사다리 연산자

1. 개요

사다리 연산자는 주어진 에르미트 연산자 N과 교환 관계 [N, X] = cX를 만족하는 연산자 X를 의미한다. 이 연산자는 N의 고유값 n을 c만큼 변화시키며, c의 부호에 따라 올림 또는 내림 연산자로 불린다. 사다리 연산자는 양자 조화 진동자, 각운동량, 리 군, 등각 대수, 비라소로 대수, 수소 유사 원자, 3차원 등방성 조화 진동자 등 다양한 물리 시스템에서 활용되며, 특히 각운동량 연산자의 스칼라곱을 포함하는 해밀토니안의 단순화에 유용하다. 폴 디랙이 처음 도입했으며, 총 각운동량 양자수의 제한을 밝히는 데 기여했다.

2. 정의

주어진 에르미트 연산자 $N$에 대하여, 연산자 $X$가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 $X$를 $N$의 사다리 연산자라고 한다.
:$[N,\; X]\; =\; c\; X$
여기서 c는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 N에 대한 고윳값이 n 인 고유벡터 |n〉의 고유값을 c 만큼 변화시키는 역할을 한다.
:$$
\begin{align}
NX|n\rangle &= (XN+[N,X])|n\rangle\\
&= XN|n\rangle + [N,X]|n\rangle\\
&= Xn|n\rangle + cX|n\rangle\\
&= (n+c)X|n\rangle.
\end{align}

즉,
:$X\; |n\backslash rangle\backslash sim|n+c\backslash rangle$
이다. c 가 양수인 경우 $X$는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 $X$를 올림 연산자, c가 음수인 경우 $X$는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 $X$를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 $X$의 에르미트 수반 연산자 $X^\backslash dagger$ 또한 사다리 연산자이며
:$[N,X^\backslash dagger]=-cX^\backslash dagger$
고유벡터의 고유값을 $X$의 반대방향인 -c만큼 변화시키는 역할을 한다.

3. 수학적 배경 및 일반적 공식

주어진 에르미트 연산자 $N$에 대하여, 연산자 $X$가 다음과 같은 교환 관계를 갖는 경우 $X$를 $N$의 사다리 연산자라고 한다.

:$[N,\; X]\; =\; c\; X$

여기서 c는 어떤 실수이다.

사다리 연산자는 N에 대한 고윳값이 n 인 고유벡터 |n〉의 고유값을 c 만큼 변화시키는 역할을 한다.

:$$
\begin{align}
NX|n\rangle &= (XN+[N,X])|n\rangle\\
&= XN|n\rangle + [N,X]|n\rangle\\
&= Xn|n\rangle + cX|n\rangle\\
&= (n+c)X|n\rangle.
\end{align}


즉,
:$X\; |n\backslash rangle\backslash sim|n+c\backslash rangle$
이다. c 가 양수인 경우 $X$는 고유벡터의 고유값을 증가시키기 때문에 $X$를 올림 연산자, c가 음수인 경우 $X$는 고유벡터의 고유값을 감소시키기 때문에 $X$를 내림 연산자라 한다.

사다리 연산자 $X$의 에르미트 수반 연산자 $X^\backslash dagger$ 또한 사다리 연산자이며

:$[N,X^\backslash dagger]=-cX^\backslash dagger$

고유벡터의 고유값을 $X$의 반대방향인 -c만큼 변화시키는 역할을 한다.

사다리 연산자가 존재하면, $N$의 특정 고유벡터로부터 사다리 연산자를 사용해 다른 고유벡터를 유추할 수 있다. 예를 들어, 이며 $N$의 최대 고윳값을 가진 고유벡터 $|n\_\{\backslash text\{max\}\}\backslash rangle$가 알려져 있으면 다른 상태들을 내림 연산자 $X$를 사용하여

:$|n\backslash rangle,X\; |n\backslash rangle,\; X\; ^2|n\backslash rangle,\backslash cdots$

와 같이 유추할 수 있다. 최소 고윳값의 경우도 반대로 올림 연산자$X^\backslash dagger$를 사용하여 마찬가지로 나머지 상태들을 알아낼 수 있다.

