스미스 차트

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1. 개요
2. 수학적 기초
3. 분산 소자를 이용한 켤레 정합 문제 해결
4. 집중 소자 회로 분석
5. 3D 스미스 차트
참조

1. 개요

스미스 차트는 전송선 이론을 기반으로 하여 특정 주파수에서 전송선의 임피던스 및 반사 계수를 시각적으로 나타내는 도구이다. 정규화된 임피던스, 반사 계수, 전압, 전류 등의 관계를 통해 회로의 특성을 분석하며, 분산 소자를 이용한 켤레 정합 문제 해결 및 집중 소자 회로 분석에 활용된다. 2차원 평면 외에도 3차원 형태로 확장되어 다양한 회로 설계에 사용될 수 있다.

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스미스 차트

2. 수학적 기초

스미스 차트는 2차원 복소수 평면에서 전기 임피던스(Z)를 나타내는 도구이다. 기준 임피던스( $Z_0$ )로 정규화된 임피던스( $z = \frac{Z}{Z_0}$ )를 사용하며, 정규화된 임피던스와 반사 계수 ( $\Gamma$ ) 사이의 관계는 다음과 같다.

: $\Gamma = \frac{Z - Z_0}{Z + Z_0} = \frac{z - 1}{z + 1},$

스미스 차트는 정규화된 임피던스를 복소 반사 계수 평면에 나타낸 아르간 도표이다. 저항 성분이 음수가 아닌 임피던스는 반지름이 1인 원 안에 표시되며, 원점은 기준 임피던스 $Z_0$ 에 해당한다.

복소 반사 계수 평면에 그려지는 스미스 차트는 정규화된 임피던스, 정규화된 어드미턴스, 또는 둘 다를 나타낼 수 있으며, 각각 Z, Y, YZ 스미스 차트로 불린다.^[13] 가장 일반적인 정규화 임피던스는 50 옴이다.

스미스 차트 둘레에는 파장과 도 눈금이 있다. 파장 눈금은 분산 요소 모델 문제에서 전송 선로를 따라 측정한 거리를, 각도 눈금은 전압 반사 계수의 각도를 나타낸다.

스미스 차트를 사용하고 해석하려면 교류 회로 이론과 전송선로 이론에 대한 이해가 필요하다. 임피던스와 어드미턴스는 주파수에 따라 변하므로, 스미스 차트를 이용한 문제는 한 번에 하나의 주파수에서만 수동으로 해결할 수 있다.

2. 1. 실제 임피던스, 어드미턴스 및 정규화

스미스 차트에서는 실제 임피던스와 어드미턴스를 사용하기 전에 정규화 과정을 거친다. 실제 임피던스(

Z_\text{T}\,

)를 특성 임피던스(

Z_0\,

)로 나누어 정규화된 임피던스(

z_\text{T}\,

)를 얻는다.

:

z_\text{T} = \frac{Z_\text{T}}{Z_0}\,

마찬가지로, 실제 어드미턴스(

Y_\text{T}\,

)를 특성 어드미턴스(

Y_0\,

)로 나누어 정규화된 어드미턴스(

y_\text{T}\,

)를 얻는다.

:

y_\text{T} = \frac{Y_\text{T}}{Y_0}\,

이때 특성 임피던스와 특성 어드미턴스는 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

Y_0 = \frac{1}{Z_0}\,

전기 임피던스의 국제 단위계(SI 단위)는 옴(Ω)이며, 어드미턴스의 SI 단위는 지멘스 (단위)(S)이다. 정규화된 임피던스와 정규화된 어드미턴스는 무차원량이다. 스미스 차트를 통해 얻은 결과는 다시 비정규화하여 실제 임피던스나 어드미턴스 값을 구할 수 있다.^[13]

2. 2. 정규화된 임피던스 스미스 차트

스미스 차트는 2차원 복소 평면에 임피던스를 나타내는 도구이다. 전송선로 이론에 따르면, 전송선이 특성 임피던스와 다른 임피던스로 종단되면, 입사파와 반사파가 합성되어 정재파가 형성된다. 이때 복소 반사 계수(Γ)는 다음과 같이 정의된다.

:

\Gamma = \frac{Z - Z_0}{Z + Z_0} = \frac{z - 1}{z + 1},

여기서 Z는 임피던스, Z₀는 특성 임피던스, z는 정규화된 임피던스(z = Z/Z₀)이다.

정규화된 임피던스 스미스 차트는 복소 반사 계수 평면에 여러 원들을 그려 구성한다. 이 원들은 저항 성분이 비음수인 임피던스를 나타내며, 반지름이 1인 원 안에 그려진다. 원점은 특성 임피던스 Z₀에 해당한다.

스미스 차트는 복소수 반사 계수 평면에 그려지며, 정규화된 전기 임피던스, 정규화된 어드미턴스 또는 둘 다를 나타낼 수 있다. 이를 각각 Z, Y, YZ 스미스 차트라고 부른다.^[13] 정규화된 스케일링을 사용하면, 스미스 차트는 특성 임피던스 또는 시스템 임피던스와 관련된 문제에 사용할 수 있다. 가장 일반적인 정규화 임피던스는 50 옴이다.

