기하학적 위상수학

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1. 개요
2. 역사
3. 저차원 위상수학과 고차원 위상수학의 차이
4. 기하학적 위상수학의 중요한 도구
5. 기하학적 위상수학의 분야
참조

1. 개요

기하학적 위상수학은 대수적 위상수학과 구분되는 분야로, 렌즈 공간 분류에서 시작되었다. 저차원과 고차원 다양체의 행동이 다르며, 4차원은 고차원과 저차원의 특성을 모두 가진다. 4차원 이하에서는 수술 이론이 작동하지 않지만, 5차원 이상에서는 수술 이론을 사용하여 다양체의 행동을 연구할 수 있다. 기하학적 위상수학의 중요한 도구로는 기본군, 가향성, 핸들 분해, 국소 평탄성, 쇤플리스 정리 등이 있으며, 저차원 위상수학, 매듭 이론, 고차원 기하학적 위상수학 등의 분야로 나뉜다. 고차원 기하학적 위상수학에서는 특성류와 수술 이론이 중요한 역할을 한다.

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기하학적 위상수학
분야
학문 분야	수학
하위 분야	위상수학
세부 분야
상위 분야	미분위상수학
연구 대상	매끄러운 다양체의 매끄러운 함수
관련 분야
관련 분야	미분기하학 대역해석학 특이점 이론 사상류군 모스 이론
주요 개념
주요 개념	횡단 자명화 제트 다발 특이점 사상류군 모스 이론 h-원리
관련 주제
관련 주제	기하학적 위상수학 (대상)

2. 역사

기하학적 위상수학은 대수적 위상수학과는 별개의 분야로, 1935년 렌즈 공간의 분류에서 시작되었다고 할 수 있는데, 이는 호모토피 동치이지만 위상 동형이 아닌 공간들을 구별해야 했기 때문이다.^[1] 이것은 단순 호모토피 이론의 기원이었다. "기하학적 위상수학"이라는 용어가 이러한 분야를 설명하는 데 사용된 것은 비교적 최근의 일이다.^[1]

3. 저차원 위상수학과 고차원 위상수학의 차이

다양체는 고차원과 저차원에서 그 행동이 근본적으로 다르다. 고차원 위상수학은 5차원 이상의 다양체 또는 코차원 3 이상에서의 매립을 다룬다. 저차원 위상수학은 4차원 이하의 차원에서의 문제 또는 코차원 2 이하에서의 매립을 다룬다.

4차원은 특별한데, 어떤 면(위상적으로)에서는 고차원적이고, 다른 면(미분 가능하게)에서는 저차원적이기 때문이다. 이러한 중첩은 '''R'''⁴ 위에 이국적인 미분 가능 구조와 같이 4차원에 특수한 현상을 낳는다. 따라서 4-다양체의 위상적 분류는 원리적으로 다루기 쉬우며, 주요 질문은 다음과 같다.

위상적 다양체가 미분 가능 구조를 허용하는가?
만약 그렇다면, 몇 개나 있는가?

특히, 4차원의 매끄러운 경우는 일반화된 푸앵카레 추측의 마지막 열린 경우이다. 글럭 트위스트를 참조하라.

이러한 구분이 있는 이유는 수술 이론이 5차원 이상에서 작동하기 때문이다(사실, 많은 경우 위상적으로 4차원에서도 작동하지만, 이를 증명하는 것은 매우 복잡하다).^[1] 따라서 5차원 이상의 다양체의 행동은 수술 이론 프로그램을 사용하여 연구할 수 있다. 4차원 이하(위상적으로는 3차원 이하)에서는 수술 이론이 작동하지 않는다.^[2] 실제로, 저차원 다양체에 대해 논의하는 한 가지 접근 방식은 "수술 이론이 작동한다면 무엇이 참이라고 예측될까?"라고 질문하는 것이다. 그리고 저차원 현상을 이러한 예측으로부터의 일탈로 이해하는 것이다.

Whitney 트릭은 2+1 차원을 필요로 하므로 수술 이론은 5차원을 필요로 한다.