"사다리 연산자" 또는 "승산 및 강산 연산자"라는 용어는 리 대수 이론, 특히 아핀 리 대수의 맥락에서 사용된다. 예를 들어 su(2) 부대수를 설명하기 위해 근계와 최고 중량 모듈을 사다리 연산자를 통해 구성할 수 있다. 특히, 최고 중량은 승산 연산자에 의해 소멸된다. 나머지 양의 근 공간은 강산 연산자를 반복적으로 적용하여 얻는다(부대수당 사다리 연산자 한 세트).

반단순 리 군의 선형 표현은 리 대수에 대한 생성원들의 집합을 유도한다. 이러한 생성원들의 복소 선형 결합이 사다리 연산자이다.

각 매개변수에 대해 사다리 연산자의 집합이 있으며, 이는 근계와 근격자의 한 차원을 탐색하는 표준화된 방법이다.

4. 예시

양자역학에서 사용되는 사다리 연산자의 예시는 다음과 같다.

* 양자 조화 진동자: 1차원 양자 조화 진동자에서, 생성 연산자 $a^\backslash dagger$와 소멸 연산자 $a$는 정준 교환 관계 $[x,p]=i\backslash hbar$를 이용하여 정의된다. 이들은 해밀토니안의 에너지 고유 상태를 $\backslash hbar\backslash omega$만큼 올리거나 내리는 역할을 한다.
* 각운동량 연산자: 양자역학에서 각운동량 연산자는 SU(2)의 리 대수를 따르며, 올림 연산자($J\_+$)와 내림 연산자($J\_-$)를 정의할 수 있다. 이들은 $J\_3$의 고유 상태의 고윳값을 $\backslash pm\; 1$만큼 변화시켜 양자 상태를 조절한다.
* 단순 리 군: SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군으로 확장될 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 존재한다.
* 등각 대칭: 등각 장론에서 특수 등각 변환($K$)은 내림 연산자, 운동량($P$)은 올림 연산자 역할을 한다.
* 비라소로 대수: 2차원 등각 장론의 시공간 대칭에서 $L\_0$에 대하여 $L\_n$은 내림 연산자, $L\_\{-n\}$은 올림 연산자이다 ($n>0$).
* 수소 유사 원자: 라플라스-룽게-렌츠 벡터를 기반으로 내림 및 올림 연산자를 정의하여 리드베리 공식을 유도할 수 있다.
* 3차원 등방성 조화 진동자: 인수분해 방법을 사용하여 3차원 등방성 조화 진동자를 다룰 수 있으며, 내림 연산자를 통해 에너지 준위를 조절할 수 있다.

4.1. 양자 조화 진동자

정준 교환 관계 $[x,p]=i\backslash hbar$를 만족하는 1차원 양자 조화 진동자에서, 생성 연산자 $a^\backslash dagger$와 소멸 연산자 $a$는 다음과 같이 정의된다.

:$$
\begin{align}
a &=\sqrt{m\omega \over 2\hbar} \left(\hat x + {i \over m \omega} \hat p \right) \\
a^{\dagger} &=\sqrt{m \omega \over 2\hbar} \left(\hat x - {i \over m \omega} \hat p \right)
\end{align}


여기서 $\backslash hat\; x$는 위치 연산자, $\backslash hat\; p$는 운동량 연산자, $m$은 질량, $\backslash omega$는 각진동수, $\backslash hbar$는 플랑크 상수이다.

이들은 다음 교환 관계를 만족한다.

:$[a,\; a^\{\backslash dagger\}]=1$

해밀토니안 $H$는 생성 및 소멸 연산자로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$H=\backslash hbar\; \backslash omega\; \backslash biggl(\; a^\{\backslash dagger\}a+\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash biggr\; )$

또한, $H$와 $a^\backslash dagger$, $a$는 다음 교환 관계를 만족한다.

:$[H,\; a^\{\backslash dagger\}]=\; \backslash hbar\; \backslash omega\; a^\{\backslash dagger\}$
:$[H,\; a]=\; -\backslash hbar\; \backslash omega\; a$

즉, $a^\backslash dagger$는 해밀토니안의 에너지 고유 상태를 $\backslash hbar\backslash omega$만큼 에너지가 높은 고유 상태로, $a$는 $\backslash hbar\backslash omega$만큼 낮은 고유 상태로 이동시킨다. 이러한 사다리 연산자를 통해 에너지 고유 상태 간의 관계를 쉽게 파악할 수 있으며, 미분 방정식을 직접 풀지 않고도 에너지 고유값을 구할 수 있다.