스미스 차트의 원주에는 파장과 도 눈금이 있다. 파장 눈금은 분산 요소 모델 문제에 사용되며, 신호 발생기 또는 소스와 측정 지점 사이에 연결된 전송 선을 따라 측정한 거리를 나타낸다. 각도 눈금은 해당 지점에서의 전압 반사 계수 각도를 나타낸다.

스미스 차트를 사용하려면 교류 회로 이론과 전송선 이론에 대한 이해가 필요하다. 임피던스와 어드미턴스는 주파수에 따라 변하므로, 스미스 차트를 이용한 문제는 한 번에 하나의 주파수로만 해결할 수 있다.

2. 2. 1. 선로 상의 위치에 따른 복소 반사 계수의 변화

전송 선로 상에서 위치에 따라 복소 반사 계수는 변화한다. 균일한 전송 선로에서 정재파의 복소 반사 계수는 선로의 위치에 따라 달라지는데, 선로에 손실이 있는 경우에는 스미스 차트에서 나선 경로로 표시된다.^[13] 대부분의 스미스 차트 문제에서는 손실을 무시할 수 있다고 가정(

\alpha = 0\,

)하여 문제를 단순화한다.

손실이 없는 경우, 복소 반사 계수는 다음과 같이 표현된다.^[13]

:

\Gamma = \Gamma_\text{L} \exp(-2 j \beta \ell)\,

여기서

\Gamma_\text{L}\,

는 부하에서의 반사 계수,

\ell\,

는 반사 계수가 측정되는 위치에서 부하까지의 선로 길이,

\beta\,

는 위상 상수이다. 위상 상수

\beta\,

는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\beta = \frac{2 \pi}{\lambda}\,

여기서

\lambda\,

는 테스트 주파수에서 전송 선로 내의 파장이다. 따라서 복소 반사 계수는 다음과 같이 표현된다.

:

\Gamma = \Gamma_\text{L} \exp\left(\frac{-4 j \pi}{\lambda}\ell\right)\,

이 방정식은 정재파의 경우 복소 반사 계수와 임피던스가 전송 선로를 따라 반 파장마다 반복됨을 보여준다. 복소 반사 계수는 일반적으로 반사 계수라고 하며, 스미스 차트의 외부 원주 눈금은 파장으로 스케일링된 발전기에서 부하까지의 거리를 나타내며 0에서 0.50까지 표시된다.^[13]

2. 2. 2. 선로 상의 위치에 따른 정규화된 임피던스의 변화

특성 임피던스가

Z_0\,

인 전송 선로는

Y_0\,

의 특성 어드미턴스를 가지며, 다음 관계를 갖는다.

:

Y_0 = \frac{1}{Z_0}\,

옴(Ω) 단위로 표현되는 임피던스

Z_\text{T}\,

는 특성 임피던스로 나누어 정규화할 수 있다. 정규화된 임피던스는 소문자 ''z''_T를 사용하여 다음과 같이 표현된다.

:

z_\text{T} = \frac{Z_\text{T}}{Z_0}\,

정규화된 어드미턴스도 마찬가지로 다음과 같이 표현된다.

:

y_\text{T} = \frac{Y_\text{T}}{Y_0}\,

전기 임피던스의 국제 단위계(SI 단위)는 옴(Ω)이며, 어드미턴스의 SI 단위는 지멘스 (단위)(S)이다. 정규화된 임피던스와 어드미턴스는 무차원량이다. 실제 임피던스와 어드미턴스는 스미스 차트에서 사용하기 전에 정규화해야 하며, 결과를 얻은 후에는 비정규화하여 실제 결과를 얻을 수 있다.

전송선 이론에 따르면, 전송선이 고유 임피던스(

Z_0\,

)와 다른 임피던스(

Z_\text{T}\,

)로 종단되면, 입사파(순방향파,

V_\text{F}\,

)와 반사파(역방향파,

V_\text{R}\,

)의 합성으로 이루어진 정재파가 선로에 형성된다. 복소수 지수 함수 표기를 사용하면 다음과 같다.

:

V_\text{F} = A \exp(j \omega t)\exp(+\gamma \ell)\,

:

V_\text{R} = B \exp(j \omega t)\exp(-\gamma \ell)\,

여기서,

$\exp(j \omega t)\,$ 는 파동의 시간 부분
$\exp(\pm\gamma \ell)\,$ 는 파동의 공간 부분
$\omega = 2 \pi f\,$
$\omega\,$ 는 각주파수(rad/s)
$f\,$ 는 주파수(Hz)
$t\,$ 는 시간(s)
$A\,$ 와 $B\,$ 는 상수
$\ell\,$ 는 부하에서 발전기 방향으로 전송선을 따라 측정한 거리(m)
$\gamma = \alpha + j \beta\,$ 는 전파 정수(rad/m)
$\alpha\,$ 는 감쇠 정수(Np/m)
$\beta\,$ 는 위상 정수(rad/m)

스미스 차트는 한 번에 하나의 주파수(

\omega

)와 한 번에 한 순간(

t

)에만 사용되므로, 위상의 시간 부분(

\exp(j \omega t)\,

)은 고정된다. 모든 항은 이것에 곱해져 순시 위상을 얻지만, 이를 생략하는 것이 일반적이다. 따라서,

:

V_\text{F} = A \exp(+\gamma \ell)\,

:

V_\text{R} = B \exp(-\gamma \ell)\,

여기서

A\,

와

B\,

는 각각 부하에서의 순방향 및 역방향 전압 진폭이다.

