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사축 메르카토르 도법

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목차

1. 개요

사축 메르카토르 도법은 메르카토르 도법의 사위 양상으로, 구 또는 회전 타원체 상의 지점을 평면에 투영하는 방법이다. 이 도법은 표준 메르카토르 도법과 유사한 수학적 구성을 공유하며, 원통형 투영법, 정각도법 등의 특징을 갖는다. 사축 메르카토르 도법은 좁은 폭의 지역에 대해 매우 정확한 지도를 작성하는 데 사용되며, 핫틴 사위 메르카토르 도법(Hotine oblique Mercator)은 브루나이, 말레이시아, 싱가포르 등에서 표준 지도 투영법으로 사용된다. 또한, 위성사진을 위한 공간 사축 메르카토르 도법과 같이 다양한 분야에 적용되며, 일본, 스위스, 미국 알래스카주 등에서 지형도 제작에 활용된다.

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사축 메르카토르 도법
지도 정보
일반 정보
종류도법
도법 종류정각 도법
도법메르카토르 도법
속성
도법 속성정각 도법
용도해도, 지리 정보 시스템

2. 구에서의 도법

구에서의 도법은 단순히 지구본을 기울여서 투영하는 방식이다.

어떤 투영법으로 지도를 만들든, 지도화할 지역의 범위가 양쪽 차원에서 수백 킬로미터를 초과할 경우, 지구를 모델링하기 위해 일반적으로 구를 선택한다. 더 작은 지역의 지도에 더 높은 정확도가 필요하면 타원체 모델을 선택해야 한다.

2. 1. 공식

임의의 대권은 항상 위도가 최대가 되는 지점이 존재한다. 특히, 그 대권이 경선이 아니라면(즉, 그러한 점이 극점이 아니라면), 그 지점에서 대권의 방향은 정동·정서 방향이 된다. 기준으로 삼은 대권에 대해 그러한 점의 경도와 위도를 각각 \lambda_0, \phi_0라 하고, 대상 지점의 경도와 위도를 각각 \lambda, \phi라 하면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

\begin{align} x &= \mathrm{atan2}(\cos \phi \sin (\lambda - \lambda_0), \sin \phi_0 \sin \phi + \cos \phi_0 \cos \phi \cos (\lambda - \lambda_0)) \\ y &= \frac{1}{2} \log \frac{1+\cos \phi_0 \sin \phi-\sin \phi_0 \cos \phi \cos (\lambda - \lambda_0)}{1-\cos \phi_0 \sin \phi+\sin \phi_0 \cos \phi \cos (\lambda - \lambda_0)} \end{align}

\phi_0 = 0인 경우 종축 메르카토르 도법이 되고, \phi_0 = \pm \frac{\pi}{2}인 경우 \lambda = \lambda_0를 기준경선으로 하는 횡축 메르카토르 도법이 된다.

2. 1. 1. 증명

구면좌표계를 위도와 경도로 3차원 직교좌표계로 변환하면 다음과 같다.

\begin{cases} X = \cos \phi \cos (\lambda - \lambda_0) \\ Y = \cos \phi \sin (\lambda - \lambda_0) \\ Z = \sin \phi \end{cases}

여기서, (\cos \phi_0, 0, \sin \phi_0)\mapsto(1,0,0), (0,1,0)\mapsto (0,1,0)인 회전변환은 다음과 같다.

T = \begin{pmatrix} \cos \phi_0 & & \sin \phi_0 \\ & 1 \\ -\sin \phi_0 & & \cos \phi_0 \end{pmatrix}

이제 T \begin{pmatrix} X \\ Y \\ Z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} X' \\ Y' \\ Z' \end{pmatrix}라 하고, 종축 메르카토르 도법의 공식인 x=\mathrm{atan2} (Y,X), y=\frac{1}{2} \log \frac{1+Z}{1-Z}에 (X,Y,Z) 대신 (X', Y', Z')을 대입하면 위의 식이 얻어진다.

3. 회전 타원체의 도법

어떤 투영법으로 지도를 제작하든, 지도화할 지역의 범위가 양쪽 차원에서 수백 킬로미터를 초과할 경우, 지구를 모델링하기 위해 일반적으로 구를 선택한다. 더 작은 지역의 지도에 더 높은 정확도가 요구될 경우, 타원체 모델을 선택해야 한다.

