라플라스-룽게-렌츠 벡터

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 수학적 정의
3. 역사
4. 기본적 성질
5. 케플러 궤도의 유도
6. 운동 상수와 초적분 가능성
7. 섭동된 위치 에너지 하에서의 변화
8. 푸아송 괄호
9. 수소 원자의 양자 역학
10. 보존과 대칭성
11. 4차원 회전 대칭
12. 다른 위치 에너지 및 상대성 이론으로의 일반화
13. 뇌터 정리
14. 리 변환
참조

1. 개요

라플라스-룽게-렌츠 벡터(LRL 벡터)는 역제곱 중심력(예: 중력, 전자기력)을 받는 입자의 궤도를 설명하는 데 사용되는 보존 벡터이다. LRL 벡터는 야코프 헤르만이 처음으로 발견했으며, 피에르시몽 라플라스, 윌리엄 로언 해밀턴, 조시아 윌러드 기브스 등에 의해 독립적으로 재발견되었다. LRL 벡터는 케플러 문제와 같이 두 천체가 만유인력에 의해 상호작용하는 경우의 궤도를 기술하는 데 유용하며, 궤도의 모양과 방향을 결정하는 데 사용된다. LRL 벡터는 각운동량 벡터와 직교하며, LRL 벡터, 각운동량 벡터, 에너지 사이에는 특정 관계식이 성립한다. LRL 벡터는 푸아송 괄호, 양자 역학, 그리고 대칭성과 관련이 있으며, 섭동된 위치 에너지 하에서의 변화와 다른 위치 에너지 및 상대성 이론으로의 일반화에도 적용될 수 있다.

2. 수학적 정의

어떤 입자에 거리 제곱에 반비례하는 중심력(예: 중력, 전자기력)이 작용하고, 그 중심력이 다음 식으로 나타난다고 하자.

: $\mathbf{F}(r)=\frac{-k}{r^{2}}\mathbf{\hat{r}}$

라플라스-룽게-렌츠 벡터(LRL 벡터) '''A'''는 다음 공식으로 정의된다.^[83]

: $\mathbf A = \mathbf p \times \mathbf L - mk \hat{\mathbf r}$

여기서 각 기호는 다음을 의미한다.

$m$ : 중심력을 받는 입자의 질량
$\mathbf p$ : 운동량 벡터
$\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p$ : 각운동량 벡터
$k$ : 중심력의 세기를 나타내는 수
$\mathbf r$ : 중심력을 받는 입자의 위치 벡터
$\hat{\mathbf r}$ : $\mathbf r$ 방향의 단위벡터

LRL 벡터의 이 정의는 고정된 힘의 작용 하에 움직이는 질량

m

의 단일 점 입자에 적용된다. 그러나 이와 동일한 정의는

m

을 두 물체의 환산 질량으로,

\mathbf r

을 두 물체 사이의 벡터로 간주하여 2체 문제(예: 케플러 문제)로 확장될 수 있다.

가정된 힘은 보존력이므로 총 에너지

E

는 운동의 불변량이다.

:

E = \frac{p^{2}}{2m} - \frac{k}{r} = \frac{1}{2} mv^{2} - \frac{k}{r}.

또한 가정된 힘은 중심력이므로 각운동량 벡터

\mathbf L

도 보존되며 입자가 이동하는 평면을 정의한다. LRL 벡터

\mathbf A

는 각운동량 벡터

\mathbf L

에 수직인데, 그 이유는

\mathbf p \times \mathbf L

과

\mathbf r

이 모두

\mathbf L

에 수직이기 때문이다. 따라서

\mathbf A

는 운동 평면에 놓인다.

동일한 운동의 불변량에 대한 대안적 공식은 벡터를 질량

m

, 힘 파라미터

k

또는 각운동량

L

과 같은 상수로 스케일링하여 정의할 수 있다.^[15] 가장 일반적인 변형은

\mathbf A

를

mk

로 나누는 것으로, 원뿔 곡선의 이심률과 같은 무차원량 벡터인 이심률 벡터를 생성한다.^[2]^[16]

:

\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{m k} = \frac{1}{m k}(\mathbf{p} \times \mathbf{L}) - \mathbf{\hat{r}}.

3. 역사

야코프 헤르만은 역제곱 중심력의 특수한 경우에 보존된다는 것을 처음으로 보여주었고,^[22] 궤도 타원의 이심률과의 관계를 밝혀냈다. 헤르만의 연구는 1710년 요한 베르누이에 의해 현대적인 형태로 일반화되었다.^[23] 세기 말에, 피에르시몽 라플라스는 기하학적 방법이 아닌, 해석적으로 유도하여 보존을 재발견했다.^[24] 19세기 중반, 윌리엄 로언 해밀턴은 동등한 이심률 벡터를 유도하여,^[16] 이를 사용하여 운동량 벡터가 역제곱 중심력 하에서 원을 그리며 움직인다는 것을 보여주었다.^[12]

20세기 초, 조시아 윌러드 기브스는 벡터 해석을 통해 동일한 벡터를 유도했다.^[25] 기브스의 유도는 독일의 벡터에 관한 대중적인 교과서에서 칼 룽게에 의해 예시로 사용되었으며,^[26] 이 교과서는 수소 원자의 (구) 양자역학적 처리에 관한 빌헬름 렌츠의 논문에서 참고되었다.^[27] 1926년, 볼프강 파울리는 행렬역학 양자역학 공식을 사용하여 수소 원자의 에너지 준위를 유도하기 위해 LRL 벡터를 사용했고,^[7] 이후 주로 '룬게-렌츠 벡터'로 알려지게 되었다.^[15]

라플라스-룽게-렌츠 벡터는 지난 3세기 동안 여러 번 독립적으로 재발견되었다.^[15]

4. 기본적 성질

룬게-렌츠 벡터는 시간에 따라 변하지 않는 보존량이며, 타원 궤도를 포함하는 일정 평면 내에 위치한다. 그 방향은 원점(힘의 중심)과 근일점을 잇는 방향과 같다. 그 크기는 $A=mke$ (여기서 ''e''는 궤도 이심률)로 주어진다.^[74] 룬게-렌츠 벡터를 $mk$ 로 나눈 벡터 $\mathbf{e} = \frac{\mathbf{A}}{mk}$ 는 크기가 궤도 이심률 $e$ 인 무차원 벡터이며, 이심률 벡터라고 불린다.

