본질적 단사 사상

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 본질적 확대 (본질적 부분 가군)
- 3.2. 잉여적 부분 가군
4. 예
- 4.1. 집합
- 4.2. 가군
5. 응용
참조

1. 개요

본질적 단사 사상은 범주 내에서 정의되는 단사 사상의 일종으로, 특정 조건을 만족하는 사상을 의미한다. 구체적으로, 범주 $\mathcal C$ 의 단사 사상 $f\colon X\to\tilde X$ 에 대해, 임의의 사상 $g\colon\tilde X\to Y$ 에 대하여 $g\circ f$ 가 단사 사상이면 $g$ 또한 단사 사상일 때 $f$ 를 본질적 단사 사상이라고 한다. 잉여적 전사 사상은 본질적 단사 사상의 쌍대 개념이다. 본질적 단사 사상은 환 위의 가군, 특히 단사 포락과 사영 피복을 이해하는 데 중요한 역할을 한다.

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본질적 단사 사상
정의
본질 확대	수학에서, 만약 환 R의 가군 N의 부분 가군 M이 주어졌을 때, M을 포함하는 N의 부분 가군 중에서 M이 본질적 부분 가군이 되는 부분 가군이 N 자신밖에 없으면 N을 M의 본질 확대라고 한다.
본질적 부분 가군	만약 N의 모든 0이 아닌 부분 가군이 M과 0이 아닌 교집합을 가지면 M은 N의 본질적 부분 가군이라고 한다. 즉, N의 모든 부분 가군 H에 대해 H와 M의 교집합이 0이면 H=0이다.
기호	N이 M의 본질적 부분 가군일 때, N ⊆ M으로 쓴다.
불필요한 부분 가군	만약 N의 모든 부분 가군 H에 대해 N + H = M이면 H = M일 때, N을 M의 불필요한 부분 가군이라고 한다.
기호	N이 M의 불필요한 부분 가군일 때, N ⊆ M으로 쓴다.
본질적 단사 사상	단사 사상 f: M → N이 있을 때, f가 본질적 단사 사상이라는 것은 f(M)이 N의 본질적 부분 가군이라는 것과 동치이다.
불필요한 전사 사상	전사 사상 f: M → N이 있을 때, f가 불필요한 전사 사상이라는 것은 f의 핵이 M의 불필요한 부분 가군이라는 것과 동치이다.
참고 문헌
참고 문헌	Tsit-Yuen Lam, Lectures on Modules and Rings, Graduate Texts in Mathematics 189 (1999), 74쪽 Frank W. Anderson, Kent R. Fuller, Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics 13 (1992), 72쪽

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 의 단사 사상 $f\colon X\to\tilde X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$ 가 '''본질적 단사 사상'''이라고 한다.

:임의의 사상 $g\colon\tilde X\to Y$ 에 대하여, 만약 $g\circ f$ 가 단사 사상이라면, $g$ 역시 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주 $\mathcal C$ 의 전사 사상 $f\colon\tilde X\to X$ 가 다음 조건을 만족시킨다면, $f$ 가 '''잉여적 전사 사상'''이라고 한다.

:임의의 사상 $g\colon Y\to\tilde X$ 에 대하여, 만약 $f\circ g$ 가 전사 사상이라면, $g$ 역시 전사 사상이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서, 단사 사상의 모임 또는 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상의 모임 $\mathfrak H$ 로 바꾸어 $\mathfrak H$ -'''본질적 사상''' 및 $\mathfrak H$ -'''잉여적 사상'''을 정의할 수 있다.

2. 1. 본질적 단사 사상

범주

\mathcal C

의 단사 사상

f\colon X\to\tilde X

가 다음 조건을 만족시킨다면,

f

가 '''본질적 단사 사상'''(essential monomorphism)이라고 한다.

:임의의 사상

g\colon\tilde X\to Y

에 대하여, 만약

g\circ f

가 단사 사상이라면,

g

역시 단사 사상이다.

마찬가지로, 범주

\mathcal C

의 전사 사상

f\colon\tilde X\to X

가 다음 조건을 만족시킨다면,

f

가 '''잉여적 전사 사상'''(superfluous epimorphism)이라고 한다.

:임의의 사상

g\colon Y\to\tilde X

에 대하여, 만약

f\circ g

가 전사 사상이라면,

g

역시 전사 사상이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서 단사 사상의 모임 또는 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상의 모임

\mathfrak H

로 바꾸어

\mathfrak H

-'''본질적 사상''' 및

\mathfrak H

-'''잉여적 사상'''을 정의할 수 있다.