무손실 전송 선로의 길이 $\ell\,$ 을 통해 부하를 바라볼 때, 임피던스는 $\ell\,$ 이 증가함에 따라 파란색 원을 따라 변화한다. 임피던스 스미스 차트 내부에 중심을 둔 파란색 원은 ''SWR 원'' (정재파비의 약자)이라고 불린다.

복소 전압 반사 계수

\Gamma\,

는 반사파와 입사파의 비율로 정의된다.

:

\Gamma = \frac{V_\text{R}}{V_\text{F}} = \frac{B \exp(-\gamma \ell)}{A \exp(+\gamma \ell)} = C \exp(-2 \gamma \ell)\,

여기서 C는 상수이다.

균일한 전송 선로(

\gamma\,

가 상수)의 경우, 정재파의 복소 반사 계수는 선로의 위치에 따라 달라진다. 선로가 손실이 있는 경우(

\alpha\,

가 0이 아닌 경우), 이는 스미스 차트에서 나선 경로로 표시된다. 그러나 대부분의 스미스 차트 문제에서는 손실을 무시(

\alpha = 0\,

)하여 문제를 단순화한다. 손실이 없는 경우, 복소 반사 계수는 다음과 같다.

:

\Gamma = \Gamma_\text{L} \exp(-2 j \beta \ell)\,

여기서

\Gamma_\text{L}\,

는 부하에서의 반사 계수이고,

\ell\,

는 반사 계수가 측정되는 위치에서 부하까지의 선로 길이이다. 위상 상수

\beta\,

는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\beta = \frac{2 \pi}{\lambda}\,

여기서

\lambda\,

는 테스트 주파수에서 전송 선로 내의 파장이다.

따라서,

:

\Gamma = \Gamma_\text{L} \exp\left(\frac{-4 j \pi}{\lambda}\ell\right)\,

이 방정식은 정재파의 경우, 복소 반사 계수와 임피던스가 전송 선로를 따라 반 파장마다 반복됨을 보여준다. 복소 반사 계수는 일반적으로 반사 계수라고 한다. 스미스 차트의 외부 원주 눈금은 파장으로 스케일링된 발전기에서 부하까지의 거리를 나타내며 0에서 0.50까지 스케일링된다.

만약

\,V\,

와

\,I\,

가 각각 전송 선로 끝단의 종단에 걸리는 전압과 들어가는 전류라면,

:

V_\mathsf{F} + V_\mathsf{R} = V \,

:

V_\mathsf{F} - V_\mathsf{R} = Z_0\, I \,

이러한 방정식을 나누고, 전압 반사 계수

:

\Gamma = \frac{V_\mathsf{R}}{\, V_\mathsf{F} \,} \,

와 소문자 z로 표시되는 종단의 정규화된 임피던스를 대입하면

:

z_\mathsf{T} = \frac{V}{\, Z_0\, I \,} \,

다음과 같은 결과를 얻는다.

:

z_\mathsf{T} = \frac{1 + \Gamma}{\, 1 - \Gamma \,} \,.

반사 계수 측면에서는 다음과 같다.

:

\Gamma = \frac{z_\mathsf{T} - 1}{\, z_\mathsf{T} + 1 \,} \,

이것들은 스미스 차트를 구성하는 데 사용되는 방정식이다. 수학적으로

\,\Gamma\,

와

\,z_\mathsf{T}\,

는 뫼비우스 변환을 통해 관련된다.

\,\Gamma\,

와

\,z_\mathsf{T}\,

는 모두 단위 없이 복소수로 표현되며, 주파수에 따라 변동하므로, 특정 측정의 경우 특성 임피던스와 함께 측정된 주파수를 명시해야 한다.

\,\Gamma\,

는 크기와 각도로 극 좌표 다이어그램에서 표현될 수 있다. 실제 반사 계수는 단위보다 작거나 같아야 하므로, 테스트 주파수에서 이 값은 단위 반지름의 원 내부의 점으로 표현될 수 있다. 스미스 차트는 이러한 극 좌표 다이어그램 위에 구성된다. 스미스 차트 스케일링은 반사 계수를 정규화된 임피던스로 또는 그 반대로 변환할 수 있도록 설계되었다. 스미스 차트를 사용하면, 반사 계수를 나타내는 점을 스미스 차트를 극 좌표 다이어그램으로 취급하여 플로팅한 다음, 특성 스미스 차트 스케일링을 사용하여 해당 값을 직접 읽어냄으로써 상당한 정확도로 정규화된 임피던스를 얻을 수 있다. 이 기술은 방정식에 값을 대입하는 것의 그래픽 대안이다.

