단사 가군

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 분류
- 4.1. 데데킨트 정역
- 4.2. 뇌터 가환환
5. 예
- 5.1. 스스로 위의 가군으로서의 환
6. 역사
7. 단사 분해와 단사 차원
8. 자기 단사 환
9. 일반화 및 특수화
참조

1. 개요

단사 가군은 환 R 위의 가군 Q가 특정 조건을 만족하는 경우를 말하며, 짧은 완전열의 분할 완전열 조건, 범주 R-Mod의 단사 대상 조건, 가군 준동형 확장 조건 등을 통해 정의된다. 단사 가군은 직접곱과 직합에 대한 성질을 가지며, 데데킨트 정역이나 뇌터 가환환 위에서 분류될 수 있다. 데데킨트 정역에서는 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 소 아이디얼과 분해 불가능 단사 가군 사이에 일대일 대응이 존재한다. 뇌터 가환환에서도 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 표현되며, 소 아이디얼과 단사 가군 사이의 대응 관계가 성립한다. 단사 가군은 단사 분해를 가지며, 단사 차원을 통해 가군의 성질을 파악할 수 있다. 자기 단사 환은 환이 자신 위의 가군으로서 단사 가군인 경우를 의미하며, 프로베니우스 대수 등이 이에 해당한다. 단사 가군의 개념은 단사 대상, 가분군, 순수 단사 가군 등으로 일반화 및 특수화될 수 있다.

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자유 가군은 곱셈 항등원을 갖는 환 위의 가군으로, 기저를 가지며 기저 원소의 선형 결합으로 가군의 모든 원소를 유일하게 나타낼 수 있다.
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단사 가군
일반 정보
유형	수학적 대상
분야	환론
정의	모든 단사 사상에 대해 단사적인 성질을 만족하는 가군
성질
Baer의 기준	가군 E가 단사 가군일 필요충분조건은 E가 R의 아이디얼 I에서 R로 가는 모든 준동형 사상을 확장하는 것이다.
분할 가능	모든 가군은 단사 가군에 포함된다. 즉, 모든 가군은 단사 가군의 부분 가군이다.
단사 분해	모든 가군은 단사 가군들의 열로 분해될 수 있다.
Baer 합	단사 가군들의 Baer 합은 단사 가군이다.
예시
나눗셈 가군	나눗셈 가군은 단사 가군이다.
체 위의 벡터 공간	체 위의 벡터 공간은 단사 가군이다.
Z-가군	유리수 Q는 Z-가군으로서 단사적이다. p-프뤼퍼 군은 Z-가군으로서 단사적이지 않다.
관련 개념
쌍대 개념	사영 가군
일반화	단사 대상

2. 정의

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $Q$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 가군을 '''단사 왼쪽 가군'''이라고 한다. 마찬가지로, 오른쪽 가군에 대하여 '''단사 오른쪽 가군'''을 정의할 수 있다.

임의의 짧은 완전열 $0\to Q\to M\to K$은 분할 완전열이다. 즉, 임의의 $R$ 위의 왼쪽 가군 $M$에 대하여 $Q\subset M$이라면, $M=Q\oplus N$인 부분 가군 $K\subset M$이 존재한다.
$Q$는 범주 $R\text{-Mod}$의 단사 대상이다. 즉, 함자 $\hom(-,Q)\colon R\text{-Mod}^{\operatorname{op}}\to\operatorname{Ab}$은 완전 함자이다.
임의의 가군 준동형 $f\colon M\to Q$ 및 단사 가군 준동형 $\iota\colon M\hookrightarrow\tilde M$에 대하여, $\tilde f\circ\iota=f$인 가군 준동형 $\tilde f\colon\tilde M\to Q$가 존재한다. (그러나 이는 유일할 필요가 없다. 즉, 보편 성질이 아니다.)
: $\begin{matrix}$

0&\to&M&\to&\tilde M\\&&\downarrow&\swarrow\scriptstyle\exists\\&&Q\\\end{matrix}