5차원에서 차이가 발생하는 정확한 이유는 Whitney 매립 정리 때문인데, 이는 수술 이론의 핵심 기술적 트릭이며 2+1 차원을 필요로 한다.^[3] 대략적으로, Whitney 트릭은 매듭지어진 구를 "풀 수" 있게 한다. 좀 더 정확히 말하면, 침윤의 자기 교차를 제거한다. 이는 원반의 호모토피를 통해 이루어진다. 원반은 2차원을 가지고, 호모토피는 1차원을 더한다. 따라서 코차원이 2보다 크면, 이는 자기 교차 없이 수행될 수 있다. 따라서 코차원이 2보다 큰 매립은 수술을 통해 이해할 수 있다. 수술 이론에서 핵심 단계는 중간 차원에 있으며, 따라서 중간 차원이 코차원 2보다 클 때(느슨하게, 2½이면 충분하므로 총 차원 5면 충분하다), Whitney 트릭이 작동한다. 이의 주요 결과는 스메일의 ''h''-코보디즘 정리인데, 이는 5차원 이상에서 작동하며 수술 이론의 기초를 형성한다.^[4]

Whitney 트릭의 수정은 4차원에서 작동할 수 있으며, 이를 캐슨 핸들이라고 한다. 차원이 충분하지 않기 때문에, Whitney 원반은 새로운 꼬임을 도입하고, 이는 다른 Whitney 원반에 의해 해결될 수 있으며, 원반의 시퀀스("타워")로 이어진다. 이 타워의 극한은 위상적이지만 미분 불가능한 사상을 생성하므로, 수술은 4차원에서 위상적으로는 작동하지만 미분 가능하게는 작동하지 않는다.^[5]

4. 기하학적 위상수학의 중요한 도구

기본군: 모든 차원에서 다양체의 기본군은 매우 중요한 불변량이며, 구조의 많은 부분을 결정한다. 1, 2, 3차원에서는 가능한 기본군이 제한되지만, 4차원 이상에서는 모든 유한 표시군이 다양체의 기본군이 될 수 있다.^[4]
가향성: 다양체가 일관된 방향 선택을 가지면 가향적이며, 연결된 가향 다양체는 정확히 두 가지 가능한 방향을 갖는다. 일반적인 위상 다양체에서는 호몰로지 이론을 사용하고, 미분 가능 다양체의 경우 미분 형식으로 표현할 수 있다.
핸들 분해: ''m''-다양체 ''M''의 핸들 분해는 각 $M_i$ 가 $i$ -핸들을 부착하여 $M_{i-1}$ 에서 얻어지는 합집합으로 표현된다. 이는 다양체의 CW-분해와 유사하며, 모스 이론을 통해 자연스럽게 발생한다.
국소 평탄성: 더 큰 차원의 위상다양체에 있는 부분다양체의 성질이다.
쇤플리스 정리: (''n'' - 1)차원 구 ''S''가 ''n''차원 구 ''Sⁿ''에 국소 평탄 방식으로 임베딩된 경우, 쌍 (''Sⁿ'', ''S'')는 쌍 (''Sⁿ'', ''S''^''n''-1)와 위상동형이다.

4. 1. 기본군

모든 차원에서 다양체의 기본군은 매우 중요한 불변량이며, 구조의 많은 부분을 결정한다. 1, 2, 3차원에서는 가능한 기본군이 제한되지만, 4차원 이상에서는 모든 유한 표시군이 다양체의 기본군이 된다.^[4] (4차원 및 5차원 다양체에 대해서만 이를 보이고, 더 높은 차원의 경우는 구와 곱을 취하여 얻는 것으로 충분하다).

4. 2. 가향성

다양체는 일관된 방향 선택을 가지면 가향적이며, 연결된 가향 다양체는 정확히 두 가지 다른 가능한 방향을 갖는다. 이 설정에서, 원하는 응용 분야 및 일반성의 수준에 따라 가향성에 대한 다양한 동등한 공식이 주어질 수 있다. 일반적인 위상 다양체에 적용할 수 있는 공식은 종종 호몰로지 이론의 방법을 사용하며, 미분 가능 다양체의 경우 더 많은 구조가 존재하여 미분 형식으로 표현할 수 있다. 공간의 가향성 개념의 중요한 일반화는 어떤 다른 공간(섬유 다발)에 의해 매개변수화된 공간의 가향성인데, 여기서 각 공간에서 매개변수 값의 변화에 따라 연속적으로 변하는 방향을 선택해야 한다.

4. 3. 핸들 분해

''m''-다양체 ''M''의 핸들 분해는 다음과 같은 합집합으로 표현된다.

:

\emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M

여기서 각

M_i

는

i

-'''핸들'''을 부착하여

M_{i-1}

에서 얻어진다. 핸들 분해는 다양체에 대한 CW-분해와 유사하며, 여러 면에서 CW 복합체와 비슷한 언어를 갖지만, 매끄러운 다양체의 세계에 맞춰져 있다. 따라서 ''i''-핸들은 ''i''-세포의 매끄러운 유사물이다. 다양체의 핸들 분해는 모스 이론을 통해 자연스럽게 발생한다. 핸들 구조의 수정은 세르프 이론과 밀접하게 관련되어 있다.

