세타 표현

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 바일 표현과의 동형 사상
- 3.2. 이산 부분군과 야코비 세타 함수
4. 역사
참조

1. 개요

세타 표현은 복소 힐베르트 공간에서 정의되는 하이젠베르크 군의 표현으로, 데이비드 멈퍼드에 의해 1983년에 도입되었다. 이 표현은 임의의 복소수 τ에 대해 정의되며, 연산자 S와 T를 사용하여 정의된다. 세타 표현은 하이젠베르크 군의 기약 표현이며, 바일 표현과 유니터리 동치 관계를 갖는다. 또한, 세타 표현은 야코비 세타 함수와 밀접한 관련이 있으며, 이산 부분군에 대한 불변 함수를 제공한다.

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세타 표현
일반 정보
학문 분야	수학
하위 분야	표현론
관련 주제	모듈러 형식, 힐베르트 공간, 조화 해석, 리 군, 대수군
정의
정의	군의 표현을 세타 함수 또는 세타 인자로 나타내는 것
관련 개념	세타 함수 세타 인자
역사
창시자	데이비드 멈퍼드
주요 공헌자	준 마사미치 브루노 스코델라로 게르트-얀 판 데르 헤이던

2. 정의

임의의 양의 실수 $t \in \mathbb R^+$ 에 대하여, 복소평면 위에 다음과 같은 측도를 정의한다.

: $\mathrm d^2\mu_t(z) = \exp\left(-2\pi t^{-1}(\operatorname{Im}z)^2\right)\, \mathrm d^2z$

이 측도에 대하여, 다음과 같은 내적을 정의할 수 있다.

: $\langle f|g\rangle = \int_{\mathbb C}\mathrm d^2\mu(z)\, \bar f(\bar z)g(z)$

이 내적에 대한 노름이 유한한 정칙 함수들의 복소수 힐베르트 공간을 $\mathcal H_t$ 라고 한다.

임의의 $\tau \in \mathbb H = \mathbb R^+ + \mathrm i\mathbb R$ 에 대하여, $\mathcal H_{\operatorname{Im}\tau}$ 위에 연산자들을 정의하고,^[1] 이 연산자들은 하이젠베르크 군의 표현을 구성한다. $G_\tau = \{S_a T_b C_c\colon a,b,c\in\mathbb R\}$ 는 군을 이루며, 다음과 같은 관계를 갖는다.

: $S_a T_b C_c S_{a'} T_{b'} C_{c'} = S_{a+a'} T_{b+b'} C_{a'b+c+c'}$

이 군은 $\mathbb S^1 \times \mathbb R \times \mathbb R$ 와 미분 동형이며, 그 범피복군은 하이젠베르크 군 $\operatorname{Heis}(3;\mathbb R)$ 이다. 즉, 이는 $\mathcal H_{\operatorname{Im}\tau}$ 위에 정의된 하이젠베르크 군의 표현이며, 이를 '''세타 표현'''이라고 한다.

세타 표현은 실수체 $H_3(\R)$ 위의 연속 하이젠베르크 군의 표현이며, 이 표현에서 군 요소는 특정 힐베르트 공간에 작용한다.

2. 1. 연산자 정의

''f''(''z'')를 정칙 함수라고 하고, ''a''와 ''b''를 실수,

\tau

를 상반 평면에 있는 임의의 고정된 복소수, 즉

\tau

의 허수 부분이 양수인 복소수라고 하자. 정칙 함수에 작용하는 연산자 ''S_a''와 ''T_b''는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

(S_a f)(z) = f(z+a)= \exp (a \partial_z)f(z)

:

(T_b f)(z) = \exp (i\pi b^2 \tau +2\pi ibz) f(z+b\tau)= \exp( i\pi b^2 \tau + 2\pi i bz + b \tau \partial_z) f(z).

각 연산자는 1-매개변수 부분군을 생성한다.

:

S_{a_1} \left (S_{a_2} f \right ) = \left (S_{a_1} \circ S_{a_2} \right ) f = S_{a_1+a_2} f

:

T_{b_1} \left (T_{b_2} f \right ) = \left (T_{b_1} \circ T_{b_2} \right ) f = T_{b_1+b_2} f.

그러나 ''S''와 ''T''는 교환되지 않는다.

:

S_a \circ T_b = \exp (2\pi iab) T_b \circ S_a.

따라서 ''S''와 ''T''는 유니타리 연산자 위상과 함께 nilpotent 리 군을 형성하며, 이는

H=U(1)\times\R\times\R

로 매개변수화될 수 있다. 여기서 ''U''(1)은 유니타리 군이다.

