약한 골트바흐의 추측
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1. 개요
약한 골드바흐의 추측은 1742년 크리스티안 골트바흐가 레온하르트 오일러에게 보낸 편지에서 처음 언급된 것으로, 모든 홀수 정수는 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 내용이다. 1937년 비노그라도프는 충분히 큰 홀수에 대해 약한 골드바흐의 추측이 성립함을 증명했고, 2013년 하랄드 헬프갓은 약한 골드바흐의 추측을 증명하는 논문을 발표했다. 이 추측은 강한 골드바흐의 추측과 관련이 있으며, 약한 골드바흐의 추측이 참일 경우 4 이상의 자연수는 최대 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
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약한 골트바흐의 추측 | |
---|---|
개요 | |
![]() | |
분야 | 수론 |
제안자 | 크리스티안 골트바흐 |
제안일 | 1742년 |
증명 | 하랄트 헬프고트 |
증명 완료일 | 2013년 |
함의 | 골드바흐의 추측 |
다른 이름 | 약한 골드바흐 추측 홀수 골드바흐 추측 삼항 골드바흐 문제 |
설명 | |
골드바흐의 약한 추측 | 5보다 큰 모든 홀수는 세 개의 소수의 합으로 표현될 수 있다. |
관련 연구 | |
주요 논문 | 주요 호(Major arcs)에 대한 골드바흐 정리 골드바흐 문제에 대한 작은 호(Minor arcs) |
2. 역사
약한 골트바흐의 추측의 원형은 골트바흐의 추측과 마찬가지로 1742년 6월 7일 크리스티안 골트바흐가 레온하르트 오일러에게 보낸 편지에 언급되었다. 오일러는 편지의 추측을 정리하여 "모든 양의 정수는 최대 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 추측을 제시하였다. 이 추측은 크리스티안 골드바흐와 레온하르트 오일러 사이의 서신 교환에서 비롯되었다.
더 흔히 두 소수의 합으로 표현되는 강한 골드바흐 추측의 한 가지 공식은 다음과 같다.
:5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현될 수 있다.
약한 추측은 단순히 이 명제를 정수가 홀수인 경우로 제한한 것이다(그리고 합의 세 소수가 홀수여야 한다는 요구 사항이 추가될 수 있다).
'''골드바흐의 추측#현재까지의 주요 진전'''도 참조.
- 1923년, 고드프리 H. 하디와 존 E. 리틀우드는 일반화된 리만 가설을 가정하면, 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 보였다.
- 1937년, 비노그라도프는 일반화된 리만 가설에 의존하지 않고, 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 보였다. (비노그라도프의 정리 참조)
- 1956년, 비노그라도프의 제자인 K. Borozdin은 가 "충분히 큰 홀수"의 하한임을 보였다. 이는 십진법 표기로 684만 6169 자리의 수이다.
- 1995년, 올리비에 라마레는 모든 5 이상의 홀수는 기껏해야 7개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 보였다.
- 1997년, Deshouillers, Effinger, te Riele, Zinoviev는 일반화된 리만 가설을 가정하면, 약한 골드바흐의 추측이 모든 홀수에 대해 성립함을 증명했다.[17]
- 2002년, 랴오밍저와 왕톈저는 보다 큰 홀수에 대해서는 약한 골드바흐의 추측이 성립함을 증명했다.
