사다리 연산자

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1. 개요
2. 정의
3. 수학적 배경 및 일반적 공식
4. 예시
5. 응용
6. 역사
참조

1. 개요

사다리 연산자는 주어진 에르미트 연산자 N과 교환 관계 [N, X] = cX를 만족하는 연산자 X를 의미한다. 이 연산자는 N의 고유값 n을 c만큼 변화시키며, c의 부호에 따라 올림 또는 내림 연산자로 불린다. 사다리 연산자는 양자 조화 진동자, 각운동량, 리 군, 등각 대수, 비라소로 대수, 수소 유사 원자, 3차원 등방성 조화 진동자 등 다양한 물리 시스템에서 활용되며, 특히 각운동량 연산자의 스칼라곱을 포함하는 해밀토니안의 단순화에 유용하다. 폴 디랙이 처음 도입했으며, 총 각운동량 양자수의 제한을 밝히는 데 기여했다.

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사다리 연산자
개요
이름	사다리 연산자
영문명	Ladder operator
종류	양자역학 연산자
역할	양자 고유 상태의 양자수를 증가시키거나 감소시킴
상세 정보
설명	사다리 연산자는 다른 고유값을 갖는 다른 양자 상태를 생성하여 양자수를 1씩 증가시키거나 감소시키는 연산자이다.
다른 이름	올림 연산자 (Raising operator) 내림 연산자 (Lowering operator) 생성 연산자 (Creation operator) 소멸 연산자 (Annihilation operator)
활용 분야	양자 조화 진동자 각운동량 수소 원자

2. 정의

주어진 에르미트 연산자 $N$ 에 대하여, 연산자 $X$ 가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 $X$ 를 $N$ 의 '''사다리 연산자'''라고 한다.

: $[N, X] = c X$

여기서 ''c''는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 ''N''에 대한 고윳값이 ''n'' 인 고유벡터 |''n''〉의 고유값을 ''c'' 만큼 변화시키는 역할을 한다.

: $\begin{align}NX|n\rangle &= (XN+[N,X])|n\rangle\\&= XN|n\rangle + [N,X]|n\rangle\\&= Xn|n\rangle + cX|n\rangle\\&= (n+c)X|n\rangle.\end{align}$

즉,

: $X |n\rangle\sim|n+c\rangle$

이다. ''c'' 가 양수인 경우 $X$ 는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 $X$ 를 올림 연산자, ''c''가 음수인 경우 $X$ 는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 $X$ 를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 $X$ 의 에르미트 수반 연산자 $X^\dagger$ 또한 사다리 연산자이며

: $[N,X^\dagger]=-cX^\dagger$

고유벡터의 고유값을 $X$ 의 반대방향인 -''c''만큼 변화시키는 역할을 한다.

3. 수학적 배경 및 일반적 공식

주어진 에르미트 연산자 $N$ 에 대하여, 연산자 $X$ 가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 $X$ 를 $N$ 의 '''사다리 연산자'''라고 한다.

: $[N, X] = c X$

여기서 ''c''는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 ''N''에 대한 고윳값이 ''n'' 인 고유벡터 |''n''〉의 고유값을 ''c'' 만큼 변화시키는 역할을 한다.

: $\begin{align}NX|n\rangle &= (XN+[N,X])|n\rangle\\&= XN|n\rangle + [N,X]|n\rangle\\&= Xn|n\rangle + cX|n\rangle\\&= (n+c)X|n\rangle.\end{align}$

즉,

: $X |n\rangle\sim|n+c\rangle$

이다. ''c'' 가 양수인 경우 $X$ 는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 $X$ 를 올림 연산자, ''c''가 음수인 경우 $X$ 는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 $X$ 를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 $X$ 의 에르미트 수반 연산자 $X^\dagger$ 또한 사다리 연산자이며

: $[N,X^\dagger]=-cX^\dagger$

고유벡터의 고유값을 $X$ 의 반대방향인 -''c''만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, $N$ 의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, $c < 0$ 이며 $N$ 의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 $|n_{\text{max}}\rangle$ 가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 $X$ 를 사용하여

: $|n\rangle,X |n\rangle, X ^2|n\rangle,\cdots$

와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자 $X^\dagger$ 를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

"사다리 연산자" 또는 "승산 및 강산 연산자"라는 용어는 리 대수 이론, 특히 아핀 리 대수의 맥락에서 사용된다.^[1] 예를 들어 su(2) 부대수를 설명하기 위해 근계와 최고 중량 모듈을 사다리 연산자를 통해 구성할 수 있다. 특히, 최고 중량은 승산 연산자에 의해 소멸된다. 나머지 양의 근 공간은 강산 연산자를 반복적으로 적용하여 얻는다(부대수당 사다리 연산자 한 세트).

