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횡축 메르카토르 도법

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목차

1. 개요

횡축 메르카토르 도법은 1772년 요한 하인리히 람베르트에 의해 처음 고안되었으며, 이후 카를 프리드리히 가우스와 요한 하인리히 루이스 크뤼거에 의해 개량되었다. 이 도법은 정각성을 유지하며, 중앙 자오선을 따라 축척이 정확하다는 특징이 있어 대축척 지도 제작에 유용하다. 대한민국 1:50,000 지도와 UTM 좌표계에 적용되고 있으며, 정규 메르카토르 도법을 횡축으로 변환한 형태이다.

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횡축 메르카토르 도법
개요
종류도법
도법 종류원통 도법
도법정각 도법
개발요한 하인리히 람베르트 (1772년)
정의
설명횡축으로 메르카토르 도법을 적용한 도법이다. 지구 타원면에 대한 등각 사영이다.
특징중심 자오선 부근의 왜곡이 적어, 좁고 긴 지역의 지도를 제작하는 데 유용하다.
수학적 표현
변환 공식x = λ'
y = ln(tan(π/4 + φ'/2))
여기서 λ'와 φ'는 각각 보정된 경도와 위도이다.
보정된 경도 (λ')λ' = atan(cos φ sin(λ − λ0) / (cos φ0 sin φ − sin φ0 cos φ cos(λ − λ0)))
보정된 위도 (φ')φ' = asin(sin φ0 sin φ + cos φ0 cos φ cos(λ − λ0))
변수 설명λ는 경도,
φ는 위도,
λ0는 중심 자오선의 경도,
φ0는 도법의 원점의 위도이다.
특징 및 응용
장점중심 자오선 부근의 왜곡이 적고, 등각성을 유지한다.
단점중심 자오선에서 멀어질수록 왜곡이 커진다.
응용대한민국 GIS에서 UTM 좌표계의 도법으로 사용
국토지리정보원의 대한민국 기본도 제작에 사용
관련 좌표계
사용 좌표계UTM 좌표계
GRS80
참고
관련 항목메르카토르 도법
정사영 도법
횡축 평사도법

2. 역사

횡축 메르카토르 도법은 여러 단계를 거쳐 발전해왔다. 구체를 기준으로 한 도법은 1772년 요한 하인리히 람베르트가 처음 개발하였다.[1][2] 이후 1822년 카를 프리드리히 가우스는 회전 타원체에 적용할 수 있는 도법을 개발하였는데,[5] 이는 타원체를 구면에 등각사상으로 옮긴 뒤 구면 도법을 적용하는 방식이었다.[30] 1912년에는 요한 하인리히 루이스 크뤼거가 가우스의 연구를 바탕으로 중앙 경선에서의 축척이 정확한, 오늘날 널리 사용되는 형태의 횡축 메르카토르 도법(종종 '''가우스-크뤼거 도법'''으로도 불림)을 완성하였다.[6] 20세기 중반, 로렌스 패트릭 리는 크뤼거가 개발한 투영법의 정확한(폐쇄형) 버전을 보고하기도 했다.[8]

2. 1. 람베르트의 도법 개발 (1772년)

구(球)에서의 횡축 메르카토르 도법은 1772년 요한 하인리히 람베르트에 의해 개발되었다.[1][2] 이는 람베르트가 발표한 일곱 개의 새로운 투영법 중 하나였다. 람베르트는 이 투영법에 특별한 이름을 붙이지 않았으며, '횡축 메르카토르'라는 이름은 19세기 후반부터 사용되기 시작했다.[4] 람베르트의 원본 논문은 현대 영어로 번역되어 참고할 수 있다.[3] 람베르트가 개발한 것은 구체를 기준으로 한 도법이었다. 일반적으로 지도를 제작할 때 넓은 지역(양쪽 길이가 수백 킬로미터를 초과하는 경우)은 구체를 모델로 사용하지만, 더 높은 정확도가 필요한 좁은 지역은 타원체 모델을 선택하기도 한다.

