수 (수학)

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1. 개요

수 (수학)는 사물의 양을 나타내는 데 사용되는 추상적인 개념으로, 인류의 역사와 함께 발전해 왔다. 고대에는 눈금 표시와 같은 단순한 체계에서 시작하여, 메소포타미아의 60진법, 이집트의 10진법과 같은 자릿값 체계가 등장했다. 이후 0의 발명과 음수의 개념 도입을 통해 수 체계는 확장되었으며, 유리수, 무리수, 실수, 복소수로 발전했다. 수는 자연수, 정수, 유리수, 실수, 복소수로 분류되며, 각 체계는 다른 체계의 부분 집합 관계를 갖는다. 또한, 기수법은 수를 나타내는 다양한 방법으로, 십진법, 이진법 등이 사용된다. 컴퓨터에서는 이진법을 기반으로 하여 수를 표현하며, 부동소수점과 고정소수점을 사용하여 실수를 나타낸다.

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수 (수학)
수학의 수
수직선
분류
종류	자연수, 정수, 유리수, 무리수, 실수, 복소수
성질
연산	덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈
확장	사원수, 팔원수
역사
기원	수 체계
발전	대수학, 해석학
활용
응용	과학, 공학, 경제학
같이 보기
관련 개념	수학, 수학 상수, 큰 수, 무한대, 기수, 순서수

2. 수의 역사

인류의 역사와 함께 수는 점점 더 많아졌다. 가장 처음 발명된 수는 물건의 개수를 세기 위한 자연수였다. 이후 음수를 포함한 정수 개념이 등장했고, 정수의 나눗셈에서 유리수 개념이 생겨나 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 체계가 만들어졌다.

나눗셈과 같은 계산 과정에서 표현할 수 없는 무리수로 인해 실수 개념이 등장했다. 무리수는 자유롭게 계산할 수 없으며, 일반적인 사칙연산에서는 나타나지 않는다. 대수 방정식의 해를 찾는 과정에서 허수를 포함하는 복소수가 등장하면서, 수는 이제 양만을 표현하는 개념이 아니게 되었다.

수의 개념은 인류 역사와 함께 오랜 시간에 걸쳐 점진적으로 확장되었다.

자연수에서 시작하여 0의 개념이 고대 바빌로니아와 고대 인도에서 나타났다. 0의 개념은 수학사에서 큰 도약으로 평가받는다. 고대 그리스 문명은 "0" 개념을 부정(및 금지)하기도 했다.
자연수, 0, 음의 정수를 포함하여 "정수"()라는 개념이 생겨났다.
정수의 나눗셈을 통해 유리수로 확장되었고, 사칙 연산이 자유롭게 가능한 체계를 얻었다.
유리수에서 실수로의 확장은 연산과는 다른 갭을 메우는 것으로 얻어졌다.
대수 방정식의 해법을 통해 허수를 포함하는 복소수로 확장되었다.

프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레는 "수"의 정의는 어렵고, 0, 1 등을 엄밀하게 정의하는 것은 어렵다고 설명했다.^[43]

2. 1. 고대 수 체계

뼈나 다른 유물에서 새겨진 표시들이 발견되었는데, 많은 사람들은 이를 눈금 표시라고 생각한다.^[11] 이러한 눈금 표시는 날짜 수, 달 주기, 또는 동물의 수와 같은 수량을 기록하는 데 사용되었을 수 있다.

눈금 표시 체계는 현대의 십진법 표기법과 같은 자릿값의 개념이 없어서 큰 숫자를 표현하는 데 한계가 있었다. 그럼에도 불구하고, 눈금 표시 체계는 최초의 추상적인 수 체계로 여겨진다.

자릿값을 가진 최초의 체계는 메소포타미아의 60진법 체계이며, 가장 오래된 10진법 체계는 기원전 3100년 이집트에서 사용된 것으로 알려져 있다.^[12]

2. 2. 숫자의 발전

수는 수를 나타내는 데 사용되는 기호인 '''숫자'''와 구별되어야 한다. 이집트인들은 최초의 암호화된 숫자 체계를 발명했고, 그리스인들은 자신들의 셈수를 이오니아 및 도리스 알파벳에 매핑하여 뒤를 이었다.^[13] 로마 숫자는 로마 알파벳의 문자를 조합하여 사용하는 체계로, 14세기 후반경 우수한 힌두-아라비아 숫자가 보급될 때까지 유럽에서 지배적이었으며, 힌두-아라비아 숫자는 오늘날 세계에서 숫자를 나타내는 가장 일반적인 체계로 남아 있다.^[14] 이 체계의 효과의 핵심은 기원후 500년경 고대 인도 수학자들이 개발한 영의 기호였다.^[14]

2. 3. 0의 발견과 발전

인도의 수학자 브라마굽타는 628년에 쓴 그의 저서 ''브라마스푸타시단타''에서 0을 숫자로 처음 언급했다.^[15] 그는 0을 포함한 연산을 정의했는데, 여기에는 0으로 나누는 것도 포함되어 있었다. 이 개념은 7세기에 크메르 숫자를 통해 캄보디아에 전해졌고, 이후 중국과 이슬람 세계로 퍼져나갔다.