가군의 범주에서, 부분 가군

N

의 포함 사상

i: N \hookrightarrow M

이 본질적 단사 사상일 때,

N

을

M

의 '''본질 부분 가군'''(essential submodule)이라고 하며,

N \subseteq_e M

또는

N \le_e M

으로 표기한다. 이는 다음 조건과 동치이다.

:

M

의 임의의 부분 가군

L

에 대하여,

N \cap L = \{0\}

이면

L = \{0\}

이다.

본질 부분 가군은 다음과 같은 성질을 가진다.

모든 가군 $M$ 은 자기 자신의 본질 부분 가군이다 ( $M \subseteq_e M$ ). 0이 아닌 가군 $M$ 의 영부분가군 $\{0\}$ 은 $M$ 의 본질 부분 가군이 아니다.
$K \subseteq M \subseteq N$ 일 때, $K \subseteq_e N$ 인 것과 $K \subseteq_e M$ 이고 $M \subseteq_e N$ 인 것은 동치이다 (추이성).
$K, H \subseteq M$ 일 때, $K \cap H \subseteq_e M$ 인 것과 $K \subseteq_e M$ 이고 $H \subseteq_e M$ 인 것은 동치이다.
$M \ne \{0\}$ 이 아르틴 가군이면, 반단순 성분 $\operatorname{soc}(M)$ 은 $M$ 의 본질 부분 가군이다 ( $\operatorname{soc}(M) \subseteq_e M$ ).^[2]

초른의 보조정리를 사용하여 다음 사실을 증명할 수 있다.

M

의 임의의 부분 가군

N

에 대하여, 어떤 부분 가군

C

가 존재하여

N \oplus C \subseteq_e M

이다.

또한, 자신을 진 본질적 확장(proper essential extension)으로 갖는 가군이 없는 가군(즉,

M \subseteq_e N

이면

M=N

인 가군

M

)은 주입 가군이다. 모든 가군

M

은 극대 본질적 확장(maximal essential extension)

E(M)

을 가지며, 이를

M

의 주입 포락(injective hull)이라고 부른다. 주입 포락은 주입 가군이며, 동형 아래 유일하다. 주입 포락은

M

을 포함하는 다른 어떤 주입 가군도

E(M)

의 복사본을 포함한다는 의미에서 최소(minimal) 주입 확장이라는 의미도 갖는다.

2. 2. 잉여적 전사 사상

범주

\mathcal C

의 전사 사상

f\colon\tilde X\to X

가 다음 조건을 만족시킨다면,

f

가 '''잉여적 전사 사상'''이라고 한다.

:임의의 사상

g\colon Y\to\tilde X

에 대하여, 만약

f\circ g

가 전사 사상이라면,

g

역시 전사 사상이다.

이는 본질적 단사 사상의 쌍대 개념이다.

보다 일반적으로, 위 정의에서 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상의 모임

\mathfrak H

로 바꾸어

\mathfrak H

-'''잉여적 사상'''을 정의할 수 있다.

잉여적 전사 사상의 개념은 가군 이론에서의 '''잉여 부분 가군'''(superfluous submodule) 개념과 밀접하게 연관된다. 가군

M

의 부분 가군

N

이 잉여 부분 가군이라는 것은,

M = N + K

를 만족하는 모든 부분 가군

K

에 대해 항상

M = K

가 성립함을 의미한다. 잉여 부분 가군은 다음과 같은 성질을 가진다. (여기서

N \subseteq_s M

은

N

이

M

의 잉여 부분 가군임을 나타낸다.)

영 부분가군 {0}은 항상 $M$ 의 잉여 부분 가군이다. 반면, 영가군이 아닌 가군 $M$ 자신은 결코 잉여 부분 가군이 아니다.
$N \subseteq_s M$ 인 것과, $K \subseteq_s M$ 이면서 몫가군 $N/K \subseteq_s M/K$ 인 것은 동치이다.
두 부분 가군 $K$ 와 $H$ 의 합 $K + H \subseteq_s M$ 인 것과, $K \subseteq_s M$ 이면서 $H \subseteq_s M$ 인 것은 동치이다.
$M \ne 0$ 이 뇌터 가군이면 $M$ 의 근기 $\mathrm{rad}(M) \subseteq_s M$ 이다.^[2]