('''베어 조건''' Baer’s criterion^영어) 임의의 왼쪽 아이디얼 $I\subseteq R$ 및 가군 준동형 $f\colon I\to Q$에 대하여, $\tilde f|_I=f$인 가군 준동형 $\tilde F\colon R\to Q$가 존재한다.
: $\begin{matrix}$

0&\to&I&\to&R\\&&\downarrow&\swarrow\scriptstyle\exists\\&&Q\\\end{matrix}

반변 Hom 함자 Hom(-,$Q$)는 왼쪽 $R$-가군의 범주에서 아벨 군의 범주로 가는 함자이며 완전하다.
임의의 가군 $M$과 양의 정수 $n$에 대해 $\operatorname{Ext}^n(M,Q) = 0$이다.
임의의 순환 가군 $C$에 대해 $\operatorname{Ext}^1(C,Q) = 0$이다.
임의의 단사 준동형 $f : Q \to M$은 분할 단사 사상이다.

200px

가환환 $R$ 상의 가군 $Q$가 단사 가군이 될 필요충분 조건은, $R$의 임의의 왼쪽 아이디얼 $L$과 임의의 준동형 $L\to Q$에 대해, 이의 확장 $R\to Q$가 존재한다는 것이다.

3. 성질

임의의 왼쪽 가군들의 집합 $\{M_i\}_{i\in I}$ 에 대하여, 다음이 동치이다.

직접곱 $\prod_{i\in I}M_i$ 이 단사 왼쪽 가군이다.
모든 $i\in I$ 에 대하여 $M_i$ 가 단사 왼쪽 가군이다.^[8]

유한 개의 가군의 직합은 직접곱과 같으므로, 위 성질이 성립한다.

'''배스-파프 정리'''(Bass–Papp theorem^영어)에 따르면, 임의의 환

R

에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.^[8]^[6]

$R$ 는 왼쪽 뇌터 환이다.
$R$ 의 왼쪽 단사 가군들의 귀납적 극한은 단사 왼쪽 가군이다.
$R$ 의 왼쪽 단사 가군들의 임의의 (무한 또는 유한) 직합은 단사 왼쪽 가군이다.
$R$ 의 가산 개의 왼쪽 단사 가군들의 직합은 단사 왼쪽 가군이다.

주어진 (무한개일지라도) 곱은 주입적이다. 반대로, 가군의 직접곱이 주입적이면, 각 가군은 주입적이다. 유한개의 주입 가군의 모든 직접합은 주입적이다. 일반적으로, 주입 가군의 부분 가군, 몫 가군 또는 무한 직합은 주입적일 필요는 없다.

4. 분류

데데킨트 정역 또는 보다 일반적으로 뇌터 가환환 위에서 단사 가군은 분류될 수 있다.

== 데데킨트 정역 ==

데데킨트 정역 D 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. (분해 불가능 가군은 자명하지 않은 가군들의 직합으로 나타낼 수 없는 가군이다.)

데데킨트 정역 D에 대하여, D 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 D 위의 소 아이디얼들의 집합 $\operatorname{Spec}D$ 와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼 $\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D$ 에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다.

만약 $\mathfrak p\ne(0)$ 일 경우: $R_{\mathfrak p}/R$
만약 $\mathfrak p=(0)$ 일 경우: 분수체 $R_{(0)}=\operatorname{Frac}R$

여기서

R_{\mathfrak p}

는

R\setminus\mathfrak p

에서의 국소화이다. 예를 들어, 분수체

\operatorname{Frac}D=R_{(0)}

는 D의 분해 불가능 단사 가군이며, 영 아이디얼

(0)\subset D

에 대응한다.

예를 들어, 데데킨트 정역인 정수환

\mathbb Z

위의 단사 가군 (=나눗셈군) 가운데 분해 불가능 단사 가군인 것은 다음이 전부이다.

유리수체의 덧셈군 $\mathbb Q=\operatorname{Frac}D$
소수 p에 대하여, 프뤼퍼 군 $\mathbb Z(p^\infty)=\mathbb Z_{(p)}/\mathbb Z$

모든 나눗셈군은 위 아벨 군들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

== 뇌터 가환환 ==

뇌터 가환환

R

위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다.^[5]

뇌터 가환환

R

에 대하여,

R

위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은

R

위의 소 아이디얼들의 집합

\operatorname{Spec}R

와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D

에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은

R/\mathfrak p

의 단사 폐포(injective hull^영어,

R/\mathfrak p

를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다.

