아이디얼 몫

1. 개요

아이디얼 몫은 가환환의 두 아이디얼에 대해 정의되는 아이디얼이며, $(\backslash mathfrak\; i:\backslash mathfrak\; j)\; =\; \backslash \{r\; \backslash in\; R\backslash colon\; r\backslash mathfrak\; j\; \backslash subseteq\; \backslash mathfrak\; i\backslash \}$로 표현된다. 아이디얼 몫은 덧셈에 대해 가환 모노이드, 아벨 군, 가군을 이루는 조건을 만족하며, $(\backslash mathfrak\{i\}:R)\; =\; \backslash mathfrak\{i\}$, $(R:\backslash mathfrak\{j\})\; =\; R$, $(0:\backslash mathfrak\{j\})\; =\; \backslash operatorname\{Ann\}\_R(\backslash mathfrak\{j\})$ 등의 성질을 갖는다. 또한, 아이디얼 몫은 분배 법칙을 따르며, 대수기하학에서 집합의 차이와 관련된다. 다항식환에서 아이디얼 몫을 계산하는 방법과 정수환에서의 예시, 그리고 대수적 정수론과 스킴 이론에서의 응용을 찾아볼 수 있다.

2. 정의

가환환 $R$의 아이디얼 $\backslash mathfrak\{i\},\; \backslash mathfrak\{j\}\; \backslash subseteq\; R$가 주어졌을 때, 몫 아이디얼 $(\backslash mathfrak\{i\}:\backslash mathfrak\{j\})$은 $r\backslash mathfrak\{j\}\; \backslash subseteq\; \backslash mathfrak\{i\}$를 만족하는 모든 $r\; \backslash in\; R$의 부분집합이다. 이는 $R$의 아이디얼을 이룬다.

3. 성질

아이디얼 몫은 여러 유용한 성질들을 가지며, 이를 통해 계산 및 기하학적 해석이 용이하다. 특히, 아이디얼 몫은 '분배 법칙'과 유사한 성질을 만족시켜, 대수다양체의 교집합 및 합집합과 관련된 연산에 유용하게 활용된다.

아이디얼 몫은 기하학적으로, $J\; \backslash supseteq\; I$일 때 $I\; \backslash setminus\; J\; =\; \backslash varnothing$임을 나타낸다.

아이디얼의 합은 대략 부분 대수다양체의 교집합에 해당하며, 아이디얼의 교집합은 대략 부분 대수다양체의 합집합에 해당한다. 따라서 이는 집합론적 항등식 $I\; \backslash setminus\; (J\; \backslash cap\; K)\; =\; (I\; \backslash setminus\; J)\; \backslash cup\; (I\backslash setminus\; K)$에 대응된다.

또한, 아이디얼 몫은 다항식 환에서 주어진 생성원을 갖는 아이디얼의 몫을 계산하는 데 사용될 수 있다.

3.1. 기본 성질

다음이 성립한다.

* $(\backslash mathfrak\{i\}:R)\; =\; \backslash mathfrak\{i\}$
* $(R:\backslash mathfrak\{j\})\; =\; R$
* $(0:\backslash mathfrak\{j\})\; =\; \backslash operatorname\{Ann\}\_R(\backslash mathfrak\{j\})$ (소멸자)
* $(\backslash mathfrak\{i\}:0)\; =\; R$

만약 $\backslash mathfrak\{j\}\; \backslash subseteq\; \backslash mathfrak\{i\}$라면, 다음이 성립한다.

:$(\backslash mathfrak\{i\}:\backslash mathfrak\{j\})\; =\; R$

아이디얼 몫은 다음과 같은 ‘분배 법칙’을 따른다.

:$(\backslash mathfrak\{i\}:(\backslash mathfrak\{j\}+\backslash mathfrak\{k\}))\; =\; (\backslash mathfrak\{i\}:\backslash mathfrak\{j\})\; \backslash cap\; (\backslash mathfrak\{i\}:\backslash mathfrak\{k\})$

아이디얼 몫은 다음 속성을 만족한다.