반단순 리 군의 선형 표현은 리 대수에 대한 생성원들의 집합을 유도한다. 이러한 생성원들의 복소 선형 결합이 사다리 연산자이다.

각 매개변수에 대해 사다리 연산자의 집합이 있으며, 이는 근계와 근격자의 한 차원을 탐색하는 표준화된 방법이다.^[2]

4. 예시

양자역학에서 사용되는 사다리 연산자의 예시는 다음과 같다.

'''양자 조화 진동자''': 1차원 양자 조화 진동자에서, 생성 연산자 $a^\dagger$ 와 소멸 연산자 $a$ 는 정준 교환 관계 $[x,p]=i\hbar$ 를 이용하여 정의된다. 이들은 해밀토니안의 에너지 고유 상태를 $\hbar\omega$ 만큼 올리거나 내리는 역할을 한다.
'''각운동량 연산자''': 양자역학에서 각운동량 연산자는 SU(2)의 리 대수를 따르며, 올림 연산자( $J_+$ )와 내림 연산자( $J_-$ )를 정의할 수 있다. 이들은 $J_3$ 의 고유 상태의 고윳값을 $\pm 1$ 만큼 변화시켜 양자 상태를 조절한다.
'''단순 리 군''': SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군으로 확장될 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 존재한다.
'''등각 대칭''': 등각 장론에서 특수 등각 변환( $K$ )은 내림 연산자, 운동량( $P$ )은 올림 연산자 역할을 한다.
'''비라소로 대수''': 2차원 등각 장론의 시공간 대칭에서 $L_0$ 에 대하여 $L_n$ 은 내림 연산자, $L_{-n}$ 은 올림 연산자이다 ( $n>0$ ).
'''수소 유사 원자''': 라플라스-룽게-렌츠 벡터를 기반으로 내림 및 올림 연산자를 정의하여 리드베리 공식을 유도할 수 있다.
'''3차원 등방성 조화 진동자''': 인수분해 방법을 사용하여 3차원 등방성 조화 진동자를 다룰 수 있으며, 내림 연산자를 통해 에너지 준위를 조절할 수 있다.

4. 1. 양자 조화 진동자

정준 교환 관계

[x,p]=i\hbar

를 만족하는 1차원 양자 조화 진동자에서, 생성 연산자

a^\dagger

와 소멸 연산자

a

는 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}a &=\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right) \\a^{\dagger} &=\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left(\hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)\end{align}

여기서

\hat x

는 위치 연산자,

\hat p

는 운동량 연산자,

m

은 질량,

\omega

는 각진동수,

\hbar

는 플랑크 상수이다.

이들은 다음 교환 관계를 만족한다.

:

[a, a^{\dagger}]=1

해밀토니안

H

는 생성 및 소멸 연산자로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

H=\hbar \omega \biggl( a^{\dagger}a+\frac{1}{2} \biggr )

또한,

H

와

a^\dagger

,

a

는 다음 교환 관계를 만족한다.

:

[H, a^{\dagger}]= \hbar \omega a^{\dagger}

:

[H, a]= -\hbar \omega a

즉,

a^\dagger

는 해밀토니안의 에너지 고유 상태를

\hbar\omega

만큼 에너지가 높은 고유 상태로,

a

는

\hbar\omega

만큼 낮은 고유 상태로 이동시킨다. 이러한 사다리 연산자를 통해 에너지 고유 상태 간의 관계를 쉽게 파악할 수 있으며, 미분 방정식을 직접 풀지 않고도 에너지 고유값을 구할 수 있다.

4. 2. 각운동량

양자역학에서 각운동량 연산자

J_1, J_2, J_3

는 SU(2)의 리 대수를 따른다. 올림 연산자

J_+ = J_1 + iJ_2

와 내림 연산자

J_- = J_1 - iJ_2

를 정의할 수 있다. (

i

는 허수 단위)^[3]

이들은 다음의 교환 관계를 만족한다.

:

[J_3,J_\pm] = \pm J_\pm

:

[J_+, J_-] = 2\hbar J_z

따라서

J_3

의 고유상태

|m\rangle

에 대해 다음이 성립한다.