R/\mathfrak p

의 단사 폐포는 표준적으로

R_{\mathfrak p}

-가군을 이루며,

R/\mathfrak p

의

R

-가군으로서의 단사 폐포는

R/\mathfrak p

의

R_{\mathfrak p}

-가군으로서의 단사 폐포와 일치한다.^[2]

모든 주입 가군의 주입 부분 가군은 직합이므로, 기약 주입 가군을 이해하는 것이 중요하다. 모든 기약 주입 가군은 국소 자기 준동형 사환을 갖는다.

4. 1. 데데킨트 정역

데데킨트 정역 D 위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다. (분해 불가능 가군은 자명하지 않은 가군들의 직합으로 나타낼 수 없는 가군이다.)

데데킨트 정역 D에 대하여, D 위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은 D 위의 소 아이디얼들의 집합

\operatorname{Spec}D

와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D

에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은 다음과 같다.

만약 $\mathfrak p\ne(0)$ 일 경우: $R_{\mathfrak p}/R$
만약 $\mathfrak p=(0)$ 일 경우: 분수체 $R_{(0)}=\operatorname{Frac}R$

여기서

R_{\mathfrak p}

는

R\setminus\mathfrak p

에서의 국소화이다. 예를 들어, 분수체

\operatorname{Frac}D=R_{(0)}

는 D의 분해 불가능 단사 가군이며, 영 아이디얼

(0)\subset D

에 대응한다.

예를 들어, 데데킨트 정역인 정수환

\mathbb Z

위의 단사 가군 (=나눗셈군) 가운데 분해 불가능 단사 가군인 것은 다음이 전부이다.

유리수체의 덧셈군 $\mathbb Q=\operatorname{Frac}D$
소수 p에 대하여, 프뤼퍼 군 $\mathbb Z(p^\infty)=\mathbb Z_{(p)}/\mathbb Z$

모든 나눗셈군은 위 아벨 군들의 직합으로 유일하게 나타낼 수 있다.

4. 2. 뇌터 가환환

뇌터 가환환

R

위의 모든 단사 가군은 분해 불가능 단사 가군들의 직합으로 나타낼 수 있으며, 이 분해는 동형 아래 유일하다.^[5]

뇌터 가환환

R

에 대하여,

R

위의 분해 불가능 단사 가군들의 동형류의 집합은

R

위의 소 아이디얼들의 집합

\operatorname{Spec}R

와 일대일 대응한다. 구체적으로, 소 아이디얼

\mathfrak p\in\operatorname{Spec}D

에 대응하는 분해 불가능 단사 가군은

R/\mathfrak p

의 단사 폐포(injective hull^영어,

R/\mathfrak p

를 포함하는 가장 작은 단사 가군)이다.

R/\mathfrak p

의 단사 폐포는 표준적으로

R_{\mathfrak p}

-가군을 이루며,

R/\mathfrak p

의

R

-가군으로서의 단사 폐포는

R/\mathfrak p

의

R_{\mathfrak p}

-가군으로서의 단사 폐포와 일치한다.^[2]

모든 주입 가군의 주입 부분 가군은 직합이므로, 기약 주입 가군을 이해하는 것이 중요하다. 모든 기약 주입 가군은 국소 자기 준동형 사환을 갖는다.

5. 예

자명 가군은 단사 가군이다. 체 위의 벡터 공간은 단사 가군이다.

정수환 위의 단사 가군은 '''나눗셈군'''이라고 한다.

임의의 정역 ''R'' 위에서, ''R''를 포함하는 가장 작은 단사 가군은 분수체 $\operatorname{Frac}R$ 이다. 특히, 체가 아닌 정역은 스스로 위의 단사 가군이 아니다.

자명하게, 영 모듈 {0}은 단사 가군이다.

