복제 불가능성 정리

1. 개요

복제 불가능성 정리는 임의의 양자 상태를 완벽하게 복제하는 유니타리 연산자가 존재하지 않는다는 정리이다. 이 정리는 1982년 윌리엄 워터스와 보이치에흐 쥐레크에 의해 증명되었으며, 양자 얽힘을 이용한 초광속 통신 장치에서 비롯되었다. 복제 불가능성은 양자 상태의 임의의 집합이 가지는 성질로, 양자 오류 정정 기술을 직접 사용할 수 없게 하고, 양자 텔레포테이션과는 다른 개념이며, 비-통신 정리를 뒷받침한다. 그러나 불완전한 복제본을 만드는 것은 가능하며, 이는 양자 정보 과학에서 다양한 용도로 활용될 수 있다.

2. 역사

애셔 페레스(Asher Peres)와 데이비드 카이저(David Kaiser)에 따르면, 1982년 윌리엄 워터스(William Wootters)와 보이치에흐 쥐레크(Wojciech H. Zurek), 데니스 디엑스(Dennis Dieks)가 복제 불가능성 정리를 증명한 논문은 닉 허버트(Nick Herbert)가 제안한 양자 얽힘을 이용한 초광속 통신 장치에 대한 것이었다. 잔카를로 기라르디(Giancarlo Ghirardi)는 허버트의 제안에 대한 심사 보고서에서 워터스와 쥐레크보다 18개월 앞서 복제 불가능성 정리를 증명했다(편집자의 편지에서 알 수 있다.). 그러나 2018년 후안 오르티고소(Juan Ortigoso)는 1970년에 제임스 박(James Park)이 양자역학에서 단순 비(非)교란 측정의 부족에 대한 해석과 함께 완전한 증명을 제시했다고 지적했다.

3. 정리 및 증명

복제 불가능성 정리는 임의의 양자 상태를 완벽하게 복제하는 유니타리 연산자가 존재하지 않음을 증명한다.

두 양자 계 A와 B가 동일한 힐베르트 공간을 가지고, B의 초기 상태가 $|e\backslash rangle\_B$일 때, A의 임의의 상태 $|\backslash phi\backslash rangle\_A$를 복제하여 $|\backslash phi\backslash rangle\_A|\backslash phi\backslash rangle\_B$를 만드는 것은 불가능하다. 즉, $|\backslash phi\backslash rangle\_A\; \backslash otimes\; |e\backslash rangle\_B$에서 시작해서 $|\backslash phi\backslash rangle\_A\; \backslash otimes\; |\backslash phi\backslash rangle\_B$를 얻는 것은 불가능하다. ($\backslash otimes$ 기호는 생략한다.)

이를 위해, 다음 두 가지의 결합된 계를 조작할 수 있는 허용되는 양자 연산만이 가능하다.

* 관측을 수행하는것은 계를 관측 가능한 고유 상태로 비가역적으로 붕괴시켜 큐비트에 포함된 정보를 손상시킨다.
* 결합된 계의 해밀토니안을 제어하여 시간 진화 연산자 $U(t)$를 제어할 수 있다.

복제 불가능성 정리는 "계 A의 임의의 상태에 대해서, 계 B의 상태가 계 A의 상태로 진화하도록 하는 $H\_A\; \backslash otimes\; H\_B\; =\; H\; \backslash otimes\; H$에 작용하는 유니타리 연산자 $U$를 구성할 수 있는가?" 라는 질문에 대해 부정적으로 답한다.

정리: $e$와 $\backslash phi$에 의존하는 어떤 실수 $\backslash alpha$와 $H$의 모든 정규화된 상태 $|\backslash phi\; \backslash rangle\_A$, $|e\backslash rangle\_B$에 대해

:$U(|\backslash phi\backslash rangle\_A\; |e\backslash rangle\_B)\; =\; e^\{i\; \backslash alpha(\backslash phi,e)\}\; |\backslash phi\backslash rangle\_A\; |\backslash phi\backslash rangle\_B$

가 성립하는 $H\; \backslash otimes\; H$ 위에 작용하는 유니타리 연산자 $U$는 존재하지 않는다.