4. 4. 국소 평탄성

국소 평탄은 더 큰 차원의 위상다양체에 있는 부분다양체의 성질이다. ''d'' 차원 다양체 ''N''이 ''n'' 차원 다양체 ''M''에 내장되어 있고(여기서 ''d'' < ''n''),

x \in N

일 때,

U \subset M

의 이웃

(U, U\cap N)

이

(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^d)

쌍과 위상동형이며,

\mathbb{R}^d

가

\mathbb{R}^n

의 부분 공간으로 표준적으로 포함되어 있다면, ''N''은 ''x''에서 '''국소 평탄'''하다고 말한다. 즉,

U\to R^n

의 위상동형이 존재하여

U\cap N

의 상이

\mathbb{R}^d

와 일치한다.

4. 5. 쇤플리스 정리

일반화된 쇤플리스 정리는, (''n'' - 1)차원 구 ''S''가 ''n''차원 구 ''Sⁿ''에 국소 평탄 방식으로 임베딩된 경우 (즉, 임베딩이 두꺼운 구의 임베딩으로 확장되는 경우), 쌍 (''Sⁿ'', ''S'')는 쌍 (''Sⁿ'', ''S''^''n''-1)와 위상동형이며, 여기서 ''S''^''n''-1는 ''n''차원 구의 적도이다. 브라운(Brown)과 매주어(Mazur)는 이 정리의 독립적인 증명으로 베블렌 상을 받았다.^[2]^[3]

5. 기하학적 위상수학의 분야

다양체는 고차원과 저차원에서 그 행동이 근본적으로 다르다.

고차원 위상수학은 5차원 이상의 다양체, 또는 상대적으로 코차원 3 이상에서의 매립을 다룬다. 반면 저차원 위상수학은 4차원 이하의 차원에서의 문제, 또는 코차원 2 이하에서의 매립에 대해 다룬다.

4차원은 특별한데, 어떤 면(위상적으로)에서는 고차원적이고, 다른 면(미분 가능하게)에서는 저차원적이기 때문이다. 이러한 중첩은 '''R'''⁴ 위에 이국적인 미분 가능 구조와 같이 4차원에 특수한 현상을 낳는다. 따라서 4-다양체의 위상적 분류는 원칙적으로 다루기 쉬우며, 주요 질문은 다음과 같다.

위상적 다양체가 미분 가능 구조를 허용하는가?
만약 그렇다면, 몇 개나 있는가?

특히, 4차원의 매끄러운 경우는 일반화된 푸앵카레 추측의 마지막 열린 경우이다. (글럭 트위스트 참조)

이러한 구분이 있는 이유는 수술 이론이 5차원 이상에서 작동하기 때문이다(사실, 많은 경우 위상적으로 4차원에서도 작동하지만, 이를 증명하는 것은 매우 복잡하다). 따라서 5차원 이상의 다양체의 행동은 수술 이론을 사용하여 연구할 수 있다. 4차원 이하(위상적으로는 3차원 이하)에서는 수술 이론이 작동하지 않는다.

5차원에서 차이가 발생하는 정확한 이유는 Whitney 매립 정리 때문인데, 이는 수술 이론의 핵심 기술적 트릭이며 2+1 차원을 필요로 한다. 대략적으로, Whitney 트릭은 매듭지어진 구를 "풀 수" 있게 한다. 좀 더 정확히 말하면, 침윤의 자기 교차를 제거한다. 이는 원반의 호모토피를 통해 이루어진다. 원반은 2차원을 가지고, 호모토피는 1차원을 더한다. 따라서 코차원이 2보다 크면, 이는 자기 교차 없이 수행될 수 있다.

수술 이론에서 핵심 단계는 중간 차원에 있으며, 따라서 중간 차원이 코차원 2보다 클 때(느슨하게, 2½이면 충분하므로 총 차원 5면 충분하다), Whitney 트릭이 작동한다. 이의 주요 결과는 스메일의 ''h''-코보디즘 정리인데, 이는 5차원 이상에서 작동하며 수술 이론의 기초를 형성한다.

Whitney 트릭의 수정은 4차원에서 작동할 수 있으며, 이를 캐슨 핸들이라고 한다. 차원이 충분하지 않기 때문에, Whitney 원반은 새로운 꼬임을 도입하고, 이는 다른 Whitney 원반에 의해 해결될 수 있으며, 원반의 시퀀스("타워")로 이어진다. 이 타워의 극한은 위상적이지만 미분 불가능한 사상을 생성하므로, 수술은 4차원에서 위상적으로는 작동하지만 미분 가능하게는 작동하지 않는다.

5. 1. 저차원 위상수학

저차원 위상수학은 다음을 포함한다.