:

J_\pm|m\rangle\propto|m\pm1\rangle

즉,

J_\pm

는

J_3

의 고유 상태의 고윳값을

\pm 1

만큼 변화시킨다. 이를 통해 양자 상태를 증가(또는 감소)시켜 하나의 양자 상태를 다른 상태로 사상하기 때문에, 사다리 연산자를 승산 연산자와 강하 연산자라고도 부른다.^[4]

'''최고 스핀 상태'''

|l\rangle

는

J_+

로 소멸되는 상태이다.

:

J_+|l\rangle=0

최고 스핀 상태로부터 내림 연산자를 반복 적용하여 SU(2) 표현을 구성할 수 있다.

:

\mathcal H=\operatorname{Span}\left\

4. 3. 단순 리 군

SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다.^[21] 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 '''최고 무게 상태'''(highest-weight state^영어)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

4. 4. 등각 대수

등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.:

[D,K_\mu]=-iK_\mu

:

[D,P_\mu]=iP_\mu

:

[K_\mu,P_\nu]=2i\eta_{\mu\nu}D-2iM_{\mu\nu}

:

[K_\mu, M_{\nu\rho}] = i ( \eta_{\mu\nu} K_{\rho} - \eta_{\mu \rho} K_\nu )

:

[P_\rho,M_{\mu\nu}] = i(\eta_{\rho\mu}P_\nu - \eta_{\rho\nu}P_\mu)

:

[M_{\mu\nu},M_{\rho\sigma}] = i (\eta_{\nu\rho}M_{\mu\sigma} + \eta_{\mu\sigma}M_{\nu\rho} - \eta_{\mu\rho}M_{\nu\sigma} - \eta_{\nu\sigma}M_{\mu\rho})

따라서,

-iD

에 대하여,

:

[-iD,K_\mu]=-K_\mu

:

[-iD,P_\nu]=P_\mu

이므로, 특수 등각 변환

K

는 내림 연산자, 운동량

P

는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(radial quantization^영어)의 경우

D

가 해밀토니언의 역할을 하게 된다.

K

에 의해 상쇄되는 상태를 '''일차 상태'''(primary state^영어)라고 하며, 이는

D

와

M_{\mu\nu}

에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에

P

를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 '''이차 상태'''(secondary state^영어)라고 한다.

4. 5. 비라소로 대수

비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.^[1]

:

[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac c{12}(m+1)m(m-1)\delta_{m+n}\quad(m,n\in\mathbb Z)

L_0

에 대하여,

L_n

은 내림 연산자,

L_{-n}

은 올림 연산자이다 (

n>0

).^[1]

:

[L_0,L_n]=-nL_n

:

[L_0,L_{-n}]=nL_{-n}

등각 장론에서, 최고 무게 상태는 '''일차 상태'''(primary state^영어)

|h\rangle

로 알려져 있으며,

L_0

의 고윳값

h

로 나타내어진다.^[1]

:

L_0|h\rangle=h|h\rangle

:

L_n|h\rangle=0\forall n>0

일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자

L_{-n}

을 가하여 만들 수 있다.^[1]

:

\mathcal H_h=\operatorname{Span}\

4. 6. 수소 유사 원자

라플라스-룽게-렌츠 벡터는 역제곱 구면 대칭 포텐셜에 대한 해밀토니안과 교환되며, 이 포텐셜에 대한 사다리 연산자를 결정하는 데 사용될 수 있다.^[7]^[8]고전적인 라플라스-룬게-렌츠 벡터를 기반으로 하여, 다음과 같이 내림 및 올림 연산자를 정의할 수 있다.:

\vec{A} = \left( \frac{1}{Ze^2\mu} \right)\left\{\vec{L} \times \vec{p} - \boldsymbol{i} \hbar \vec{p} \right\} + \frac{\vec r}{r},

여기서

\vec{L}

은 각운동량,

\vec{p}

는 선운동량,

\mu

는 계의 환산질량,

e

는 전자전하,

Z

는 원자핵의 원자번호이다.

각운동량 사다리 연산자와 유사하게,

A_+ = A_x + i A_y

및

A_- = A_x - i A_y

를 얻는다.

진행하는 데 필요한 교환자는 다음과 같다.

:

[A_\pm , L_z ] = \mp \boldsymbol{i} \hbar A_\mp

:

[A_\pm , L^2 ] = \mp 2 \hbar^2 A_\pm - 2 \hbar A_\pm L_z \pm 2 \hbar A_z L_\pm.