반사 계수가 비정합 무손실 전송 선로를 따라 어떻게 변하는지에 대한 표현식을 대입하면,

:

\Gamma = \frac{B \exp(-\gamma \ell)}{A \exp(\gamma \ell)} = \frac{B \exp(-j \beta \ell)}{A \exp(j \beta \ell)} \,

무손실 케이스의 경우, 반사 계수 측면에서 정규화된 임피던스에 대한 방정식에 대입하면,

:

z_\mathsf{T} = \frac{1 + \Gamma}{\, 1 - \Gamma \,} \,.

그리고 오일러 공식을 사용하면,

:

\exp(j\theta) = \text{cis}\, \theta = \cos \theta + j\, \sin \theta \,

무손실 케이스에 대한 임피던스 버전의 전송 선로 방정식이 생성된다.^[16]

:

Z_\mathsf{in} = Z_0 \frac{\, Z_\mathsf{L} + j\, Z_0 \tan (\beta \ell) \,}{\, Z_0 + j\, Z_\mathsf{L} \tan (\beta \ell) \,} \,

여기서

\,Z_\mathsf{in}\,

은 임피던스

\,Z_\mathsf{L}\,

로 종단된 길이

\,\ell\,

의 무손실 전송 선로 입력에서 '보이는' 임피던스이다. 전송 선로 방정식의 버전은 어드미턴스 무손실 케이스와 임피던스 및 어드미턴스 손실 케이스에 대해 유사하게 파생될 수 있다.

전송 선로 방정식을 사용하는 스미스 차트 그래픽의 동등물은

\, Z_\mathsf{L} \, ,

을 정규화하여 결과 점을 스미스 차트에 플로팅하고 스미스 차트 중심에 있는 해당 점을 통과하는 원을 그리는 것이다. 원의 호를 따라가는 경로는 전송 선로를 따라 이동하면서 임피던스가 어떻게 변하는지를 나타낸다. 이 경우, 이 값이 자유 공간 파장과 다를 수 있다는 점을 기억하면서 원주(파장) 스케일링을 사용해야 한다.

2. 2. 3. Z 스미스 차트의 영역

개방 회로(상단)와 단락 회로(하단)로 종단된 전송선. 펄스는 이 두 종단에서 완벽하게 반사되지만, 반사된 전압의 부호는 두 경우에서 반대이다. 검은 점은 전자를 나타내고, 화살표는 전기장을 나타낸다.

스미스 차트에서 x축 위의 영역은 유도성 임피던스(양의 허수부)를 나타내고, x축 아래의 영역은 용량성 임피던스(음의 허수부)를 나타낸다.^[13]

종단이 완벽하게 정합되면 반사 계수는 0이 되며, 이는 반경이 0인 원 또는 스미스 차트의 중심에 있는 점으로 효과적으로 나타난다. 종단이 완벽한 개방 회로나 단락 회로인 경우 반사 계수의 크기는 1이 되고, 모든 전력이 반사되어 해당 점은 단위 원 둘레 위에 놓이게 된다.

2. 2. 4. 일정한 정규화 저항 및 일정한 정규화 리액턴스 원

스미스 차트는 정규화된 임피던스를 복소 반사 계수 평면에 나타내는 도구이다. 정규화 임피던스 스미스 차트는 다음 두 가지 종류의 원으로 구성된다.^[17]

정규화된 저항이 일정한 원
정규화된 리액턴스가 일정한 원

복소 반사 계수 평면에서 스미스 차트는 원점을 중심으로 하고 반지름이 1인 원을 차지한다. 직교 좌표계에서 이 원은 x축의 (+1, 0)과 (-1, 0) 점, y축의 (0, +1)과 (0, -1) 점을 통과한다.

정규화 임피던스(

z_\mathsf{T}

)와 복소 반사 계수(

\Gamma

)는 모두 복소수이므로 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

z_\mathsf{T} = a + j b \,

:

~ \Gamma ~= c + j d \,

여기서 a, b, c, d는 실수이다.

이들을 복소 반사 계수와 정규화 임피던스 간의 관계식에 대입하면 다음과 같다.

:

\Gamma = \frac{z_\mathsf{T} - 1}{\, z_\mathsf{T} + 1 \,} = \frac{(a - 1) + j\,b}{\, (a + 1) + j\,b \,} \,

이 식을 정리하면 복소 반사 계수가 정규화 임피던스에 따라 어떻게 변하는지를 나타내는 다음 방정식을 얻을 수 있다.^[17]

:

\Gamma = c + j d = \left[\frac{a^2 + b^2 - 1}{\,(a + 1)^2 + b^2\,}\right] + j \left[\frac{2b}{\,(a + 1)^2 + b^2\,}\right]  = \left[ 1 + \frac{ -2(a + 1) }{\,(a + 1)^2 + b^2\,}\right] + j \left[\frac{+2b}{\,(a + 1)^2 + b^2\,}\right] \,.

이 방정식을 이용하여 정규화된 저항이 일정한 원과 정규화된 리액턴스가 일정한 원, 두 종류의 원을 모두 그릴 수 있다.