모든 가군은 그 주입 포락(injective hull) 안으로 가는 본질적인 단사준동형을 갖는다. 이 명제의 쌍대로서, "모든 가군

M

에 대해, 사영 가군

P

와

P

에서

M

으로 가는 전사 준동형 가운데 그 핵이

P

의 잉여 부분 가군인 것이 존재하는가?"라는 질문을 할 수 있다. 이러한 성질을 만족하는 사영 가군

P

를

M

의 '''사영 피복'''(projective cover)이라고 부른다. 그러나 이 질문에 대한 답은 일반적으로 "아니오"이며, 모든 오른쪽 가군이 사영 피복을 갖는 환은 오른쪽 완전환이라고 불린다.

2. 3. 일반화

보다 일반적으로, '''본질적 단사 사상'''과 잉여적 전사 사상의 정의에서 단사 사상 또는 전사 사상의 모임을 다른 종류의 사상 모임

\mathfrak H

로 바꾸어

\mathfrak H

-'''본질적 사상''' 및

\mathfrak H

-'''잉여적 사상'''을 정의할 수 있다.

일반적인 범주에서, 사상

f\colon X\to Y

는 다음 조건을 만족할 때 '''본질적'''이라고 한다: 임의의 사상

g\colon Y\to Z

에 대하여, 합성 사상

g\circ f

가 단사 사상이라면

g

역시 단사 사상이다. 여기서

g

를

Y

의 항등 사상으로 두면, 본질적 사상

f

는 반드시 단사 사상임을 알 수 있다.

이 개념은 아벨 범주

\mathcal C

로 일반화될 수 있다. 아벨 범주에서 '''본질적 확대'''(essential extension)는 단사 사상

u\colon M\to E

중,

E

의 모든 0이 아닌 부분 대상

s\colon N\to E

에 대해 올곱

N \times_E M \neq 0

을 만족하는 것을 말한다.

만약 대상

X

가 단사 껍질

Y

를 가진다면,

Y

는

X

의 가장 큰 본질적 확대이다. 그러나 가장 큰 본질적 확대가 항상 단사 껍질이 되는 것은 아니다. 예를 들어, T₁ 공간과 연속 사상의 범주에서는 모든 대상이 유일한 가장 큰 본질적 확대를 가지지만, 두 개 이상의 원소를 가진 공간은 단사 껍질을 가지지 않는다.

3. 성질

가군 이론에서 본질적 확대(essential extension)와 잉여적 부분 가군(superfluous submodule)은 서로 쌍대적인 개념으로 중요한 역할을 한다. 많은 속성이 이 두 개념 사이에서 쌍대적으로 나타나지만, 모든 속성이 그런 것은 아니다.

예를 들어, 모든 가군은 동형 사상 아래에서 유일한 단사 포락(injective hull)이라는 최대 본질적 확장을 가진다. 이는 단사 가군이며, 해당 가군을 포함하는 가장 작은 단사 가군으로 이해할 수 있다.

반면, 쌍대적인 개념인 사영 피복(projective cover)은 항상 존재하지는 않는다. 모든 가군이 사영 피복을 갖는 특별한 환을 완전 환(perfect ring)이라고 부른다. 이러한 차이는 본질적 확대와 잉여적 부분 가군 사이의 쌍대성이 완전하지 않음을 보여주는 예시이다.

이러한 성질들에 대한 자세한 내용은 아래 하위 섹션에서 다룬다.

3. 1. 본질적 확대 (본질적 부분 가군)

환

R

위의 왼쪽 가군

\tilde M

의 부분 가군

M

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우

M

이

\tilde M

의 '''본질적 부분 가군'''',

\tilde M

이

M

의 '''본질적 확대'''라고 한다.^[3]

포함 사상 $M\to\tilde M$ 은 왼쪽 가군 범주 $_R\operatorname{Mod}$ 의 본질적 단사 사상이다.
$\tilde M$ 의 0이 아닌 임의의 부분 가군 $N$ 에 대하여, $M\cap N \neq 0$ 이다. (즉, $M$ 은 $\tilde M$ 의 모든 0이 아닌 부분 가군과 0이 아닌 교집합을 갖는다.)