4.2. 각운동량

양자역학에서 각운동량 연산자 $J\_1,\; J\_2,\; J\_3$는 SU(2)의 리 대수를 따른다. 올림 연산자 $J\_+\; =\; J\_1\; +\; iJ\_2$와 내림 연산자 $J\_-\; =\; J\_1\; -\; iJ\_2$를 정의할 수 있다. ($i$는 허수 단위)

이들은 다음의 교환 관계를 만족한다.
:$[J\_3,J\_\backslash pm]\; =\; \backslash pm\; J\_\backslash pm$
:$[J\_+,\; J\_-]\; =\; 2\backslash hbar\; J\_z$

따라서 $J\_3$의 고유상태 $|m\backslash rangle$에 대해 다음이 성립한다.
:$J\_\backslash pm|m\backslash rangle\backslash propto|m\backslash pm1\backslash rangle$

즉, $J\_\backslash pm$는 $J\_3$의 고유 상태의 고윳값을 $\backslash pm\; 1$만큼 변화시킨다. 이를 통해 양자 상태를 증가(또는 감소)시켜 하나의 양자 상태를 다른 상태로 사상하기 때문에, 사다리 연산자를 승산 연산자와 강하 연산자라고도 부른다.

최고 스핀 상태 $|l\backslash rangle$는 $J\_+$로 소멸되는 상태이다.
:$J\_+|l\backslash rangle=0$

최고 스핀 상태로부터 내림 연산자를 반복 적용하여 SU(2) 표현을 구성할 수 있다.
:$\backslash mathcal\; H=\backslash operatorname\{Span\}\backslash left\backslash \{|l\backslash rangle,J\_-^\backslash dagger|0\backslash rangle,(J\_-)^2|0\backslash rangle,\backslash dots\backslash right\backslash \}$

$l$은 정수 또는 반정수이며, 다음이 성립해야 한다.
:$(J\_-)^\{2l+1\}|l\backslash rangle=0$

사다리 연산자의 곱은 J²과 J_z의 교환 관계로 나타낼 수 있으며, 이를 통해 α와 β를 표현할 수 있다.
:$\backslash begin\{align\}$
J_+ |j, m\rangle &= \hbar \sqrt{(j-m)(j+m+1)} | j, m+1 \rangle = \hbar \sqrt{j(j+1)-m(m+1)} | j, m+1 \rangle, \\
J_- |j, m\rangle &= \hbar \sqrt{(j+m)(j-m+1)} | j, m-1 \rangle = \hbar \sqrt{j(j+1)-m(m-1)} | j, m-1 \rangle.
\end{align}

m은 j ($-j\; \backslash leq\; m\; \backslash leq\; j$)에 제한되므로 다음이 성립한다.
:$J\_+\; |\; j,\; j\; \backslash rangle\; =\; J\_-\; |j,\; -j\; \backslash rangle\; =\; 0.$

원자계나 분자계의 해밀토니안은 각운동량의 내적을 포함한다. 예를 들어 초미세구조 해밀토니안의 자기쌍극자 항이 있다.
:$\backslash hat\{H\}\_\backslash mathrm\{D\}\; =\; \backslash hat\{A\}\; \backslash boldsymbol\{I\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{J\},$
(여기서 I는 핵 스핀)

각운동량 대수는 구면 기저로 재계산함으로써 단순화할 수 있다. 구면텐서 연산자의 표기법을 사용하면, J⁽¹⁾ ≡ J의 "-1", "0", "+1" 성분은 다음과 같다.
:$$
\begin{align}
J_{-1}^{(1)} &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}(J_x - iJ_y) = \dfrac{J_-}{\sqrt{2}}, \\
J_0^{(1)} &= J_z, \\
J_{+1}^{(1)} &= -\frac{1}{\sqrt{2}}(J_x + iJ_y) = -\frac{J_+}{\sqrt{2}}.
\end{align}