룬게-렌츠 벡터는 각운동량 벡터와 직교한다:^[74] $\mathbf{A} \cdot \mathbf{L} = 0$ . 룬게-렌츠 벡터, 각운동량 벡터, 에너지는 다음 관계식을 만족한다:^[74] $A^2 = m^2k^2 + 2mEL^2$ .

타원 궤도의 각 점에서의 룬게-렌츠 벡터 (빨간색 화살표). 룬게-렌츠 벡터는 일정하며, 그 방향은 원점으로부터 근일점을 잇는 벡터와 같고, 그 크기는 ''mke''이다. 참고로 (파란색 화살표)와 (녹색 화살표)를 동시에 나타낸다. 단, 그림에서는 의 표기법을 사용한다.

5. 케플러 궤도의 유도

LRL 벡터^영어와 위치 벡터 의 내적을 통해 케플러 궤도의 방정식을 유도할 수 있다.^[1] 와 의 내적을 취하면 다음 방정식을 얻는다.

$\mathbf{A} \cdot \mathbf{r} = A \cdot r \cdot \cos\theta =\mathbf{r} \cdot \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) - mkr,$

여기서 는 과 사이의 각도이다(그림 2).^[1] 스칼라 삼중곱을 치환하면

$\mathbf{r} \cdot\left(\mathbf{p}\times \mathbf{L}\right) =\left(\mathbf{r} \times \mathbf{p}\right)\cdot\mathbf{L} =\mathbf{L}\cdot\mathbf{L}=L^2$

이 된다. 재정렬하면 케플러 방정식에 대한 해를 얻는다.

$\frac{1}{r} = \frac{mk}{L^2} + \frac{A}{L^{2}} \cos\theta$

이는 이심률 ''e''의 원뿔 곡선 공식에 해당한다.^[1]

$\frac{1}{r} = C \cdot \left( 1 + e \cdot \cos\theta \right)$

여기서 이심률 $e = \frac{A}{\left| mk \right|} \geq 0$ 이고 는 상수이다.^[1]

와 자신과의 내적을 취하면 총 에너지 를 포함하는 방정식을 얻는다.^[1]

$A^2 = m^2 k^2 + 2 m E L^2,$

이는 이심률로 다시 쓸 수 있다.^[1]

$e^{2} = 1 + \frac{2L^2}{mk^2}E.$

따라서 에너지 가 음수이면(결합 궤도), 이심률은 1보다 작고 궤도는 타원이다. 반대로, 에너지가 양수이면(비결합 궤도, "산란 궤도"라고도 함^[1]), 이심률은 1보다 크고 궤도는 쌍곡선이다.^[1] 마지막으로, 에너지가 정확히 0이면 이심률은 1이고 궤도는 포물선이다.^[1] 모든 경우에, 의 방향은 원뿔 곡선의 대칭 축을 따라 있으며, 힘의 중심에서 근점, 즉 가장 가까운 접근점 쪽을 가리킨다.^[1]

6. 운동 상수와 초적분 가능성

케플러 문제는 5개의 독립적인 운동의 상수를 가지는 최대 초적분 가능 시스템이다.^[30] 이는 궤도를 지정하는 여섯 개의 초기 조건(입자의 초기 위치 및 속도 벡터, 각 3개의 성분)과 일치하는데, 초기 시간은 운동의 상수로 결정되지 않기 때문이다. 따라서 6차원 위상 공간의 1차원 궤도는 완전히 특정된다.

개의 자유도를 가진 기계적 시스템은 최대 개의 운동의 상수를 가질 수 있는데, 이는 개의 초기 조건이 있고 초기 시간은 운동의 상수로 결정될 수 없기 때문이다. 개 이상의 운동의 상수를 가진 시스템을 ''초적분 가능''이라고 하며, 개의 상수를 가진 시스템을 '''최대 초적분 가능'''이라고 한다.^[30]

케플러 문제는 최대 초적분 가능한데, 3개의 자유도()와 5개의 독립적인 운동 상수(총 에너지, 각운동량 벡터의 3개 성분, 라플라스-룽게-렌츠 벡터(LRL 벡터)의 1개 성분 (방향))를 갖는다.^[30] LRL 벡터의 크기, 따라서 궤도의 이심률 는 총 각운동량 과 에너지 로부터 결정될 수 있으므로, LRL 벡터의 ''방향''만 독립적으로 보존된다. 게다가, LRL 벡터는 각운동량 벡터에 수직이어야 하므로, ''하나만''의 추가 보존량을 제공한다.