2. 2. 가우스의 도법 개발 (1822년)

카를 프리드리히 가우스는 1822년에 횡축 메르카토르 도법의 타원체 형태를 개발했다.[5] 그는 구에서의 도법을 활용하여, 회전 타원체를 등각사상으로 구면에 옮긴 다음 다시 구면 도법을 적용하는 이중 투영법을 고안했다.[30] 이 방식은 이후 요한 하인리히 루이스 크뤼거가 1912년에 도법을 더욱 발전시키는 연구의 기초가 되었다.[6]

타원체 횡축 메르카토르 도법: 유한 투영법

2. 3. 크뤼거의 도법 개발 (1912년)

회전 타원체에서의 횡축 메르카토르 도법은 카를 프리드리히 가우스(Carl Friedrich Gauss)가 1822년에 처음 개발했다.[5] 가우스는 구에서의 도법을 활용하여 회전 타원체를 등각사상으로 구에 옮긴 뒤, 구에서의 도법을 적용하는 이중 투영법을 사용했다.[30]

1912년, 요한 하인리히 루이스 크뤼거(Johann Heinrich Louis Krüger)는 가우스의 도법을 개량하고 추가적인 분석을 진행했다.[6] 그는 회전 타원체에서 중앙 경선을 따라 지도의 축척이 정확한 새로운 횡축 메르카토르 도법을 개발했는데, 이 방식은 오늘날 널리 사용되고 있다. 특히 중앙 경선 주변의 좁은 경도대에서는 축척 변화가 매우 작아 정각성이 뛰어나므로, 대축척 지도 제작에 유용하게 쓰인다. 대한민국에서 사용되는 1:50,000 지도와 UTM 좌표계 역시 크뤼거가 개발한 횡축 메르카토르 도법을 기반으로 제작되었다.[30]

이 도법은 여러 이름으로 불리는데, 미국에서는 ''(타원체) 횡축 메르카토르 도법''으로, 유럽에서는 '''가우스 등각''' 또는 '''가우스-크뤼거'''로, 더 일반적으로는 '''가우스-크뤼거 횡축 메르카토르 도법'''으로 알려져 있다. 타원체 횡축 메르카토르 도법의 동의어 외에도, '''가우스-크뤼거'''라는 용어는 다른 약간 다른 방식으로 사용될 수 있다:

  • 때로는 횡축 메르카토르 도법에 대한 특정 계산 방법, 즉 위도/경도와 투영 좌표 간의 변환 방법을 지칭하는 데 사용된다. 지구를 타원체로 모델링할 때는 이 작업을 수행하는 간단한 폐쇄형 공식이 없지만, ''가우스-크뤼거'' 방법은 중앙 자오선에 충분히 가까운 경우(경도 100도 미만) 다른 방법과 동일한 결과를 제공한다. 더 멀리 떨어져 있으면 일부 방법의 정확도가 떨어진다.
  • 이 용어는 또한 독일, 터키, 오스트리아, 슬로베니아, 크로아티아, 보스니아 헤르체고비나, 세르비아, 몬테네그로, 북마케도니아, 핀란드 및 아르헨티나를 포함한 유럽과 남아메리카의 좁은 구역에서 사용되는 횡축 메르카토르 도법의 특정 집합을 지칭하는 데 사용된다. 이 ''가우스-크뤼거'' 시스템은 유니버설 횡축 메르카토르 도법 시스템과 유사하지만, 가우스-크뤼거 구역의 중앙 자오선은 UTM에서 6°와는 달리 3° 간격으로 떨어져 있다.


이 투영법은 중앙 자오선에서 일정한 축척을 가진 등각 투영이다. (구에서 타원체로의 횡축 메르카토르 도법의 다른 등각 일반화가 있지만, 중앙 자오선에서 일정한 축척을 가진 것은 가우스-크뤼거 도법뿐이다.) 20세기 동안 가우스-크뤼거 횡축 메르카토르 도법은 여러 국가(및 국제 기구)에서 채택되었으며[7], 유니버설 횡축 메르카토르 도법 일련의 투영법의 기초를 제공한다. 가우스-크뤼거 투영법은 현재 정확한 대규모 매핑에 가장 널리 사용되는 투영법이다.

가우스와 크뤼거가 개발한 투영법은 동서 방향으로 발산한다고 가정된 저차 멱급수로 표현되었으며, 이는 구형 버전과 정확히 일치한다. 이는 영국 지도 제작자 E. H. Thompson에 의해 거짓으로 입증되었으며, 그의 미발표된 투영법의 정확한(폐쇄형) 버전은 로렌스 패트릭 리(Laurence Patrick Lee)가 1976년에 보고한[8] 바에 따르면 타원체 투영법은 유한하다. 이는 횡축 메르카토르 도법의 구형 버전과 타원체 버전의 가장 두드러진 차이점이다: 가우스-크뤼거는 ''전체'' 타원체를 평면에 합리적으로 투영하며, 그 주요 응용 분야는 중앙 자오선에 "가까운" 정확한 대규모 매핑이다.