* $(I\; :J)=\backslash operatorname\{Ann\}\_R((J+I)/I)$ ($R$-가군. 여기서 $\backslash mathrm\{Ann\}\_R(M)$은 $R$-가군 $M$의 소멸자.)
* $J\; \backslash subseteq\; I\; \backslash Leftrightarrow\; (I\; :\; J)\; =\; R$ (특히, $(I\; :\; I)\; =\; (R\; :\; I)\; =\; (I\; :\; 0)\; =\; R$)
* $(I\; :\; R)\; =\; I$
* $(I\; :\; (JK))\; =\; ((I\; :\; J)\; :\; K)$
* $(I\; :\; (J\; +\; K))\; =\; (I\; :\; J)\; \backslash cap\; (I\; :\; K)$
* $((I\; \backslash cap\; J)\; :\; K)\; =\; (I\; :\; K)\; \backslash cap\; (J\; :\; K)$
* $(I\; :\; (r))\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\}(I\; \backslash cap\; (r))$ (단, R이 정역일 경우)

3.2. 추가 성질

다음이 성립한다.

* $(I\; :J)=\backslash mathrm\{Ann\}\_R((J+I)/I)$. 여기서 $\backslash mathrm\{Ann\}\_R(M)$은 $R$-가군 $M$의 소멸자를 나타낸다.
* $J\; \backslash subseteq\; I\; \backslash Leftrightarrow\; (I\; :\; J)\; =\; R$ (특히, $(I\; :\; I)\; =\; (R\; :\; I)\; =\; (I\; :\; 0)\; =\; R$)
* $(I\; :\; R)\; =\; I$
* $(I\; :\; (JK))\; =\; ((I\; :\; J)\; :\; K)$
* $(I\; :\; (J\; +\; K))\; =\; (I\; :\; J)\; \backslash cap\; (I\; :\; K)$
* $((I\; \backslash cap\; J)\; :\; K)\; =\; (I\; :\; K)\; \backslash cap\; (J\; :\; K)$
* $(I\; :\; (r))\; =\; \backslash frac\{1\}\{r\}(I\; \backslash cap\; (r))$ (단, R이 정역일 경우)

위 성질은 다항식 환에서 주어진 생성원을 갖는 아이디얼의 몫을 계산하는 데 사용될 수 있다. 예를 들어 I = (f₁, f₂, f₃) 및 J = (g₁, g₂)가 k[x₁, ..., x_n]의 아이디얼이면, 다음이 성립한다.

:$I\; :\; J\; =\; (I\; :\; (g\_1))\; \backslash cap\; (I\; :\; (g\_2))\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{g\_1\}(I\; \backslash cap\; (g\_1))\backslash right)\; \backslash cap\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{g\_2\}(I\; \backslash cap\; (g\_2))\backslash right)$

그러면 elimination theory를 사용하여 I와 (g₁) 또는 (g₂)의 교집합을 계산할 수 있다.

:$I\; \backslash cap\; (g\_1)\; =\; tI\; +\; (1-t)(g\_1)\; \backslash cap\; k[x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n],\; \backslash quad\; I\; \backslash cap\; (g\_2)\; =\; tI\; +\; (1-t)(g\_1)\; \backslash cap\; k[x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n]$

사전식 순서에 대해 tI + (1-t)(g₁)의 그뢰브너 기저를 계산하면, t를 갖지 않는 기저 함수는 $I\; \backslash cap\; (g\_1)$를 생성한다.

4. 계산

위 속성을 이용하면 생성자가 주어졌을 때 다항식환에서 아이디얼의 몫을 계산할 수 있다. 예를 들어, I = (f₁, f₂, f₃)이고 J = (g₁, g₂)가 k[x₁, ..., x_n]의 아이디얼이면, 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$I\; :\; J\; =\; (I\; :\; (g\_1))\; \backslash cap\; (I\; :\; (g\_2))\; =\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{g\_1\}(I\; \backslash cap\; (g\_1))\backslash right)\; \backslash cap\; \backslash left(\backslash frac\{1\}\{g\_2\}(I\; \backslash cap\; (g\_2))\backslash right)$

그런 다음 소거 이론을 사용하여 I와 (g₁) 및 (g₂)의 교집합을 계산할 수 있다.