마찬가지로, 환

R

위의 왼쪽 가군

\tilde M

의 부분 가군

K

및 몫가군

M=\tilde M/K

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우

K

가

\tilde M

의 '''잉여적 부분 가군'''(superfluous submodule)이라고 한다.^[3]

몫 사상 $\tilde M\to M$ 은 왼쪽 가군 범주 $_R\operatorname{Mod}$ 의 잉여적 전사 사상이다.
$\tilde M$ 의 임의의 부분 가군 $N\subseteq\tilde M$ 에 대하여, 만약 $K+N=\tilde M$ 이라면 $N=\tilde M$ 이다.

본질적 부분 가군은 흔히

M \subseteq_{\text{e}} \tilde M

또는

M \unlhd_{\text{e}} \tilde M

로, 잉여적 부분 가군은 흔히

K \subseteq_{\text{s}} \tilde M

또는

K \ll \tilde M

로 표기한다.

특히, 환

R

을 스스로 위의 왼쪽 가군

_RR

으로 보았을 때,

_RR

의 본질적 부분 가군을 '''본질적 왼쪽 아이디얼'''이라고 하며, 잉여적 부분 가군을 '''잉여적 왼쪽 아이디얼'''이라고 한다.

본질적 부분 가군의 기본 속성은 다음과 같다. (여기서

M

은 가군,

K, N, H

는

M

의 부분 가군이며

K \subseteq N

이다.)

$M$ 은 $M$ 의 본질적 부분 가군이다. 0이 아닌 가군 $M$ 의 부분 가군 $\{0\}$ 은 결코 본질적이지 않다.
(추이성) $K\subseteq_e N$ 이고 $N\subseteq_e M$ 인 것과 $K\subseteq_e M$ 인 것은 동치이다.
$K\subseteq_e M$ 이고 $H\subseteq_e M$ 인 것과 $K \cap H \subseteq_e M$ 인 것은 동치이다.
$M \neq 0$ 이 아르틴 가군이면, $M$ 의 반단순 성분(socle) $\text{soc}(M)$ 은 $M$ 의 본질적 부분 가군이다 ( $\text{soc}(M) \subseteq_e M$ ).^[2]

초른의 보조정리를 사용하여 다음을 증명할 수 있다:

$M$ 의 임의의 부분 가군 $N$ 에 대하여, $N \cap C = \{0\}$ 이고 $N \oplus C \subseteq_e M$ 를 만족하는 부분 가군 $C$ 가 존재한다.

자기 자신 외에 다른 본질적 확장을 갖지 않는 가군(즉,

M \subseteq_e E

이면 반드시

M=E

인 가군)은 단사 가군이다. 모든 가군

M

은 '''단사 포락'''(injective hull)이라고 불리는 최대 본질적 확장

E(M)

을 갖는다. 단사 포락

E(M)

은 단사 가군이며, 동형 사상 아래에서 유일하다. 또한,

M

을 포함하는 임의의 단사 가군은

E(M)

의 복사본을 포함한다는 의미에서

E(M)

은 최소 단사 확장이다.

3. 2. 잉여적 부분 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

\tilde M

의 부분 가군

K

및 몫가군

M=\tilde M/K

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우

K

가

\tilde M

의 '''잉여적 부분 가군'''이라고 한다.^[3]

몫 사상 $\tilde M\to M$ 은 왼쪽 가군 범주 $_R\operatorname{Mod}$ 의 잉여적 전사 사상이다.
$\tilde M$ 의 임의의 부분 가군 $N\subseteq\tilde M$ 에 대하여, 만약 $K+N=\tilde M$ 이라면 $N=\tilde M$ 이다.

(이 두 조건이 동치인 것은

N

을 상으로 갖는 가군 준동형

g\colon P\to\tilde M

를 생각하면 알 수 있다.)

잉여적 부분 가군은 흔히

\subseteq_{\text{s}}

로 표기한다.

특히,

_RR

자체의 잉여적 부분 가군을 '''잉여적 왼쪽 아이디얼'''이라고 한다.

잉여적 부분 가군은 다음과 같은 기본 성질을 가진다. ''M''을 가군, ''K'', ''N'', ''H''를 ''M''의 부분가군으로 하고,

K \subseteq N

이라고 하자.

