사영 선형군

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1. 개요

사영 선형군은 가환환 K 위의 가군 V에 대해 정의되는 몫군 PGL(V;K) = GL(V;K) / K^×이며, 이는 사영 기하학에서 동차 좌표계에 작용하는 군으로, 뫼비우스 변환을 일반화한다. 사영 특수 선형군 PSL(V)은 특수 선형군 SL(V)의 중심 SZ(V)에 대한 몫군으로 정의된다. PGL과 PSL은 사영 공간에서 작용하며, 유한체 위에서 다양한 동형사상을 가지며, 특히 PSL(2, p)는 갈루아에 의해 연구되었다. 사영 선형군은 사영 준선형군(PΓL)과 크레모나 군에 포함되며, 위상 및 표현론과 관련하여 연구된다.

사영 선형군

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 사영 특수 선형군
3. 성질
4. 명칭의 유래
5. 원소
6. 유한체 위에서의 사영 선형군
- 6.1. 단순성
7. 예외적인 동형 사상
8. 특수한 경우
9. 위상
10. 표현론
11. 낮은 차원
12. 부분군
13. 더 큰 군

2. 정의

가환환 K 위의 가군 V의 사영 선형군 PGL(V;K)는 다음과 같은 짧은 완전열에 대한 몫군이다.
: $1\to K^\times\hookrightarrow\operatorname{GL}(V;K)\twoheadrightarrow \operatorname{PGL}(V;K)\to1$
여기서
* $K^\times$ 는 K의 가역원군이다.
* $K^\times\hookrightarrow\operatorname{GL}(V;K)$ 는 가환환의 원소의 작용 $a \mapsto a\operatorname{id}_V$ 이며, 그 상은 $\operatorname{GL}(V;K)$ 의 군의 중심이다.

사영 선형군(射影線型群, projective linear group^영어)이라는 이름은 사영 기하학에서 유래하며, 균질 좌표(x₀ : x₁ : ... : x_n)에 작용하는 사영군은 기하학의 기본군이다. 다르게 말하면, GL(V)의 V에 대한 자연스러운 군 작용은 PGL(V)의 사영 공간 P(V)에 대한 작용으로 내려온다.

따라서 사영 선형군은 뫼비우스 변환 (뫼비우스 군)의 경우를 일반화하며, 이 변환은 사영 직선에 작용한다.

일반 선형군과 달리, 일반 선형군은 "선형 (벡터 공간) 구조를 보존하는 가역 함수"로 정의되지만, 사영 선형군은 "사영 선형 구조를 보존하는 가역 함수"로 정의되기보다는 관련 벡터 공간의 일반 선형군의 몫으로, 구성적으로 정의된다. 이는 표기법에 반영되어 PGL(n, F)는 GL(n, F)와 관련된 군이며, n차원 사영 공간이 아닌 (n − 1)-차원 사영 공간의 사영 선형군이다.

체 F 위의 선형 공간 V의 사영 일반 선형군은, V 위의 일반 선형군 GL(V)의 중심 Z(V)에 의한 잉여군
:PGL(V) = GL(V) / Z(V)
을 말한다. 이 중심 Z(V)는 영이 아닌 스칼라 변환 전체가 이루는 군과 일치한다.

V = Fⁿ일 때 PGL(V) 대신 PGL(n, F)로 표기하기도 한다.

2.1. 사영 특수 선형군

K가 가환환이며 V가 유한 n차원 K-자유 가군일 때, 특수 선형군 SL(V;K)를 정의할 수 있으며, 그 중심은 다음과 같다.
: $\operatorname Z(\operatorname{SL}(V;K)) = \operatorname Z(\operatorname{GL}(V;K)) \cap \operatorname{SL}(V;K) = \{a \in \mathbb K^\times \colon \exists b\in K^\times \colon b^n = a\}$
사영 특수 선형군(projective special linear group^영어)은 특수 선형군의, 그 중심에 대한 몫군이다.
: $1\to\operatorname Z(\operatorname{SL}(V;K))\to\operatorname{SL}(V;K)\twoheadrightarrow \operatorname{PSL}(V;K)\to1$
마찬가지로 사영 특수 선형군은, V 위의 특수 선형군 SL(V)의 중심 SZ(V)에 의한 잉여군
:PSL(V) = SL(V) / SZ(V)
을 말한다. 이 중심 SZ(V)는 행렬식이 1인 스칼라 변환 전체가 이루는 군과 일치한다.