하나의 좌표계에서 해밀턴-야코비 방정식의 해는 개의 운동의 상수만 생성할 수 있으므로, 초적분 가능 시스템은 둘 이상의 좌표계에서 분리 가능해야 한다.^[31] 케플러 문제의 해밀턴-야코비 방정식은 구면 좌표와 포물선 좌표 모두에서 분리 가능하다.^[17]

최대 초적분 가능 시스템은 위상 공간에서 닫힌 1차원 궤도를 따르는데, 궤도는 운동의 상수의 위상 공간 등표면의 교차점이다. 결과적으로, 궤도는 이 모든 독립적인 등표면의 모든 기울기에 수직이며(이 특정 문제에서는 5개), 따라서 이 모든 기울기의 일반화된 외적에 의해 결정된다. 결과적으로, '''모든''' 초적분 가능 시스템은 자동으로 남부 역학에 의해 설명될 수 있으며,^[32] 이는 대안적으로, 그리고 동등하게, 해밀턴 역학과 같다.

최대 초적분 가능 시스템은 교환 관계를 사용하여 정준 양자화될 수 있다.^[33] 그럼에도 불구하고, 동등하게, 이들은 이 고전적인 케플러 문제를 양자 수소 원자로 변환하는 것과 같이 남부 프레임워크에서도 양자화된다.^[34]

7. 섭동된 위치 에너지 하에서의 변화

실제 행성 운동에서는 완벽한 역제곱 중심력 외에 추가적인 섭동 항이 존재한다. 이러한 섭동 위치 에너지가 존재하면 라플라스-룽게-렌츠 벡터(LRL 벡터)는 궤도면에서 천천히 회전하며, 이는 궤도의 느린 근점 세차 운동에 해당한다.^[1] 섭동 위치 에너지가 보존적인 중심력이라면 총 에너지와 각운동량 벡터는 보존되므로, 운동은 여전히 각운동량 벡터에 수직인 평면에 놓인다.

섭동 위치 에너지가 LRL 벡터를 회전시키는 ''속도''는 섭동 위치에 대한 정보를 제공한다. 정준 섭동 이론과 작용-각 좌표를 사용하면, LRL 벡터의 회전 속도는 다음과 같이 주어진다.^[1]

$\begin{align}\frac{\partial}{\partial L} \langle h(r) \rangle & = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{1}{T} \int_0^T h(r) \, dt \right\} \\[1em]& = \frac{\partial}{\partial L} \left\{ \frac{m}{L^{2}} \int_0^{2\pi} r^2 h(r) \, d\theta \right\},\end{align}$

여기서 T는 궤도 주기이고, L dt = m r^2 dθ 를 이용하여 시간 적분을 각도 적분으로 변환했다. ⟨h(r)⟩는 한 주기 전체에 걸쳐 평균된 섭동 위치 에너지를 나타낸다.

알베르트 아인슈타인의 일반 상대성 이론에서, 정상적인 뉴턴 중력 위치에 작은 역입방 섭동이 추가된다.^[35]

$h(r) = \frac{kL^{2}}{m^{2}c^{2}} \left( \frac{1}{r^{3}} \right).$

이 섭동에 의한 근일점 세차 운동 속도는 다음과 같이 계산된다.^[35]

$\frac{6 \pi k^2}{T L^2 c^2},$

이는 수성의 관측된 비정상적인 세차 운동^[36] 및 이중 펄서의 세차 운동과 거의 일치한다.^[37] 이러한 실험과의 일치는 일반 상대성 이론에 대한 강력한 증거이다.^[38]^[39]

8. 푸아송 괄호

각운동량 벡터 $\mathbf{L}$ 의 세 가지 성분 $L_i$ 는 다음과 같은 푸아송 괄호를 갖는다.^[1]

: $\{ L_i, L_j\} = \sum_{s=1}^3 \varepsilon_{ijs} L_s$

여기서 $i$ = 1, 2, 3이고, $\varepsilon_{ijs}$ 는 완전 반대칭 텐서, 즉 레비-치비타 기호이다. LRL 벡터 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{L}$ 사이의 푸아송 괄호 관계는 다음과 같다:^[40]

: $\{A_i,L_j\}=\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}A_s$

$\mathbf{A}$ 의 서로 다른 성분 간의 푸아송 괄호 관계는 다음과 같다:^[41]

: $\{A_i,A_j\}=-2mH\sum_{s=1}^3\varepsilon_{ijs}L_s$

여기서 $H$ 는 해밀토니안이다.

$\mathbf{L}$ 과 $\mathbf{A}$ 모두 운동 상수이므로, 다음이 성립한다.

: $\{A_i, H\} = \{L_i, H\} = 0$

푸아송 괄호는 정준 교환 관계와 리 대수로 확장될 수 있다.

각운동량과 동일한 단위를 갖는 스케일링된 라플라스-룽게-렌츠 벡터(LRL 벡터) $\mathbf{D}$ 는 $\mathbf{A}$ 를 $p_0 = \sqrt{2m|H|}$ 로 나누어 정의할 수 있다. $\mathbf{D}$ 와 각운동량 벡터 $\mathbf{L}$ 의 푸아송 괄호는 다음과 같다.^[11]^[8]

: $\{ D_i, L_j\} = \sum_{s=1}^3 \varepsilon_{ijs} D_s$

$\mathbf{D}$ 와 ''자신''의 푸아송 괄호는 $H$ 의 부호, 즉 에너지가 음수인지 (역제곱 중심력 하에서 닫힌 타원 궤도를 생성) 또는 양수인지 (역제곱 중심력 하에서 열린 쌍곡선 궤도를 생성)에 따라 달라진다. ''음수'' 에너지, 즉 속박된 시스템의 경우 푸아송 괄호는 다음과 같다.^[42]

: $\{ D_i, D_j\} = \sum_{s=1}^3 \varepsilon_{ijs} L_s$

이 스케일링을 사용하면 해밀토니안이 앞선 관계의 오른쪽에 더 이상 나타나지 않는다. 따라서, $\mathbf{L}$ 의 세 성분과 $\mathbf{D}$ 의 세 성분의 span은 푸아송 괄호 아래에서 6차원 리 대수를 형성한다. 이 리 대수는 4차원 회전군 $SO(4)$ 의 리 대수인 $so(4)$ 와 동형이다.^[43]

반대로, ''양수'' 에너지의 경우 푸아송 괄호는 반대 부호를 갖는다.