영 부분가군 0은 항상 ''M''의 잉여적 부분 가군이다.
0이 아닌 가군 ''M''은 그 자체로 잉여적 부분 가군이 될 수 없다.
$N\subseteq_s M$ 인 것과 $K\subseteq_s M$ 이면서 $N/K \subseteq_s M/K$ 인 것은 동치이다.
$K+H\subseteq_s M$ 인 것과 $K\subseteq_s M$ 이면서 $H\subseteq_s M$ 인 것은 동치이다.
$M \ne 0$ 이 뇌터 가군이면 $rad(''M'') \subseteq_s M$ 이다.^[2]

나카야마의 보조정리의 한 형태는 ''M''이 ''R'' 위의 유한 생성 가군일 때 J(''R'')''M''이 ''M''의 잉여적 부분가군이라는 것이다.

모든 가군 ''M''에 대해 사영 가군 ''P''와 핵이 잉여적인 ''P''에서 ''M''으로의 전사 사상이 항상 존재하는 것은 아니다. 이러한 ''P''를 사영 피복이라고 부른다. 모든 오른쪽 가군이 사영 피복을 갖는 환의 클래스는 오른쪽 완전 환의 클래스이다.

4. 예

임의의 범주에서, 동형 사상은 항상 본질적 단사 사상이자 잉여적 전사 사상이다.

4. 1. 집합

집합과 함수의 범주

\operatorname{Set}

에서, 본질적 단사 사상 및 잉여적 전사 사상은 전단사 함수 밖에 없다.

4. 2. 가군

환

R

위의 왼쪽 가군

\tilde M

의 부분 가군

M

에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건들을 만족할 때

M

을

\tilde M

의 '''본질적 부분 가군'''이라고 하고,

\tilde M

을

M

의 '''본질적 확대'''라고 한다.^[3]

포함 사상 $M\to\tilde M$ 은 왼쪽 가군 범주 $_R\operatorname{Mod}$ 의 본질적 단사 사상이다.
$\tilde M$ 의 임의의 부분 가군 $N$ 에 대하여, 만약 $M\cap N=0$ 이라면 $N=0$ 이다.

마찬가지로, 환

R

위의 왼쪽 가군

\tilde M

의 부분 가군

K

및 몫가군

M=\tilde M/K

에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이 경우

K

가

\tilde M

의 '''잉여적 부분 가군'''(superfluous submodule)이라고 한다.^[3]

몫 사상 $\tilde M\to M$ 은 왼쪽 가군 범주 $_R\operatorname{Mod}$ 의 잉여적 전사 사상이다.
$\tilde M$ 의 임의의 부분 가군 $N\subseteq\tilde M$ 에 대하여, 만약 $K+N=\tilde M$ 이라면 $N=\tilde M$ 이다.

본질적 부분 가군은 흔히

\subseteq_{\text{e}}

로, 잉여적 부분 가군은 흔히

\subseteq_{\text{s}}

로 표기한다.

특히, 환

R

을 스스로 위의 왼쪽 가군

_RR

으로 간주했을 때,

_RR

의 본질적/잉여적 부분 가군을 각각 '''본질적 왼쪽 아이디얼''' 또는 '''잉여적 왼쪽 아이디얼'''이라고 부른다.

다음은 본질적 확대의 몇 가지 기본 속성이다. 가군

M

과

M

의 부분가군

K, N, H

에 대해 (

K \subseteq N

이라 가정):

모든 가군 $M$ 은 자기 자신의 본질적 부분가군이다 ( $M \subseteq_e M$ ). 영 가군 $\{0\}$ 은 $0$ 이 아닌 가군의 본질적 부분가군이 될 수 없다.
전이성: $K\subseteq_e M$ 일 필요충분조건은 $K\subseteq_e N$ 이고 $N\subseteq_e M$ 인 것이다.
교집합: $K \cap H \subseteq_e M$ 일 필요충분조건은 $K\subseteq_e M$ 이고 $H\subseteq_e M$ 인 것이다.

Zorn의 보조정리를 사용하면 다음 사실을 증명할 수 있다:

$M$ 의 임의의 부분가군 $N$ 에 대해, $N\oplus C \subseteq_e M$ 을 만족하는 부분가군 $C$ 가 존재한다.

단사 가군은 다른 가군의 고유한(proper) 본질적 부분가군이 될 수 없는 가군, 즉

M \subseteq_e E

이면 반드시

M = E

인 가군

M

이다. 모든 가군

M

은 최대 본질적 확대

E(M)

을 가지며, 이를

M

의 '''단사 포락'''이라고 한다. 단사 포락은 항상 단사 가군이며, 동형 사상을 제외하면 유일하다. 또한, 단사 포락은

M

을 포함하는 가장 작은 단사 가군이라는 의미에서 최소성을 가진다. 즉,

M

을 포함하는 다른 모든 단사 가군은

E(M)

의 복사본을 포함한다.