3. 1. 이중 투영법

회전 타원체에서의 도법에는 여러 종류가 있다.

구에서의 도법을 이용, 회전 타원체를 등각사상으로 구에 옮긴 다음 구에서의 도법을 이용하는 이중 투영법과, 이를 개량하여 회전 타원체에서 표준 측지선을 따라 지도의 축척이 거의 정확한 새로운 사축 메르카토르 도법, 이를 더욱 개량하여 표준 측지선을 따라 지도의 축척이 완전히 정확한 도법 등이 있다.

3. 2. 사축 메르카토르 도법 (Hotine Oblique Mercator)

회전 타원체에서의 도법에는 여러 종류가 있다. 구에서의 도법을 이용하여 회전 타원체를 등각사상으로 구에 옮긴 다음 구에서의 도법을 이용하는 이중 투영법, 이를 개량하여 회전 타원체에서 표준 측지선을 따라 지도의 축척이 거의 정확한 새로운 사축 메르카토르 도법, 이를 더욱 개량하여 표준 측지선을 따라 지도의 축척이 완전히 정확한 도법 등이 있다.

표준 자오선과 적도를 빨간색으로 표시한 정규, 사위 및 횡 메르카토르 도법의 접선 및 할선 형태 비교


사위 메르카토르 도법은 표준(또는 ''정규'') 메르카토르 도법의 사위 양상이다. 이들은 동일한 기본적인 수학적 구성을 공유하며, 결과적으로 사위 메르카토르는 정규 메르카토르의 많은 특성을 상속받는다. 사위 메르카토르의 표준 대원은 원하는 대로 선택할 수 있으므로 지구상의 모든 곳에서 (좁은 폭의) 매우 정확한 지도를 작성하는 데 사용할 수 있다.

Hotine oblique Mercator (교정된 사교 정형 또는 'RSO' 투영법이라고도 함) 투영법은 개념적 접선의 측지선을 따라 거의 일정한 축척을 갖는다.[1] 1995년 Engels와 Grafarend는 Hotine의 연구를 확장하여 개념적 접선의 측지선이 실제 축척을 갖도록 했다.[2] Hotine oblique Mercator는 브루나이, 말레이시아, 싱가포르에서 사용되는 표준 지도 투영법이다.[3][4] 이 투영법은 1940년대 마틴 호틴에 의해 개발되었다.[5]

일본 국토지리원은 각종 자기 지도에 사축 메르카토르 도법을 채용하고 있다.[6]

스위스의 지형도는 베른의 구 천문대에서 자오선과 직교하는 대원을 기준선으로 하여 사축 메르카토르 도법으로 투영한다. 스위스의 평면 직교좌표계는 이 대원과 자오선을 좌표축으로 한다.[7]

미국 알래스카주에서는 남동쪽으로 가늘고 길게 뻗은 지역(Zone 5001, 주노, 시트카, 랭글 방면)에서의 대축척용 도법으로, 이 지역에 기준선을 일치시키는 형태로 사축 메르카토르 도법을 채용하고 있다.

인공위성 등에서 얻은 지표 정보를 표현하기 위한 도법으로 :en:Space-oblique Mercator projection라는 도법이 사용되는 경우가 있다. 이는 인공위성의 궤도(많은 저궤도 지구 관측 위성은 큰 궤도 경사각을 가진다)를 기준선으로 하는 메르카토르 도법에 지구 자전 분의 보정을 더한 것이다. 지구의 자전 때문에 인공위성 궤적의 지상 투영은 대원이 아니며, 따라서 정확한 의미의 메르카토르 도법은 아니지만, 메르카토르 도법의 계산식을 기반으로 정각성을 유지하도록 조정한 것이다.