- 2012년, 테렌스 타오는 모든 3 이상의 홀수는 기껏해야 5개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명했다.[18]
- 2013년, 하랄드 헬프갓은 약한 골드바흐의 추측을 무조건적으로 증명했다고 주장하는 논문을 발표했다.[15][16]
2. 1. 사용하는 소수의 개수를 줄이는 방법
1933년, L. Schnirelmann은 어떤 상수 K가 존재하여 1보다 큰 모든 정수를 최대 K개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명하였다.[19] 1969년, K. I. Klimov는 K = 6×109을 증명하였고, 이후 G. Z. Piltay, T. A. Sheptickaja와 함께 K = 115, 그리고 K = 55로 그 값을 개선하였다. 이후 R. C. Vaughan의 K = 27[20], J.-M. Deshouillers의 K = 26[21], H. Riesel와 R. C. Vaughan의 K = 19[22]로 필요한 소수의 개수가 점점 개선되어갔다.1995년, O. Ramaré는 모든 짝수가 최대 6개의 소수의 합으로 표현될 수 있음을 증명하였다.[23] 2012년, 테렌스 타오는 1보다 큰 모든 홀수가 최대 5개의 소수의 합으로 나타내어짐을 증명하였다.[24]
2. 2. 추측이 성립하는 홀수의 하계를 줄이는 방법
1937년 이반 비노그라도프는 약한 골트바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였다.[25] 이 증명으로는 그 하계 C를 계산할 수 없었지만, 이후 비노그라도프는 C를 계산할 수 있는 다른 증명을 발표하였다.[26][27] K. K. Mardzhanishvili가[25] 이를 발전시켜 C를 계산할 수 있는 증명을 발표하였다.[28] 처음 C를 계산한 것은 비노그라도프의 지도 아래 K. G. Borodzkin가 작성한 미출판된 박사 학위 논문(1936년)으로 알려져 있으며, 그 값은 exp(exp(exp(41.96)))이었다.[29]이후 1956년 K. G. Borodzkin는 C = 3315 ≈ 107000000을 증명하였다.[30][39] 1989년 천징룬과 T. Z. Wang은 C = exp(exp(11.503)) < 4×1043000을 증명하였으며,[31] 1996년에는 C = exp(exp(9.715)) < 6×107193을 증명하였다.[32] 2002년 M.-Ch. Liu와 T. Wang은 C = 2×101346을 증명하였다.[33]
2013년 H. A. Helfgott는 C = 1027을 증명하였다.[34] 같은 해, H. A. Helfgott와 D. Platt가 컴퓨터를 이용한 계산으로 8.875×1030 이하의 홀수들에 대해 추측이 성립함을 검증하여,[35] 약한 골트바흐의 추측이 증명되었다.
1923년, 고드프리 H. 하디와 존 E. 리틀우드는 일반화된 리만 가설을 가정하면, 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 보였다. 1997년, Deshouillers, Effinger, te Riele, Zinoviev는 일반화된 리만 가설을 가정하면, 약한 골드바흐의 추측이 모든 홀수에 대해 성립함을 증명했다[17]。2012년, 테렌스 타오는 모든 3 이상의 홀수는 기껏해야 5개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명했다[18]。
2. 3. 일반화 리만 가설을 가정하였을 때
1922년 하디와 리틀우드는 일반화 리만 가설이 참이라는 가정 하에, 충분히 큰 모든 홀수를 세 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명하였다.[36] 1997년 D. Zinoviev는 이 하계를 1020으로 발전시켰다.[38] 같은 해, 컴퓨터를 이용한 계산으로 1020 미만의 홀수에 대해 추측이 참이라는 것이 검증되었다.[39][40]1997년, 데슐리에, Effinger, 테 릴레와 지노비에프는 일반화된 리만 가설이 모든 숫자에 대해 골드바흐의 약한 추측을 함축한다는 결과를 발표했다.[6] 이 결과는 1020보다 큰 숫자에 대해 유효한 일반적인 명제와 작은 경우에 대한 광범위한 컴퓨터 검색을 결합한것이다.[6]
1926년 에드문트 란다우의 학생 B. Lucke가 미출판된 박사 학위 논문에서 동일한 가정 하에 1032라는 하계를 증명하였다는 기록이 있다.[37] 1999년 G. Effinger는 하디와 리틀우드의 논문의 계산을 발전시켜, 충분히 큰 홀수의 하계를 1.24×1050으로 계산하였다.[37]
3. 골트바흐의 추측과의 관계
골트바흐의 추측은 "2 초과의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 추측으로, 약한 골트바흐의 추측을 함의한다. 이는 골트바흐의 추측이 참일 경우 7 이상의 홀수 a를 3+(a-3)으로 나누고, (4 이상의 짝수) a-3에 대해 골트바흐의 추측을 적용하여 두 소수의 합으로 나타내는 방식을 이용해 결과적으로 a를 세 소수의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다.