특히 V = Fⁿ일 때 PSL(V) 대신 PSL(n, F)로 표기하기도 한다.

3. 성질

가환환 K 및 자연수 n∈N에 대하여, 다음과 같은 가환 그림이 존재한다.

: $\begin{matrix}1 & \to & K^\times & \to & \operatorname{GL}(n;K) & \to & \operatorname{PGL}(n;K) & \to & 1 \\& & {\scriptstyle(-)^n}\downarrow{\color{White}\scriptstyle(-)^n} & & \downarrow & & \downarrow \\1 & \to & \operatorname{SZ}(n;K) & \to & \operatorname{SL}(n;K) & \to & \operatorname{PSL}(n;K) & \to & 1 \\\end{matrix}$

여기서 $\operatorname{SZ}(n;K)$ 는 n차 거듭제곱근을 (하나 이상 갖는) K의 가역원들의 아벨 군이다.

만약 K에서 모든 n차 거듭제곱근이 존재한다면, PGL(n;K)와 PSL(n;K)는 서로 같다.

사영 선형군은 공선점을 공선점으로 보낸다. 그러나 이는 전체 공선 변환군이 아니며, 대신 PΓL 또는 전체 대칭군이다. PGL은 사영 공간에서 충실하게 작용하며, 2-추이적으로 작용한다.

PGL(2, K)는 사영 직선에서 3-추이적으로 작용하지만, n ≥ 3인 경우 PGL(n, K)는 3-추이적으로 작용하지 않는다. PGL(2, K)는 사영 직선에서 4-추이적으로 작용하지 않는다(PGL(2, 3) 제외).

PSL과 PGL은 중심이 없는 군이다.

4. 명칭의 유래

사영 선형군이라는 이름은 사영 기하학에서 유래하며, 균질 좌표(x₀ : x₁ : ... : x_n)에 작용하는 사영군은 기하학의 기본군이다. 다르게 말하면, GL(V)의 V에 대한 자연스러운 군 작용은 PGL(V)의 사영 공간 P(V)에 대한 작용으로 내려온다.

따라서 사영 선형군은 뫼비우스 변환(PGL(2, C)) (때로는 뫼비우스 군)의 경우를 일반화하며, 이 변환은 사영 직선에 작용한다.

일반 선형군과 달리, 일반 선형군은 "선형 (벡터 공간) 구조를 보존하는 가역 함수"로 공리적으로 정의되지만, 사영 선형군은 "사영 선형 구조를 보존하는 가역 함수"로 공리적으로 정의되기보다는 관련 벡터 공간의 일반 선형군의 몫으로, 구성적으로 정의된다.

5. 원소

사영 선형군의 원소는 축 중 하나를 따라 "평면을 기울인" 다음 원래 평면에 투영하는 것으로 이해할 수 있으며, 차원은 n이다.

z축을 중심으로 한 회전은 사영 평면을 회전시키고, x 또는 y축과 평행한 선에 대한 회전의 사영화는 평면의 사영 회전을 생성한다.

사영 변환을 이해하는 더 친숙한 기하학적 방법은 사영 회전(PSO(n + 1)의 원소)을 이용하는 것인데, 이는 단위 초구의 회전에 대한 스테레오 투영에 해당하며, 차원은

1+2+\cdots+n=\binom{n+1}{2}

이다. 시각적으로 이것은 원점에 서서 (또는 카메라를 원점에 놓고) 시야각을 돌린 다음 평면에 투영하는 것에 해당한다. 초평면에 수직인 축에서의 회전은 초평면을 보존하고 초평면의 회전(SO(n)의 원소, 차원은

1+2+\cdots+(n-1) =\binom{n}{2}

)을 생성하는 반면, 초평면에 평행한 축에서의 회전은 적절한 사영 맵이며, 나머지 n개의 차원을 차지한다.