따라서,

:

A_+ |?, \ell , m_\ell \rangle \rightarrow |?, \ell , m_\ell+1 \rangle

:

-L^2\left ( A_+ |?,\ell,\ell\rangle\right ) = -\hbar^2 (\ell+1)((\ell+1)+1)\left ( A_+ |?,\ell,\ell\rangle\right),

그러므로

:

A_+ |?,\ell,\ell\rangle \rightarrow |?,\ell+1,\ell+1\rangle,

여기서 "?"는 논의에서 나타나는 새로운 양자수를 나타낸다.

파울리 방정식^[9]^[10] IV를 고려하면:

:

1 - A \cdot A = -\left ( \frac {2 E}{\mu Z^2e^4} \right )( L^2 + \hbar^2 )

그리고 III:

:

\left ( A \times A \right )_j = - \left ( \frac{2 \boldsymbol{i} \hbar E}{\mu Z^2e^4} \right ) L_j,

방정식

:

A_-A_+|\ell^*,\ell^*\rangle = 0

으로 시작하여 전개하면 (모든 다른 조건과 일치하는 각운동량 양자수의 최댓값이

\ell^*

라고 가정하면)

:

\left (1 + \frac{2E}{\mu Z^2e^4}(L^2+\hbar^2) -i\frac{2i\hbar E}{\mu Z^2e^4}L_z \right )|?,\ell^*,\ell^*\rangle = 0,

를 얻게 되며, 이는 리드베리 공식

:

E_n = - \frac{\mu Z^2 e^4}{2 \hbar^2 (\ell^*+1)^2},

으로 이어지며,

\ell^*+1 = n = ?

를 의미한다. 여기서

n

은 기존의 양자수이다.

4. 7. 3차원 등방성 조화 진동자

3차원 등방성 조화 진동자의 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.^[12]

:

V(r) = \tfrac 1 2 \mu \omega^2 r^2.

인수분해 방법을 사용하면 3차원 등방성 조화 진동자를 유사하게 다룰 수 있다. 적절한 인수분해는 다음과 같다.

:

C_l = p_r + \frac{i\hbar(l+1)}{r} - i\mu \omega r

여기서

:

F_l = -(2l+3)\mu \omega \hbar

:

G_l = -(2l+1)\mu \omega \hbar.

그러면

:

E_{l+1}^{n^'} = E_l^n + \frac{F_l - G_l}{2\mu} = E_l^n - \omega \hbar,

이고, 이를 계속하면

:

\begin{align}E_{l+2}^{n^'} &= E_l^n - 2\omega \hbar \\E_{l+3}^{n^'} &= E_l^n - 3\omega \hbar \\&\;\; \vdots\end{align}

해밀토니안은 양의 에너지 준위만 갖는다.

:

\begin{align}\langle \psi|2\mu H_l|\psi\rangle & = \langle \psi|C_l^*C_l|\psi\rangle + \langle \psi|(2l+3)\mu \omega \hbar|\psi\rangle \\& = \langle C_l\psi|C_l\psi\rangle + (2l+3)\mu \omega \hbar\langle \psi|\psi\rangle \\& \geq 0.\end{align}

이는 어떤 값의

l

에 대해서

C_{l_\text{max}} |nl_\text{max}\rangle = 0,

으로 급수가 끝나야 함을 의미하며, 그러면

:

E^n_{l_\text{max}} = -\frac{F_{l_\text{max}}}{2 \mu} = \left(l_\text{max} + \frac 3 2\right) \omega\hbar.

어떤

l

값에 대해

C_l|n,l\rangle = 0

이 아닌 한

\omega\hbar

만큼 에너지가 감소한다. 이 값을

n

으로 식별하면

:

E_l^n = -F_l = \left(n + \tfrac 3 2\right) \omega \hbar.

n' = n - 1

이므로

:

C_l|nl\rangle = \lambda^n_l |n - 1 , \, l + 1\rangle,

는

\lambda

에 대한 점화식을 제공하며, 해는

:

\lambda^n_l = - \mu \omega \hbar \sqrt{2(n-l)}.