: $\{ D_i, D_j\} = -\sum_{s=1}^3 \varepsilon_{ijs} L_s$

이 경우, 리 대수는 $so(3,1)$ 과 동형이다.

음의 에너지에 대한 카시미어 불변량은 다음과 같다.

: $\begin{align}C_1 &= \mathbf{D} \cdot \mathbf{D} + \mathbf{L} \cdot \mathbf{L} = \frac{mk^2}{2|E|},\\C_2 &= \mathbf{D} \cdot \mathbf{L} = 0,\end{align}$

그리고 $\mathbf{D}$ 와 $\mathbf{L}$ 의 모든 성분과 푸아송 괄호가 사라진다.

: $\{ C_1, L_i \} = \{ C_1, D_i\} =\{ C_2, L_i \} = \{ C_2, D_i \} = 0$

$C_2$ 는 두 벡터가 항상 수직이므로 자명하게 0이다.

다른 불변량인 $C_1$ 은 $m$ , $k$ 및 $E$ 에만 의존한다. 정준 양자화를 통해 이 불변량은 수소 유사 원자의 에너지 준위를 슈뢰딩거 방정식의 기존 해 대신, 양자역학적 정준 교환 관계만 사용하여 도출할 수 있게 해준다.^[8]^[43]

요약하자면, 각운동량 벡터와 LRL 벡터의 성분들은 특정한 푸아송 괄호 관계를 만족한다. 음의 에너지에 대해 스케일링된 LRL 벡터 $\mathbf{D} = \frac{\mathbf{A}}{\sqrt{-2mE}}$ 를 도입하면, 각운동량 벡터와 함께 SO(4) 리 대수에 해당하는 푸아송 괄호 관계를 얻는다. 양의 에너지에 대해서는 SO(3,1) 리 대수에 해당한다. 카시미르 불변량을 통해 에너지 준위를 계산할 수 있다.

9. 수소 원자의 양자 역학

푸아송 괄호를 교환 관계로 대체하여 양자 역학으로 확장할 수 있다. LRL 벡터에 대한 양자 역학 연산자는 대칭화된(에르미트) 곱을 사용하여 다음과 같이 정의된다.^[8]

$A_s = - m k \hat{r}_s + \frac{1}{2} \sum_{i=1}^3 \sum_{j=1}^3 \varepsilon_{sij} (p_i \ell_j + \ell_j p_i),$

정준 교환 관계와 카시미르 연산자의 고윳값을 계산하여 수소 유사 원자의 에너지 준위(리드베리 공식)를 유도할 수 있다.^[7] 이 유도는 슈뢰딩거 방정식이 개발되기 이전에 이루어졌다.^[47] LRL 벡터는 주어진 에너지에 대해 서로 다른 각운동량 다중항을 연결하는 사다리 연산자를 정의하는 데 사용될 수 있다.

$\begin{align}J_0 &= A_3, \\J_{\pm 1} &= \mp \tfrac{1}{\sqrt{2}} \left( A_1 \pm i A_2 \right).\end{align}$

이들은 의 ''다른'' 고유 상태를 서로 연결하므로, 다른 스핀 다중항을 서로 연결한다.

정규화된 첫 번째 카시미르 불변량 연산자는 다음과 같이 정의할 수 있다.

$C_1 = - \frac{m k^2}{2 \hbar^{2}} H^{-1} - I,$

여기서 는 해밀토니안 에너지 연산자의 역수이고, 는 항등 연산자이다.

이러한 사다리 연산자를 총 각운동량, 방위 각운동량 및 에너지 연산자의 고유 상태 |''ℓ''〉에 적용하면, 첫 번째 카시미르 연산자 ₁의 고유값은 로 양자화되는 것을 알 수 있다. 중요하게도, ''C''₂가 0이 되면서, 이들은 ℓ 및 양자수와 독립적이며, 에너지 준위가 축퇴되도록 한다.^[8]

따라서 에너지 준위는 다음과 같다.

$E_n = - \frac{m k^2}{2\hbar^{2} n^2},$

이는 수소 유사 원자에 대한 리드베리 공식과 일치한다(그림 6).

그림 6: 각운동량과 라플라스-룽게-렌츠 벡터 연산자의 교환 관계에서 예측된 수소 원자의 에너지 준위. 이 에너지 준위는 실험적으로 검증되었다.

추가적인 대칭 연산자 는 주어진 에너지(및 ''C''₁)에 대해 서로 다른 ℓ 다중항을 연결하여 각 준위에 상태를 지시했다. 사실, 이들은 각운동량 그룹 을 로 확장했다.^[50] 수소 원자의 에너지 준위 축퇴는 LRL 벡터의 보존, 즉 SO(4) 대칭성으로 설명된다.