6. 유한체 위에서의 사영 선형군

유한체 $\mathbb F_q$ 위의 사영 선형군의 크기는 다음과 같다.

: $|\operatorname{PGL}(n;\mathbb F_q)| = \frac1{q-1}|\operatorname{GL}(n;\mathbb F_q)|=\frac1{q-1}\prod_{i=0}^{n-1}(q^n-q^i)$

: $\operatorname{PSL}(n, q) \vert = q^{n(n - 1)/2} \prod_{i = 2}^n (q^i - 1)/d, \qquad d = (n, q - 1).$

또한, 다음과 같은 군의 동형이 존재한다.
: $\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_2) \cong \operatorname{Sym}(3)$
: $\operatorname{PSL}(2;\mathbb F_3) \cong \operatorname{Alt}(4)$
: $\operatorname{PGL}(2;\mathbb F_3) \cong \operatorname{Sym}(4)$
여기서 $\operatorname{Sym}(-)$ 은 대칭군이며, $\operatorname{Alt}(-)$ 는 교대군이다.

사영 특수 선형군 PSL^영어는 유한체 F_q에 대해 종종 PSL^영어 또는 L_n(q)로 표기된다.

에바리스트 갈루아는 1830년대에 PSL(2, p)를 구성하였으며, 이는 교대군에 이어 유한 단순군의 두 번째 계열이었다. 갈루아는 이를 분수 선형 변환으로 구성했으며, p가 2 또는 3인 경우를 제외하고는 단순하다는 것을 관찰했다.

임의의 소수 거듭제곱 q에 대한 군 PSL^영어(일반 n, 일반 유한체)은 1870년 카미유 조르당의 치환과 대수 방정식에 관한 논문(Traité des substitutions et des équations algébriques)에서 구성되었다.

PGL^영어의 차수는 다음과 같다.

: (qⁿ − 1)(qⁿ − q)(qⁿ − q²) ⋅⋅⋅ (qⁿ − qⁿ⁻¹)/(q − 1) = q^n²−1 − O(q^n²−3).

이는 일반 선형군의 차수를 사영화하기 위해 $q-1$ 로 나눈 값과 같다.

6.1. 단순성

n ≥ 2일 때, L₂(2) (3차 대칭군과 동형) 및 L₂(3) (4차 교대군과 동형)을 제외하면, L_n(q)는 비가환 유한 단순군이다. 비가환 유한 단순군인 사영 특수 선형군 L_n(q)는 예외적으로 m차 교대군 A_m과 동형인 경우가 있다.

* L₂(4) ≅ L₂(5) ≅ A₅
* L₂(9) ≅ A₆
* L₄(2) ≅ A₈

7. 예외적인 동형 사상

사영 특수 선형군과 교대군 사이에는 다음과 같은 예외적인 동형사상이 존재한다.

* `L₂(4) ≅ A₅`
* `L₂(5) ≅ A₅`
* `L₂(9) ≅ A₆`
* `L₄(2) ≅ A₈`

`L₂(9) ≅ A₆` 동형사상을 통해 A₆의 이국적인 외부 자기동형사상을 체 자기동형사상 및 행렬 연산의 관점에서 볼 수 있다. `L₄(2) ≅ A₈` 동형사상은 Mathieu 군 M₂₄의 구조에서 흥미롭다.

F₅ 위의 군은 여러 개의 예외적인 동형사상을 갖는다.

* PSL(2, 5)^영어 ≅ A₅ ≅ I (다섯 개의 원소에 대한 교대군, 또는 정이십면체 군)
* PGL(2, 5)^영어 ≅ S₅ (다섯 개의 원소에 대한 대칭군)
* SL(2, 5)^영어 ≅ 2 ⋅ A₅ ≅ 2I (교대군 A₅의 이중 덮개, 또는 이진 정이십면체 군)

이들은 이국적인 사상의 구성에 사용될 수 있다.