곡면 (2-다양체)
3-다양체
4-다양체

각각 고유한 이론을 가지고 있으며, 몇 가지 연결 고리가 있다.

저차원 위상수학은 매우 기하학적인데, 이는 2차원의 균등화 정리에서 잘 드러난다. 모든 곡면은 일정한 곡률의 메트릭을 가지며, 기하학적으로 양의 곡률/구형, 0 곡률/평탄, 음의 곡률/쌍곡선 중 하나의 기하학을 가진다. 또한 3차원에서는 기하화 추측(현재 정리가 됨)에서 모든 3-다양체는 조각으로 잘릴 수 있으며, 각 조각은 8가지 가능한 기하학 중 하나를 가진다.

2차원 위상수학은 한 변수의 복소 기하학(리만 곡면은 복소 곡선이다)으로 연구될 수 있다. 균등화 정리에 따르면, 모든 등각 메트릭의 동치류는 고유한 복소 메트릭과 동치이며, 4차원 위상수학은 두 변수의 복소 기하학 (복소 곡면)의 관점에서 연구될 수 있지만, 모든 4-다양체가 복소 구조를 갖는 것은 아니다.

5. 2. 매듭 이론

매듭 이론은 수학적 매듭을 연구한다. 수학적 매듭은 양 끝이 연결되어 풀 수 없다는 점에서 신발끈이나 밧줄 등 일상생활의 매듭과 다르다. 주위 등위 등 매듭의 동치 관계를 연구한다.^[1] 수학적 언어로, 매듭은 3차원 유클리드 공간 '''R'''³ 내의 원의 매장이다 (위상수학을 사용하므로 원은 고전적인 기하학적 개념에 국한되지 않고 모든 동형사상에 해당한다).^[1] 두 개의 수학적 매듭은 '''R'''³이 자체적으로 변형되는 것을 통해 서로 변환될 수 있다면 동등하다.^[1] 이러한 변환은 끈을 자르거나 끈이 스스로를 통과하지 않도록 하는 매듭 끈 조작에 해당한다.^[1]

더 나아가 통찰력을 얻기 위해, 수학자들은 매듭 개념을 여러 방식으로 일반화했다. 매듭은 다른 3차원 다양체에서 고려될 수 있으며, 원 이외의 다른 객체를 사용할 수 있다. 매듭 (수학)을 참조하라. 고차원 매듭은 ''m''차원 유클리드 공간 내의 ''n''차원 구이다.^[1]

5. 3. 고차원 기하학적 위상수학

고차원 위상수학에서, 특성류는 기본적인 불변량이며, 수술 이론은 핵심적인 이론이다.

'''특성류'''는 위상 공간 ''X'' 위의 각 주다발에 ''X''의 코호몰로지류를 연관시키는 방법이다. 코호몰로지류는 다발이 얼마나 "꼬여있는지"를 측정하며, 특히 단면을 가지고 있는지 여부를 나타낸다. 즉, 특성류는 국소적인 곱 구조가 전역적인 곱 구조로부터 얼마나 벗어나는지를 측정하는 전역적인 위상 불변량이다. 이는 대수적 위상수학, 미분기하학, 대수기하학의 통합적인 기하학적 개념 중 하나이다.

'''수술 이론'''은 존 밀너가 1961년에 소개한^[1], '제어된' 방식으로 하나의 다양체로부터 다른 다양체를 생성하는 데 사용되는 일련의 기법이다. 수술은 다양체의 일부분을 잘라내어 다른 다양체의 일부로 대체하고, 절단면 또는 경계를 따라 일치시키는 것을 의미한다. 이는 핸들 분해와 밀접하게 관련되어 있지만, 동일하지는 않다. 이는 3차원보다 큰 차원의 다양체의 연구 및 분류에 있어서 주요한 도구이다.

보다 기술적으로, 잘 이해된 다양체 ''M''에서 시작하여, 다양체의 호몰로지, 호모토피군 또는 기타 흥미로운 불변량에 미치는 영향을 알 수 있는 방식으로, 어떤 원하는 속성을 가진 다양체 ''M''′을 생성하기 위해 수술을 수행하는 것이다.

미셸 케르베르와 존 밀너의 1963년 이국적 구 분류는^[2] 고차원 위상수학에서 수술 이론이 주요한 도구로 부상하는 계기가 되었다.

참조

_[1] 웹사이트 What is geometric topology? https://math.meta.st[...] 2018-05-30
_[2] 논문 A proof of the generalized Schoenflies theorem 1960
_[3] 논문 On embeddings of spheres. 1959
_[4] 문서
_[5] 논문 A proof of the generalized Schoenflies theorem 1960
_[6] 논문 On embeddings of spheres. 1959

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