체 ''k''가 주어졌을 때, 모든 ''k''-벡터 공간 ''Q''는 단사 ''k''-가군이다. 이유는 다음과 같다: ''Q''가 ''V''의 부분 공간이라면, ''Q''의 기저를 찾아 이를 ''V''의 기저로 확장할 수 있다. 이 확장된 새로운 기저 벡터들은 ''V''의 부분 공간 ''K''를 생성하며, ''V''는 ''Q''와 ''K''의 내부 직접합이다. ''Q''의 직접 여공간 ''K''는 ''Q''에 의해 유일하게 결정되지 않으며, 위 정의에서 확장 맵 ''h'' 또한 일반적으로 유일하지 않음에 유의해야 한다.

유리수 '''Q''' (덧셈)는 단사 아벨 군 (즉, 단사 '''Z'''-가군)을 형성한다. 몫군 '''Q'''/'''Z'''와 원군 역시 단사 '''Z'''-가군이다. ''n'' > 1에 대한 몫군 '''Z'''/''n'''''Z'''는 '''Z'''/''n'''''Z'''-가군으로서 단사이지만, 아벨 군으로서는 단사가 "아니다".

더 일반적으로, 분수체 ''K''를 갖는 모든 정역 ''R''에 대해, ''R''-가군 ''K''는 주입 ''R''-가군이며, 실제로 ''R''을 포함하는 가장 작은 주입 ''R''-가군이다. 모든 데데킨트 정역에 대해, 몫 가군 ''K''/''R'' 역시 주입적이며, 그 기약 덧셈 인자는 $\mathfrak{p}$ 인 비영 소 아이디얼에 대한 국소화 $R_{\mathfrak{p}}/R$ 이다. 영 아이디얼 역시 소 아이디얼이며 주입 ''K''에 해당한다. 이러한 방식으로 소 아이디얼과 기약 주입 가군 사이에는 1:1 대응이 존재한다.

두 가지 예시는 '''Z'''-가군 '''Z'''/''p'''''Z''' (프뤼퍼 군)의 주입 포락선과, ''k''[''x'']-가군 ''k'' (역 다항식 환)의 주입 포락선이다. 후자는 ''k''[''x'',''x''⁻¹]/''xk''[''x'']로 쉽게 설명된다. 이 가군은 "역 단항식", 즉 ''n'' = 0, 1, 2, …에 대한 ''x''^−''n''으로 구성된 기저를 갖는다. 스칼라 곱셈은 예상대로 작동하며, ''x'' 곱셈은 ''x''·1 = 0을 제외하고 정상적으로 작동한다. 자기 준동형 사상환은 단순히 형식적 멱급수 환이다.

5. 1. 스스로 위의 가군으로서의 환

몫환 Z/(n)은 스스로의 가군으로서 단사 가군이다. 데데킨트 정역 ''D''의 아이디얼

\mathfrak a\subsetneq D

에 대하여 (

D\ne\mathfrak a

),

D/\mathfrak a

는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다. 모든 프로베니우스 대수는 스스로 위의 가군으로서 단사 가군이다.

유한군 ''G''와 표수가 0인 체 ''k''에 대해, 군 표현론에 따르면 군 대수 ''kG'' 위의 모든 가군은 주입적이다. ''k''의 표수가 0이 아닌 경우에도 유사한 예시를 찾을 수 있다.

''A''가 ''k''에 대한 결합 대수이고, ''k''에 대해 유한한 차원을 가질 때, Hom_''k''(−, ''k'')는 유한 생성 좌 ''A''-가군과 유한 생성 우 ''A''-가군 사이의 쌍대성을 나타낸다. 따라서 유한 생성 주입 좌 ''A''-가군은 ''P''가 유한 생성 사영 우 ''A''-가군인 Hom_''k''(''P'', ''k'') 형태의 가군이다. 프로베니우스 대수의 경우, 이 쌍대성은 특히 잘 작동하여 사영 가군과 주입 가군이 일치한다.