683년의 비문에서 발췌한 크메르 숫자로 나타낸 숫자 605. 십진법 숫자로 0을 초기에 사용함.

브라마굽타는 "0 더하기 양수는 양수이고, 음수 더하기 0은 음수이다"와 같이 0을 사용하는 규칙을 제시했다. ''브라마스푸타시단타''는 0을 단순한 자리 표시자가 아닌, 숫자 자체로 취급한 최초의 문헌이다.

0을 숫자로 사용하는 것은 자리값 체계에서 자리 표시 숫자로 사용하는 것과는 구별된다. 바빌로니아와 이집트 텍스트에서도 0이 사용되었다. 이집트인들은 복식 부기 시스템에서 0 균형을 나타내기 위해 ''nfr''라는 단어를 사용했다. 인도 텍스트에서는 산스크리트어 단어 또는 shunya^sa를 사용하여 ''무(void)''의 개념을 지칭했는데, 수학 텍스트에서 이 단어는 종종 숫자 0을 의미한다.^[15]

브라마굽타 이전에도 0이 사용된 기록이 있지만, ''브라마스푸타시단타''만큼 완벽하지는 않다. 고대 그리스인들은 0의 숫자로서의 지위에 대해 확신하지 못했던 것으로 보인다. 그들은 "어떻게 '무'가 무언가가 될 수 있는가?"라고 자문했으며, 이는 중세 시대에 0과 진공의 본질과 존재에 대한 철학적, 종교적 논쟁으로 이어졌다. 엘레아의 제논의 역설은 0의 불확실한 해석에 부분적으로 의존한다.

고대 그리스 문명처럼 "0" 개념을 문명 전체로서 부정(및 금지)한 경우도 있었고, 고대의 다양한 문명에서 "0"이라는 개념을 둘러싸고 사람들은 갈등하고, 다투고, 고뇌했다.^[42]

2. 4. 음수의 개념

음수의 추상적인 개념은 기원전 100~50년에 중국에서 처음 인식되었다. '''구장산술'''에는 도형의 면적을 구하는 방법이 있는데, 양의 계수는 빨간 막대로, 음의 계수는 검은 막대로 표시했다.^[17] 서양에서 처음으로 언급된 것은 3세기경 그리스였다. 디오판토스는 ''산학''에서 4''x'' + 20 0과 동등한 방정식(해는 음수)을 언급하며, 이 방정식이 터무니없는 결과를 낳는다고 말했다.

600년대에 음수는 인도에서 부채를 나타내는 데 사용되었다. 브라마굽타는 628년에 쓴 ''브라마스푸타시단타''에서 음수를 사용하여 오늘날에도 사용되는 일반적인 형태의 이차 방정식의 근의 공식을 도출했다. 그러나 12세기 인도의 바스카라 2세는 이차 방정식의 음의 근을 제시했지만, 음의 값은 "이 경우 적절하지 않으므로 취할 수 없다. 사람들은 음의 근을 인정하지 않는다"라고 말했다.

유럽 수학자들은 대부분 17세기까지 음수의 개념에 저항했지만, 피보나치는 부채로 해석될 수 있는 금융 문제에서 음의 해를 허용했고(산반서^la 제13장, 1202) 이후 손실로 해석하기도 했다(Flos^la에서). 르네 데카르트는 음수를 대수 다항식에서 나타냈지만, 참근과 거짓근을 바꾸는 방법을 찾아냈다. 동시에 중국인들은 해당 양수의 숫자에서 가장 오른쪽에 있는 0이 아닌 숫자에 대각선을 그어 음수를 나타냈다.^[18] 유럽에서 음수가 처음 사용된 것은 15세기 니콜라 츄케였다. 그는 음수를 지수로 사용했지만, 이를 "터무니없는 숫자"라고 언급했다.

18세기까지도 방정식에서 반환된 음의 결과는 무의미하다는 가정하에 무시하는 것이 일반적인 관행이었다.

2. 5. 유리수, 무리수, 초월수

분수의 개념은 선사 시대로 거슬러 올라갈 수 있다. 고대 이집트인들은 린드 수학 파피루스와 카훈 파피루스와 같은 수학 텍스트에서 유리수를 나타내기 위해 이집트 분수 표기법을 사용했다. 고대 그리스와 인도 수학자들은 수론의 일반적인 연구의 일환으로 유리수 이론을 연구했다.^[19] 이 중 가장 잘 알려진 것은 대략 기원전 300년에 제작된 유클리드의 ''원론''이다. 인도 텍스트 중 가장 관련 있는 것은 수학의 일반적인 연구의 일환으로 수론을 다루는 스타낭가 수트라이다.