2. 4. 대한민국에서의 활용

대한민국에서는 카를 프리드리히 가우스가 개발하고 크뤼거가 개량한 횡축 메르카토르 도법을 활용하여 지도를 제작한다. 이 도법은 중앙 경선을 따라 축척이 정확하며, 중앙 경선 주변의 좁은 경도대에서는 축척 변화가 매우 작아 정각성이 뛰어나다. 이러한 장점 때문에 대축척지도 제작에 유용하게 쓰인다.

특히 대한민국에서 사용하는 1:50,000 축척의 지도와 UTM 좌표계는 크뤼거의 횡축 메르카토르 도법을 기반으로 제작되었다. 대한민국은 중앙 경선 부근에서 왜곡이 적은 이 도법의 특성을 활용하여 정밀한 지도를 제작하고, 지리 정보를 효율적으로 관리하고 있다.

3. 특징

횡축 메르카토르 도법은 메르카토르 도법을 90도 회전시킨 것과 같은 횡축 방향의 원통 도법이다. 따라서 기본적인 특성은 정규 메르카토르 도법과 유사하여 정각 도법에 해당한다. 즉, 지도 상의 각도가 실제 각도와 같아 아주 작은 지역의 형태가 실제와 같이 잘 보존된다는 장점이 있다.

이 도법의 핵심은 임의의 자오선을 '중앙 자오선'으로 선택할 수 있다는 점이다. 이 중앙 자오선은 지도 상에서 직선으로 그려지며, 이 선 위에서는 축척이 정확하다(접선 도법의 경우). 중앙 자오선에서 동서 방향으로 멀어질수록 거리나 면적의 왜곡은 점차 커지지만, 중앙 자오선 주변의 비교적 좁은 영역(남북 방향으로는 길어도 무방)에서는 왜곡이 매우 작다. 이러한 특성 덕분에 특정 지역, 특히 남북으로 길게 뻗은 지역의 대축척 지도를 매우 정확하게 제작하는 데 유용하게 사용된다.

횡축 메르카토르 도법은 지구를 이상적인 구체로 가정하는 구면 버전과, 실제 지구 모양에 더 가까운 회전 타원체 모델을 사용하는 타원체 버전으로 나뉜다. 일반적인 소축척 지도에서는 구면 모델을 사용하기도 하지만, 대한민국의 지형도 제작[30]이나 지리 정보 시스템(GIS)과 같이 높은 정밀도가 요구되는 경우에는 지구 타원체 모델을 기반으로 한 도법(대표적으로 가우스-크뤼거 도법)이 주로 사용된다. 특히 횡축 메르카토르 도법의 할선, 타원체 형태는 정확한 대축척 지도를 위한 투영법 중 전 세계적으로 가장 널리 채택되는 방식이다.

구면 횡축 메르카토르 도법은 1772년 요한 하인리히 람베르트에 의해 처음 고안되었으며,[1][2][3] 이후 카를 프리드리히 가우스와 요한 하인리히 루이스 크뤼거 등이 타원체에 적용 가능한 형태로 발전시켰다.[5][6]

3. 1. 정규 메르카토르 도법과의 비교

(y = ±π, 약 85° 위도에서 잘림)||center||250px]]
250px
중앙 자오선 투영직선 x = 0으로 투영된다.직선 x = 0으로 투영된다.기타 자오선 투영x값이 일정한 직선으로 투영된다.중앙 자오선에서 동서로 90° 떨어진 자오선은 투영된 극을 지나는 y값이 일정한 선으로 투영된다. 다른 모든 자오선은 복잡한 곡선으로 투영된다.적도 투영직선 y = 0으로 투영된다.직선 y = 0으로 투영된다.기타 위선 투영y값이 일정한 직선으로 투영된다.복잡한 닫힌 곡선으로 투영된다.자오선과 위선의 교차직각으로 교차한다.직각으로 교차한다.투영 범위y 방향(위도 방향)으로 무한하다. 극점은 무한대에 위치한다.x 방향(중앙 자오선 기준 동서 방향)으로 무한하다. 중앙 자오선에서 90° 떨어진 적도 상의 점은 무한대로 투영된다.등각성정각 도법이다. 작은 영역의 모양이 잘 보존된다.정각 도법이다. 작은 영역의 모양이 잘 보존된다.왜곡 및 용도y값이 커질수록(고위도로 갈수록) 왜곡이 증가한다. 세계 지도에는 부적합하다. 적도 부근에서는 왜곡이 작아 저위도 지역의 정밀 지도(특히 타원체 형태)에 적합하다.x값이 커질수록(중앙 자오선에서 멀어질수록) 왜곡이 증가한다. 세계 지도에는 부적합하다. 중앙 자오선 부근에서는 왜곡이 작아 남북으로 길고 동서로 좁은 지역의 정밀 지도(특히 타원체 형태)에 적합하다.면적 왜곡 예시그린란드가 아프리카만큼 크게 그려진다 (실제 면적은 아프리카의 약 1/14).그린란드와 아프리카가 모두 중앙 자오선 근처에 있다면, 모양이 비교적 정확하고 면적 비율도 실제와 유사하게 표현된다.점 축척 계수방향과 무관하며, y의 함수이다 (구면에서는 위도에만 의존). 축척은 적도에서 정확하다(1).방향과 무관하며, x의 함수이다 (구면에서는 위도와 경도 모두에 의존). 축척은 중앙 자오선에서 정확하다(1).축척 정확도 (접선 기준)적도에서 5° 떨어진 지점의 축척은 적도보다 약 0.4% 크고, 10° 떨어진 지점에서는 약 1.54% 크다.중앙 자오선에서 5° 떨어진 지점의 축척은 중앙 자오선보다 약 0.4% 크고, 10° 떨어진 지점에서는 약 1.54% 크다.할선 버전의 축척축척은 적도에서 감소하고(1보다 작음), 적도와 평행한 두 위선에서 정확하다(1).축척은 중앙 자오선에서 감소하고(1보다 작음), 중앙 자오선과 평행한 두 선(자오선 아님)에서 정확하다(1).수렴 (진북과 도북의 차이)항상 0이다. 즉, 격자 북쪽(도북)과 실제 북쪽(진북)이 일치한다.적도에서는 0이지만, 다른 곳에서는 0이 아니다. 극에 가까워질수록 증가한다. 즉, 격자 북쪽과 실제 북쪽이 일반적으로 일치하지 않는다.항정선 투영직선으로 투영된다.일반적으로 직선이 아니다.


