일반화 리만 가설

1. 개요

일반화 리만 가설(GRH)은 디리클레 L-함수의 영점에 대한 가설로, 1884년 아돌프 필츠에 의해 처음 제시되었다. 이 가설은 모든 디리클레 지표 χ와 L(χ, s) = 0인 복소수 s에 대해, s가 음의 실수가 아니라면 s의 실수부가 1/2라고 주장한다. GRH가 참일 경우, 소수 분포에 대한 디리클레 등차수열 정리의 강화, 곱셈군의 생성에 대한 정보 제공, 밀러-라빈 소수판별법의 다항 시간 내 실행 가능성 등을 포함하여 여러 중요한 결과를 얻을 수 있다. 확장된 리만 가설(ERH)은 수체의 데데킨트 제타 함수의 영점에 대한 가설로, GRH는 ERH에서 유리수를 수체로, 정수를 정수환으로 설정하여 도출된다. ERH는 체보타료프 밀도 정리의 효과적인 버전을 함의한다.

2. 일반화 리만 가설 (GRH)

일반화 리만 가설(GRH)은 1884년 아돌프 필츠가 처음 제시한 가설로, 디리클레 L-함수의 영점에 대한 정보를 담고 있으며, 소수 분포에 대한 광범위한 결과를 갖는다는 점에서 원래의 리만 가설과 유사하다.

2.1. 디리클레 지표와 L-함수

디리클레 지표는 모든 n에 대해 χ(n + k) = χ(n)^영어이고, gcd(n, k) > 1^영어일 때마다 χ(n) = 0^영어인 양의 정수 k가 존재하는 완전 곱셈 수론적 함수 χ이다. 이러한 지표가 주어지면, 다음과 같이 해당 디리클레 L-함수를 정의한다.

:$$
L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}


Re s > 1^영어인 모든 복소수 s에 대해 정의된다. 해석적 연속을 통해 이 함수는 ($\backslash chi$가 원시적일 때만) 전체 복소 평면에서 정의된 유리형 함수로 확장될 수 있다.

2.2. 가설의 공식적인 진술

디리클레 지표는 어떤 양의 정수 k가 존재하여, 모든 n에 대해 χ(n + k) = χ(n)^영어이고, gcd(n, k) > 1^영어일 때는 항상 χ(n) = 0^영어인 완전 곱셈적 수론적 함수 χ를 말한다. 그러한 지표가 주어졌을 때, 대응하는 디리클레 L-함수를, 실수가 1보다 큰 모든 복소수 s에 대해 다음과 같이 정의한다.

:$$
L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s}


해석적 연속에 의해, 이 함수는 (χ가 원시적일 때만) 전 복소 평면에서 정의된 유리형 함수로 확장될 수 있다. 일반화된 리만 가설은, 모든 디리클레 지표 χ와 L(χ, s) = 0^영어인 모든 복소수 s에 대해, s가 음의 실수가 아니면, s의 실수부가 1/2라고 주장한다.

모든 n에 대해 χ(n) = 1^영어로 하면, 일반적인 리만 가설이 된다.

2.3. GRH의 결과

디리클레 등차수열 정리에 따르면, a와 d가 서로소인 자연수일 때, 등차수열 a, a + d, a + 2d, a + 3d, ... 에는 무한히 많은 소수가 포함된다. π(x,a,d)를 이 수열에서 x 이하의 소수의 개수라고 하면, 일반화 리만 가설(GRH)이 참일 경우, 모든 서로소인 a와 d, 그리고 모든 ε > 0에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash pi(x,a,d)\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash varphi(d)\}\; \backslash int\_2^x\; \backslash frac\{1\}\{\backslash ln\; t\}\backslash ,dt\; +\; O(x^\{1/2+\backslash varepsilon\})\backslash quad\backslash mbox\{\; as\; \}\; \backslash \; x\backslash to\backslash infty$

여기서 $\backslash varphi(d)$는 오일러 피 함수, $O$는 란다우 표기법이다. 이는 소수 정리를 상당히 강화한 것이다.