아르틴 환의 경우, 가환환에서와 같이 소 아이디얼과 기약 주입 가군 사이에 1:1 대응 관계가 성립한다. 소 아이디얼은 유일한 단순 가군의 소멸자이며, 해당 기약 주입 가군은 해당 가군의 주입 포락이다. 체 위의 유한 차원 대수의 경우, 이 주입 포락은 유한 생성 가군이다. 아르틴 국소환

(R, \mathfrak{m}, K)

가 자기 자신에 대해 주입적일 필요충분조건은

soc(R)

이

K

위에서 1차원 벡터 공간이라는 것이다. 이는 아르틴이면서 고렌스타인인 모든 국소환이 1차원 소클을 가지므로 자기 자신에 대해 주입적임을 의미한다.^[3]

표수 0인 체

k

위의 리 대수

\mathfrak{g}

의 모듈 범주

\mathcal{M}(\mathfrak{g})

에서, 임의의 주입

\mathfrak{g}

-모듈은

\mathfrak{g}

-모듈

\text{Hom}_k(U(\mathfrak{g}), V)

로부터 구성될 수 있다. 여기서

V

는

k

-벡터 공간이며, 주입

\mathfrak{g} \hookrightarrow U(\mathfrak{g})

으로부터

\mathfrak{g}

-모듈 구조를 갖는다. 모든

\mathfrak{g}

-모듈은 어떤

\text{Hom}_k(U(\mathfrak{g}), V)

로의 주입을 가지며, 모든 주입

\mathfrak{g}

-모듈은 어떤

\text{Hom}_k(U(\mathfrak{g}), V)

의 직합 인자이다.^[4]

6. 역사

라인홀트 베어(Reinhold Baer^de, 1902~1979)가 1940년에 단사 가군의 개념을 정의하였고, 또 베어 조건을 증명하였다.^[9] 이후 단사 가군의 개념은 단사 대상으로 일반화되었다.

7. 단사 분해와 단사 차원

가군의 단사 덮개는 주어진 가군을 포함하는 가장 작은 단사 가군이며 에 의해 기술되었다.^[7] 단사 덮개를 사용하여 최소 단사 분해를 정의할 수 있다. 단사 분해의 각 항이 이전 사상의 여핵의 단사 덮개인 경우, 단사 분해는 최소 길이를 갖는다.

모든 가군 ''M''은 단사 분해를 가지는데, 이는 다음과 같은 형태의 완전열이다.

:0 → ''M'' → ''I''⁰ → ''I''¹ → ''I''² → ...

여기서 ''I''^''j''는 단사 가군이다. 단사 분해는 유도 함자(예: Ext 함자)를 정의하는 데 사용될 수 있다.^[7]

유한 단사 분해의 ''길이''는 ''I''^''n''이 0이 아니고 ''i''가 ''n''보다 큰 모든 ''i''에 대해 ''I''^''i'' = 0인 가장 작은 지수 ''n''이다. 가군 ''M''이 유한 단사 분해를 허용하는 경우, ''M''의 모든 유한 단사 분해 중에서 최소 길이를 단사 차원이라 하고, id(''M'')으로 표기한다. ''M''이 유한 단사 분해를 허용하지 않는 경우, 관례에 따라 단사 차원은 무한대라고 한다. 예를 들어, id(''M'') = 0인 가군 ''M''을 생각해 보자. 이 경우, 열 0 → ''M'' → ''I''⁰ → 0의 완전성은 중앙의 화살표가 동형사상임을 나타내며, 따라서 ''M'' 자체는 단사적이다.^[7]

동등하게, ''M''의 단사 차원은 모든 ''N'' > ''n''에 대해 Ext(–,''M'') = 0인 최소 정수 (그러한 것이 있는 경우, 그렇지 않으면 ∞) ''n''이다.^[7]