잉여적 부분 가군도 여러 속성을 가지지만, 본질적 부분 가군의 속성과 정확히 쌍대적이지는 않다. 가군

M

과

M

의 부분가군

K, N, H

에 대해 (

K \subseteq N

이라 가정):

영 부분가군 $\{0\}$ 은 항상 잉여적 부분가군이다 ( $\{0\} \subseteq_s M$ ). $0$ 이 아닌 가군 $M$ 은 자기 자신의 잉여적 부분가군이 될 수 없다.
몫 가군과의 관계: $N\subseteq_s M$ 일 필요충분조건은 $K\subseteq_s M$ 이고 $N/K \subseteq_s M/K$ 인 것이다.
합집합: $K+H\subseteq_s M$ 일 필요충분조건은 $K\subseteq_s M$ 이고 $H\subseteq_s M$ 인 것이다.

모든 가군

M

은 단사 사상을 통해 그 상이 단사 가군(단사 포락)에서 본질적인 부분 가군이 되도록 매핑될 수 있다. 이와 쌍대적으로, 모든 가군

M

에 대해 사영 가군

P

와 전사 사상

P \to M

이 존재하여 그 핵이

P

에서 잉여적인지 물을 수 있다. 이러한

P

를

M

의 '''사영 피복'''이라고 한다. 그러나 일반적으로 모든 가군이 사영 피복을 가지는 것은 아니다. 모든 오른쪽 가군이 사영 피복을 갖는 환을 오른쪽 '''완전 환'''이라고 한다.

나카야마의 보조정리의 한 형태는 다음과 같다: 만약

M

이 환

R

위의 유한 생성 가군이라면,

J(R)M

은

M

의 잉여적 부분가군이다. 여기서

J(R)

은

R

의 제이콥슨 근기이다.

이 개념들은 임의의 아벨 범주

\mathcal{C}

로 일반화될 수 있다. 단사 사상

u : M \to E

가 '''본질적 확대'''라는 것은,

E

의 모든

0

이 아닌 부분 대상

s : N \to E

에 대해 섬유 곱

N \times_E M \neq 0

을 만족하는 것이다.

더 일반적으로, 임의의 범주에서 사상

f : X \to Y

가 '''본질적'''이라는 것은, 임의의 사상

g : Y \to Z

에 대해

g \circ f

가 단사 사상이면

g

도 단사 사상인 경우를 말한다. (만약

g

를

Y

의 항등 사상으로 두면, 본질적 사상

f

는 반드시 단사 사상임을 알 수 있다.)

대상

X

가 주입 덮개(injective hull)

Y

를 가지면,

Y

는

X

의 가장 큰 본질적 확대이다. 그러나 가장 큰 본질적 확대가 반드시 주입 덮개인 것은 아니다. 예를 들어, T₁ 공간과 연속 사상의 범주에서는 모든 대상이 유일한 가장 큰 본질적 확대를 가지지만, 두 개 이상의 원소를 가진 공간은 주입 덮개를 가지지 않는다.

5. 응용

(내용 없음)

5. 1. 단사 포락

가군

M

과 그 부분가군

K, N, H

에 대해,

K

가

M

의 본질적 부분가군이라는 것은

K \subseteq_e M

으로 표기한다. 본질적 부분가군은 다음과 같은 기본적인 성질을 가진다.

가군 $M$ 은 자기 자신의 본질적 부분가군이다 ( $M \subseteq_e M$ ). 0이 아닌 가군의 영 부분가군(0)은 결코 본질적 부분가군이 될 수 없다.
세 부분가군 $K \subseteq N \subseteq M$ 에 대해, $K \subseteq_e M$ 일 필요충분조건은 $K \subseteq_e N$ 이고 $N \subseteq_e M$ 인 것이다. (추이성)
두 부분가군 $H, K$ 에 대해, $K \cap H \subseteq_e M$ 일 필요충분조건은 $K \subseteq_e M$ 이고 $H \subseteq_e M$ 인 것이다.

초른의 보조정리를 이용하면 다음 사실을 증명할 수 있다:

M

의 임의의 부분가군

N

에 대해, 적절한 부분가군

C

가 존재하여

N \oplus C \subseteq_e M

을 만족한다.