3. 2. 1. 정각도법

두 지도 투영법은 모두 정각도법이므로 점 축척은 방향에 독립적이며 ''지역'' 형태가 잘 보존된다.[1] 두 도법 모두 접선(정규 메르카토르의 경우 적도, 횡 메르카토르의 경우 중앙 자오선)에서 일정한 축척을 가질 수 있다.[1] 타원체 형태의 경우, 사용 중인 여러 개발 방식은 접선(측지선)을 따라 일정한 축척을 갖지 않는다.[1]

3. 2. 2. 축척


  • 두 지도 투영법 모두 원통형이다. 정규 메르카토르의 경우 원통의 축은 극축과 일치하고 접선은 적도와 일치한다. 횡 메르카토르의 경우 원통의 축은 적도면에 있으며 접선은 선택된 자오선이며, 이로 인해 ''중앙 자오선''으로 지정된다.
  • 두 도법 모두 축척을 줄여 원통이 모형 지구를 관통하도록 하는 할선 형태로 수정할 수 있다.
  • 두 도법 모두 구형 및 타원체 버전으로 존재한다.
  • 두 도법 모두 정각도법이므로 점 축척은 방향에 독립적이며 ''지역'' 형태가 잘 보존된다.
  • 두 도법 모두 접선(정규 메르카토르의 경우 적도, 횡 메르카토르의 경우 중앙 자오선)에서 일정한 축척을 가질 수 있다. 타원체 형태의 경우, 사용 중인 여러 개발 방식은 접선(측지선)을 따라 일정한 축척을 갖지 않는다.

3. 3. RSO 투영법

RSO 투영법은 개념적 접선의 측지선을 따라 거의 일정한 축척을 갖는 Hotine oblique Mercator(교정된 사교 정형) 투영법이다.[1] 1995년 Engels와 Grafarend는 Hotine의 연구를 확장하여 개념적 접선의 측지선이 실제 축척을 갖도록 했다.[2] Hotine oblique Mercator 투영법은 브루나이, 말레이시아, 싱가포르에서 사용되는 표준 지도 투영법이다.[3][4] 이 투영법은 1940년대 마틴 호틴이 개발했다.[5]

4. 위성사진의 도법

공간 사축 메르카토르 도법은 위성사진을 위해 만들어진 도법이다. 우주 경사 메르카토르 도법은 인공위성 궤도의 시간적 변화를 통합하기 위해 경사 메르카토르 도법을 일반화한 것이다.

5. 적용 사례

일본에서는 국토지리원이 각종 지도에 사축 메르카토르 도법을 채용하고 있다.[6]

5. 1. 스위스

스위스의 지형도는 베른의 구 천문대에서 자오선과 직교하는 대원을 기준선으로 하여 사축 메르카토르 도법으로 투영한다.[7] 스위스의 평면 직교좌표계는 이 대원과 자오선을 좌표축으로 한다.[7]

5. 2. 미국 알래스카주

미국 알래스카주에서는 남동쪽으로 가늘고 길게 뻗은 지역(Zone 5001, 주노, 시트카, 랭글 방면)에서 대축척용 도법으로, 이 지역에 기준선을 일치시키는 형태로 사축 메르카토르 도법을 채용하고 있다.

5. 3. 인공위성 데이터

인공위성 등에서 얻은 지표 정보를 표현하기 위해 :en:Space-oblique Mercator projection라는 도법이 사용되는 경우가 있다. 이는 인공위성의 궤도(많은 저궤도 지구 관측 위성은 큰 궤도 경사각을 가짐)를 기준선으로 하는 메르카토르 도법에 지구 자전 분의 보정을 더한 것이다. 지구의 자전 때문에 인공위성 궤적의 지상 투영은 대원이 아니며, 따라서 정확한 의미의 메르카토르 도법은 아니지만, 메르카토르 도법의 계산식을 기반으로 정각성을 유지하도록 조정되었다.

참조

[1] 서적 Map projections—A Working Manual https://archive.org/[...] U.S. Government Printing Office
[2] 간행물 The oblique Mercator projection of the ellipsoid of revolution
[3] 간행물 Map projections used in S.E. Asia https://doi.org/10.1[...] 1990-09-01
[4] 간행물 The Hotine Rectified Skew Orthomorphic Projection (Oblique Mercator Projection) Revisited https://link.springe[...] Springer 2001
[5] 웹사이트 The Malaysian CRS Monster :: Mike Meredith https://mmeredith.ne[...] 2021-10-28
[6] 웹사이트 磁気図 https://www.gsi.go.j[...] 国土地理院 2022-03-14
[7] 문서 지구楕円体


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