10. 보존과 대칭성

LRL 벡터의 보존은 케플러 문제의 미묘한 대칭성(숨겨진 대칭)과 관련이 있다. 음의 에너지(속박) 시스템에서 이 대칭성은 4차원 회전군 SO(4)에 해당한다. 양의 에너지(산란) 시스템에서는 SO(3,1)에 해당한다. 블라디미르 포크는 양자역학적 속박된 케플러 문제가 4차원 공간에서 3차원 단위 구에 갇힌 자유 입자의 문제와 동등하다는 것을 보였다(포크 대칭).^[10]

고전역학에서 대칭성은 시스템의 에너지를 변경하지 않고 한 궤도를 다른 궤도로 매핑하는 연속적인 연산이다.^[1] 양자역학에서 대칭성은 동일한 에너지, 즉 축퇴된 에너지 준위의 전자 궤도 함수를 "혼합"하는 연속적인 연산이다. 보존량은 일반적으로 그러한 대칭성과 관련이 있다.^[1] 예를 들어, 모든 중심력은 회전군 SO(3)에 대해 대칭이며, 이는 각운동량의 보존으로 이어진다.

역제곱 중심력에 대한 대칭성은 더 높고 미묘하다. 케플러 문제의 특이한 대칭성은 각운동량 벡터 L과 LRL 벡터 A 모두의 보존을 초래하며, 양자역학적으로는 수소의 에너지 준위가 각운동량 양자수 l과 m에 의존하지 않도록 보장한다. 그러나 대칭 연산이 차원이 더 높은 공간에서 수행되어야 하기 때문에 대칭성은 더 미묘하며, 이러한 대칭은 종종 "숨겨진 대칭"이라고 불린다.^[64]

고전적으로, 케플러 문제의 더 높은 대칭성은 에너지를 보존하지만 각운동량을 보존하지 않는 궤도의 연속적인 변경을 허용한다. 양자역학적으로, 이는 s (l=0) 및 p (l=1) 원자 궤도 함수와 같이 l과 m 양자수가 다른 궤도 함수를 혼합하는 것에 해당한다.

음의 에너지, 즉 속박된 시스템의 경우, 더 높은 대칭군은 SO(4)이며, 이는 4차원 벡터의 길이를 보존한다.

1935년, 블라디미르 포크는 양자역학적 속박된 케플러 문제가 4차원 공간에서 3차원 단위 구에 갇힌 자유 입자의 문제와 동등하다는 것을 보여주었다.^[10] 구체적으로, 포크는 케플러 문제에 대한 운동량 공간의 슈뢰딩거 파동 함수가 구면 조화 함수의 스테레오 투영임을 보여주었다. 이를 때때로 포크 대칭이라고 하는 SO(4) 대칭이다;^[51] 양자역학적으로, 이는 동일한 에너지 양자수 n의 모든 궤도 함수를 혼합하는 것에 해당한다.

양의 에너지, 즉 속박되지 않은 "산란" 시스템의 경우, 더 높은 대칭군은 SO(3,1)이며, 이는 민코프스키 길이 4-벡터의 길이를 보존한다.

케플러 문제와 4차원 회전 대칭 SO(4) 사이의 연결은 쉽게 시각화할 수 있다.^[52]^[54]^[55] 4차원 데카르트 좌표를 (w, x, y, z)로 표시하고, 여기서 (x, y, z)는 일반 위치 벡터 r의 데카르트 좌표를 나타낸다고 하자. 3차원 운동량 벡터 p는 3차원 단위 구면 위의 4차원 벡터 η와 연관된다.

p를 η로 매핑하는 변환은 고유하게 반전될 수 있다. 즉, 3차원 벡터 p는 p₀로 스케일링된 4차원 η 벡터의 입체 투영이다(그림 8).

양자역학에서는 대칭성은 보존량과 결합되어 에너지 준위의 축퇴를 유도한다. 수소 원자 모델의 에너지 고유 상태는 주 양자수 n, 방위 양자수 l, 자기 양자수 m으로 지정되지만, 에너지 준위는 주 양자수만으로 정해지며, n² 중으로 축퇴되어 있다. 공간적으로 구면 대칭인 수소형 원자 모델에서는 SO(3)으로 표시되는 회전 대칭성에 의해 각운동량이 보존량이 된다. 단, 회전 대칭성만으로는 -l, -l+1, ..., 0, ..., l-1, l의 값을 갖는 자기 양자수에 의한 (2l+1) 중의 축퇴밖에 설명할 수 없다. 이 사실은 또 다른 대칭성의 존재를 시사한다. 이 대칭성이 바로 속박 상태에서 각운동량과 룬게-렌츠 벡터가 이루는 SO(4)의 대칭성이다.

11. 4차원 회전 대칭

케플러 문제와 4차원 회전 대칭 SO(4) 사이의 관계는 4차원 벡터 $\boldsymbol\eta$ 를 통해 쉽게 이해할 수 있다.^[52]^[54]^[55] 4차원 데카르트 좌표를 $(w, x, y, z)$ 로 표시하고, $(x, y, z)$ 는 일반 위치 벡터 $\mathbf{r}$ 의 데카르트 좌표라고 하자. 3차원 운동량 벡터 $\mathbf{p}$ 는 다음 식과 같이 3차원 단위 구면 위의 4차원 벡터 $\boldsymbol\eta$ 와 관련된다.

$\begin{align}\boldsymbol\eta & = \frac{p^2 - p_0^2}{p^2 + p_0^2} \mathbf{\hat{w}} + \frac{2 p_0}{p^2 + p_0^2} \mathbf{p} \\[1em]& = \frac{mk - r p_0^2}{mk} \mathbf{\hat{w}} + \frac{rp_0}{mk} \mathbf{p},\end{align}$

여기서 $\mathbf{\hat{w}}$ 는 새로운 $w$ 축 방향의 단위 벡터이다. $\mathbf{p}$ 를 $\boldsymbol\eta$ 로 변환하는 것은 유일하며, 역변환도 가능하다. 예를 들어, 운동량의 $x$ 성분은 다음과 같다.