어떤 가군이 다른 가군의 본질적 부분가군이면서 동시에 그 다른 가군과 같다면, 즉 자기 자신 외에는 다른 본질적 확장을 가지지 않는다면, 그 가군을 단사 가군이라고 한다.

모든 가군

M

은 최대 본질적 확장

E(M)

을 가지는데, 이를

M

의 단사 포락 (injective hull)이라고 부른다.^[2] 단사 포락

E(M)

은 다음과 같은 중요한 성질을 가진다.

$E(M)$ 은 단사 가군이다.
$E(M)$ 은 동형 사상 아래에서 유일하다. 즉, $M$ 의 단사 포락은 구조적으로 하나뿐이다.
$E(M)$ 은 최소성을 가진다. 즉, $M$ 을 포함하는 다른 어떤 단사 가군이라도 $E(M)$ 의 복사본(동형인 부분가군)을 반드시 포함한다.

5. 2. 사영 피복

단사 포락 개념은 쌍대화(dualization)를 통해 사영 가군과 관련된 개념으로 이어진다. 모든 가군 ''M''은 그 상(image)이 단사 가군 (''M''의 단사 포락 ''E''(''M''))에서 본질적인(essential) 단사 사상을 통해 사상될 수 있다. 이 명제의 쌍대(dual)가 성립하는지, 즉 모든 가군 ''M''에 대해 사영 가군 ''P''와 ''P''에서 ''M''으로 가는 전사 사상

f: P \to M

이 존재하여, 그 핵

\ker(f)

이 ''P''에서 잉여 부분 가군(잉여 부분 가군)^[2]이 되는 경우가 있는지 질문할 수 있다. 이러한 사영 가군 ''P'' (또는 전사 사상 ''f'')를 ''M''의 사영 피복(사영 피복)이라고 부른다.

잉여 부분 가군은 본질적 부분 가군의 쌍대 개념으로, 가군 ''M''의 부분 가군 ''N''이 모든 진부분 가군(proper submodule) ''K''에 대해

N+K \neq M

을 만족할 때 잉여 부분 가군이라고 한다. 잉여 부분 가군은 다음과 같은 기본 성질을 가진다. (''M''을 가군, ''K'', ''N'', ''H''를 ''M''의 부분 가군,

K \subseteq N

이라 가정)

영 부분 가군(0)은 항상 ''M''의 잉여 부분 가군이다. 0이 아닌 가군 ''M'' 자신은 결코 잉여 부분 가군이 아니다.
''N''이 ''M''의 잉여 부분 가군인 것과, ''K''가 ''M''의 잉여 부분 가군이고 몫가군 $N/K$ 가 $M/K$ 의 잉여 부분 가군인 것은 동치이다.
합 $K+H$ 가 ''M''의 잉여 부분 가군인 것과, ''K''와 ''H''가 각각 ''M''의 잉여 부분 가군인 것은 동치이다.
''M''이 0이 아닌 뇌터 가군이라면, ''M''의 제이콥슨 근기 $\operatorname{rad}(M)$ 은 ''M''의 잉여 부분 가군이다.^[2] 나카야마의 보조정리의 한 형태에 따르면, ''M''이 환 ''R'' 위의 유한 생성 가군일 때 $J(R)M$ (여기서 $J(R)$ 은 ''R''의 제이콥슨 근기) 역시 ''M''의 잉여 부분 가군이다.

모든 가군이 단사 포락을 가지는 것과는 달리, 모든 가군이 사영 피복을 가지는 것은 아니다. 즉, 위에서 제기된 질문에 대한 답은 일반적으로 "아니오"이다. 모든 오른쪽(또는 왼쪽) 가군이 사영 피복을 갖는 환의 특별한 종류는 오른쪽(또는 왼쪽) 완전 환의 클래스이다.

5. 3. 나카야마 보조정리

나카야마의 보조정리의 한 형태에 따르면, 환 ''R'' 위의 유한 생성 가군 ''M''에 대해, ''R''의 제이콥슨 근기 J(''R'')와 ''M''의 곱 J(''R'')''M''은 ''M''의 불필요한 부분가군(superfluous submodule)이 된다.

참조

_[1] 문서 左側の表記は harvtxt Lam 1999 p=google books quote id=r9VoYbk-8c4C page=74 74 に、右側の表記は harvtxt Anderson Fuller 1992 p=72 に見られる。
_[2] 문서 harvnb Anderson Fuller 1992 loc=Corollary 10.11
_[3] 서적 Lectures on modules and rings Springer

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