위의 내적을 전개하면 다음과 같다.
:$\backslash boldsymbol\{I\}^\{(1)\}\; \backslash cdot\; \backslash boldsymbol\{J\}^\{(1)\}\; =\; \backslash sum\_\{n=-1\}^\{+1\}(-1)^nI\_\{n\}^\{(1)\}J\_\{-n\}^\{(1)\}\; =\; I\_0^\{(1)\}J\_0^\{(1)\}\; -\; I\_\{-1\}^\{(1)\}J\_\{+1\}^\{(1)\}\; -\; I\_\{+1\}^\{(1)\}J\_\{-1\}^\{(1)\},$
이 전개는, 상태가 m_i = ±1과 m_j = ∓1만 양자수가 다른 항과 결합하고 있는 상태를 나타내고 있다.

4.3. 단순 리 군

SU(2)에서의 사다리 연산자 기법은 일반적인 단순 리 군의 경우로 일반화시킬 수 있다. 이 경우, 리 군의 근계의 각 단순근에 대응하는 올림 및 내림 연산자가 있으며, 리 군의 표현은 그 최고 무게 상태(highest-weight state^영어)로부터 내림 연산자를 사용하여 지을 수 있다.

4.4. 등각 대수

등각 대칭은 등각 장론이 갖는 시공간 대칭이며, 다음과 같다.

:$[D,K\_\backslash mu]=-iK\_\backslash mu$
:$[D,P\_\backslash mu]=iP\_\backslash mu$
:$[K\_\backslash mu,P\_\backslash nu]=2i\backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}D-2iM\_\{\backslash mu\backslash nu\}$
:$[K\_\backslash mu,\; M\_\{\backslash nu\backslash rho\}]\; =\; i\; (\; \backslash eta\_\{\backslash mu\backslash nu\}\; K\_\{\backslash rho\}\; -\; \backslash eta\_\{\backslash mu\; \backslash rho\}\; K\_\backslash nu\; )$
:$[P\_\backslash rho,M\_\{\backslash mu\backslash nu\}]\; =\; i(\backslash eta\_\{\backslash rho\backslash mu\}P\_\backslash nu\; -\; \backslash eta\_\{\backslash rho\backslash nu\}P\_\backslash mu)$
:$[M\_\{\backslash mu\backslash nu\},M\_\{\backslash rho\backslash sigma\}]\; =\; i\; (\backslash eta\_\{\backslash nu\backslash rho\}M\_\{\backslash mu\backslash sigma\}\; +\; \backslash eta\_\{\backslash mu\backslash sigma\}M\_\{\backslash nu\backslash rho\}\; -\; \backslash eta\_\{\backslash mu\backslash rho\}M\_\{\backslash nu\backslash sigma\}\; -\; \backslash eta\_\{\backslash nu\backslash sigma\}M\_\{\backslash mu\backslash rho\})$

따라서, $-iD$에 대하여,

:$[-iD,K\_\backslash mu]=-K\_\backslash mu$
:$[-iD,P\_\backslash nu]=P\_\backslash mu$

이므로, 특수 등각 변환 $K$는 내림 연산자, 운동량 $P$는 올림 연산자가 된다. 방사 양자화(radial quantization^영어)의 경우 $D$가 해밀토니언의 역할을 하게 된다. $K$에 의해 상쇄되는 상태를 일차 상태(primary state^영어)라고 하며, 이는 $D$와 $M\_\{\backslash mu\backslash nu\}$에 대한 고유벡터이다. 일차 상태가 주어지면 나머지 상태들을 일차 상태에 $P$를 가해 지을 수 있다. 이러한 나머지 상태들을 이차 상태(secondary state^영어)라고 한다.