증명: 힐베르트 공간 $H$에서 임의의 상태 쌍 $|\backslash phi\backslash rangle\_A$, $|\backslash psi\backslash rangle\_A$을 선택한다. $U$는 유니타리해야 하기 때문에

:$$
\langle \phi| \psi\rangle \langle e | e \rangle \equiv
\langle \phi|_A \langle e|_B |\psi\rangle_A |e\rangle_B =
\langle \phi|_A \langle e|_B U^\dagger U |\psi\rangle_A |e\rangle_B =
e^{-i(\alpha(\phi, e) - \alpha(\psi, e))} \langle \phi|_A \langle \phi|_B |\psi\rangle_A |\psi\rangle_B \equiv
e^{-i(\alpha(\phi, e) - \alpha(\psi, e))} \langle \phi |\psi\rangle^2.


양자 상태 $|e\backslash rangle$는 정규화 된 것으로 가정하므로,

:$|\backslash langle\; \backslash phi\; |\; \backslash psi\; \backslash rangle|^2\; =\; |\backslash langle\; \backslash phi\; |\; \backslash psi\; \backslash rangle|.$

이는 $|\backslash langle\; \backslash phi\; |\; \backslash psi\; \backslash rangle|\; =\; 1$ 또는 $|\backslash langle\; \backslash phi\; |\; \backslash psi\; \backslash rangle|\; =\; 0$를 의미한다. 따라서 코시-슈바르츠 부등식에 의해 $|\backslash phi\backslash rangle\; =\; e^\{i\backslash beta\}|\backslash psi\backslash rangle$이거나 $|\backslash phi\backslash rangle$는 $|\backslash psi\backslash rangle$에 직교한다. 그러나 이것은 자명하게 임의의 두 상태가 아니다. 따라서 하나의 범용 연산자 $U$가 일반적인 양자 상태를 복제할 수는 없다.

예를 들어 큐비트를 보자. 큐비트는 세 개의 실수(두 개의 각과 하나의 반지름)로 나타낼 수 있다. 복사 및 붙여넣기 작업을 사용하여 기존 컴퓨터에서 세 개의 숫자를 복사하는 것은 사소하지만, 큐비트가 유니타리 변환되어 분극화되는 경우 문제가 나타난다. 이러한 경우 큐비트는 두 개의 실수(극각 하나와 1인 반지름 하나)로 나타낼 수 있지만, 세 번째 값은 이러한 표현에서 임의적일 수 있다. 그러나 큐비트의 실현은 "구조" 내에 전체 큐비트 정보를 저장할 수 있다. 따라서 하나의 범용적 유니타리 진화 연산자 $U$는 복제 불가능성 정리에 따라 임의의 양자 상태를 복제할 수 없다.

3.1. 일반화

복제 불가능성 정리는 순수 상태뿐만 아니라 혼합 상태에도 적용된다. 혼합 상태는 더 큰 계의 순수 상태로 "정화"하거나, 혼합 상태에서 직접 작동하는 증명을 통해 설명할 수 있다. 이 경우 복제 불가능성 정리는 무(無) 방송 정리라고도 불린다.

양자 연산은 보조 비트를 도입하고 유니타리 변환을 적용하여 구현할 수 있으므로, 복제 불가능성 정리는 일반적인 양자 연산에도 적용된다.

복제 불가능성은 양자 상태의 임의의 집합이 가지는 성질이다. 서로 직교하지 않는 두 양자 상태는 복제할 수 없다. 이는 양자계의 상태를 두 가지 가능성으로 좁혀도, 그 상태들이 직교하지 않으면 복제가 불가능하다는 것을 의미한다.

고전적인 맥락에서도 확률의 선형성을 이용하여 복제 불가능성과 유사한 사례를 만들 수 있다. 예를 들어, 왜곡된 동전을 한 번 던진 결과만으로는 같은 동전을 사용한 두 번째 독립적인 동전 던지기를 시뮬레이션할 수 없다. 그러나 양자론에서는 순수 상태의 비직교성 때문에 복제 불가능성이 더욱 두드러진다.

양자 복제 불가능성 정리는 양자 신호의 증폭이 특정 직교 기저에서만 가능하다는 것을 보여주며, 이는 양자 데코히어런스에서 고전적인 확률 규칙이 나타나는 현상과 관련이 있다.

