약한 골트바흐의 추측

1. 개요

약한 골드바흐의 추측은 1742년 크리스티안 골트바흐가 레온하르트 오일러에게 보낸 편지에서 처음 언급된 것으로, 모든 홀수 정수는 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다는 내용이다. 1937년 비노그라도프는 충분히 큰 홀수에 대해 약한 골드바흐의 추측이 성립함을 증명했고, 2013년 하랄드 헬프갓은 약한 골드바흐의 추측을 증명하는 논문을 발표했다. 이 추측은 강한 골드바흐의 추측과 관련이 있으며, 약한 골드바흐의 추측이 참일 경우 4 이상의 자연수는 최대 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

2. 역사

약한 골트바흐의 추측의 원형은 골트바흐의 추측과 마찬가지로 1742년 6월 7일 크리스티안 골트바흐가 레온하르트 오일러에게 보낸 편지에 언급되었다. 오일러는 편지의 추측을 정리하여 "모든 양의 정수는 최대 세 개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 추측을 제시하였다. 이 추측은 크리스티안 골드바흐와 레온하르트 오일러 사이의 서신 교환에서 비롯되었다.

더 흔히 두 소수의 합으로 표현되는 강한 골드바흐 추측의 한 가지 공식은 다음과 같다.

:5보다 큰 모든 정수는 세 소수의 합으로 표현될 수 있다.

약한 추측은 단순히 이 명제를 정수가 홀수인 경우로 제한한 것이다(그리고 합의 세 소수가 홀수여야 한다는 요구 사항이 추가될 수 있다).

골드바흐의 추측#현재까지의 주요 진전도 참조.

* 1923년, 고드프리 H. 하디와 존 E. 리틀우드는 일반화된 리만 가설을 가정하면, 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 보였다.
* 1937년, 비노그라도프는 일반화된 리만 가설에 의존하지 않고, 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 보였다. (비노그라도프의 정리 참조)
* 1956년, 비노그라도프의 제자인 K. Borozdin은 $3^\{3^\{15\}\}\; \backslash ,$ 가 "충분히 큰 홀수"의 하한임을 보였다. 이는 십진법 표기로 684만 6169 자리의 수이다.
* 1995년, 올리비에 라마레는 모든 5 이상의 홀수는 기껏해야 7개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 보였다.
* 1997년, Deshouillers, Effinger, te Riele, Zinoviev는 일반화된 리만 가설을 가정하면, 약한 골드바흐의 추측이 모든 홀수에 대해 성립함을 증명했다.
* 2002년, 랴오밍저와 왕톈저는 $e^\{3100\}\; \backslash approx\; 2\; \backslash times\; 10^\{1346\}$ 보다 큰 홀수에 대해서는 약한 골드바흐의 추측이 성립함을 증명했다.
* 2012년, 테렌스 타오는 모든 3 이상의 홀수는 기껏해야 5개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명했다.
* 2013년, 하랄드 헬프갓은 약한 골드바흐의 추측을 무조건적으로 증명했다고 주장하는 논문을 발표했다.

2.1. 사용하는 소수의 개수를 줄이는 방법

1933년, L. Schnirelmann은 어떤 상수 K가 존재하여 1보다 큰 모든 정수를 최대 K개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명하였다. 1969년, K. I. Klimov는 K = 6×10⁹을 증명하였고, 이후 G. Z. Piltay, T. A. Sheptickaja와 함께 K = 115, 그리고 K = 55로 그 값을 개선하였다. 이후 R. C. Vaughan의 K = 27, J.-M. Deshouillers의 K = 26, H. Riesel와 R. C. Vaughan의 K = 19로 필요한 소수의 개수가 점점 개선되어갔다.

1995년, O. Ramaré는 모든 짝수가 최대 6개의 소수의 합으로 표현될 수 있음을 증명하였다. 2012년, 테렌스 타오는 1보다 큰 모든 홀수가 최대 5개의 소수의 합으로 나타내어짐을 증명하였다.