2. 3. Y 스미스 차트

Y 스미스 차트는 전압 반사 계수의 값을 정규화된 임피던스 대신 정규화된 어드미턴스로 나타낸다. 정규화된 어드미턴스()는 정규화된 임피던스()의 역수이므로, 다음과 같은 관계를 가진다.^[13]

:

y_\mathsf{T} = \frac{1}{z_\mathsf{T}} \,

따라서:

:

y_\mathsf{T} = \frac{1-\Gamma}{\, 1 + \Gamma \,} \,

:

\Gamma = \frac{ 1 - y_\mathsf{T} }{\, 1 + y_\mathsf{T} \,} \,

여기서

\Gamma

는 반사 계수이다.

Y 스미스 차트는 정규화된 임피던스(Z 스미스 차트)와 유사하게 보이지만, 그래픽 중첩 원이 180° 회전되어 있으며, 숫자 눈금은 Z 차트와 동일한 위치에 있다.

종단이 완벽하게 정합되면 반사 계수는 0이 되며, 이는 스미스 차트 중앙의 점으로 표시된다. 종단이 완벽한 개방 회로나 단락 회로인 경우, 전압 반사 계수의 크기는 1이 되고, 모든 전력이 반사되며, 해당 점은 스미스 차트 단위 원 둘레의 특정 지점에 놓이게 된다.

RF 회로 및 매칭 문제에서는 어드미턴스(전기 전도율 및 서셉턴스 표현) 또는 임피던스(전기 저항 및 리액턴스 표현)로 작업하는 것이 편리할 수 있다. 일반적인 매칭 문제를 해결하려면 직렬 소자에 대한 정규화 임피던스와 병렬 소자에 대한 정규화 어드미턴스를 사용하여 두 유형의 스미스 차트 간에 여러 번 변경해야 한다. 이를 위해 이중(정규화된) 임피던스 및 어드미턴스 스미스 차트를 사용하거나, 한 유형을 사용하고 필요한 경우 스케일링을 다른 유형으로 변환할 수 있다.

정규화된 임피던스에서 정규화된 어드미턴스로 또는 그 반대로 변경하려면 고려 중인 반사 계수 값을 나타내는 점을 정확히 180도 회전시킨다. 예를 들어,

0.63\angle60^\circ\,

의 반사 계수를 나타내는 점에서 정규화된 임피던스가

z_P = 0.80 + j1.40\,

일 때, 이를 등가 정규화된 어드미턴스 점으로 그래픽으로 변경하려면, 스미스 차트 중심을 통과하여 반대 방향으로 동일한 반경을 갖는 선을 그린다. 이는 점을 정확히 180도의 원형 경로를 통해 이동하는 것과 같다.

임피던스에서 어드미턴스로 변환하면, 나중에 정규화된 임피던스로 다시 변환할 때까지 스케일링이 정규화된 어드미턴스로 변경된다.

다음 표는 180° 회전을 통해 얻은 정규화된 임피던스 및 해당 정규화된 어드미턴스의 예이다.

반사 계수의 값(정규화된 임피던스) 및 해당 정규화된 어드미턴스
정규화된 임피던스 평면	정규화된 어드미턴스 평면
$z = 0.80 + j1.40\,$	$y = 0.30 - j0.54\,$
$z = 0.10 + j0.22\,$	$y = 1.80 - j3.90\,$

2. 3. 1. Y 스미스 차트의 영역

Y 스미스 차트는 Z 스미스 차트와 유사하게 보이지만, 전압 반사 계수의 값을 정규화된 임피던스 대신 정규화된 어드미턴스로 나타낸다. 정규화된 어드미턴스는 정규화된 임피던스의 역수이다.^[13]

:

y_\mathsf{T} = \frac{1}{z_\mathsf{T}} \,

Y 스미스 차트에서 원을 180° 회전하여 숫자 눈금은 Z 차트와 동일한 위치에 놓는다.

x축 위의 영역은 용량성 어드미턴스를 나타내고, x축 아래의 영역은 유도성 어드미턴스를 나타낸다. 용량성 어드미턴스는 양의 허수 부분을 가지며, 유도성 어드미턴스는 음의 허수 부분을 가진다.^[13]

2. 4. 실용적인 예시

스미스 차트는 교류 회로 이론과 전송선 이론을 바탕으로, 주파수에 따라 변하는 임피던스와 어드미턴스를 다루는 데 사용된다. RF 엔지니어에게 필수적인 도구이며, 한 번에 하나의 주파수에서 문제를 해결할 때 점으로 표시한다.

주파수 범위가 넓을 경우, 여러 주파수에서 스미스 차트 기술을 적용하고, 결과 점들을 직선으로 연결하여 궤적을 만들 수 있다.

스미스 차트의 점 궤적을 통해 다음을 알 수 있다.

부하가 주파수 범위에서 얼마나 정전 용량인지 또는 유도 용량인지
다양한 주파수에서 매칭이 얼마나 어려울 수 있는지
특정 구성 요소가 얼마나 잘 매칭되는지

스미스 차트의 정확도는 임피던스 또는 어드미턴스의 큰 궤적과 관련된 문제에서 감소하지만, 개별 영역에 대해 스케일링을 확대하여 해결할 수 있다.