GRH가 참이면, 곱셈군 $(\backslash mathbb\; Z/n\backslash mathbb\; Z)^\backslash times$의 모든 진부분군은 2(ln n)² 미만의 숫자와, 3(ln n)² 미만의 n과 서로 소인 숫자를 생략한다. 즉, $(\backslash mathbb\; Z/n\backslash mathbb\; Z)^\backslash times$는 2(ln n)² 미만의 수의 집합에 의해 생성된다. 이는 여러 증명에 사용되며, (GRH를 가정했을 때) 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

* 밀러-라빈 소수 판별법은 다항 시간 내에 실행될 것이 보장된다. (GRH를 필요로 하지 않는 다항 시간 소수 판별법인 AKS 소수 판별법은 2002년에 발표되었다.)
* 샹크스-토넬리 알고리즘은 다항 시간 내에 실행될 것이 보장된다.
* 소수 상수-매끄러운 차수를 가진 유한체 위의 다항식 인수 분해를 위한 Ivanyos–Karpinski–Saxena 결정론적 알고리즘은 다항 시간 내에 실행될 것이 보장된다.

GRH가 참이면, 모든 소수 p에 대해 $O((\backslash ln\; p)^6)$ 미만의 원시근 모듈로 p (정수 모듈로 p의 곱셈군 생성자)이 존재한다.

약한 골드바흐 추측 또한 일반화 리만 가설에서 파생된다. 이 추측에 대한 하랄드 헬프갓의 증명은 10²⁹ 이상의 모든 정수에 대한 추측을 입증하는 충분한 한계를 얻기 위해 특정한 가상 부분까지의 수천 개의 작은 문자에 대한 GRH를 검증하며, 그 아래 정수는 이미 계산에 의해 검증되었다.

GRH가 참이라고 가정하면, Pólya–Vinogradov 부등식에서 문자 합의 추정치는 $O\backslash left(\backslash sqrt\{q\}\backslash log\backslash log\; q\backslash right)$로 개선될 수 있으며, q는 문자의 법이다.

3. 확장된 리만 가설 (ERH)

확장된 리만 가설(ERH)은 일반화 리만 가설을 수체로 확장한 가설이다.

수체 K가 대수적 정수의 정수환 O_K (이 환은 K에서 정수 Z의 정수적 폐포이다)를 갖는다고 가정한다. a가 O_K의 0이 아닌 아이디얼이라면, Na로 아이디얼 노름을 나타낸다. K의 데데킨트 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 모든 복소수 s에 대해 다음과 같이 정의된다.

:$$
\zeta_K(s) = \sum_a \frac{1}{(Na)^s}


여기서 합은 O_K의 0이 아닌 모든 아이디얼 a에 걸쳐 있다.

데데킨트 제타 함수는 함수 방정식을 만족하며, 해석적 연속을 통해 전체 복소 평면으로 확장될 수 있다. 결과 함수는 수체 K에 대한 중요한 정보를 담고 있다. 확장된 리만 가설은 모든 수체 K와 ζ_K(s) = 0을 만족하는 모든 복소수 s에 대해, s의 실수부가 0과 1 사이에 있다면, 실제로 1/2임을 주장한다.

일반화 리만 가설은 정수환 Z를 가진 수체를 Q로 할 경우 확장된 가설에서 유도된다.

확장된 리만 가설은 체보타료프 밀도 정리의 효과적인 버전을 시사한다.

3.1. 수체와 데데킨트 제타 함수

K를 수체 ( 유리수 Q의 유한 차원 체의 확장)로, 대수적 정수의 정수환 O_K (이 환은 K에서 정수 Z의 정수적 폐포이다)를 갖는다고 하자. a가 O_K의 0이 아닌 아이디얼이라면, Na로 아이디얼 노름을 나타낸다. K의 데데킨트 제타 함수는 실수부가 1보다 큰 모든 복소수 s에 대해 다음과 같이 정의된다.

:$$
\zeta_K(s) = \sum_a \frac{1}{(Na)^s}


여기서 합은 O_K의 0이 아닌 모든 아이디얼 a에 걸쳐 있다.

데데킨트 제타 함수는 함수 방정식을 만족하며, 해석적 연속을 통해 전체 복소 평면으로 확장될 수 있다. 결과 함수는 수체 K에 대한 중요한 정보를 담고 있다. 확장된 리만 가설은 모든 수체 K와 ζ_K(s) = 0을 만족하는 모든 복소수 s에 대해, s의 실수부가 0과 1 사이에 있다면, 실제로 1/2임을 주장한다.

일반화 리만 가설은 정수환 Z를 가진 수체를 Q로 할 경우 확장된 가설에서 유도된다.

확장된 리만 가설은 체보타료프 밀도 정리의 효과적인 버전을 시사한다. L/K가 갈루아 군 G와 결합하는 유한 갈루아 확장이고 C가 G의 켤레류의 합집합인 경우, 대수적 수 이론에서 x 이하의 노름 K와 프로베니우스 결합 등급의 비분기 소수 수는 다음과 같이 표현한다.

:$\backslash frac$