소수의 개념은 십진법 자리수 표기법과 밀접하게 연관되어 있으며, 이 둘은 함께 발전한 것으로 보인다. 예를 들어, 자이나교 수학 수트라에는 원주율 또는 제곱근 2에 대한 소수 근사값 계산이 포함되는 경우가 많다. 마찬가지로, 바빌로니아 수학 텍스트는 60진법(밑수 60) 분수를 매우 빈번하게 사용했다.

무리수의 역사와 관련하여, 가장 초기에 알려진 무리수의 사용은 기원전 800년에서 500년 사이에 작성된 인도의 술바 수트라에서였다.^[20] 무리수의 최초 존재 증명은 일반적으로 피타고라스에게, 더 구체적으로는 피타고라스 학파의 메타폰툼의 히파수스에게 귀속되며, 그는 2의 제곱근의 무리성을 (대개 기하학적)으로 증명했다. 히파수스가 2의 제곱근을 분수로 나타내려 시도하다가 무리수를 발견했다는 이야기가 전해진다. 그러나 피타고라스는 숫자의 절대성을 믿었고, 무리수의 존재를 받아들일 수 없었다. 그는 논리를 통해 무리수의 존재를 반증할 수는 없었지만, 무리수를 받아들일 수 없었고, 이 당혹스러운 소식의 확산을 막기 위해 히파수스에게 익사형을 선고했다고 전해진다.^[21]

16세기에 음의 정수와 분수가 유럽에서 최종적으로 받아들여졌다. 17세기에 이르러 수학자들은 일반적으로 현대적인 표기법을 사용하여 소수를 사용했다. 그러나 19세기에 이르러서야 수학자들은 무리수를 대수적 부분과 초월적 부분으로 분리하고, 다시 무리수에 대한 과학적 연구를 시작했다. 이는 유클리드 이후 거의 잠들어 있었다. 1872년에 카를 바이어슈트라스(그의 제자인 E. 코삭에 의해) 에두아르트 하이네,^[22] 게오르크 칸토어,^[23] 및 리하르트 데데킨트^[24]의 이론이 발표되었다. 1869년, 샤를 메레이는 하이네와 같은 출발점을 취했지만, 그 이론은 일반적으로 1872년에 언급된다. 바이어슈트라스의 방법은 살바토레 핀체를레(1880)에 의해 완전히 제시되었으며, 데데킨트의 방법은 저자의 후기 작업(1888)과 폴 타너리(1894)의 지지를 통해 추가적인 두각을 나타냈다. 바이어슈트라스, 칸토어, 하이네는 무한 급수를 기반으로 하는 반면, 데데킨트는 모든 유리수를 특정 특성을 가진 두 그룹으로 나누는 컷(Schnitt)의 개념을 실수 체계에서 찾았다. 이 주제는 바이어슈트라스, 레오폴트 크로네커,^[25] 및 메레이의 손에 의해 후속적으로 기여를 받았다.

5차 방정식 및 고차 방정식의 근을 찾는 것은 중요한 발전이었으며, 아벨-루피니 정리(파올로 루피니, 1799, 닐스 헨리크 아벨, 1824)는 이들이 근호(산술 연산과 근만을 포함하는 공식)로 풀 수 없음을 보여주었다. 따라서 더 넓은 범위의 대수적 수(다항식 방정식의 모든 해)를 고려해야 했다. 에바리스트 갈루아(1832)는 다항식 방정식을 군론과 연결하여 갈루아 이론 분야를 만들었다.

단순 연분수는 무리수와 밀접하게 관련되어 있으며(1613년 카탈디에 의해), 오일러의 주목을 받았으며,^[26] 19세기 초에 조제프루이 라그랑주의 저술을 통해 두각을 나타냈다. 드루켄뮐러(1837), 군체(1857), 렘케(1870), 귄터(1872)에 의해 다른 주목할 만한 기여가 이루어졌다. 라무스^[27]는 처음으로 이 주제를 행렬식과 연결하여 하이네,^[28] 뫼비우스, 귄터^[29]의 후속적인 기여와 함께 Kettenbruchdeterminanten|케텐브루흐데터미난텐^de의 이론을 낳았다.

2. 6. 복소수의 등장

복소수는 16세기 이탈리아 수학자들에 의해 3차 방정식의 해를 구하는 과정에서 처음 등장했다.^[31] 니콜로 폰타나 타르탈리아와 지롤라모 카르다노 같은 수학자들은 3차 및 4차 다항식의 근에 대한 닫힌 공식을 발견했는데, 이 공식들은 때때로 음수의 제곱근을 조작해야 했다.

르네 데카르트는 1637년에 이러한 양에 대해 "허수"라는 용어를 만들었으며, 이는 경멸적인 의미로 사용되었다. 방정식

:

\left ( \sqrt{-1}\right )^2 =\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1

이 대수적 항등식과 모순되는 것처럼 보이는 점과, 항등식

:

\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},

의 잘못된 사용은 레온하르트 오일러를 괴롭혔고, 그는 결국

\sqrt{-1}

대신 특수 기호 ''i'' (허수 단위)를 사용하는 관례를 만들었다.^[31]

18세기에는 아브라함 드 무아브르와 레온하르트 오일러의 연구가 진행되었다. 드 무아브르의 공식 (1730)은 다음과 같다.