3. 2. 가우스-크뤼거 도법

회전 타원체에서의 도법은 여러 종류가 있다. 카를 프리드리히 가우스는 처음에 구에서의 도법을 이용하여 회전 타원체를 등각사상으로 구에 옮긴 다음, 구에서의 도법을 이용하는 이중 투영법을 개발했다.[30] 요한 하인리히 루이스 크뤼거는 이를 개량하여 1912년에 회전 타원체에서 중앙 자오선을 따라 지도의 축척이 정확한 새로운 횡축 메르카토르 도법을 개발했으며 오늘날 널리 쓰이고 있다.[6] 이 도법은 카를 프리드리히 가우스가 1822년에 개발한 타원체 형태의 횡축 메르카토르 도법에 기반한다.[5]

이 투영법은 여러 이름으로 알려져 있는데, 유럽에서는 '''가우스 등각''' 또는 '''가우스-크뤼거'''로, 더 일반적으로는 '''가우스-크뤼거 횡축 메르카토르 도법'''으로 불린다. 미국에서는 주로 ''(타원체) 횡축 메르카토르 도법''이라고 한다.

'가우스-크뤼거'라는 용어는 다음과 같은 다른 의미로도 사용될 수 있다:

가우스-크뤼거 도법은 중앙 자오선에서 일정한 축척을 가지는 등각 투영이다. 중앙 자오선을 중심으로 하는 좁은 경도대에서는 축척의 증가가 매우 작기 때문에, 각도 관계가 정확하게 유지되는(정각성) 대축척 지도 제작에 유용하다. 대한민국에서 사용되는 1:50,000 지도와 UTM 좌표계는 이 크뤼거의 횡축 메르카토르 도법을 이용하여 제작되었다. 20세기 동안 여러 국가와 국제 기구에서 채택되었으며,[7] 유니버설 횡축 메르카토르 도법(UTM) 시스템의 기초를 제공했다. 현재 정확한 대규모 지도 제작에 가장 널리 사용되는 투영법 중 하나이다.

가우스와 크뤼거가 개발한 투영법은 동서 방향으로 발산한다고 가정한 저차 멱급수로 표현되었으나, 이는 영국 지도 제작자 E. H. Thompson에 의해 사실이 아님이 증명되었다. Thompson의 미발표된 정확한(폐쇄형) 버전은 로렌스 패트릭 리(Laurence Patrick Lee)가 1976년에 보고했으며,[8] 타원체 투영법이 실제로는 유한함을 보여준다. 이는 구면 횡축 메르카토르 도법과 타원체 버전의 가장 큰 차이점이다. 즉, 가우스-크뤼거 도법은 이론적으로 ''전체'' 타원체를 평면에 투영할 수 있지만, 실제 주요 응용 분야는 중앙 자오선에 "가까운" 지역의 정확한 대규모 지도 제작이다.