:$I\; \backslash cap\; (g\_1)\; =\; tI\; +\; (1-t)\; (g\_1)\; \backslash cap\; k[x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n],\; \backslash quad\; I\; \backslash cap\; (g\_2)\; =\; tI\; +\; (1-t)\; (g\_2)\; \backslash cap\; k[x\_1,\; \backslash dots,\; x\_n]$

사전식 순서에 따라 $tI+(1-t)(g\_1)$에 대한 그뢰브너 기저를 계산한다. 그러면 t가 없는 기저 함수는 $I\; \backslash cap\; (g\_1)$을 생성한다.

5. 기하학적 해석

아이디얼 몫은 대수기하학에서 집합의 차, 특히 대수다양체의 차집합과 밀접하게 관련되어 있다. 자리스키 위상에서의 폐포 개념을 사용하여, 아이디얼 몫이 기하학적으로 어떤 의미를 갖는지 설명할 수 있다.

아이디얼 몫은 다음과 같은 성질을 갖는다.

* W가 아핀 대수다양체이고, V가 아핀 공간의 부분 집합(반드시 다양체일 필요는 없음)이라면,
:$I(V)\; :\; I(W)\; =\; I(V\; \backslash setminus\; W)$
:여기서 $I(\backslash bullet)$는 부분 집합에 관련된 아이디얼을 취하는 것을 나타낸다.
* I와 J가 다항식환의 아이디얼이고, I가 근기 아이디얼이면,
:$Z(I\; :\; J)\; =\; \backslash operatorname\{cl\}(Z(I)\; \backslash setminus\; Z(J))$
:여기서 $\backslash operatorname\{cl\}(\backslash bullet)$는 자리스키 위상에서의 폐포를 나타내고, $Z(\backslash bullet)$는 아이디얼에 의해 정의된 다양체를 취하는 것을 나타낸다.
* 만약 I가 근기 아이디얼이 아니라면, 아이디얼 J를 포화시키면 동일한 성질이 유지된다.
:$Z(I\; :\; J^\{\backslash infty\})\; =\; \backslash operatorname\{cl\}(Z(I)\; \backslash setminus\; Z(J))$
:여기서 $(I\; :\; J^\backslash infty\; )=\; \backslash cup\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; (I:J^n)$이다.

5.1. 대수다양체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 다항식환 $K[x\_1,\backslash dotsc,x\_n]$의 두 아이디얼 $\backslash mathfrak\; i,\backslash mathfrak\; j\; \backslash subseteq\; K[x\_1,\backslash dotsc,x\_n]$에 대하여, $\backslash mathfrak\; i$가 소근기와 일치하는 근기 아이디얼($\backslash mathfrak\; i=\backslash sqrt\{\backslash mathfrak\; i\}$)이면 다음이 성립한다.
:$Z(\backslash mathfrak\; i:\backslash mathfrak\; j)\; =\; \backslash operatorname\{cl\}(Z(\backslash mathfrak\; i)\; \backslash setminus\; Z(\backslash mathfrak\; j))$
여기서
* $\backslash operatorname\{cl\}(-)$은 자리스키 위상에서 부분 집합의 폐포이다.
* $Z(\backslash mathfrak\; j)$는 $\backslash mathfrak\; j$에 대응하는 부분 대수다양체의 점들이다.

예를 들어, $\backslash mathbb\; C[x,y,z]$ (복소수 3차원 아핀 공간) 속의 아이디얼 $(xyz)$ ($x$평면· $y$평면 · $z$평면의 합집합)와 $(xy)$($x$평면과 $y$평면의 합집합)를 생각하면,
:$((xyz):(xy))\; =\; (z)$
이다. 즉, 아이디얼 몫은 집합의 차이에 해당함을 알 수 있다.

일반적으로, W가 (반드시 기약일 필요는 없는) 아핀 대수다양체이고, V가 아핀 공간의 부분 집합(반드시 다양체일 필요는 없음)이라면,
:$I(V)\; :\; I(W)\; =\; I(V\; \backslash setminus\; W)$
가 성립한다. 여기서 $I(\backslash bullet)$는 부분 집합에 관련된 아이디얼을 취하는 것을 나타낸다.

또한, I와 J가 k[x₁, ..., x_n]의 아이디얼이고, k가 대수적으로 닫힌 체이며 I가 근기 아이디얼이라면,
:$Z(I\; :\; J)\; =\; \backslash operatorname\{cl\}(Z(I)\; \backslash setminus\; Z(J))$
가 성립한다. 여기서 $\backslash operatorname\{cl\}(\backslash bullet)$는 자리스키 위상에서의 폐포를 나타내고, $Z(\backslash bullet)$는 아이디얼에 의해 정의된 다양체를 취하는 것을 나타낸다.