2. 2. 힐베르트 공간

주어진

\tau

에 대해, 유한 노름을 갖는 전해석 함수들의 집합

\mathcal{H}_\tau

는 힐베르트 공간을 이룬다. 노름은 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

\Vert f \Vert_\tau ^2 = \int_{\mathbb C} \exp \left( \frac {-2\pi y^2} {\Im \tau} \right) |f(x+iy)|^2 \ dx \ dy.

여기서

\Im \tau

는

\tau

의 허수 부분이며, 적분 영역은 전체 복소평면이다.

\mathcal{H}_\tau

는 이 노름에 대해 힐베르트 공간을 형성한다. 아래첨자

\tau

는 공간이 매개변수

\tau

의 선택에 의존한다는 것을 나타낸다.

U_\tau(\lambda, a, b)

의 작용은 이 공간에서 유니타리이며 기약적이다. 즉,

U_\tau(\lambda, a, b)

는 이 공간에서 노름을 보존한다.

2. 3. 군의 표현

일반적인 군 원소

U_\tau(\lambda,a,b) \in H

는 정칙 함수 ''f''(''z'')에 다음과 같이 작용한다.^[1]

:

U_\tau(\lambda,a,b) f(z)=\lambda (S_a \circ T_b f)(z) = \lambda \exp (i\pi b^2 \tau +2\pi ibz) f(z+a+b\tau)

여기서

\lambda \in U(1)

는 유니타리 군이다.

U(1) = Z(H)

는 ''H''의 중심이며, 교환자 부분군

[H, H]

이다.

3. 성질

세타 표현은 임의의 $\tau\in\mathbb R+\mathrm i\mathbb R^+$ 값에 대해 하이젠베르크 군의 기약 표현이며, 항상 바일 표현과 유니터리 동치이다.^[1] 세타 표현은 실수체 $H_3(\mathbb R)$ 위의 연속 하이젠베르크 군의 표현으로, 군 요소는 특정 힐베르트 공간에 작용한다.

$\Gamma_\tau = \{S_a T_b \colon a, b\in \mathbb Z\} \le G_\tau$ 는 $S_1$ 과 $T_1$ 으로 생성되는 2차 자유 아벨 군이다.

: $\Gamma_\tau \cong \mathbb Z\oplus\mathbb Z$

이는 다음과 같은 가환 그림을 갖는다.

: $\begin{matrix}\Gamma_\tau & \to & G_\tau \\\downarrow & & \downarrow \\\operatorname{Heis}(3;\mathbb Z)&\to&\operatorname{Heis}(3;\mathbb R)\end{matrix}$

$\Gamma_\tau$ 의 작용의 고정점은 1차원 복소수 벡터 공간이며, 그 기저는 야코비 세타 함수 $\vartheta(z;\tau)$ 이다.

3. 1. 바일 표현과의 동형 사상

세타 표현은 하이젠베르크 군의 정규 바일 표현과 동형이다.

L^2(\R)

에 작용하는 바일 표현 ρ_h는 다음과 같다.

:

\rho_h(M(a,b,c)) \psi(x)= \exp (ibx+ihc) \psi(x+ha)

여기서

x\in\R

이고

\psi\in L^2(\R)

이며, h는 플랑크 상수이다.

세타 표현과의 대응 관계는 다음과 같다.

:

M(a,0,0) \to S_{ah}

:

M(0,b,0) \to T_{b/2\pi}

:

M(0,0,c) \to e^{ihc}

3. 2. 이산 부분군과 야코비 세타 함수

부분군

\Gamma_\tau = \{ U_\tau(1,a,b) \in H_\tau : a,b \in \Z \}

는 야코비 세타 함수를 불변으로 만든다.^[1] 야코비 세타 함수는 다음과 같이 정의된다.^[1]

:

\vartheta(z; \tau) = \sum_{n=-\infty}^\infty \exp (\pi i n^2 \tau + 2 \pi i n z).

이것은

\Gamma_\tau

에 대해 불변인 ''z''의 전해석 함수이다.^[1] 이는 세타 함수의 다음과 같은 성질에서 기인한다.^[1]

:

\vartheta(z+1; \tau) = \vartheta(z; \tau)

:

\vartheta(z+a+b\tau;\tau) = \exp(-\pi i b^2 \tau -2 \pi i b z)\vartheta(z;\tau)

(단, ''a''와 ''b''는 정수)

야코비 세타 함수가 유일한 그러한 함수라는 것을 보일 수 있다.^[1]

4. 역사

데이비드 멈퍼드가 1983년에 도입하였다.^[1]

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