$p_x = p_0 \frac{\eta_x}{1 - \eta_w},$

$p_y$ 와 $p_z$ 도 마찬가지이다. 즉, 3차원 벡터 $\mathbf{p}$ 는 $p_0$ 로 스케일링된 4차원 $\boldsymbol\eta$ 벡터의 입체 투영이다(그림 8).

일반성을 잃지 않고,

z

축이 각운동량 벡터

\mathbf{L}

과 정렬되고 운동량 호도그래프가 그림 7과 같이 원의 중심이

y

축에 있도록 데카르트 좌표를 선택하여 일반 회전 대칭을 제거할 수 있다. 운동이 평면적이고,

\mathbf{p}

와

\mathbf{L}

이 수직이므로,

p_z = \eta_z = 0

이며, 3차원 벡터

\boldsymbol\eta = (\eta_w, \eta_x, \eta_y)

에 집중할 수 있다. 운동량 호도그래프의 아폴로니우스 원 (그림 7)은 3차원

\boldsymbol\eta

구면 위의 대원에 해당하며, 모두

\eta_x

축과 초점

\eta_x = \pm 1

에서 교차한다. 이는

p_x = \pm p_0

에서 운동량 호도그래프 초점에 해당한다. 이 대원은

\eta_x

축을 중심으로 하는 회전에 의해 서로 변환된다(그림 8). 이 회전 대칭은 동일한 에너지를 가진 모든 궤도를 서로 변환한다. 그러나 이러한 회전은 4차원

\eta_w

을 변환하므로 일반적인 3차원 회전에 직교한다. 이러한 더 높은 대칭은 케플러 문제의 특징이며 라플라스-룽게-렌츠 벡터의 보존에 해당한다.

케플러 문제에 대한 작용-각 변수 해는 중복되는 4차원 좌표

\boldsymbol\eta

를 타원 기둥 좌표

(\chi, \psi, \phi)

로 대체하여 얻을 수 있다.^[56]

\begin{align}\eta_w &= \operatorname{cn} \chi \operatorname{cn} \psi, \\[1ex]\eta_x &= \operatorname{sn} \chi \operatorname{dn} \psi \cos \phi, \\[1ex]\eta_y &= \operatorname{sn} \chi \operatorname{dn} \psi \sin \phi, \\[1ex]\eta_z &= \operatorname{dn} \chi \operatorname{sn} \psi,\end{align}

여기서

\operatorname{sn}

,

\operatorname{cn}

및

\operatorname{dn}

은 야코비 타원 함수이다.

12. 다른 위치 에너지 및 상대성 이론으로의 일반화

LRL 벡터는 균일한 전기장이나 다른 중심력 위치 에너지, 심지어 특수 상대성 이론에서도 일반화될 수 있다. 이러한 일반화를 통해 다른 상황에서도 보존량을 찾을 수 있다.

균일한 전기장 가 있을 때, 일반화된 LRL 벡터 $\mathcal{A}$ 는 다음과 같이 표현된다.^[17]^[57]

$\mathcal{A} = \mathbf{A} + \frac{mq}{2} \left[ \left( \mathbf{r} \times \mathbf{E} \right) \times \mathbf{r} \right].$

여기서 는 입자의 전하량이다. $\mathcal{A}$ 자체는 보존되지 않지만, $\mathcal{A} \cdot \mathbf{E}$ 는 보존된다.

LRL 벡터를 다른 위치 에너지와 특수 상대성 이론으로 일반화하면, 가장 일반적인 형태는 다음과 같다.^[18]

$\mathcal{A} =\left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right) \left(\mathbf{p} \times \mathbf{L}\right) +\left[ \xi - u \left( \frac{\partial \xi}{\partial u} \right)\right] L^{2} \mathbf{\hat{r}}.$

여기서 이고 이며, 각 는 다음과 같이 정의된다.

$\theta = L \int^u \frac{du}{\sqrt{m^2 c^2 (\gamma^2 - 1) - L^2 u^{2}}}.$

는 로렌츠 인자이다. 보존된 각운동량 벡터 과의 외적을 통해 보존되는 벡터 를 얻을 수 있다.

$\mathcal{B} = \mathbf{L} \times \mathcal{A}.$

이 두 벡터는 보존되는 2차 텐서 로 결합할 수 있다.^[18]

$\mathcal{W} = \alpha \mathcal{A} \otimes \mathcal{A} + \beta \, \mathcal{B} \otimes \mathcal{B}.$

비상대론적, 등방성 조화 진동자의 경우, LRL 벡터는 다음과 같이 계산된다.^[18] 힘이 중심력이므로,

$\mathbf{F}(r)= -k \mathbf{r}.$

각운동량 벡터는 보존되며 운동은 평면에 놓인다. 보존되는 2차 텐서는 다음과 같이 간단하게 표현된다.

$\mathcal{W} = \frac{1}{2m} \mathbf{p} \otimes \mathbf{p} + \frac{k}{2} \, \mathbf{r} \otimes \mathbf{r}.$

와 은 반드시 수직일 필요는 없다. 해당 룽게-렌츠 벡터는 더 복잡하다.

$\mathcal{A} = \frac{1}{\sqrt{mr^2 \omega_0 A - mr^2 E + L^2}} \left\{ \left( \mathbf{p} \times \mathbf{L} \right) + \left(mr\omega_0 A - mrE \right) \mathbf{\hat{r}} \right\}.$

여기서

$\omega_0 = \sqrt{\frac{k}{m}}$

는 고유 진동수이고,

$A = (E^2-\omega^2 L^2)^{1/2} / \omega.$

이다.