E.H. Thompson에 의한 정확한 해는 L.P. Lee에 의해 설명되었으며,[8] 이는 미국 국립표준기술연구소(NIST)[22] 핸드북에 정의된 타원 함수를 사용하여 구성된다. 이러한 정확한 해는 Maxima와 같은 대수적 계산 시스템을 사용하여 임의의 정확도로 계산할 수 있으며,[23] Karney (2011)에 의해 구현 방법이 설명되었다.[24][25] 정확한 해는 기존의 급수 전개 방식(예: Krüger–''n'' 급수, Redfearn 급수)의 정확성을 평가하는 데 유용하다. 예를 들어, 크뤼거의 1912년 ''n'' 급수는 중앙 자오선에서 1000km 이내에서는 정확한 값과 0.31μm 미만의 차이를 보이며 매우 정확하지만, Redfearn 급수는 경도 차이가 3도를 넘어가면 오차가 커진다. Karney의 8차 ''n'' 급수는 중앙 자오선에서 3900km 이내에서 5nm 수준의 높은 정확도를 가진다.

4. 수학적 표현

횡축 메르카토르 도법을 수학적으로 표현하는 방식은 지구를 어떤 모델로 가정하는지에 따라 달라진다. 지구를 완벽한 구면으로 가정하는 모델과, 실제 지구 모양에 더 가까운 회전 타원체 모델이 주로 사용된다. 각 모델에 따른 구체적인 좌표 변환 공식과 그 유도 과정은 하위 섹션에서 자세히 설명한다. 구면 모델은 공식이 비교적 간단하지만 실제 지형과의 오차가 있을 수 있고, 회전 타원체 모델은 계산이 더 복잡하지만 높은 정확도를 제공한다.

4. 1. 구면 모델 공식

대상 지점의 경도를 \lambda, 위도를 \phi, 기준 자오선의 경도를 \lambda_0라 하면 다음과 같이 쓸 수 있다.

x=\frac{1}{2} \log \frac{1+\cos {\phi} \sin ({\lambda-\lambda_0})}{1-\cos {\phi} \sin ({\lambda-\lambda_0})}, y=\mathrm{atan2}(\sin \phi, \cos \phi \cos (\lambda - \lambda_0))

횡축 메르카토르 도법의 격자선. 왼쪽은 구면에 접하는 횡축 원통과 기존 격자선의 관계를, 오른쪽은 횡축 원통과 관련된 회전된 격자선을 보여준다.


왼쪽 그림은 횡축 원통이 구의 기존 격자선과 어떻게 관련되어 있는지를 보여준다. 이 원통은 임의로 선택된 어떤 자오선(기준 경선)에 접하며, 그 축은 구의 축에 수직이다. 그림에 정의된 ''x''축과 ''y''축은 정규 메르카토르 도법에서와 마찬가지로 각각 적도와 중앙 자오선(기준 경선)에 해당한다. 오른쪽 그림에서 회전된 격자선은 정규 원통 도법의 격자선과 유사하게 횡축 원통과 관련된다. 회전된 격자선의 '적도', '극'(E와 W), '자오선'은 각각 기준 경선, 기준 경선에서 동서로 90도 떨어진 적도 상의 점들, 그리고 이 점들을 통과하는 대원(great circle)에 해당한다.

횡축 메르카토르 도법의 기하학. 점 P의 위치는 표준 격자선 (\phi, \lambda) 또는 회전된 격자선 (\phi', -\lambda')으로 나타낼 수 있다.


표준 격자선 위의 임의의 점 P(\phi, \lambda)의 위치는 회전된 격자선 상의 각도로도 표현할 수 있다. 여기서 \phi'(각 M′CP)는 유효 위도, -\lambda'(각 M′CO)는 유효 경도가 된다. (마이너스 부호는 (\phi', \lambda')가 회전된 격자선과 관련된 방식이 (\phi, \lambda)가 표준 격자선과 관련된 방식과 동일하도록 하기 위해 필요하다.) 데카르트 좌표 (x', y') 축은 (x, y) 축이 표준 격자선과 관련된 방식과 동일하게 회전된 격자선과 관련된다.

접선 횡축 메르카토르 도법은 접선 정규 메르카토르 도법의 변환 공식을 통해 유효 경도 -\lambda'와 유효 위도 \phi'를 사용하여 좌표 (x', y')를 정의한다. (여기서 ''a''는 구의 반지름이다.)

:x' = -a\lambda'\,\qquad

y' = \frac{a}{2}

\ln\left[\frac{1+\sin\varphi'}{1-\sin\varphi'}\right].