4.5. 비라소로 대수

비라소로 대수는 2차원 등각 장론의 시공간 대칭이며, 다음과 같다.
:$[L\_m,L\_n]=(m-n)L\_\{m+n\}+\backslash frac\; c\{12\}(m+1)m(m-1)\backslash delta\_\{m+n\}\backslash quad(m,n\backslash in\backslash mathbb\; Z)$
$L\_0$에 대하여, $L\_n$은 내림 연산자, $L\_\{-n\}$은 올림 연산자이다 ($n>0$).
:$[L\_0,L\_n]=-nL\_n$
:$[L\_0,L\_\{-n\}]=nL\_\{-n\}$
등각 장론에서, 최고 무게 상태는 일차 상태(primary state^영어) $|h\backslash rangle$로 알려져 있으며, $L\_0$의 고윳값 $h$로 나타내어진다.
:$L\_0|h\backslash rangle=h|h\backslash rangle$
:$L\_n|h\backslash rangle=0\backslash forall\; n>0$
일차 상태가 주어지면, 비라소로 대수의 표현의 나머지 상태들은 올림 연산자 $L\_\{-n\}$을 가하여 만들 수 있다.
:$\backslash mathcal\; H\_h=\backslash operatorname\{Span\}\backslash \{|h\backslash rangle,L\_\{-1\}|h\backslash rangle,L\_\{-1\}^2|h\backslash rangle,L\_\{-2\}|h\backslash rangle,L\_\{-1\}^3|h\backslash rangle,\backslash dots\backslash \}$
이러한 표현을 비라소로 대수의 베르마 가군이라고 한다.

4.6. 수소 유사 원자

라플라스-룽게-렌츠 벡터는 역제곱 구면 대칭 포텐셜에 대한 해밀토니안과 교환되며, 이 포텐셜에 대한 사다리 연산자를 결정하는 데 사용될 수 있다.

고전적인 라플라스-룬게-렌츠 벡터를 기반으로 하여, 다음과 같이 내림 및 올림 연산자를 정의할 수 있다.

:$\backslash vec\{A\}\; =\; \backslash left(\; \backslash frac\{1\}\{Ze^2\backslash mu\}\; \backslash right)\backslash left\backslash \{\backslash vec\{L\}\; \backslash times\; \backslash vec\{p\}\; -\; \backslash boldsymbol\{i\}\; \backslash hbar\; \backslash vec\{p\}\; \backslash right\backslash \}\; +\; \backslash frac\{\backslash vec\; r\}\{r\},$

여기서 $\backslash vec\{L\}$은 각운동량, $\backslash vec\{p\}$는 선운동량, $\backslash mu$는 계의 환산질량, $e$는 전자전하, $Z$는 원자핵의 원자번호이다.

각운동량 사다리 연산자와 유사하게, $A\_+\; =\; A\_x\; +\; i\; A\_y$ 및 $A\_-\; =\; A\_x\; -\; i\; A\_y$를 얻는다.

진행하는 데 필요한 교환자는 다음과 같다.

:$[A\_\backslash pm\; ,\; L\_z\; ]\; =\; \backslash mp\; \backslash boldsymbol\{i\}\; \backslash hbar\; A\_\backslash mp$

:$[A\_\backslash pm\; ,\; L^2\; ]\; =\; \backslash mp\; 2\; \backslash hbar^2\; A\_\backslash pm\; -\; 2\; \backslash hbar\; A\_\backslash pm\; L\_z\; \backslash pm\; 2\; \backslash hbar\; A\_z\; L\_\backslash pm.$

따라서,

:$A\_+\; |?,\; \backslash ell\; ,\; m\_\backslash ell\; \backslash rangle\; \backslash rightarrow\; |?,\; \backslash ell\; ,\; m\_\backslash ell+1\; \backslash rangle$

:$-L^2\backslash left\; (\; A\_+\; |?,\backslash ell,\backslash ell\backslash rangle\backslash right\; )\; =\; -\backslash hbar^2\; (\backslash ell+1)((\backslash ell+1)+1)\backslash left\; (\; A\_+\; |?,\backslash ell,\backslash ell\backslash rangle\backslash right),$

그러므로

:$A\_+\; |?,\backslash ell,\backslash ell\backslash rangle\; \backslash rightarrow\; |?,\backslash ell+1,\backslash ell+1\backslash rangle,$

여기서 "?"는 논의에서 나타나는 새로운 양자수를 나타낸다.