반사 계수 크기가 0.63이고 각도가 60°인 점은 극좌표 형식으로

0.63\angle60^\circ\,

로 표시되며, 스미스 차트에서 P₁ 점으로 표시된다. 이를 표시하려면 원주(반사 계수) 각도 눈금을 사용하여

\angle60^\circ\,

눈금을 찾고 자를 사용하여 이 눈금과 스미스 차트의 중심을 통과하는 선을 그린다. 그런 다음 스미스 차트 반경을 1로 가정하여 선의 길이를 P₁에 맞게 조정한다. 예를 들어, 종이에서 측정한 실제 반경이 100 mm였다면 OP₁ 길이는 63 mm가 된다.

다음은 ''Z'' 스미스 차트에 표시된 몇 가지 점의 예시이다.

정규화 임피던스 스미스 차트에 표시된 몇 가지 점의 예
점 식별자	반사 계수(극좌표 형식)	정규화 임피던스(직사각형 형식)
P₁(유도성)	$0.63\angle60^\circ\,$	$0.80 + j1.40\,$
P₂(유도성)	$0.73\angle125^\circ\,$	$0.20 + j0.50\,$
P₃(용량성)	$0.44\angle-116^\circ\,$	$0.50 - j0.50\,$

RF 회로 및 매칭 문제에서, 때로는 어드미턴스로, 때로는 임피던스로 작업하는 것이 더 편리하다. 일반적인 매칭 문제를 해결하려면 정규화 임피던스와 정규화 어드미턴스를 사용하여 두 유형의 스미스 차트 간에 여러 번 변경해야 한다. 정규화된 임피던스에서 정규화된 어드미턴스로 변경하려면, 반사 계수 값을 나타내는 점을 180도 회전시킨다.

임피던스에서 어드미턴스로의 변환이 수행되면, 정규화된 임피던스로 다시 변환할 때까지 스케일링은 정규화된 어드미턴스로 변경된다.

다음 표는 정규화된 임피던스와 해당 정규화된 어드미턴스의 예이다.

반사 계수의 값(정규화된 임피던스) 및 해당 정규화된 어드미턴스
정규화된 임피던스 평면	정규화된 어드미턴스 평면
P₁ ( $z = 0.80 + j1.40\,$ )	Q₁ ( $y = 0.30 - j0.54\,$ )
P₁₀ ( $z = 0.10 + j0.22\,$ )	Q₁₀ ( $y = 1.80 - j3.90\,$ )

3. 분산 소자를 이용한 켤레 정합 문제 해결

Smith chart^영어는 전송 선로 이론에서 켤레 정합(conjugate matching) 문제를 해결하는 데 유용한 도구이다. 특히 분산 소자를 사용하는 경우, 전송 선로의 길이에 따른 임피던스 변화를 시각적으로 표현하고 계산하는 데 도움을 준다.

다음은 분산 소자를 이용한 켤레 정합 문제를 Smith chart^영어를 사용하여 해결하는 예시이다.

800MHz의 주파수에서 작동하는 특성 임피던스 50Ω의 손실 없는 공기 간격 전송 선로가 17.5Ω 저항과 6.5nH 인덕터로 구성된 회로로 종단되었다고 가정할 때, 이 선로를 매칭하는 방법은 다음과 같다.

종단 임피던스 계산:
800MHz에서 인덕터의 리액턴스( $Z_L$ )는 다음과 같다.

:

Z_L = j \omega L = j 2 \pi f L = j32.7 \ \Omega\,

따라서 조합( $Z_T$ )의 임피던스는 다음과 같다.

:

Z_T = 17.5 + j32.7 \ \Omega\,

정규화된 임피던스( $z_T$ )는 다음과 같다.

:

z_T = \frac{Z_T}{Z_0} = 0.35 + j0.65\,

스미스 차트 표시:
정규화된 임피던스( $z_T$ )를 Z 스미스 차트에 점 P₂₀으로 표시한다.
선 OP₂₀을 파장 눈금까지 확장하여 $L_1 = 0.098 \lambda\,$ 지점에서 교차시킨다.
스미스 차트의 중심을 기준으로 점 P₂₀을 통과하는 원을 그려, 종단으로 인한 상수 크기 반사 계수의 경로를 나타낸다.

매칭 지점 결정:
점 P₂₁에서 원은 정규화된 저항이 일정한 1의 원과 교차한다.

:

z_{P21} = 1.00 + j1.52\,

선 OP₂₁의 연장선은 파장 눈금에서 $L_2 = 0.177 \lambda\,$ 에서 교차한다.
종단에서 선로의 이 지점까지의 거리는 다음과 같다.

:

L_2 - L_1  = 0.177\lambda - 0.098\lambda = 0.079\lambda\,

공기 간격 전송 선로에서 800MHz의 파장( $\lambda$ )은 다음과 같다.

:

\lambda = \frac{c}{f}\,

(여기서

c\,

는 자유 공간에서 전자기파의 속도,

f\,

는 주파수)

$\lambda = 375 \ \mathrm{mm}\,$ 이므로, 매칭 부품의 위치는 부하에서 29.6mm이다.

매칭 소자 계산:
P₂₁( $z_{match}\,$ )에서의 임피던스에 대한 공액 매칭은 다음과 같다.

:

z_{match} = - j (1.52),\!

직렬 커패시터 $C_m\,$ 이 필요하며, 다음 식을 통해 계산한다.