진동자 퍼텐셜로 인해 각운동량 축퇴 외에 추가적인 축퇴가 발생한다. 상태

|n ,\, n\rangle, |n-1 ,\, n-1\rangle, |n-2 ,\, n-2\rangle, \dots

를 고려하고, 내림 연산자

C^*

를 적용하면,

C^*_{n-2}|n-1 ,\, n-1\rangle, C^*_{n-4} C^*_{n-3} |n-2 ,\, n-2\rangle, \dots

는

|n , n\rangle, |n ,\, n-2\rangle, |n ,\, n-4\rangle, \dots

순서를 제공하며, 에너지는 같지만

l

은 2만큼 감소한다. 각운동량 축퇴에 더하여, 이것은

(n+1)(n+2) / 2

의 총 축퇴를 제공한다.^[15]

5. 응용

원자 및 분자 물리학에서 각운동량 연산자의 스칼라곱을 포함하는 항들은 구면 기저로 표현하여 단순화할 수 있다. 초미세구조 해밀토니안의 자기 쌍극자 항 등이 그 예시이다.^[5]

: $\hat{H}_\text{D} = \hat{A}\mathbf{I}\cdot\mathbf{J},$

여기서 ''I''는 핵 스핀이다.

각운동량 대수는 구면 텐서 연산자의 표기법을 사용하여 구면 기저로 다시 표현함으로써 단순화될 수 있다. '''J'''⁽¹⁾ ≡ '''J'''의 "-1", "0", "+1" 성분은 다음과 같이 주어진다.^[6]

: $\begin{align}J_{-1}^{(1)} &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}(J_x - iJ_y) = \dfrac{J_-}{\sqrt{2}},\\J_0^{(1)} &= J_z,\\J_{+1}^{(1)} &= -\frac{1}{\sqrt{2}}(J_x + iJ_y) = -\frac{J_+}{\sqrt{2}}.\end{align}$

이러한 정의로부터, 위의 스칼라곱은 다음과 같이 전개될 수 있다.

: $\mathbf{I}^{(1)}\cdot\mathbf{J}^{(1)} = \sum_{n=-1}^{+1}(-1)^nI_{n}^{(1)}J_{-n}^{(1)} = I_0^{(1)}J_0^{(1)} - I_{-1}^{(1)}J_{+1}^{(1)} - I_{+1}^{(1)}J_{-1}^{(1)}.$

이 전개의 중요성은 해밀토니안에서 이 항에 의해 결합되는 상태, 즉 ''m_i'' = ±1 및 ''m_j'' = ∓1 만큼만 양자수가 다른 상태를 명확하게 나타낸다는 점이다.

6. 역사

폴 디랙이 사다리 연산자의 개념을 처음 도입하였다.^[17] 디랙은 이 연산자를 사용하여 총 각운동량 양자수가 0 또는 양의 1/2 정수배 ħ 이어야 함을 보였다.

참조

_[1] 서적 Affine Lie Algebras and Quantum Groups Cambridge University Press
_[2] 서적 Representation Theory
_[3] 논문 Ladder operators for orbital angular momentum
_[4] 서적 Modern Quantum Mechanics Pearson Education, Inc.
_[5] 서적 Elementary Atomic Structure https://books.google[...] 1983-10-06
_[6] 웹사이트 Angular Momentum Operators http://galileo.phys.[...] University of Virginia 2009-04-06
_[7] 논문 Ladder Operator Solution for the Hydrogen Atom Electronic Energy Levels 1966
_[8] 논문 Lenz vector operations on spherical hydrogen atom eigenfunctions 2004
_[9] 논문 Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik 1926
_[10] 서적 Sources of Quantum Mechanics Dover
_[11] 논문 The Factorization Method 1951
_[12] 논문 Ladder operators for some spherically symmetric potentials in quantum 1978
_[13] 웹사이트 The SO(4) Symmetry of the Hydrogen Atom http://hep.uchicago.[...] 2011
_[14] 논문 Supersymmetry and the Ladder Operator Technique in Quantum Mechanics: The Radial Schrödinger Equation 1989
_[15] 웹사이트 Introductory Algebra for Physicists: Isotropic harmonic oscillator https://webhome.weiz[...] Weizmann Institute of Science 2021-07-28
_[16] 논문 Three-dimensional isotropic harmonic oscillator and SU3 1965
_[17] 웹사이트 The Quantum Harmonic Oscillator https://www.fisica.n[...] 2023-11-05
_[18] 논문 Ladder operators for orbital angular momentum
_[19] 서적 Elementary Atomic Structure https://books.google[...] 1983-10-06
_[20] 웹사이트 Angular Momentum Operators http://galileo.phys.[...] University of Virginia 2009-04-06
_[21] 서적 Lie Algebras in Particle Physics from Isospin To Unified Theories http://www.westviewp[...] Westview Press 1999-10

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