:

(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta

복소 해석학의 오일러 공식 (1748)은 다음과 같다.

:

\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }.

1799년에 카스파르 베셀이 복소수의 기하학적 해석을 설명했고, 몇 년 후 카를 프리드리히 가우스가 이를 재발견하고 대중화하면서 복소수 이론이 확장되었다. 가우스는 대수학의 기본 정리에 대한 최초의 일반적으로 받아들여지는 증명을 제공하여 복소수에서 모든 다항식이 완전한 해 집합을 갖는다는 것을 보였다.

3. 수의 체계

인류의 역사와 함께 수는 다양해졌다. 자연수는 물건의 개수를 세기 위해 발명된 최초의 수이다. 여기에 음수를 더하여 정수 개념이, 정수의 나눗셈에서 유리수 개념이 생겨나면서 사칙연산을 자유롭게 할 수 있는 체계가 만들어졌다.

나눗셈과 같은 계산 과정에서 표현할 수 없는 무리수로 인해 실수 개념이 등장했다. 무리수는 사칙연산으로 만들어지는 수가 아니며, 대수 방정식의 해를 찾는 과정에서 허수와 복소수가 나타났다. 이로써 수는 양만을 나타내는 개념에서 벗어나게 되었다.

자연수 → 정수 → 유리수 → 실수 → 복소수
* 복소수 - 실수, 허수
* 복소수 - 대수적 수, 초월수
* 실수 - 유리수(분수), 무리수
* 유리수
* 정수 - 양의 정수, 0, 음의 정수
* 자연수 = 양의 정수

수는 집합으로 분류될 수 있으며, 이를 '''수 집합''' 또는 '''수 체계'''라고 한다. 주요 수 체계는 다음과 같다.

주요 수 체계
기호	이름	예시/설명
$\mathbb{N}$	자연수	0, 1, 2, 3, 4, 5, ... 또는 1, 2, 3, 4, 5, ... ( $\mathbb{N}_0$ 또는 $\mathbb{N}_1$ 이 사용되기도 함)
$\mathbb{Z}$	정수	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb{Q}$	유리수	(a와 b는 정수이고, b는 0이 아님)
$\mathbb{R}$	실수	수렴하는 유리수열의 극한
$\mathbb{C}$	복소수	a + bi (a와 b는 실수이고, i는 −1의 형식적 제곱근)

각 수 체계는 다음 수 체계의 부분 집합이다. 예를 들어 유리수는 실수이고, 모든 실수는 복소수이다.

: $\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$ .

프랑스의 수학자 앙리 푸앵카레는 수의 정의, 특히 0과 1을 엄밀하게 정의하는 것은 어렵다고 언급했다.^[43]

3. 1. 자연수

가장 친숙한 숫자는 자연수(때로는 정수 또는 셈수라고도 함)로, 1, 2, 3 등이다.^[32]^[33] 전통적으로 자연수 시퀀스는 1로 시작했다. 그러나 19세기에는 집합론 학자들과 다른 수학자들이 0을 자연수 집합에 포함하기 시작했다. 오늘날, 서로 다른 수학자들은 0을 포함하거나 포함하지 않는 두 집합을 설명하기 위해 이 용어를 사용한다. 모든 자연수 집합에 대한 수학 기호는 '''N''',

\mathbb{N}

로도 표기하며, 집합이 0 또는 1로 시작해야 하는지 표시해야 할 때는

\mathbb{N}_0

또는

\mathbb{N}_1

로도 표기한다.

집합론은 현대 수학의 공리적 기초 역할을 할 수 있으며,^[34] 자연수는 동등한 집합의 클래스로 표현될 수 있다. 예를 들어, 숫자 3은 정확히 세 개의 원소를 갖는 모든 집합의 클래스로 표현될 수 있다. 또는 페아노 산술에서 숫자 3은 sss0으로 표현되는데, 여기서 s는 "후속자" 함수이다(즉, 3은 0의 세 번째 후속자이다). 많은 다른 표현이 가능하다. 3을 공식적으로 표현하는 데 필요한 것은 특정 기호 또는 기호 패턴을 세 번 새기는 것이다.

3. 2. 정수

정수는 자연수, 0, 음의 정수를 포함하는 수 체계이다. (... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) 정수의 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있으며, 환을 이룬다.^[35]

양의 정수에 음수를 더했을 때 0을 생성하는 숫자로 정의된다. 음수는 일반적으로 음수 기호(빼기 기호)와 함께 표기한다. 예를 들어 7의 음수는 -7로 표기되며, 7 + (-7) = 0이다. 음수의 집합이 자연수 집합(0 포함)과 결합되면 그 결과는 정수 집합으로 정의되며, '''Z'''로 표기하거나

\mathbb{Z}

로 표기한다. 여기서 문자 Z는 Zahl|숫자^de에서 유래했다.^[35]

자연수는 정수의 부분 집합을 형성한다. 자연수에 0을 포함할지 여부에 대한 공통 표준이 없으므로, 0이 없는 자연수는 일반적으로 '''양의 정수''', 0이 있는 자연수는 '''음이 아닌 정수'''라고 한다.