2.2. 추측이 성립하는 홀수의 하계를 줄이는 방법

1937년 이반 비노그라도프는 약한 골트바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 증명하였다. 이 증명으로는 그 하계 C를 계산할 수 없었지만, 이후 비노그라도프는 C를 계산할 수 있는 다른 증명을 발표하였다. K. K. Mardzhanishvili가 이를 발전시켜 C를 계산할 수 있는 증명을 발표하였다. 처음 C를 계산한 것은 비노그라도프의 지도 아래 K. G. Borodzkin가 작성한 미출판된 박사 학위 논문(1936년)으로 알려져 있으며, 그 값은 exp(exp(exp(41.96)))이었다.

이후 1956년 K. G. Borodzkin는 C = 3³¹⁵ ≈ 10^7000000을 증명하였다. 1989년 천징룬과 T. Z. Wang은 C = exp(exp(11.503)) < 4×10⁴³⁰⁰⁰을 증명하였으며, 1996년에는 C = exp(exp(9.715)) < 6×10⁷¹⁹³을 증명하였다. 2002년 M.-Ch. Liu와 T. Wang은 C = 2×10¹³⁴⁶을 증명하였다.

2013년 H. A. Helfgott는 C = 10²⁷을 증명하였다. 같은 해, H. A. Helfgott와 D. Platt가 컴퓨터를 이용한 계산으로 8.875×10³⁰ 이하의 홀수들에 대해 추측이 성립함을 검증하여, 약한 골트바흐의 추측이 증명되었다.

1923년, 고드프리 H. 하디와 존 E. 리틀우드는 일반화된 리만 가설을 가정하면, 약한 골드바흐의 추측이 충분히 큰 홀수에 대해 성립함을 보였다. 1997년, Deshouillers, Effinger, te Riele, Zinoviev는 일반화된 리만 가설을 가정하면, 약한 골드바흐의 추측이 모든 홀수에 대해 성립함을 증명했다。2012년, 테렌스 타오는 모든 3 이상의 홀수는 기껏해야 5개의 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명했다。

2.3. 일반화 리만 가설을 가정하였을 때

1922년 하디와 리틀우드는 일반화 리만 가설이 참이라는 가정 하에, 충분히 큰 모든 홀수를 세 소수의 합으로 나타낼 수 있음을 증명하였다. 1997년 D. Zinoviev는 이 하계를 10²⁰으로 발전시켰다. 같은 해, 컴퓨터를 이용한 계산으로 10²⁰ 미만의 홀수에 대해 추측이 참이라는 것이 검증되었다.

1997년, 데슐리에, Effinger, 테 릴레와 지노비에프는 일반화된 리만 가설이 모든 숫자에 대해 골드바흐의 약한 추측을 함축한다는 결과를 발표했다. 이 결과는 10²⁰보다 큰 숫자에 대해 유효한 일반적인 명제와 작은 경우에 대한 광범위한 컴퓨터 검색을 결합한것이다.

1926년 에드문트 란다우의 학생 B. Lucke가 미출판된 박사 학위 논문에서 동일한 가정 하에 10³²라는 하계를 증명하였다는 기록이 있다. 1999년 G. Effinger는 하디와 리틀우드의 논문의 계산을 발전시켜, 충분히 큰 홀수의 하계를 1.24×10⁵⁰으로 계산하였다.

3. 골트바흐의 추측과의 관계

골트바흐의 추측은 "2 초과의 모든 짝수는 두 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 추측으로, 약한 골트바흐의 추측을 함의한다. 이는 골트바흐의 추측이 참일 경우 7 이상의 홀수 a를 3+(a-3)으로 나누고, (4 이상의 짝수) a-3에 대해 골트바흐의 추측을 적용하여 두 소수의 합으로 나타내는 방식을 이용해 결과적으로 a를 세 소수의 합으로 나타낼 수 있기 때문이다.