이 변환은 기준 경선을 유한한 길이의 직선으로 투영하고, 동시에 E와 W를 통과하는 대원(적도 포함)을 기준 경선에 수직인 무한 직선으로 투영한다. 실제 평행선과 자오선(적도와 기준 경선 제외)은 회전된 격자선과 간단한 관계가 없으며 복잡한 곡선으로 투영된다.

두 격자선 간의 각도 관계는 점 N(북극), M'(회전된 격자선의 기준점), P(임의의 점)를 꼭짓점으로 하는 구면 삼각형 NM'P에 구면 삼각법을 적용하여 유도할 수 있다. 그 결과는 다음과 같다.[28]

:

\begin{align}

\sin\varphi'&=\sin(\lambda-\lambda_0)\cos\varphi,\\

\tan\lambda'&=\sec(\lambda-\lambda_0)\tan\varphi.

\end{align}



(참고: 이후 공식에서는 계산의 편의를 위해 기준 경선 \lambda_0=0으로 가정하는 경우가 많다.)

직교 좌표(x, y)를 제공하는 직접 변환 공식은 위의 관계식과 정규 메르카토르 공식을 결합하여 유도된다. x = y' 및 y = -x' 로 설정하고, 축척 계수 k_0(접선 도법에서는 1)를 포함하면 다음과 같다. (여기서 \lambda는 편의상 \lambda-\lambda_0를 의미한다.)

:

\begin{align}

x(\lambda,\varphi)&= \frac{1}{2}k_0a

\ln\left[

\frac{1+\cos\varphi\sin\lambda}

{1-\cos\varphi\sin\lambda}\right],\\[5px]

y(\lambda,\varphi)&= k_0 a\arctan\left[\frac{\tan\varphi}{\cos\lambda}\right].

\end{align}



위 식은 람베르트[1]가 제시했으며, 스나이더,[26] 말링,[27] 오스본[28] 등에서도 찾아볼 수 있다.

위 식의 역변환 공식은 다음과 같다.

:

\begin{align}

\lambda(x,y)&

= \arctan\left[ \sinh\left(\frac{x}{k_0a}\right)

\sec\left(\frac{y}{k_0a}\right) \right],

\\[5px]

\varphi(x,y)&= \arcsin\left[ \mbox{sech}\;\left(\frac{x}{k_0a}\right)

\sin\left(\frac{y}{k_0a}\right) \right].

\end{align}


4. 2. 회전 타원체 모델 공식

E.H. Thompson이 제시한 정확한 해는 L.P. Lee에 의해 설명되었다.[8] 이 해는 NIST[22] 핸드북에 정의된 타원 함수를 이용하며, Maxima와 같은 대수적 계산 시스템을 사용하면 원하는 정확도로 계산할 수 있다.[23] 이러한 정확한 해를 구현하는 방법은 Karney (2011)가 설명하였다.[24][25]

정확한 해는 ''n''과 λ에 대한 멱급수 전개를 일정 항에서 잘라 근사하는 방식들의 정확성을 평가하는 데 유용하다. 예를 들어, 1912년에 발표된 크뤼거(Krüger)의 ''n'' 급수는 정확한 값과 잘 일치한다. 중앙 자오선에서 1000km 이내에서는 0.31μm 미만의 차이를 보이며, 6000km 거리까지도 1mm 미만의 차이를 보인다.

반면, NGA의 GEOTRANS에서 사용된 레드펀(Redfearn) 급수는 경도 차이가 3도 이내일 때만 정확한 해와 유사한 값을 보인다. 이는 적도에서는 중앙 자오선으로부터 약 334km, UTM 구역의 북쪽 경계에서는 약 35km에 해당하는 좁은 범위이다. 따라서 크뤼거-''n'' 급수가 레드펀의 λ 급수보다 훨씬 더 우수하다.

레드펀 급수는 적용 범위가 넓어질수록 정확도가 크게 떨어진다. Karney는 그린란드를 예로 들어 이를 설명한다. 그린란드는 서경 42도를 중심으로 길고 좁게 뻗어 있어 가장 넓은 지점도 중앙 자오선에서 750km를 넘지 않지만, 남북으로 경도 차이는 거의 50도에 달한다. 이 경우 크뤼거-''n'' 급수는 1mm 이내의 정확도를 유지하지만, 레드펀 방식의 크뤼거-λ 급수는 최대 1km의 오차를 보일 수 있다.

Karney가 개발한 8차 ''n'' 급수는 중앙 자오선에서 3900km 범위 내에서 5nm 수준의 매우 높은 정확도를 가진다.