고대 바빌로니아와 고대 인도에서는 현대의 "0"과 비슷한 개념을 사용하려는 사람들이 나타났다. 긴 시간을 거쳐, 자연수에 0 (영), 그리고 각각의 자연수와 짝을 이루는 "음의 수"라는 개념 (현재의 "음의 정수"라는 개념)을 더함으로써, "정수"()라는 묶음이 만들어졌다.

{| class="wikitable"

|+ 수의 분류 (십진법의 경우)

|-

! 복소수

: \; \Complex

|-

| 실수

: \; \R

|-

| 유리수

: \; \Q

|-

| 정수

: \; \Z

|-

| 0 (자연수에 0을 포함하지 않는 경우) - 짝수

|-

|

자연수 $: \; \N$

0			(자연수에 0을 포함하는 경우)
1
소수	2 이외의 소수
합성수	홀수 × 홀수	홀수 × 짝수, 짝수 × 홀수, 짝수 × 짝수	소수의 곱으로 나타낼 수 있다.
	2로 나누어 떨어지지 않는 정수	2의 배수

|-

|

음의 정수 (자연수에 -1을 곱한 정수, 0은 포함하지 않음)

|}

3. 3. 유리수

유리수는 두 정수의 비(분수)로 나타낼 수 있는 수이다. 예를 들어

\frac{1}{2}

와

\frac{2}{4}

는 같은 유리수이다. 일반적으로,

:

{a \over b} = {c \over d}

는

{a \times d} = {c \times b}

일 때만 성립한다.

분수는 1보다 크거나 작거나 같을 수 있으며, 양수, 음수 또는 0일 수도 있다. 모든 유리수의 집합은 정수를 포함하는데, 모든 정수는 분모가 1인 분수로 쓸 수 있기 때문이다. 예를 들어 -7은

\frac{-7}{1}

로 쓸 수 있다. 유리수를 나타내는 기호는 '''Q''' (''몫''의 약자)이며,

\mathbb{Q}

로도 표기한다.

유리수는 정수의 나눗셈을 생각하여 확장되었고, 사칙 연산이 자유롭게 가능한 체계를 얻었다.

수의 분류
수의 종류	설명	예시
유리수 $: \; \Q$	정수 분자와 양의 정수 분모를 가진 분수로 표현될 수 있는 수	$\frac{1}{2}$ , $\frac{2}{4}$ , $\frac{-7}{1}$

3. 4. 실수

실수를 나타내는 기호는 '''R'''이며,

\mathbb{R}

로도 표기한다. 실수는 모든 측정 가능한 수를 포함한다. 모든 실수는 수직선 상의 한 점에 대응된다. 음의 실수는 산술의 일반적인 규칙에 따라 처리되며, 해당 양의 숫자에 마이너스 기호를 붙여 표시한다(예: -123.456).

대부분의 실수는 1의 자릿값을 갖는 숫자 오른쪽에 소수점을 배치하는 십진법 숫자로 근사할 수 있다. 소수점 오른쪽에 있는 각 숫자는 왼쪽 숫자의 십분의 일의 자릿값을 갖는다. 예를 들어, 123.456은 1000분의 123456을 나타내며, 이것을 풀어 쓰면 백의 자리 1, 십의 자리 2, 일의 자리 3, 십분의 자리 4, 백분의 자리 5, 천분의 자리 6을 의미한다. 실수는 분수 부분의 분모의 소인수가 2 또는 5 또는 둘 다인 경우에만(이들은 십진법의 밑인 10의 소인수이기 때문에) 유한한 수의 십진법 숫자로 표현될 수 있다. 따라서 2분의 1은 0.5, 5분의 1은 0.2, 10분의 1은 0.1, 50분의 1은 0.02이다. 다른 실수를 십진법으로 표현하려면 소수점 오른쪽에 무한한 숫자가 필요하다. 이 숫자들이 패턴을 따르면, 타원 기호나 반복 패턴을 나타내는 다른 표기법으로 작성할 수 있다. 이러한 십진법을 순환소수라고 한다. 따라서 3분의 1은 0.333...으로 쓸 수 있으며, 타원 기호는 패턴이 계속됨을 나타낸다. 영원히 반복되는 3은 0.3으로도 쓰인다.^[36]

순환소수(0의 반복 포함)는 정확히 유리수를 나타낸다. 즉, 모든 유리수는 실수이지만, 모든 실수가 유리수인 것은 아니다. 유리수가 아닌 실수를 무리수라고 한다. 유명한 무리수 실수는 π로, 원의 둘레와 지름의 비율이다. π는 다음과 같이 쓸 수 있다.

