{2}{3}N_f

의 N_c 색깔과 N_f 맛깔을 가진다고 할 때, 자이베르그 쌍대성에 의해 이 이론은 비가환

SU(N_f-N_c)

게이지 이론과 쌍대성을 가지며, 이는 적외선 극한에서 자유 이론이 된다. 따라서, 쌍대 이론은 어떤 infraparticle 문제나 연속적인 질량 스펙트럼을 겪지 않는다. 그럼에도 불구하고, 쌍대 이론은 여전히 비가환 양-밀스 이론이기에 쌍대 자기 전류는 동일한 문제에 직면한다. 자유 이론도 와인버그-위튼 정리에 면제되지 않는다.^[1]

6. 2. 일반상대론

일반 상대성 이론에서 에너지-운동량 텐서 자체는 푸앵카레 불변이 아니지만, 좌표 변형 대칭(general coordinate transformation)을 고려하면 푸앵카레 불변량이 보존된다. 이를 게이지 대칭으로 해석할 수도 있다.^[1]

6. 3. 무거운 게이지 보손, 무거운 중력자 이론

힘을 매개하는 입자가 질량을 가지는 경우에는 와인버그-위튼 정리가 적용되지 않는다. 예를 들어, 전역 대칭에 의해 질량이 없고 스핀이 1인 벡터 보손은 만들 수 없지만, 질량을 가진 W와 Z보손은 전역 대칭에 의해 전하를 띠도록 더 기본적인 가상의 입자(앞선입자 등)를 이용하여 만들 수 있다.

자발적 대칭 깨짐과 관련된 게이지 보존들은 질량을 갖는다. 예를 들어, 양자 색역학에서, 우리는 자발적으로 깨지는 숨겨진 게이지 대칭으로 설명될 수 있는 전하를 띤 로 중간자가 있다. 그러므로, 원칙적으로 W 보손과 Z 보손의 복합 프리온 모형을 갖는 것을 막는 것은 아무것도 없다.

광자가 SU(2) 약한 대칭 아래에서 전하를 띠고 있음에도 불구하고 (약한 아이소스핀과 하이퍼차지의 선형 결합과 관련된 게이지 보존이기 때문에), 또한 그러한 전하의 응축체를 통과하고 있기 때문에, 약한 전하의 정확한 고유 상태가 아니며, 이 정리 또한 적용되지 않는다.

비슷한 맥락에서, 질량이 있는 중력의 합성/출현 이론을 갖는 것도 가능하다.

6. 4. 추가 차원

1990년대 말부터 추가 차원을 고려하는 이론들이 등장하면서, 와인버그-위튼 정리의 전제와 다른 상황을 가정할 수 있게 되었다. 예를 들어, 4+1차원을 생각하면 전류가 흐르는 공간(5차원)과 로렌츠 대칭이 적용되는 공간(4차원)이 다르기 때문에 이 정리를 우회할 수 있다.

7. 현대적 논의와 한계

와인버그-위튼 정리는 현대 물리학에서도 여전히 강력한 이론적 도구로 간주되지만, 그 적용 범위와 한계에 대한 논의 또한 활발하게 진행되고 있다.

7. 1. 등각 장론

등각 장론에서 유일하게 질량이 없는 입자는 상호작용하지 않는 싱글톤뿐이다.( 싱글톤 장 참조) 다른 "입자"/결합 상태는 임의로 작은 0이 아닌 질량을 가질 수 있는 연속적인 질량 스펙트럼을 갖는다. 따라서, 임의로 작은 질량을 가진 스핀-3/2 및 스핀-2 결합 상태를 가질 수 있지만, 그럼에도 불구하고 정리를 위반하지 않는다. 즉, 그들은 준입자이다.

7. 2. 인프라입자

인프라입자는 서로 동일한 전하를 띠고 서로 다른 속도로 움직일 때, 서로 다른 초선택 부문에 속한다. 이들의 운동량을 각각 ''p''′과 ''p''라고 하면, ''J''^μ(0)는 국소적인 중성 연산자이므로 서로 다른 초선택 부문 간의 사상을 나타내지 않는다. 따라서

는 0이다.

|''p''′>와 |''p''>가 같은 부문에 속하려면 같은 속도를 가져야 하며, 이는 서로 비례한다는 것을 의미한다. 즉, 영 또는 0의 운동량 전달인데, 이는 증명에서 다루지 않는다. 따라서 인프라입자는 다음의 연속성 가정을 위반한다.

:

\langle p|J^0(0)|p\rangle =\lim_{p'\rightarrow p}\langle p'|J^0(0)|p\rangle

이는 전하를 띤 입자의 운동량이 어떤 공간형 운동량에 의해 변할 수 없다는 것을 의미하는 것은 아니다. 단지 입사 상태가 하나의 인프라입자 상태라면, 출사 상태는 여러 개의 소프트 양자와 함께 인프라입자를 포함한다는 의미이다. 이는 불가피한 브렘스스트라룽과 다름없다. 그러나 이는 또한 출사 상태가 하나의 입자 상태가 아니라는 것을 의미한다.

7. 3. 비국소 전하를 가진 이론

비국소 전하는 국소적인 4-전류를 갖지 않으며, 비국소적인 4-운동량을 가진 이론은 국소적인 응력-에너지 텐서를 갖지 않는다.

7. 4. 음향 계량 이론 및 중력의 아날로그 모형

이러한 이론들은 로렌츠 공변성을 갖지 않는다. 하지만, 이러한 이론들 중 일부는 낮은 에너지에서 근사적인 출현 로렌츠 대칭성을 만들어낼 수 있다.

7. 5. 초끈 이론

초끈 이론은 10차원 공간에서 배경 계량(일부 플럭스 포함 가능)으로 정의되며, 이는 평평한 4차원 민코프스키 공간과 콤팩트한 6차원 공간의 곱으로 구성된다. 그 스펙트럼에는 질량이 없는 중력자가 포함되는데, 이것은 초끈의 진동에서 발생하는 입자이다. 이제 스트레스-에너지 텐서를 정의하는 방법을 살펴보자. 배경은 g(계량)과 몇 개의 다른 장으로 주어진다. 유효 작용은 배경의 함수이다. 스트레스-에너지 텐서의 진공 기댓값(VEV)은 다음과 같은 함수 미분으로 정의된다.

:

T^{MN}(x)\equiv \frac{1}{\sqrt{-g}}\frac{\delta}{\delta g_{MN}(x)}\Gamma[\text{background}].

스트레스-에너지 연산자는 배경 계량의 무한소 변화에 해당하는 꼭짓점 연산자로 정의된다.

모든 배경이 허용되는 것은 아니다. 초끈은 일관성을 유지하기 위해 초등각 대칭, 즉 바일 대칭의 초 일반화를 가져야 하지만, 일부 특수한 배경(아인슈타인 방정식과 일부 고차 보정을 만족하는)에서 전파될 때만 초등각적이다. 이 때문에 유효 작용은 이러한 특수한 배경에서만 정의되며 함수 미분은 제대로 정의되지 않는다. 한 점에서의 스트레스-에너지 텐서에 대한 꼭짓점 연산자 또한 존재하지 않는다.

참조

_[1] 논문 Can massless particles be charged? 1962-02
_[2] 논문 Limits on massless particles

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