골드바흐의 추측이 옳다고 가정하면 4 이상의 짝수는 2개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 따라서 자연수를 n이라고 하면, n번째 양의 짝수에 대해

:$2\; n\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; \backslash qquad\; n>1$

을 만족하는 소수 p₁ , p₂가 반드시 존재하게 된다. 여기서 n+2 번째 양의 홀수는

:$2\; (n+2)\; -1\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; +\; 3\; \backslash qquad\; n>1$

과 같이 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있으므로, 약한 골드바흐의 추측도 옳다.

반대로 약한 골드바흐의 추측이 옳다고 가정하면 n번째 양의 홀수에 대해

:$2\; n\; -\; 1\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; +\; p\_3\; \backslash qquad\; n>3$

을 만족하는 소수 p₁ , p₂ , p₃가 반드시 존재하게 된다. 여기서 n번째 양의 짝수는

:$2\; n\; =\; p\_1\; +\; (p\_2\; +\; p\_3\; +\; 1)\; \backslash qquad\; n>3$

으로 나타낼 수 있지만, p₂ + p₃ + 1은 소수라고는 할 수 없으므로 (p₂ = 3 , p₃ = 5인 경우 등) 강한 골드바흐의 추측은 증명할 수 없다.

이러한 점들로부터, 약한 골드바흐의 추측은 강한 골드바흐의 추측의 계라고 할 수 있다.

:$2\; n\; -\; 1\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; +\; p\_3\; \backslash qquad\; n>3$

이라면

:$2\; (n\; +\; 1)\; =\; p\_1\; +\; p\_2\; +\; p\_3\; +\; 3\; \backslash qquad\; n>3$

이므로, 이 추측이 옳다면 8보다 큰 짝수는 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있게 된다. 또한, 8도 8 = 2 + 2 + 2 + 2 와 같이 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있으므로, 약한 골드바흐의 추측이 옳다면 7 이상의 자연수는 3개 또는 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다. 이는 "약한 골드바흐의 추측이 옳다면 4 이상의 자연수는 기껏 4개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 바꿔 말할 수도 있다. 골드바흐의 추측에 대해서는 이와 마찬가지로 "골드바흐의 추측이 옳다면 4 이상의 자연수는 기껏해야 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다"라고 할 수 있다.

4. 기타

작은 홀수를 순서대로 3개의 소수의 합으로 나타내면 다음과 같다.

* 7 = 2 + 2 + 3
* 9 = 2 + 2 + 5 = 3 + 3 + 3
* 11 = 2 + 2 + 7 = 3 + 3 + 5
* 13 = 3 + 3 + 7 = 3 + 5 + 5
* 15 = 2 + 2 + 11 = 3 + 5 + 7 = 5 + 5 + 5
* 17 = 2 + 2 + 13 = 3 + 3 + 11 = 5 + 5 + 7
* 19 = 3 + 3 + 13 = 3 + 5 + 11 = 5 + 7 + 7
* 21 = 2 + 2 + 17 = 3 + 5 + 13 = 5 + 5 + 11 = 7 + 7 + 7
* 23 = 2 + 2 + 19 = 3 + 3 + 17 = 5 + 5 + 13 = 5 + 7 + 11

3개의 소수의 합은 6 이상이므로, 5 이하의 홀수는 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 없다. 또한 3개의 홀수 소수의 합은 9 이상이므로, 7은 3개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 없다.

"7보다 큰 홀수는 3개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 명제는 골드바흐 추측의 "4보다 큰 짝수는 2개의 홀수 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 명제와 유사하다.

7 이상의 홀수가 n을 자연수, p를 홀수 소수로 하여

: 2n - 1 = 2 + 2 + p

와 같이 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다면, 그 다음 홀수도

: 2n + 1 = 3 + 3 + p

와 같이 3개의 소수의 합으로 나타낼 수 있다.

"5보다 큰 홀수는 1개의 홀수 소수와 2개의 같은 소수의 합으로 나타낼 수 있다"는 레모인 추측과 유사한 추측도 있다.