파울리 방정식 IV를 고려하면:

:$1\; -\; A\; \backslash cdot\; A\; =\; -\backslash left\; (\; \backslash frac\; \{2\; E\}\{\backslash mu\; Z^2e^4\}\; \backslash right\; )(\; L^2\; +\; \backslash hbar^2\; )$

그리고 III:

:$\backslash left\; (\; A\; \backslash times\; A\; \backslash right\; )\_j\; =\; -\; \backslash left\; (\; \backslash frac\{2\; \backslash boldsymbol\{i\}\; \backslash hbar\; E\}\{\backslash mu\; Z^2e^4\}\; \backslash right\; )\; L\_j,$

방정식

:$A\_-A\_+|\backslash ell^*,\backslash ell^*\backslash rangle\; =\; 0$

으로 시작하여 전개하면 (모든 다른 조건과 일치하는 각운동량 양자수의 최댓값이 $\backslash ell^*$라고 가정하면)

:$\backslash left\; (1\; +\; \backslash frac\{2E\}\{\backslash mu\; Z^2e^4\}(L^2+\backslash hbar^2)\; -i\backslash frac\{2i\backslash hbar\; E\}\{\backslash mu\; Z^2e^4\}L\_z\; \backslash right\; )|?,\backslash ell^*,\backslash ell^*\backslash rangle\; =\; 0,$

를 얻게 되며, 이는 리드베리 공식

:$E\_n\; =\; -\; \backslash frac\{\backslash mu\; Z^2\; e^4\}\{2\; \backslash hbar^2\; (\backslash ell^*+1)^2\},$

으로 이어지며, $\backslash ell^*+1\; =\; n\; =\; ?$를 의미한다. 여기서 $n$은 기존의 양자수이다.

4.7. 3차원 등방성 조화 진동자

3차원 등방성 조화 진동자의 퍼텐셜은 다음과 같이 주어진다.

:$$V(r)\; =\; \backslash tfrac\; 1\; 2\; \backslash mu\; \backslash omega^2\; r^2.$$

인수분해 방법을 사용하면 3차원 등방성 조화 진동자를 유사하게 다룰 수 있다. 적절한 인수분해는 다음과 같다.

:$$C\_l\; =\; p\_r\; +\; \backslash frac\{i\backslash hbar(l+1)\}\{r\}\; -\; i\backslash mu\; \backslash omega\; r$$

여기서

:$$F\_l\; =\; -(2l+3)\backslash mu\; \backslash omega\; \backslash hbar$$

:$$G\_l\; =\; -(2l+1)\backslash mu\; \backslash omega\; \backslash hbar.$$

그러면

:$$E\_\{l+1\}^\{n^\text{'}\}\; =\; E\_l^n\; +\; \backslash frac\{F\_l\; -\; G\_l\}\{2\backslash mu\}\; =\; E\_l^n\; -\; \backslash omega\; \backslash hbar,$$

이고, 이를 계속하면

:$$\backslash begin\{align\}$$
E_{l+2}^{n^'} &= E_l^n - 2\omega \hbar \\
E_{l+3}^{n^'} &= E_l^n - 3\omega \hbar \\
&\;\; \vdots
\end{align}

해밀토니안은 양의 에너지 준위만 갖는다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\langle \psi|2\mu H_l|\psi\rangle & = \langle \psi|C_l^*C_l|\psi\rangle + \langle \psi|(2l+3)\mu \omega \hbar|\psi\rangle \\
& = \langle C_l\psi|C_l\psi\rangle + (2l+3)\mu \omega \hbar\langle \psi|\psi\rangle \\
& \geq 0.
\end{align}

이는 어떤 값의 $l$에 대해서 $C\_\{l\_\backslash text\{max\}\}\; |nl\_\backslash text\{max\}\backslash rangle\; =\; 0,$으로 급수가 끝나야 함을 의미하며, 그러면

:$$E^n\_\{l\_\backslash text\{max\}\}\; =\; -\backslash frac\{F\_\{l\_\backslash text\{max\}\}\}\{2\; \backslash mu\}\; =\; \backslash left(l\_\backslash text\{max\}\; +\; \backslash frac\; 3\; 2\backslash right)\; \backslash omega\backslash hbar.$$

어떤 $l$ 값에 대해 $C\_l|n,l\backslash rangle\; =\; 0$이 아닌 한 $\backslash omega\backslash hbar$만큼 에너지가 감소한다. 이 값을 $n$으로 식별하면