골드바흐의 추측이 옳다고 가정하면 4 이상의 짝수는 2개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 따라서 자연수를 n이라고 하면, n번째 양의 짝수에 대해
:
을 만족하는 소수 p1 , p2가 반드시 존재하게 된다. 여기서 n+2 번째 양의 홀수는
:
과 같이 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있으므로, 약한 골드바흐의 추측도 옳다.
반대로 약한 골드바흐의 추측이 옳다고 가정하면 n번째 양의 홀수에 대해
:
을 만족하는 소수 p1 , p2 , p3가 반드시 존재하게 된다. 여기서 n번째 양의 짝수는
:
으로 나타낼 수 있지만, p2 + p3 + 1은 소수라고는 할 수 없으므로 (p2 = 3 , p3 = 5인 경우 등) ''강한'' 골드바흐의 추측은 증명할 수 없다.
이러한 점들로부터, 약한 골드바흐의 추측은 ''강한'' 골드바흐의 추측의 계라고 할 수 있다.
:
이라면
:
이므로, 이 추측이 옳다면 8보다 큰 짝수는 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있게 된다. 또한, 8도 8 = 2 + 2 + 2 + 2 와 같이 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있으므로, 약한 골드바흐의 추측이 옳다면 7 이상의 자연수는 3개 또는 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 이는 "약한 골드바흐의 추측이 옳다면 4 이상의 자연수는 기껏 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 바꿔 말할 수도 있다. 골드바흐의 추측에 대해서는 이와 마찬가지로 "골드바흐의 추측이 옳다면 4 이상의 자연수는 기껏해야 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 할 수 있다.
4. 기타
작은 홀수를 순서대로 3개의 소수의 합으로 나타내면 다음과 같다.
- 7 = 2 + 2 + 3
- 9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3
- 11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5
- 13 = 3 + 3 + 7 = 3 + 5 + 5
- 15 = 2 + 2 + 11 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5
- 17 = 2 + 2 + 13 = 3 + 3 + 11 = 5 + 5 + 7
- 19 = 3 + 3 + 13 = 3 + 5 + 11 = 5 + 7 + 7
- 21 = 2 + 2 + 17 = 3 + 5 + 13 = 5 + 5 + 11 = 7 + 7 + 7
- 23 = 2 + 2 + 19 = 3 + 3 + 17 = 5 + 5 + 13 = 5 + 7 + 11
3개의 소수의 합은 6 이상이므로, 5 이하의 홀수는 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한 3개의 홀수 소수의 합은 9 이상이므로, 7은 3개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 없다.
"7보다 큰 홀수는 3개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 명제는 골드바흐 추측의 "4보다 큰 짝수는 2개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 명제와 유사하다.
7 이상의 홀수가 n을 자연수, p를 홀수 소수로 하여
: 2n - 1 = 2 + 2 + p
와 같이 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다면, 그 다음 홀수도
: 2n + 1 = 3 + 3 + p
와 같이 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.
"5보다 큰 홀수는 1개의 홀수 소수와 2개의 같은 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 레모인 추측과 유사한 추측도 있다.
참조
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서적
"Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle"
https://books.google[...]
St.-Pétersbourg
1843
[2]
웹사이트
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https://press.prince[...]
1996-12-14
[3]
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https://webusers.imj[...]
2021-04-06
[4]
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[6]
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Checking the odd Goldbach conjecture up to 1020
1998-04
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