만약 I가 근기 아이디얼이 아니라면,
:$Z(I\; :\; J^\{\backslash infty\})\; =\; \backslash operatorname\{cl\}(Z(I)\; \backslash setminus\; Z(J))$
가 성립한다. 여기서 $(I\; :\; J^\backslash infty\; )=\; \backslash cup\_\{n\; \backslash geq\; 1\}\; (I:J^n)$이다.

5.2. 예시

정수환 \(\mathbb Z\)은 주 아이디얼 정역이므로, 모든 아이디얼은 주 아이디얼이다. 이 경우 아이디얼 몫은 다음과 같다.
: \(((m):(n)) = \left(\frac m{\gcd\{m,n\}}\right)\)
여기서 \(\gcd\)는 최대공약수이다. 또한,
: \(\gcd\{m,0\} = m\)
: \(\frac00 = 1\)
로 간주한다. 즉, 풀어 쓴다면 다음과 같다.
: \(((m):(n)) =
\begin{cases}
(m/\gcd\{m,n\}) & m \ne 0 \ne n \\
(1) & n = 0 \\
(0) & m = 0 \ne n
\end{cases}\)

만약 \(m\)이 \(n\)의 배수일 경우 \(((m):(n)) = (m/n)\) 이 된다. 반면, \(m\)과 \(n\)이 서로소인 경우 \(((m):(n)) = (m)\) 이다.

* \(\mathbb{Z}\)에서 \(((6):(2)) = (3)\)이다.
* 대수적 정수론에서 아이디얼 몫은 분수 아이디얼을 연구할 때 유용하다. 이는 가환환 \(R\)의 가역 분수 아이디얼 \(I\)의 역이 아이디얼 몫 \(((1):I) = I^{-1}\)로 주어지기 때문이다.
* 아이디얼 몫의 기하학적 응용은 아핀 스킴의 기약 성분을 제거하는 것이다. 예를 들어, \(\mathbb{C}[x,y,z]\)에서 \(I = (xyz)\), \(J = (xy)\)를 \(\mathbb{A}^3_\mathbb{C}\)에서 x, y, z 평면의 합집합과 x, y 평면에 해당하는 아이디얼이라고 하자. 그러면 아이디얼 몫 \((I:J) = (z)\)는 \(\mathbb{A}^3_\mathbb{C}\)에서 z 평면의 아이디얼이다. 이는 아이디얼 몫을 사용하여 기약 부분 스킴을 "삭제"하는 방법을 보여준다.
* 가약 아이디얼의 아이디얼 몫을 취하는 것은 스킴 이론에서 유용하다. 예를 들어, 아이디얼 몫 \(((x^4y^3):(x^2y^2)) = (x^2y)\)는 동일한 축소 부분 스킴을 갖는 비 축소 스킴의 부분 스킴의 아이디얼 몫이 비 축소 구조의 일부를 제거함을 보여준다.
* 사영 스킴에 해당하는 아이디얼의 포화는 이전 예제를 사용하여 찾을 수 있다. 주어진 동차 아이디얼 \(I \subset R[x_0,\ldots,x_n]\)에 대해, \(I\)의 포화는 아이디얼 몫 \((I: \mathfrak{m}^\infty) = \cup_{i \geq 1} (I:\mathfrak{m}^i)\)로 정의되며, 여기서 \(\mathfrak{m} = (x_0,\ldots,x_n) \subset R[x_0,\ldots, x_n]\)이다. \(\mathfrak{m}\)에 포함된 \(R[x_0,\ldots, x_n]\)의 포화 아이디얼 집합은 \(\mathbb{P}^n_R\)의 사영 부분 스킴 집합과 전단사 관계에 있다는 정리가 있다. 이는 \((x^4 + y^4 + z^4)\mathfrak{m}^k\)가 \(\mathbb{P}^2_\mathbb{C}\)에서 \((x^4 + y^4 + z^4)\)와 동일한 평면 곡선을 정의한다는 것을 보여준다.