추가적인 동형사상은 다음과 같다.

* `L₂(7) ≅ L₃(2)` (차수 168의 단순군, 두 번째로 작은 비가환 단순군, PSL(2, 7) 참조)

사영 특수 유니타리 군과 사영 심플렉틱 군 사이의 PSU(4, 2) ≃ PSp(4, 3) 또한 예외적인 동형사상이다.

8. 특수한 경우

PSL(2, p)가 p개의 점에 비자명하게 작용하는 경우는 p가 2, 3, 5, 7, 11일 때뿐이다. 이는 1832년 에바리스트 갈루아가 슈발리에에게 보낸 마지막 편지에서 처음으로 관찰되었다.

* L₂(2) ≅ S₃ → S₂ (부호 사상을 통해)
* L₂(3) ≅ A₄ → A₃ ≅ C₃ (클라인 4-군으로 몫을 취함으로써)
* L₂(5) ≅ A₅. 정 이십면체 대칭군을 이용하면 다섯 개의 관련된 정사면체에 대한 작용을 고려할 수 있다.
* L₂(7) ≅ L₃(2)는 파노 평면의 7개 점에 작용한다.
* L₂(11)은 차수 3의 이중 평면에 작용한다.

L₂(7)과 L₂(11)은 p개의 점에 대한 두 개의 비동치 작용을 갖는다. 점과 블록에 대한 작용은 모두 p개의 점에 대한 작용이지만 켤레가 아니다. 대신 그룹의 외부 자기 동형 사상에 의해 관련된다.

*L*₂(11)의 경우, 이중 평면 기하학을 통해 작용을 이해할 수 있다. 점은 아핀 선 F₁₁이며, 첫 번째 선은 5개의 0이 아닌 2차 잉여(제곱인 점: 1, 3, 4, 5, 9)로 정의되고, 다른 선은 이의 아핀 평행 이동이다. L₂(11)은 이 기하학을 보존하는 S₁₁의 부분군과 동형이 되어, 11개 점 집합에 작용한다.

8.1. 사영 직선 위에서의 작용

군 PGL(2, K)는 계수가 K인 분수 선형 변환으로 해석될 수 있다. K 위의 사영 직선의 점들은 K²의 쌍에 해당하며, 두 쌍은 비례할 때 동등하다. 두 번째 좌표가 0이 아닐 때, 점은 [z, 1]로 표현될 수 있다. 그러면 ad − bc ≠ 0일 때, PGL(2, K)의 작용은 선형 변환에 의해 다음과 같이 주어진다.

: $[z,\ 1]\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \ = \ [az + b,\ cz + d] \ = \ \left [\frac{a z + b}{c z + d},\ 1\right ].$

이러한 방식으로 연속적인 변환은 이러한 행렬에 의한 오른쪽 곱셈으로 작성될 수 있으며, 행렬 곱셈은 PGL(2, K)에서 군 곱에 사용될 수 있다.

PGL(n, q)는 (qⁿ - 1)/(q - 1) 개의 점을 갖는 사영 공간 P^n-1(q)에 작용하며, 이는 사영 선형군에서 (qⁿ - 1)/(q - 1) 개의 점에 대한 대칭군으로의 사상을 생성한다. n = 2인 경우, 이것은 (q² - 1)/(q - 1) = q + 1 개의 점을 갖는 사영 직선 P¹(q)이므로, 사상 PGL(2, q) → S_q+1이 존재한다.

이러한 사상을 이해하기 위해 다음 사실을 기억하는 것이 유용하다.
* PGL(2, q)의 차수는 (q² - 1)(q² - q)/(q - 1) = q³ - q = (q - 1)q(q + 1)이다. PSL(2, q)의 차수는 특성이 2인 경우 이 값과 같고, 특성이 2가 아닌 경우 이 값의 절반이다.
* 사영 선형군의 사영 직선에 대한 작용은 3-추이적 작용이며 충실한 작용이므로, 이 사상은 일대일 대응이며, 3-추이적 부분군을 갖는다.