:

\pi = 3.14159265358979\dots,

타원 기호는 십진수가 반복된다는 의미가 아니라 (반복되지 않음), 십진수가 끝이 없다는 것을 의미한다. π가 무리수임이 증명되었다. 또 다른 잘 알려진 무리수 실수는 2의 제곱근이다.

:

\sqrt{2} = 1.41421356237\dots,

즉, 제곱이 2인 유일한 양의 실수이다. 이 두 수는 (컴퓨터로) 조(1조 = 10¹² = 1,000,000,000,000) 자릿수까지 근사되었다.

이러한 예뿐만 아니라 거의 모든 실수는 무리수이므로 반복 패턴이 없고, 해당 십진수도 없다. 실수는 십진법 숫자로만 근사될 수 있으며, 반올림 또는 절사된 실수를 나타낸다. 반올림되거나 절사된 숫자는 필연적으로 유리수이며, 그 수는 가산 무한개이다. 모든 측정은 본질적으로 근사이며, 항상 오차 범위가 있다. 따라서 123.456은 10000분의 1234555 이상이고 10000분의 1234565 미만(소수점 셋째 자리까지 반올림) 또는 1000분의 123456 이상이고 1000분의 123457 미만(소수점 셋째 자리에서 절사)인 모든 실수의 근사값으로 간주된다. 측정 자체보다 더 정확함을 암시하는 숫자는 제거해야 한다. 나머지 숫자를 유효 숫자라고 한다. 예를 들어, 자로 측정한 경우 적어도 0.001m의 오차 없이 측정하기는 어렵다. 직사각형의 변이 1.23m와 4.56m로 측정되면, 곱셈으로 직사각형의 면적은 과 사이가 된다. 소수점 뒤 두 번째 자리조차 유지되지 않으므로, 그 다음 자릿수는 "유효하지 않다". 따라서 결과는 일반적으로 5.61로 반올림된다.

같은 분수를 여러 가지 방법으로 쓸 수 있는 것처럼, 같은 실수는 여러 개의 십진법 표현을 가질 수 있다. 예를 들어, 0.999..., 1.0, 1.00, 1.000, ...은 모두 자연수 1을 나타낸다. 주어진 실수는 유한한 소수점 자리수까지의 근사, 무한한 소수점 자리수까지 계속되는 패턴이 확립된 근사, 또는 소수점 자리수가 유한한 정확한 값으로 표현될 수 있다. 이 마지막 경우, 마지막 0이 아닌 숫자는 9보다 하나 작은 숫자로 대체하고 그 뒤에 무한한 9가 올 수 있으며, 마지막 0이 아닌 숫자는 무한한 0이 올 수 있다. 따라서 정확한 실수 3.74는 3.7399999999...와 3.74000000000...로 쓸 수도 있다. 마찬가지로, 무한한 0이 있는 십진법 숫자는 가장 오른쪽에 있는 0이 아닌 숫자 오른쪽에 있는 0을 삭제하여 다시 쓸 수 있으며, 무한한 9가 있는 십진법 숫자는 9보다 작은 가장 오른쪽에 있는 숫자를 1 증가시키고 그 숫자 오른쪽에 있는 모든 9를 0으로 변경하여 다시 쓸 수 있다. 마지막으로, 소수점 오른쪽에 무한한 0의 시퀀스는 삭제할 수 있다. 예를 들어, 6.849999999999... = 6.85이고 6.850000000000... = 6.85이다. 마지막으로, 숫자의 모든 숫자가 0이면 숫자는 0이고, 숫자의 모든 숫자가 끝없는 9의 문자열이면 소수점 오른쪽에 있는 9를 삭제하고 소수점 왼쪽에 있는 9의 문자열에 1을 더할 수 있다. 예를 들어, 99.999... = 100이다.

실수는 최소 상계 속성이라고 하는 중요하지만 매우 기술적인 속성을 가지고 있다.

완전한 순서체는 실수와 동형임을 보일 수 있다. 그러나 실수는 대수적으로 닫힌 체가 아닌데, 대수 방정식

x^2+1=0

에 대한 해(종종 마이너스 1의 제곱근이라고 함)를 포함하지 않기 때문이다.

3. 5. 복소수

복소수는 실수와 허수 ''i''의 결합으로 나타낼 수 있는 수이다. 복소수는 a + bi^영어 형태로 표현되며, 여기서 ''a''와 ''b''는 실수이다. 복소수는 대수학의 기본 정리에 따라 대수적으로 닫힌 체를 이룬다. 즉, 복소수 계수를 갖는 모든 다항식은 복소수에서 근을 갖는다.^[42]

복소수 ''a'' + ''bi''^영어에서 실수 ''a''는 실수부, ''b''는 허수부라고 한다. 복소수의 실수부가 0이면 허수 또는 "순허수"라고 하며, 허수부가 0이면 그 수는 실수가 된다. 따라서 실수는 복소수의 부분 집합이다. 복소수의 실수부와 허수부가 모두 정수이면 가우스 정수라고 한다. 복소수를 나타내는 기호는 '''C''' 또는

\mathbb{C}

이다.