4. 이에 따른 결과들

* 복제 불가능성 정리는 양자 상태에 대해 특정 고전 오류 정정 기술을 사용하는 것을 막는다. 예를 들어, 양자 계산 도중 상태의 백업 복사본을 생성하여 후속 오류를 정정하는 데 사용할 수 없다. 1995년에 쇼어와 스테인은 복제 불가능성 정리를 우회하는 최초의 양자 오류 정정 부호를 독립적으로 고안하였다.
* 복제는 양자 상태를 고전적 비트 열(심지어 무한 열의 비트)로 변환하고 해당 비트를 새로운 위치로 복사한 다음 새 위치의 원래 양자 상태를 다시 만드는 것과 혼동해서는 안 된다. 이것은 한 위치에서 양자 상태를 파괴하고 다른 위치에서 정확한 복사본을 다시 만들 수 있는 얽힘을 통한 순간 이동과는 다르다.
* 복제 불가능성 정리는 양자 얽힘이 고전 정보를 전송하는 데 사용될 수 없다는 비-통신 정리에 의해 암시된다. 즉, 복제는 얽힘과 함께 이러한 통신이 발생하도록 허용한다. 이를 확인하려면 EPR 사고 실험을 고려하고 양자 상태를 복제할 수 있다고 가정한다. 극대 얽힘 벨 상태의 일부가 앨리스와 밥에게 분배된다고 가정하고, 엘리스는 다음과 같은 방법으로 밥에게 비트를 보낼 수 있다. 엘리스가 "0"을 전송하려면 z 방향에서 전자의 스핀을 측정하여 밥의 상태를 $|z+\backslash rangle\_B$ 또는 $|z-\backslash rangle\_B$ 중 하나로 붕괴시킨다. "1"을 전송하기 위해 엘리스는 자신의 큐비트에 아무 작업도 수행하지 않는다. 밥은 전자 상태의 복사본을 많이 만들고 각 복사본의 z 방향 스핀을 측정한다. 밥은 모든 측정값이 동일한 결과를 생성하면 엘리스가 "0"을 전송했음을 알게 된다. 그렇지 않으면 그의 측정 결과가 $|z+\backslash rangle\_B$ 또는 $|z-\backslash rangle\_B$ 동등한 확률로 나올 것이다. 이렇게 하면 엘리스와 밥이 서로에게 고전적인 비트를 통신할 수 있다.
* 복제 불가능성 정리는 블랙홀에 대한 홀로그래픽 원리를 두 개의 정보 복사본이 있다는 의미로 해석하는 것을 방지한다. 하나는 사건의 지평에 있고 다른 하나는 블랙홀 내부에 있다. 이것은 블랙홀 상보성과 같은 보다 급진적인 해석으로 이어진다.
* 복제 불가능성 정리는 모든 단검 콤팩트 범주에 적용된다. 이러한 종류의 자명하지 않은 범주에 대한 보편적인 복제 형태는 없다. 이 정리는 이 범주의 정의에 내재되어 있지만 이것이 사실임을 보는 것은 자명한 일이 아니다. 이 범주에는 집합 및 관계 범주와 보충 경계 범주를 포함하여 유한 차원 힐베르트 공간이 아닌 것들이 포함되므로 이 통찰은 중요하다.

5. 불완전 복제

미지의 양자 상태를 완벽하게 복제하는 것은 불가능하지만, 불완전한 복제본을 만드는 것은 가능하다. 이는 복제할 계에 더 큰 보조 계를 연결하고 결합된 계에 유니타리 변환을 적용하여 수행할 수 있다. 유니타리 변환이 올바르게 선택되면 결합된 계의 여러 구성 원소가 원래 계의 대략적인 복사본으로 발전한다. 1996년에 V. 부제크(V. Buzek)와 M. 힐러리(M. Hillery)는 범용 복사기가 5/6이라는 놀라울 정도로 높은 충실도로 알려지지 않은 상태의 복제본을 만들 수 있음을 보여주었다.

불완전한 양자 복제는 양자 정보 이론의 다른 용도 중에서 양자 암호화 프로토콜에 대한 도청 공격으로 사용될 수 있다.

6. 기타 출처

* V. Buzek 및 M. Hillery, Quantum cloning, Physics World 14(11) (2001), pp. 25-29.