따라서 이 사상의 이미지는 알려진 차수를 갖는 3-추이적 부분군이며, 이를 통해 이를 식별할 수 있다. 이것은 다음 사상을 생성한다.

* PSL(2, 2) = PGL(2, 2) → S₃는 차수가 6이고, 동형사상이다.
역 사상(S₃의 표현)은 비조화군에 의해 실현될 수 있으며, 일반적으로 모든 체에 대해 S₃ → PGL(2, q)의 매장을 생성한다.
* PSL(2, 3) < PGL(2, 3) → S₄는 차수가 각각 12와 24이며, 후자는 동형사상이고, PSL(2, 3)은 교대군이다.
비조화군은 반대 방향으로 부분 사상을 제공하여 S₃ → PGL(2, 3)을 점 -1의 안정자로 매핑한다.
* PSL(2, 4) = PGL(2, 4) → S₅는 차수가 60이며, 교대군 A₅를 생성한다.
* PSL(2, 5) < PGL(2, 5) → S₆는 차수가 60과 120이며, S₆(각각 A₆)의 *추이적* 부분군으로 S₅(각각 A₅)의 매장을 생성한다. 이는 이국적인 사상 S₅ → S₆의 예이며, S₆의 예외적인 외부 자기 동형사상을 구성하는 데 사용할 수 있다. 참고로, 동형사상 PGL(2, 5) ≅ S₅는 이 표현에서 명확하지 않다. PGL(2, 5)가 작용하는 특별히 자연스러운 5개의 원소 집합이 없다.

8.2. p개의 점 위에서의 작용

PSL(2, *p*)가 *p*개의 점에 비자명하게 작용하는 것은 *p* = 2, 3, 5, 7, 또는 11일 때에만 해당된다. 이 내용은 1832년 에바리스트 갈루아가 슈발리에에게 보낸 마지막 편지에서 처음으로 관찰되었다.

* *L*₂(2) ≅ S₃ → S₂ (부호 사상을 통해)
* *L*₂(3) ≅ A₄ → A₃ ≅ C₃ (클라인 4-군으로 몫을 취함으로써)
* *L*₂(5) ≅ A₅. 정 이십면체 대칭군을 이용하면 다섯 개의 관련된 정사면체에 대한 작용을 고려할 수 있다.
* *L*₂(7) ≅ *L*₃(2)는 파노 평면의 7개 점에 작용한다.
* *L*₂(11)은 차수 3의 이중 평면에 작용한다.

L₂(7)과 L₂(11)은 p개의 점에 대한 두 개의 비동치 작용을 갖는다. 점과 블록에 대한 작용은 모두 p개의 점에 대한 작용이지만 켤레가 아니다. 대신 그룹의 외부 자기 동형 사상에 의해 관련된다.

*L*₂(11)의 경우, 이중 평면 기하학을 통해 작용을 이해할 수 있다. 점은 아핀 선 F₁₁이며, 첫 번째 선은 5개의 0이 아닌 2차 잉여(제곱인 점: 1, 3, 4, 5, 9)로 정의되고, 다른 선은 이의 아핀 평행 이동이다. L₂(11)은 이 기하학을 보존하는 S₁₁의 부분군과 동형이 되어, 11개 점 집합에 작용한다.

8.3. 모듈러 군

정수 계수 2차 사영 특수 선형군 $\operatorname{PSL}(2;\mathbb Z)$ 는 모듈러 군이며, 이는 모듈러 형식의 이론에 중요한 역할을 한다.

8.4. 허위츠 곡면

PSL군은 허위츠 군(최대 가능한 대칭군을 갖는 허위츠 곡면 - 대수 곡선의 자기 동형군)으로 나타난다. 가장 낮은 종수를 갖는 허위츠 곡면인 클라인 사차 곡선(종수 3)은 자기 동형군이 PSL(2, 7) (또는 GL(3, 2))와 동형이며, 두 번째로 낮은 종수를 갖는 허위츠 곡면인 맥베스 곡면(종수 7)은 자기 동형군이 PSL(2, 8)와 동형이다.