5. 활용

요한 하인리히 람베르트가 1772년에 고안한 이 도법은 남북으로 긴 지역의 소축척지도 제작에 적합하다. 횡축법으로 투영하여 경선을 등장선으로 삼을 수 있기 때문이다. 이후 카를 프리드리히 가우스는 구에서의 도법을 활용한 이중 투영법을 개발했고,[30] 크뤼거는 이를 개량하여 회전 타원체에서 중앙 자오선을 따라 축척이 정확한 횡축 메르카토르 도법을 개발했다.

크뤼거가 개발한 도법은 중앙 자오선 중심의 좁은 경도대에서 축척 변화가 매우 작아 정각성이 뛰어나므로, 대축척 지형도 제작에 유용하게 쓰인다. 대한민국에서 사용하는 1:50,000 지도와 UTM 좌표계는 이 크뤼거의 횡축 메르카토르 도법을 이용하여 제작되었다.

대축척 지형도나 지리 정보 시스템과 같이 정밀도가 중요한 경우에는 지구를 회전 타원체로 간주하여 도법을 적용한다. 타원체면을 구면에 정각 투영한 뒤 횡 메르카토르 도법을 적용하는 방법(가우스 정각 이중 투영법)과, 기준 자오선의 자오선 호 길이를 유지하며 정각성을 만족시키는 가우스-크뤼거 도법이 있으며, 현재는 후자가 주로 사용된다.

중축척의 지형도 제작에는 전 세계를 경도 6 도 간격으로 나누어 투영하는 유니버설 횡 메르카토르 도법(UTM 도법)이 널리 사용된다.

위 그림처럼 지구 형상(구 또는 타원체)에 따라 투영 결과가 달라진다. 엄밀히 말해 유한한 편평률을 가진 실제 지구에 완벽하게 적용되는 횡 메르카토르 도법은 없으며, 이론적으로는 진구인 가상 천체에만 적용 가능하다. 그러나 실제 지도 제작에서는 가우스-크뤼거 도법처럼 타원체를 고려한 방식이 정밀도를 위해 널리 사용된다.

5. 1. 좌표계 및 격자

횡축 메르카토르 도법에서 사용하는 좌표계는 직교 좌표계이다. 이 도법의 다양한 전개에서 얻어지는 투영 좌표는 중심 자오선이 ''x''축에 해당하고 적도가 ''y''축에 해당하는 직교 좌표이다. 이 ''x''와 ''y'' 좌표는 모든 경도(''λ'') 및 위도(''ϕ'') 값에 대해 정의된다.

투영법 자체는 격자(Grid)를 정의하지 않는다. 격자는 투영법과는 별개로 임의로 정의할 수 있는 독립적인 구조이다. 하지만 실제로 국가별 좌표계 구현이나 UTM에서는 투영법의 직교 좌표축에 맞춰진 격자를 사용한다. 이러한 격자는 일반적으로 유한한 범위를 가지며, 격자의 원점이 반드시 중심 자오선과 적도의 교차점과 일치하지 않을 수도 있다.

격자의 진정한 격자 원점은 항상 중심 자오선 위에 위치한다. 이 때문에 중심 자오선의 서쪽에 위치한 지점들의 격자 좌표는 ''x''값이 음수가 된다. 이러한 음수 격자 좌표 사용의 불편함을 피하기 위해, 표준적인 관례에서는 격자 원점의 서쪽(그리고 필요에 따라 북쪽 또는 남쪽)에 허위 원점(''False Origin'')을 정의한다.

허위 원점을 기준으로 정의된 좌표는 항상 양수 값을 가지며, 이를 각각 이스팅(''Easting'', 동쪽 좌표값)과 노딩(''Northing'', 북쪽 좌표값)이라고 부른다.

격자의 진정한 원점이 중심 자오선 상의 위도 ''φ''0에 있고, 중심 자오선의 축척 계수가 ''k''0일 때, 특정 지점(''λ'', ''φ'')의 이스팅(E)과 노딩(N)은 다음과 같이 주어진다.

:

\begin{align}

E&=E_0+x(\lambda,\varphi),\\[5px]

N&=N_0+y(\lambda,\varphi)-k_0 m(\varphi_0).

\end{align}



여기서 ''x''(''λ'', ''φ'')와 ''y''(''λ'', ''φ'')는 해당 지점의 투영 좌표이며, ''m''(''φ''0)는 위도 ''φ''0까지의 자오선 호 길이를 나타낸다.

주의할 점은 "이스팅"과 "노딩"이라는 용어가 엄격하게 실제 동쪽 및 북쪽 방향을 의미하지 않는다는 것이다. 횡축 메르카토르 도법의 격자선은 ''x''축(중심 자오선)과 ''y''축(적도)을 제외하고는, 위도선과 경도선으로 정의되는 진정한 동서 또는 남북 방향과 일치하지 않는다. 이는 전 지구를 투영한 지도에서 명확하게 확인할 수 있다. 중심 자오선 근처에서는 그 차이가 작지만, 멀어질수록 측정 가능한 차이가 발생한다.