가군 ''M''에 대해, 각 $Q_i$ 가 단사 가군인 다음 완전열

: $0 \to M \to Q_0 \to Q_1 \to \cdots \to Q_n \to Q_{n+1} \to \cdots$

을 ''M''의 '''단사 분해'''라고 한다. 임의의 가군은 단사 분해를 가진다.^[7] 모든 ''i'' > ''n''에 대해 $Q_i = 0$ 인 단사 분해를 '''길이''' ''n''의 단사 분해라고 한다. 그러한 ''n''이 존재하는 경우 그 최솟값을 ''M''의 '''단사 차원'''이라고 하며, 존재하지 않는 경우에는 단사 차원은 ∞라고 한다. 단, $\{0\}$ 의 단사 차원은 -1로 한다. 단사 차원은 id(''M'')로 표기한다. ''R''-가군 ''M''과 정수 ''n'' ≥ 0에 대해 다음은 동치이다.^[7]

id(''M'') ≤ ''n''.
임의의 ''R''-가군 ''X''에 대해, $\operatorname{Ext}^{n+1}_R(X,M)=\{0\}.$
임의의 ''i'' ≥ ''n''+1과 임의의 ''R''-가군 ''X''에 대해, $\operatorname{Ext}^i_R(X,M)=\{0\}.$

8. 자기 단사 환

환 ''R''이 자신 위의 왼쪽 가군으로서 단사 가군일 때, '''왼쪽 자기 단사 환'''이라고 부른다. 오른쪽 자기 단사 환도 마찬가지이다. 단위원을 가진 모든 환은 자유 가군이므로 자기 자신 위의 가군으로서 사영적이지만, 환이 자기 자신 위의 가군으로서 주입적인 경우는 더 드물다. 모든 프로베니우스 대수는 자기 주입적이지만, 체가 아닌 정역은 자기 주입적이지 않다. 데데킨트 정역의 모든 진 몫은 자기 주입적이다. 오른쪽 노에터이며 오른쪽 자기 주입적인 환을 준 프로베니우스 환이라고 부르며, 양쪽 아르틴 환이며 양쪽 주입적이다. 준 프로베니우스 환의 중요한 가군 이론적 성질은 사영 가군이 정확히 주입 가군이라는 것이다.

9. 일반화 및 특수화

9. 1. 단사 대상

단사 가군은 가군 범주뿐 아니라 더 일반적인 범주에서도 정의된다. 예를 들어 함자 범주 또는 어떤 환 달린 공간 (''X'', O_''X'') 위의 O_''X''-가군의 층 범주에서 사용된다.

범주 ''C''의 대상 ''Q''는 ''C''에서 임의의 단사 사상 ''f'' : ''X'' → ''Y''와 임의의 사상 ''g'' : ''X'' → ''Q''에 대해, ''hf'' = ''g''를 만족하는 사상 ''h'' : ''Y'' → ''Q''가 존재하면 단사 대상이라고 한다.

9. 2. 가분군

가환군 범주에서의 단사 대상은 가분군으로 불린다. '''Z'''-가군 ''M''은 모든 0이 아닌 정수 ''n''에 대해 ''n''⋅''M'' = ''M''일 때 주입적이다. 여기서 평탄 가군, 순수 부분가군, 그리고 주입 가군 간의 관계는 가군 원소의 정수에 의한 특정 가분성 속성을 단순히 언급하므로 더 명확하다.

9. 3. 순수 단사 가군

상대 호몰로지 대수학에서, 준동형 사상의 확장 속성은 모든 부분 가군이 아닌 특정 부분 가군에 대해서만 요구될 수 있다. 예를 들어, 순 주입 가군은 순 부분 가군으로부터의 준동형 사상이 전체 가군으로 확장될 수 있는 가군이다.

참조

_[1] 웹사이트 Lemma 47.7.5 (08Z6)—The Stacks project https://stacks.math.[...] 2020-02-25
_[2] 서적 Introduction to Commutative Algebra
_[3] 웹사이트 Injective Modules https://www.math.pur[...]
_[4] 웹사이트 Lie Algebra Cohomology http://www-math.mit.[...]
_[5] 웹사이트 Structure of injective modules over Noetherian rings https://stacks.math.[...]
_[6] 문서 This is the [[Hyman Bass|Bass]]-Papp theorem, see {{harv|Papp|1959}} and {{harv|Chase|1960}}
_[7] 문서 A module isomorphic to an injective module is of course injective.
_[8] 서적 Lectures on modules and rings Springer
_[9] 저널 Abelian groups that are direct summands of every containing abelian group 1940

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