앞의 정의에서 볼 수 있듯이, 운동량 벡터 와 각운동량 벡터 과 달리, LRL 벡터는 보편적으로 통일된 정의가 없으며, 과학 문헌에서 다양한 스케일링 인자와 기호가 사용된다.

13. 뇌터 정리

Noether-Theorem|뇌터 정리^de를 사용하여 LRL 벡터의 보존을 유도할 수 있다. 좌표의 미소 변화에 대한 라그랑지언의 변화를 통해 보존량을 얻는다. LRL 벡터의 각 성분에 해당하는 좌표 변화를 대입하면 LRL 벡터의 보존이 유도된다.^[60]

운동의 불변량을 찾는 데 사용되는 뇌터 정리는 물리계의 일반화 좌표에 대한 임의의 미소 변화

$\delta q_i = \varepsilon g_i(\mathbf{q}, \mathbf{\dot{q}}, t)$

이 라그랑지언을 1차로 전체 시간 미분으로 변화시키는 경우

$\delta L = \varepsilon \frac{d}{dt} G(\mathbf{q}, t)$

보존량 Γ에 해당한다.

$\Gamma = -G + \sum_i g_i \left( \frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right).$

특히, 보존되는 LRL 벡터 성분 A_s는 좌표의 변화에 해당한다.^[60]

$\delta_s x_i = \frac{\varepsilon}{2} \left[ 2 p_i x_s - x_i p_s - \delta_{is} \left( \mathbf{r} \cdot \mathbf{p} \right) \right],$

여기서 i는 1, 2, 3과 같으며, x_i와 p_i는 각각 위치 벡터 '''r'''과 운동량 벡터 '''p'''의 i번째 성분을 나타내고, δ_is는 크로네커 델타를 나타낸다. 라그랑지언의 결과적인 1차 변화는 다음과 같다.

$\delta L = \frac{1}{2}\varepsilon mk\frac{d}{dt} \left( \frac{x_s}{r} \right).$

보존량 Γ에 대한 일반적인 공식에 대입하면 LRL 벡터의 보존된 성분 A_s가 얻어진다.

$A_s = \left[ p^2 x_s - p_s \ \left(\mathbf{r} \cdot \mathbf{p}\right) \right] - mk \left( \frac{x_s}{r} \right) =\left[ \mathbf{p} \times \left( \mathbf{r} \times \mathbf{p} \right) \right]_s - mk \left( \frac{x_s}{r} \right).$

14. 리 변환

소푸스 리가 개발한 리 변환을 사용하면 라플라스-룽게-렌츠 벡터(LRL 벡터)의 보존을 유도할 수 있다.^[62]^[63] 이 방법은 좌표와 시간을 매개변수 λ의 다른 거듭제곱으로 스케일링한다.^[64]

$t \rightarrow \lambda^{3}t , \qquad \mathbf{r} \rightarrow \lambda^{2}\mathbf{r} , \qquad\mathbf{p} \rightarrow \frac{1}{\lambda}\mathbf{p}.$

그림 9: 라플라스-룽게-렌츠 벡터의 보존이 유도되는 리 변환. 스케일링 매개변수 λ가 변함에 따라 에너지와 각운동량은 변하지만, 이심률과 LRL 벡터의 크기와 방향은 변하지 않는다.

이 변환은 총 각운동량 ''L''과 에너지 ''E''를 다음과 같이 변화시킨다.

L \rightarrow \lambda L, \qquad E \rightarrow \frac{1}{\lambda^{2}} E,

하지만 이들의 곱 ''EL''²은 보존된다. 따라서 ''A''²에 대한 방정식에서 볼 수 있듯이 이심률 ''e''와 LRL 벡터의 크기 ''A''는 보존된다.

A^2 = m^2 k^2 e^{2} = m^2 k^2 + 2 m E L^2.

반축이 전체 스케일링에 의해 변경되지 않으므로 LRL 벡터 ''A''의 방향 또한 보존된다. 이 변환은 케플러의 제3법칙도 보존하는데, 즉 반축 ''a''와 주기 ''T''가 상수 ''T''²/''a''³를 이룬다는 것이다.