수렴각. 격자 북쪽(Grid North)과 진북(True North)의 차이를 보여준다.


격자선의 북쪽 방향(Grid North)과 진정한 진북(True North) 사이의 각도 차이를 수렴각(''γ'', Convergence Angle)이라고 한다.[28] 투영면 상의 한 지점에서 수렴각 ''γ''는 진북을 정의하는 투영된 자오선으로부터 격자 북쪽을 정의하는 일정 ''x''값의 격자선까지 측정한 각도이다. 수렴각은 지리 좌표(''λ'', ''φ'') 또는 투영 좌표(''x'', ''y'')로 다음과 같이 표현될 수 있다.

:

\begin{align}

\gamma(\lambda,\varphi)&=\arctan(\tan\lambda\sin\varphi),\\[5px]

\gamma(x,y)&=\arctan\left(\tanh\frac{x}{k_0a}\tan\frac{y}{k_0a}\right).

\end{align}



수렴각 ''γ''는 적도의 북쪽이면서 중심 자오선의 동쪽 사분면, 그리고 적도의 남쪽이면서 중심 자오선의 서쪽 사분면에서 양수 값을 가진다. 따라서 진북을 기준으로 하는 방위각을 얻기 위해서는 격자 방위각에 수렴각을 더해야 한다.

6. 한계

횡축 메르카토르 도법은 중앙 자오선 근처에서는 왜곡이 적어 지구본과 유사한 형태를 보이지만, 중앙 자오선에서 동쪽 또는 서쪽으로 멀어질수록 왜곡이 점차 증가한다.[30] 예를 들어, 남아메리카 대륙처럼 넓은 지역을 하나의 도법으로 표현할 경우 형태 왜곡이 심하게 나타난다. 반면, 실론 섬처럼 면적이 비교적 작은 지역은 중심 자오선에서 멀리 떨어져 있어도 형태가 비교적 잘 유지된다.

이러한 왜곡 문제로 인해 횡축 메르카토르 도법은 지구 전체와 같은 매우 넓은 지역을 하나의 지도로 나타내는 데는 적합하지 않다. 지구 전체를 이 도법으로 표현하면 특히 극지방 부근과 중심 자오선에서 멀리 떨어진 지역의 왜곡이 극심해진다.

따라서 실제 지도 제작에서는 이러한 한계를 극복하기 위해 지구 전체를 경도 6도 간격과 같이 여러 개의 좁은 영역으로 나누어 각 영역마다 별도의 횡축 메르카토르 도법을 적용하는 방식을 사용한다. UTM 좌표계(Universal Transverse Mercator)나 가우스-크뤼거 좌표계가 대표적인 예시이며, 이러한 방식은 각 영역의 중심 자오선 부근에서 발생하는 왜곡을 최소화하여 정밀한 대축척 지도 제작을 가능하게 한다. 대한민국의 1:50,000 지형도 역시 가우스-크뤼거 도법을 기반으로 제작되었다.[30]

또한, 횡축 메르카토르 도법은 이론적으로 지구를 완전한 구(진구)로 가정하고 설계된 도법이다. 엄밀히 말해, 실제 지구처럼 유한한 편평률을 가진 회전 타원체에는 모든 축척에서 완벽하게 적용되지 않으며, 이론적으로는 완전한 구 형태의 가상 천체에만 적용 가능하다. 따라서 정밀한 지도 제작 시에는 지구를 회전 타원체로 고려한 가우스-크뤼거 도법 등이 사용된다.

참조

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[3] 웹사이트 Notes and Comments on the Composition of Terrestrial and Celestial Maps http://store.esri.co[...] University of Michigan Press 1972
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[24] 학술지 Transverse Mercator with an accuracy of a few nanometers https://link.springe[...]
[25] 웹사이트 Transverse Mercator Projection - preprint of paper and C++ implementation of algorithms https://geographicli[...]
[26] 서적 Map Projections—A Working Manual. U.S. Geological Survey Professional Paper 1395 United States Government Printing Office, Washington, D.C.
[27] 서적 Coordinate Systems and Map Projections Pergamon Press
[28] 웹사이트 The Mercator Projections https://web.archive.[...]
[29] 문서 "なお、メルカトル図法そのものは[[光源]]による'''心射円筒図法'''のような投射図法ではなく計算によって求められる。"
[30] URL http://rmit.academia[...]


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