일부 PSL군은 허위츠 곡면의 자기 동형군, 즉 (2,3,7) 삼각형군의 몫으로 나타나며, 이는 3차 이등분 칠각형 타일링의 대칭이다.

9. 위상

실수 및 복소수에 대해 PGL과 PSL의 위상은 이를 정의하는 올다발을 통해 결정될 수 있다.

: $\begin{matrix}\mathrm{ Z} &\cong& K^\times &\to& \mathrm{GL} &\to& \mathrm{PGL} \\\mathrm{SZ} &\cong& \mu_n &\to& \mathrm{SL} &\to& \mathrm{PSL}\end{matrix}$

올의 긴 완전열을 사용한다.

실수와 복소수 모두에 대해 SL은 PSL의 덮개 공간이며, 시트는 K에 있는 n제곱근의 개수와 같다. 따라서 특히 모든 고차 호모토피 군이 일치한다. 실수의 경우, SL은 n이 짝수일 때 PSL의 2겹 덮개이고, n이 홀수일 때 1겹 덮개, 즉 동형사상이다.

: ±1 → SL(2n, R) → PSL(2n, R)

: SL(2n + 1, R) → PSL(2n + 1, R)

복소수의 경우, SL은 PSL의 n겹 덮개이다.

PGL의 경우, 실수에 대해 올은 R^× ≅ ±1이므로, 호모토피까지 GL → PGL은 2겹 덮개 공간이고 모든 고차 호모토피 군이 일치한다.

복소수에 대한 PGL의 경우, 올은 C^× ≅ S¹이므로, 호모토피까지 GL → PGL은 원 다발이다. 원의 고차 호모토피 군은 사라지므로, GL(n, C)과 PGL(n, C)의 호모토피 군은 n ≥ 3에 대해 일치한다. 사실, π₂는 항상 리 군에 대해 사라지므로, 호모토피 군은 n ≥ 2에 대해 일치한다. n = 1에 대해, π₁(GL(n, C)) = π₁(S¹) = Z임을 알 수 있다. PGL(2, C)의 기본군은 2차 유한 순환군이다.

10. 표현론

군 준동형 사상 G → PGL(V)는 군 G에서 사영 선형군으로의 사상으로, 선형 표현 (준동형 사상 G → GL(V))에 비유하여 군 G의 사영 표현이라고 불린다. 이는 이사이 슈어에 의해 연구되었으며, 그는 G의 사영 표현을 G의 중심 확대의 선형 표현의 관점에서 분류할 수 있음을 보였다. 이는 이 문제를 해결하는 데 사용되는 슈어 승수로 이어졌다.

11. 낮은 차원

n = 0의 경우, K⁰의 사영 공간은 비어 있는데, 0차원 공간의 1차원 부분 공간이 없기 때문이다. 따라서 PGL(0, K)는 공집합에서 자신으로 가는 유일한 빈 맵으로 구성된 자명군이다.

n = 1의 경우, K¹의 사영 공간은 단일 점인데, 1차원 부분 공간이 하나 있기 때문이다. 따라서 PGL(1, K)는 싱글톤 집합에서 자신으로 가는 유일한 맵으로 구성된 자명군이다.

n = 2의 경우, PGL(2, K)는 3-추이적이라는 점에서 특이하다.

12. 부분군

* 사영 직교군(PO)은 사영 선형군(PGL)의 최대 콤팩트 부분군이다.
* 사영 유니타리군(PU)
* 사영 특수 직교군(PSO)은 사영 특수 선형군(PSL)의 최대 콤팩트 부분군이다.
* 사영 특수 유니타리군(PSU)

13. 더 큰 군

* 사영 준선형군(PΓL)은 체 자기동형 사상을 허용한다.
* 크레모나 군 Cr(Pⁿ(k))는 유리적 자기동형 사상의 군이다. 모든 양방향 정칙 자기동형 사상은 선형이므로, PGL은 양방향 정칙 자기동형 사상의 군과 일치한다.