:

z_{match} = - j 1.52 = \frac{-j}{\omega C_m Z_0} = \frac{-j}{2 \pi f C_m Z_0}\,

:

C_m=\frac{1}{(1.52) \omega Z_0} = \frac{1}{(1.52)(2 \pi f) Z_0}

.

$C_m = 2.6 \ \mathrm{pF}\,$ 이다.

따라서 800MHz에서 종단을 매칭하기 위해, 2.6pF의 직렬 커패시터를 종단에서 29.6mm 떨어진 전송 선로와 직렬로 배치해야 한다.
션트 매칭 (대안):정규화된 임피던스를 정규화된 어드미턴스로 변환하여 션트 매칭을 계산할 수도 있다.

점 Q₂₀은 P₂₀과 동일하지만 정규화된 어드미턴스로 표현되며, 스미스 차트에서 다음과 같다.

:

y_{Q20} = 0.65 - j1.20\,

선 OQ₂₀을 파장 눈금까지 확장하면 $L_3 = 0.152 \lambda\,$ 이다.
션트 공액 매칭을 위한 가장 빠른 지점은 Q₂₁이며, 정규화된 어드미턴스는 다음과 같다.

:

y_{Q21} = 1.00 + j1.52\,

.

전송 선로를 따라가는 거리는 다음과 같다.

:

L_2 + L_3  = 0.177\lambda + 0.152\lambda = 0.329\lambda\,

(123mm)

공액 매칭 부품의 정규화된 어드미턴스( $y_{match}$ )는 다음과 같다.

:

y_{match} = - j1.52\,

.

음의 어드미턴스는 전송 선로와 병렬로 연결된 인덕터가 필요함을 의미한다.

:

-j1.52 = \frac{-j}{\omega L_m Y_0}= \frac{-jZ_0}{2\pi f L_m}\,

:

L_m = 6.5 \ \mathrm{nH}\,

따라서 적절한 유도성 션트 매칭은 부하에서 123mm 떨어진 위치에 있는 선과 병렬로 6.5nH 인덕터가 된다.

4. 집중 소자 회로 분석

스미스 차트는 집중 소자 회로를 분석하는 데 사용될 수 있다. 이 경우 차트 주변의 움직임은 동작 주파수에서 부품의 (정규화된) 임피던스와 어드미턴스에 의해 생성된다.^[13] 이때 스미스 차트 원주상의 파장 스케일링은 사용되지 않는다.

다음은 100 MHz의 동작 주파수에서 스미스 차트를 사용하여 분석하는 예시이다. 이 주파수에서 자유 공간 파장은 3m이다. 부품 자체의 치수는 밀리미터 단위이므로 집중 소자 가정이 유효하다. 실제로 전송선이 없더라도 정규화 및 비정규화 계산을 하려면 시스템 임피던스가 정의되어야 하며, $Z_0 = 50 \ \Omega\,$ 는 $R_1 = 50 \ \Omega\,$ 이므로 적절한 선택이다.

분석은 다른 구성 요소가 없는 상태에서 R₁만 보는 Z 스미스 차트에서 시작한다. $R_1 = 50 \ \Omega\,$ 는 시스템 임피던스와 같으므로 스미스 차트의 중심에 점으로 표시된다. 첫 번째 변환은 정규화된 저항의 선을 따라 OP₁이며, 40pF의 직렬 커패시턴스에 해당하는 -''j''0.80의 정규화된 리액턴스를 추가한다. 접미사 P가 있는 점은 ''Z'' 평면에 있고 접미사 Q가 있는 점은 ''Y'' 평면에 있다. 따라서 P₁에서 Q₁, P₃에서 Q₃까지의 변환은 Z 스미스 차트에서 Y 스미스 차트로, Q₂에서 P₂까지의 변환은 Y 스미스 차트에서 Z 스미스 차트로의 변환이다.

다음 표는 나머지 부품 및 변환을 거쳐 스미스 차트의 중심으로 돌아가 50옴 매치를 얻기 위한 단계를 보여준다.

집중 소자 회로 분석을 위한 스미스 차트 단계
변환	평면	x 또는 b 정규화된 값	커패시턴스/인덕턴스	해결할 공식	결과
$O \rightarrow P_1\,$	$Z\,$	$-j0.80\,$	커패시턴스 (직렬)	$-j0.80 = \frac{-j}{\omega C_1 Z_0}\,$	$C_1 = 40 \ \mathrm{pF}\,$
$Q_1 \rightarrow Q_2\,$	$Y\,$	$-j1.49\,$	인덕턴스 (병렬)	$-j1.49 = \frac{-j}{\omega L_1 Y_0}\,$	$L_1 = 53 \ \mathrm{nH}\,$
$P_2 \rightarrow P_3\,$	Z	$-j0.23\,$	커패시턴스 (직렬)	$-j0.23 = \frac{-j}{\omega C_2 Z_0}\,$	$C_2 = 138 \ \mathrm{pF}\,$
$Q_3 \rightarrow O\,$	Y	$+j1.14\,$	커패시턴스 (병렬)	$+j1.14 = \frac{j \omega C_3}{Y_0}\,$	$C_3 = 36 \ \mathrm{pF}\,$