복소수는 체를 형성하며 완비 공간이지만, 실수와 달리 전순서가 아니다. 즉, ''i''가 1보다 크거나 작다고 말하는 것은 의미가 없다. 이는 복소수가 체 연산과 호환되는 전순서가 부족하기 때문이다.^[42]

3. 6. 수의 확장

기수와 서수는 자연수의 개념을 확장한 것이다.^[40] p진수는 유리수의 확장으로, 소수 p에 대한 절댓값을 기반으로 정의된다. 사원수, 팔원수, 십육원수 등은 복소수를 확장한 초복소수 체계이다. 초실수는 무한소와 무한대를 포함하는 수 체계로, 비표준 해석학에서 사용된다.

소수 p에 대한 p진수는 실수와 유사하게 소수점 왼쪽에 무한히 긴 전개를 가질 수 있으며, 사용되는 기수에 따라 다른 수 체계를 가진다. p진수는 유리수를 포함하지만, 복소수에는 포함되지 않는다.

복소수를 확장하여 구성된 초복소수 체계에는 곱셈이 교환 법칙을 따르지 않는 사원수, 곱셈이 교환 법칙과 결합 법칙을 모두 따르지 않는 팔원수, 곱셈이 대안적이지도 않고 결합 법칙과 교환 법칙도 따르지 않는 십육원수 등이 있다. 각 초복소수 체계는 케이리-딕슨 구성을 통해 얻은 두 배의 차원을 가진 다음 초복소수 체계의 부분 집합이다.

무한 집합을 다루기 위해 자연수는 서수와 기수로 일반화되었다. 유한 집합의 경우 서수와 기수는 모두 자연수와 동일하지만, 무한의 경우 많은 서수는 동일한 기수에 해당한다.

4. 수의 연산

수는 더하기, 빼기, 곱하기, 나누기 등의 연산을 수행할 수 있다. (사칙연산 참조) 이러한 연산은 추상대수학에서 군, 환, 체 등의 형태로 일반화되어 연구된다.

5. 기수법

수를 숫자로 나타내는 방법을 기수법이라고 한다. 같은 수라도 다양한 기수법에 따라 다르게 표현될 수 있다. 예를 들어 십진법의 "255"는 16진법에서는 "FF"로, 이진법에서는 "1111 1111"로 표기된다.^[44]

인류는 고대에 12진법이나 60진법을 사용했지만, 현대에는 시간과 시각 (시, 분, 초)이나 위도, 경도 표시에 일부 사용되고 있다. 20세기 후반 디지털 컴퓨터 사용이 급증하면서 이진법과 16진법 활용이 활발해졌다.

어떤 수를 나타내는 기수법이 정해져도, 표기가 하나로 정해지지 않는 경우가 있다. 예를 들어 십진 소수 표기에서 1 = 0.999... (소수점 이하 모든 자리가 9)와 같이 두 가지 표기가 가능하다.

5. 1. 십진법

인류는 고대에 12진법이나 60진법을 사용해 왔다. 점차 사용이 줄어들었지만 현대에도 시간과 시각의 표시법 (시, 분, 초)이나 위도, 경도의 표시법 등에서 사용되고 있다.^[44] 근현대에는 대체로 십진법 표기가 사용되는 경우가 많다. 이론상으로는 다양한 n진법을 채택할 수 있는데, 왜 십진법이 채택되는 경우가 많아졌는가에 대한 의문에 관해서는, "인류의 양 손의 손가락은 합해서 10개가 있으며, 양손의 손가락을 사용하여 수를 세는 것이 많은 민족에서 행해졌기 때문이다"라는 설명이 자주 된다.^[44] 양손의 손가락을 전부 사용한 곳에서 일종의 "한 묶음"이나 "한 구분"을 맞이하므로, 자연스럽게 인류는 십진법이라는 발상법 (기술법)을 사용하게 되었다는 설명이다.

5. 2. 이진법

이진법은 0과 1, 두 개의 숫자만을 사용하여 수를 나타내는 방법이다. 십진법의 '255'는 16진법에서는 'FF'로, 이진법에서는 '1111 1111'로 표기된다.^[44] 이처럼 표기는 다르지만, 이들은 모두 같은 수를 나타낸다.