참조

_[1] 서적 Classical Mechanics Addison Wesley 1980
_[2] 서적 Celestial Mechanics: A Computational Guide for the Practitioner John Wiley and Sons 1985
_[3] 서적 Classical Mechanics Addison Wesley 1980
_[4] 서적 Mathematical Methods of Classical Mechanics https://archive.org/[...] Springer-Verlag 1989
_[5] 서적 Mechanics Academic Press 1964
_[6] 서적 The Variational Principles of Mechanics Dover Publications 1970
_[7] 간행물 Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik 1926
_[8] 서적 Quantum Mechanics: Foundations and Applications Springer-Verlag 1993
_[9] 간행물 Symmetries and conservation laws: Consequences of Noether's theorem http://www.eftaylor.[...]
_[10] 간행물 Zur Theorie des Wasserstoffatoms 1935
_[11] 간행물 Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock 1936
_[12] 간행물 The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction 1847
_[13] 서적 Classical Mechanics Addison Wesley 1980
_[14] 서적 Mathematical Methods of Classical Mechanics Springer-Verlag 1989
_[15] 간행물 Prehistory of the Runge–Lenz vector 1975
_[16] 간행물 Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions 1847
_[17] 서적 Mechanics https://archive.org/[...] Pergamon Press 1976
_[18] 간행물 Existence of the Dynamic Symmetries O₄ and SU₃ for All Classical Central Potential Problems 1967
_[19] 간행물 Two methods of generalisation of the Laplace–Runge–Lenz vector 1987
_[20] 서적 Classical Mechanics Addison Wesley 1980
_[21] 서적 Mechanics Addison Wesley 1971
_[22] 간행물 Metodo d'investigare l'Orbite de' Pianeti, nell' ipotesi che le forze centrali o pure le gravità degli stessi Pianeti sono in ragione reciproca de' quadrati delle distanze, che i medesimi tengono dal Centro, a cui si dirigono le forze stesse 1710
_[23] 간행물 Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710 1710
_[24] 서적 Traité de mécanique celeste https://archive.org/[...] Paris, Duprat 1799
_[25] 서적 Vector Analysis https://archive.org/[...] Scribners 1901
_[26] 서적 Vektoranalysis Hirzel 1919
_[27] 간행물 Über den Bewegungsverlauf und Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung 1924
_[28] 서적 Mechanics Addison Wesley 1971
_[29] 문서 The conserved binormal Hamilton vector $\mathbf{B}\equiv \mathbf{L} \times \mathbf{A} / L^2$ on this momentum plane (pink) has a simpler geometrical significance, and may actually supplant it, as $\mathbf{A} =\mathbf {B}\times \mathbf {L}$ , see Patera, R. P. (1981). "Momentum-space derivation of the Runge-Lenz vector", ''Am. J. Phys'' '''49''' 593–594. It has length {{math|''A''/''L''}} and is discussed in section [[#Alternative scalings, symbols and formulations]].
_[30] 간행물 Superintegrability in classical mechanics 1990
_[31] 서적 Atomic Structure and Spectral Lines Methuen 1923
_[32] 간행물 Classical and Quantum Nambu Mechanics 2003
_[33] 간행물 Group theory of the Smorodinsky–Winternitz system 1991
_[34] 간행물 Branes, quantum Nambu brackets, and the hydrogen atom 2004
_[35] 간행물 Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie 1915
_[36] 논문 Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la Théorie de Mercure et sur le Mouvement du Périhélie de cette Planète 1859
_[37] 서적 General Relativity, an Einstein Century Survey Cambridge University Press 1979
_[38] 서적 Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein https://archive.org/[...] Oxford University Press 1982
_[39] 서적 Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein https://archive.org/[...] Oxford University Press 1982
_[40] 문서
_[41] 문서
_[42] 문서
_[43] 문서
_[44] 논문 Coordinate space modification of Fock's theory. Harmonic tensors in the quantum Coulomb problem 2022
_[45] 논문 Runge-Lenz Operator in the Momentum Space 2023
_[46] 서적 Principles of Quantum Mechanics Oxford University Press 1958
_[47] 논문 Quantisierung als Eigenwertproblem 1926
_[48] 문서
_[49] 서적 Quantum Mechanics https://books.google[...] John Wiley & Sons 1998-01-07
_[50] 문서
_[51] 논문 New exactly solvable systems with Fock symmetry 2012-12-07
_[52] 논문 Group Theory and the Hydrogen Atom (I) https://escholarship[...] 1966
_[53] 논문 Group Theory and the Hydrogen Atom (II) 1966
_[54] 논문 Symmetry transformations of the classical Kepler problem 1973
_[55] 서적 Variations on a Theme by Kepler American Mathematical Society Colloquium Publications 1990
_[56] 논문 On the canonical equivalence of the Kepler problem in coordinate and momentum spaces 1984
_[57] 논문 Generalization of the Runge–Lenz Vector in the Presence of an Electric Field 1964
_[58] 문서
_[59] 논문 On the Degeneracy of the Kepler Problem 1966
_[60] 논문 Conservation Laws for Gauge-Invariant Lagrangians in Classical Mechanics 1971
_[61] 논문 Notes on the symmetries of systems of differential equations 1977
_[62] 서적 Vorlesungen über Differentialgleichungen https://archive.org/[...] Teubner 1891
_[63] 서적 Ordinary Differential Equations Dover (1956 reprint) 1926
_[64] 논문 On the Lie symmetries of the classical Kepler problem 1981
_[65] 논문 Prehistory of the "Runge–Lenz" vector American Association of Physics Teachers
_[66] 논문 Über den Bewegungsverlauf und die Quantenzustände der gestörten Keplerbewegung シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア
_[67] 서적 Vectoranalysis https://ia601601.us.[...] S. Hirzel
_[68] 서적 Traité de mécanique céleste https://ia800205.us.[...]
_[69] 서적 ラプラスの天体力学論 http://www.kyoiku.co[...] 大学教育出版 2012-01-31
_[70] 논문 More on the prehistory of the Laplace or Runge–Lenz vector American Association of Physics Teachers
_[71] 문서 2체 문제에서 도출
_[72] 문서 원자핵 주변 운동 전자와 차폐 효과
_[73] 문서 벡터 표기
_[74] 문서 룬게-렌츠 벡터 정의
_[75] 문서 베르트랑의 정리
_[76] 문서 해밀턴 역학계의 포아송 괄호
_[77] 논문 Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik 슈プリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア
_[78] 논문 Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions http://emis.ams.org/[...] Royal Irish Academy 1847
_[79] 수식
_[80] 수식
_[81] 저널 Prehistory of the Runge–Lenz vector 1975
_[82] 저널 More on the prehistory of the Runge–Lenz vector 1976
_[83] 서적 Classical Mechanics https://archive.org/[...] Addison Wesley

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com