5. 3D 스미스 차트

3D 스미스 차트는 2011년 뮬러(Muller) 등이 제안한 스미스 차트의 일반화된 형태이다. 반전 기하학을 기반으로 하며, 확장된 복소 평면(리만 구)을 3차원 구면 형태로 표현한다.^[18]

3D 스미스 차트는 수동 및 능동 회로 설계를 단위 구 표면의 작은 원과 큰 원에 통합한다. 가능한 모든 부하를 포함하는 공간을 표현하며, 무한대 지점을 고려한다. 북극은 완벽하게 일치하는 지점이고, 남극은 완전히 불일치하는 지점이다.^[18]

3D 스미스 차트는 그룹 지연, 품질 계수, 주파수 방향 등 다양한 스칼라 매개변수를 표현하기 위해 구면 표면 밖으로 확장할 수 있다. 2D 스미스 차트에서는 주파수가 증가함에 따라 동일하게 표시되던 음수/용량성 및 양수/유도성 특성을 시각적인 주파수 방향(시계 방향 대 시계 반대 방향)을 통해 구별할 수 있다.^[19]

참조

_[1] 학술지 Sì duānzǐ huílù no inpīdansu hensei to seigō kairo no riron http://www.linkclub.[...] 電気通信学会 1937-12
_[2] 학술지 Sumisuchāto wa nihonjin no dokusōde wanai ka http://www.linkclub.[...] 電気通信学会 1959-08
_[3] 서적 Inpīdansu no hanashi 日刊工業新聞社 1999-11-01
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_[5] 간행물 Transmission Line Calculator - A "cut-out" calculator for determining impedance and attenuation, in terms of the length of open-wire transmission lines https://worldradiohi[...] McGraw-Hill Publishing Company, Inc. 1939-01
_[6] 간행물 An Improved Transmission Line Calculator - An extension of the "calculator" originally published in ELECTRONICS in January 1939. New parameters have been added and accuracy has been improved. https://worldradiohi[...] McGraw-Hill Publishing Company, Inc. 1944-01
_[7] 서적 Electronic Applications of the Smith Chart: In Waveguide, Circuit and Component Analysis McGraw-Hill Book Company 1969-06
_[8] 서적 Electronic Applications of the Smith Chart: In Waveguide, Circuit and Component Analysis Noble Publishing Corporation 2000-10
_[9] 웹사이트 Smith Chart https://ethw.org/Smi[...] 2018-02-26
_[10] 서적 Fields and Waves in Communications Electronics John Wiley & Sons 1965
_[11] 서적 Fields and Waves in Communications Electronics John Wiley & Sons, Inc. 1994
_[12] 서적 Microwave Engineering John Wiley & Sons, Inc. 2005
_[13] 서적 Microwave Transistor Amplifiers Analysis and Design Prentice Hall 1997
_[14] 웹사이트 The Smith Chart http://www.antenna-t[...] 2013-01-11
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_[16] 서적 Engineering Electromagnetics McGraw-Hill, Inc. 1981
_[17] 서적 Transmission Lines for Communications with CAD Programs https://archive.org/[...] Macmillan Education Ltd 1989
_[18] 학술지 A 3D Smith chart based on the Riemann sphere for active and passive microwave circuits IEEE Microwave Theory and Techniques Society 2011
_[19] 학술지 The 3D Smith Chart: From Theory to Experimental Reality http://infoscience.e[...] IEEE Microwave Theory and Techniques Society 2020-11
_[20] 뉴스 Nomogramma dlya rascheta dlinnykh liniy Народный комиссариат электропромышленности СССР 1940-02
_[21] 웹사이트 Diagramma Vol'perta – Smita. Raschet i analiz kharakteristik usiliteley radiosignalov https://libeldoc.bsu[...] Department of Radio Engineering Devices, Belarusian State University of Informatics and Radio Electronics, Ministry of Education of the Republic of Belarus educational institution 2009
_[22] 서적 Fundamentals Of Electromagnetics 2. Quasistatics And Waves https://vdoc.pub/doc[...] Morgan & Claypool 2007-08-17
_[23] Application note Antenna Impedance Measurement and Matching https://www.ti.com/l[...] Texas Instruments 2022-03
_[24] Application note Impedance Matching and Smith Chart Impedance https://www.analog.c[...] Maxim Integrated Products, Inc. 2012
_[25] 간행물 Graph for Smith Chart https://worldradiohi[...] McGraw-Hill Publishing Company, Inc. 1950-01
_[26] 간행물 Impedance Measurement-Smith Chart with Example Plotted https://worldradiohi[...] General Radio Company 1950-11
_[27] 학술회 Remembering Phillip H. Smith on his 100th Birthday https://faculty.up.e[...] IEEE Antennas and Propagation Society 2005-07-03
_[28] 문서 四端子回路のインピーダンス変成と整合回路の理論, http://www.linkclub.[...] 電子情報通信学会 1937
_[29] 문서 スミスチャートは日本人の独創ではないか, http://www.linkclub.[...] 電子情報通信学会 1959
_[30] 서적 インピーダンスのはなし日刊工業新聞社 1999

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