20세기 후반 디지털 컴퓨터의 사용이 늘면서, 계산 과학 전문가와 컴퓨터 기술자를 중심으로 이진법과 16진법이 활발히 사용되었다. 이는 이진법이 디지털 컴퓨터의 CPU에서 수를 표현하는 방식과 직접 연결되기 때문이다.^[44]

하지만 이진법은 표기량이 많아지면 '1010 1111 0101 1100 ...'처럼 자릿수가 매우 길어지고, 0과 1만 사용하기 때문에 사람이 다루기 어렵다. 그래서 이진법을 16진법으로 변환하여 'AF5C...'와 같이 표기하거나, 16진법으로 프로그램을 작성하고, 16진법에 대응하는 키보드로 입력하는 방식이 사용되었다.^[44]

이진수의 4자리는 16진수의 1자리로 정확하게 변환될 수 있어 편리하다. 예를 들어 이진수 '1010'은 16진수 'A'로 변환된다. 컴퓨터는 'A' 키가 눌리면 내부적으로 '1010'으로 표현(디지털 회로의 ON/OFF)하고, 2진수 4자리씩 데이터를 처리한다.^[44]

최근에는 시스템 개발의 초점이 바뀌면서 컴퓨터 엔지니어가 16진법을 직접 다루는 일은 줄었지만, 디지털 컴퓨터는 여전히 이진법을 기반으로 작동한다. 따라서 컴퓨터 엔지니어 자격 시험에서는 이진법, 16진법, 십진법 간의 상호 변환이 필수적이다.^[44]

5. 3. 십육진법

20세기 후반 디지털 컴퓨터 사용이 급증하면서, 계산 과학 전문가나 컴퓨터 기술자를 중심으로 이진법과 함께 십육진법 활용이 활발해졌다. 이진법은 디지털 컴퓨터의 CPU에서의 수 표현과 직결되기 때문이다. 다만 이진법은 표기량이 증가하면 자릿수가 너무 많아지고, "0"과 "1"뿐이라 인간이 다루기 어렵기 때문에, 십육진법으로 변환하여 표기하거나, 십육진법으로 프로그램을 작성하거나, 십육진법에 대응하는 키보드로 입력하는 구조를 만들었다.^[44]

이진수 표기와 16진수 표기는, 이진수의 4자리가 16진수의 1자리로 정확하게 변환될 수 있어 편리하게 사용되었다. 예를 들어 이진수 "1010"은 십육진수 "A"로 변환할 수 있다. 컴퓨터에서 "A" 키가 눌리면 내부적으로 "1010"으로 표현하면 되고, 2진수로 4자리씩 데이터를 가져오면 되었다.^[44]

예를 들어 십진법의 "255"는 16진법에서는 "FF"로, 이진법에서는 "1111 1111"로 표기된다. 이처럼 표기는 다르지만 모두 같은 수를 나타낸다.^[44]

최근에는 시스템 개발의 초점이 되는 차원이 바뀌어 컴퓨터 엔지니어가 16진법을 직접 다루는 일은 줄었지만, 디지털 컴퓨터는 여전히 이진법을 근본 원리로 작동하며, 십육진법은 이진법과의 호환성 때문에 여전히 중요하다. 컴퓨터 엔지니어 자격 시험에서는 이진법, 십육진법, 십진법 간의 상호 변환이 필수 사항이다.^[44]

6. 컴퓨터에서의 수

디지털 컴퓨터에서는 모든 데이터가 내부적으로 0 또는 1, 즉 스위치의 OFF/ON 상태나 Low/High라는 두 종류의 전압 형태로 존재한다.^[1] 하나의 스위치 상태가 0 또는 1에 대응하며, 이를 통해 이진법을 표현할 수 있다.^[1] 하나의 스위치, 즉 0 또는 1 하나를 1비트라고 부른다.^[1]

스위치 개수를 늘려 조합하면 더 많은 자릿수의 이진수를 표현할 수 있다.^[1] 8개의 비트를 묶어 1바이트라고 하며, 1바이트는 2⁸=256 종류의 값을 표현할 수 있다.^[1] 1바이트는 0~255 또는 -128~127 범위의 정수를 표현할 수 있다.^[1] 더 큰 정수는 더 많은 비트와 바이트를 사용하여 표현한다.^[1] 예를 들어, 2바이트는 -32768~+32767 범위를 표현할 수 있다.^[1] CPU가 한 번에 처리할 수 있는 비트 수가 증가함에 따라(1바이트 → 2바이트 → 4바이트 → 8바이트) 더 큰 정수를 표현하고 처리할 수 있게 되었다.^[1]

이처럼 컴퓨터는 자연수, 음수, 정수, 실수를 전압(0 또는 1)의 집합으로 표현하고, 스위치 전위를 빠르게 변화시켜 연산을 수행한다.^[1]

PC 등에서는 문자 코드를 사용하여 문자도 숫자로 표현한다.^[2] 예를 들어, A는 ASCII 코드, 시프트 JIS, UTF-8 등에서 16진수로 0x41(10진수로 65)이고, a는 0x61(10진수로 97)이다.^[2] 숫자 '0'은 문자로 0x30(10진수로 48)이다.^[2]

참조

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_[3] 뉴스 The Origin of Zero https://www.scientif[...] 2017-05-16
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_[41] 사전 かず【数】 https://dictionary.g[...] 小学館
_[42] 서적 ZERO, THE BIOGRAPHY OF A DANGEROUS IDEA Souvenir Press 2000
_[43] 서적 科学と方法岩波書店
_[44] 문서

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