:$$E\_l^n\; =\; -F\_l\; =\; \backslash left(n\; +\; \backslash tfrac\; 3\; 2\backslash right)\; \backslash omega\; \backslash hbar.$$

$n\text{'}\; =\; n\; -\; 1$이므로

:$$C\_l|nl\backslash rangle\; =\; \backslash lambda^n\_l\; |n\; -\; 1\; ,\; \backslash ,\; l\; +\; 1\backslash rangle,$$

는 $\backslash lambda$에 대한 점화식을 제공하며, 해는

:$$\backslash lambda^n\_l\; =\; -\; \backslash mu\; \backslash omega\; \backslash hbar\; \backslash sqrt\{2(n-l)\}.$$

진동자 퍼텐셜로 인해 각운동량 축퇴 외에 추가적인 축퇴가 발생한다. 상태 $|n\; ,\backslash ,\; n\backslash rangle,\; |n-1\; ,\backslash ,\; n-1\backslash rangle,\; |n-2\; ,\backslash ,\; n-2\backslash rangle,\; \backslash dots$를 고려하고, 내림 연산자 $C^*$를 적용하면, $C^*\_\{n-2\}|n-1\; ,\backslash ,\; n-1\backslash rangle,\; C^*\_\{n-4\}\; C^*\_\{n-3\}\; |n-2\; ,\backslash ,\; n-2\backslash rangle,\; \backslash dots$는 $|n\; ,\; n\backslash rangle,\; |n\; ,\backslash ,\; n-2\backslash rangle,\; |n\; ,\backslash ,\; n-4\backslash rangle,\; \backslash dots$ 순서를 제공하며, 에너지는 같지만 $l$은 2만큼 감소한다. 각운동량 축퇴에 더하여, 이것은 $(n+1)(n+2)\; /\; 2$의 총 축퇴를 제공한다.

5. 응용

원자 및 분자 물리학에서 각운동량 연산자의 스칼라곱을 포함하는 항들은 구면 기저로 표현하여 단순화할 수 있다. 초미세구조 해밀토니안의 자기 쌍극자 항 등이 그 예시이다.

:$\backslash hat\{H\}\_\backslash text\{D\}\; =\; \backslash hat\{A\}\backslash mathbf\{I\}\backslash cdot\backslash mathbf\{J\},$

여기서 I는 핵 스핀이다.

각운동량 대수는 구면 텐서 연산자의 표기법을 사용하여 구면 기저로 다시 표현함으로써 단순화될 수 있다. J⁽¹⁾ ≡ J의 "-1", "0", "+1" 성분은 다음과 같이 주어진다.

:$\backslash begin\{align\}$
J_{-1}^{(1)} &= \dfrac{1}{\sqrt{2}}(J_x - iJ_y) = \dfrac{J_-}{\sqrt{2}},\\
J_0^{(1)} &= J_z,\\
J_{+1}^{(1)} &= -\frac{1}{\sqrt{2}}(J_x + iJ_y) = -\frac{J_+}{\sqrt{2}}.
\end{align}

이러한 정의로부터, 위의 스칼라곱은 다음과 같이 전개될 수 있다.

:$\backslash mathbf\{I\}^\{(1)\}\backslash cdot\backslash mathbf\{J\}^\{(1)\}\; =\; \backslash sum\_\{n=-1\}^\{+1\}(-1)^nI\_\{n\}^\{(1)\}J\_\{-n\}^\{(1)\}\; =\; I\_0^\{(1)\}J\_0^\{(1)\}\; -\; I\_\{-1\}^\{(1)\}J\_\{+1\}^\{(1)\}\; -\; I\_\{+1\}^\{(1)\}J\_\{-1\}^\{(1)\}.$

이 전개의 중요성은 해밀토니안에서 이 항에 의해 결합되는 상태, 즉 m_i = ±1 및 m_j = ∓1 만큼만 양자수가 다른 상태를 명확하게 나타낸다는 점이다.

6. 역사

폴 디랙이 사다리 연산자의 개념을 처음 도입하였다. 디랙은 이 연산자를 사용하여 총 각운동량 양자수가 0 또는 양의 1/2 정수배 ħ 이어야 함을 보였다.