연관 소 아이디얼

1. 개요

연관 소 아이디얼은 환 R의 왼쪽 가군 _RM의 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다. _RM의 연관 소 아이디얼 집합은 Ass(_RM)으로 표기하며, 가환환 R의 경우 고립 연관 소 아이디얼과 매장 연관 소 아이디얼로 구분된다. 연관 소 아이디얼은 가군의 성질과 밀접한 관련이 있으며, 뇌터 환과 같은 특정 환에서는 유한성과 비자명성을 가진다. 뇌터 가환환의 경우, 연관 소 아이디얼은 가군의 지지 집합과 관련되며, 가군의 영인자와도 연결된다. 가군의 길이가 유한한 경우, 연관 소 아이디얼은 극대 아이디얼이 된다.

2. 정의

환 $R$의 왼쪽 가군 $\_RM$이 다음 조건을 만족시킨다면, $M$을 소가군(prime module^영어)이라고 한다.
* 임의의 부분 가군 $\_RN\backslash subseteq\{\}\_RM$에 대하여, $N=0$이거나 $\backslash operatorname\{Ann\}(\_RN)=\backslash operatorname\{Ann\}(\_RM)$이다.
(여기서 $\backslash operatorname\{Ann\}$은 소멸자를 뜻한다.) 소가군의 소멸자는 항상 소 아이디얼이다.

$R$의 왼쪽 가군 $\_RM$의 연관 소 아이디얼(associated prime ideal^영어)은 그 부분 가군인 소가군의 소멸자로 나타낼 수 있는 소 아이디얼이다. $\_RM$의 연관 소 아이디얼의 집합을 $\backslash operatorname\{Ass\}(\_RM)\backslash subseteq\backslash operatorname\{Spec\}R$로 표기한다.

만약 $R$가 가환환일 때, $\backslash operatorname\{Ass\}(\_RM)$ 의 원소 가운데 (포함 관계에 대하여) 극소 원소인 것을 고립 연관 소 아이디얼(isolated associated prime ideal^영어), 아닌 것을 매장 연관 소 아이디얼(embedded associated prime ideal^영어)이라고 한다.

가군이 공일차(coprimary)라는 것은, 어떤 영이 아닌 m ∈ M에 대해 xm = 0이면 어떤 양의 정수 n에 대해 xⁿM = 0임을 의미한다. 가환 뇌터 환 위의 영이 아닌 유한 생성 가군 M은 연관 소 아이디얼이 정확히 하나일 때에만 공일차이다.

3. 성질

환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $\_RM$의 부분 가군 $N\backslash subseteq\; M$에 대하여, $\backslash operatorname\{Ass\}(\_N)\backslash subseteq\backslash operatorname\{Ass\}(\_M)$이다. 만약 $N$이 본질적 부분 가군이라면 $\backslash operatorname\{Ass\}(\_N)=\backslash operatorname\{Ass\}(\_M)$이다. 모든 균등 가군은 0개 또는 1개의 연관 소수를 가진다.

== 유한성·비자명성 ==
양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시키는 환(예: 모든 오른쪽 또는 왼쪽 뇌터 환)에서, 모든 영가군이 아닌 가군은 적어도 하나의 연관 소 아이디얼을 가진다. 임의의 환 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

== 뇌터 가환환의 경우 ==
가환환 $R$ 위의 가군 $M$은 $\backslash operatorname\{Spec\}R$ 위의 준연접층을 정의하며, 그 지지 집합은 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\{supp\}(\_RM)=\backslash \{\backslash mathfrak\; p\backslash in\backslash operatorname\{Spec\}R\backslash colon\; R\_\{\backslash mathfrak\; p\}\backslash otimes\_R\backslash ne0\backslash \}$
뇌터 가환환 $R$에 대하여 다음이 성립한다.
* $\backslash operatorname\{Ass\}(\_RM)\backslash subseteq\backslash operatorname\{supp\}(\_RM)$
* $\backslash operatorname\{Ass\}(\_RM)$의 극소 원소들의 집합은 $\backslash operatorname\{supp\}(\_RM)$의 극소 원소들의 집합과 같다.

뇌터 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $\_RM$의 연관 소 아이디얼들의 합집합은 $M$의 영인자들의 집합과 같다.
:$\backslash bigcap\backslash operatorname\{Ass\}(\_RM)=\backslash \{r\backslash in\; R\backslash colon\backslash exists\; m\backslash in\; M\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\backslash colon\; rm=0\backslash \}$

뇌터 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $\_RM$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 가군의 길이가 유한하다.
* 유한 생성 가군이며, 모든 연관 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다.

3.1. 유한성·비자명성

양쪽 아이디얼에 대한 오름 사슬 조건을 만족시키는 환(예: 모든 오른쪽 또는 왼쪽 뇌터 환)에서, 모든 영가군이 아닌 가군은 적어도 하나의 연관 소 아이디얼을 가진다. 임의의 환 위의 뇌터 왼쪽 가군은 유한 개의 연관 소 아이디얼을 갖는다.

3.2. 뇌터 가환환의 경우

가환환 $R$ 위의 가군 $M$은 $\backslash operatorname\{Spec\}R$ 위의 준연접층을 정의하며, 그 지지 집합은 다음과 같다.
:$\backslash operatorname\{supp\}(\_RM)=\backslash \{\backslash mathfrak\; p\backslash in\backslash operatorname\{Spec\}R\backslash colon\; R\_\{\backslash mathfrak\; p\}\backslash otimes\_R\backslash ne0\backslash \}$
뇌터 가환환 $R$에 대하여 다음이 성립한다.
* $\backslash operatorname\{Ass\}(\_RM)\backslash subseteq\backslash operatorname\{supp\}(\_RM)$
* $\backslash operatorname\{Ass\}(\_RM)$의 극소 원소들의 집합은 $\backslash operatorname\{supp\}(\_RM)$의 극소 원소들의 집합과 같다.

뇌터 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $\_RM$의 연관 소 아이디얼들의 합집합은 $M$의 영인자들의 집합과 같다.
:$\backslash bigcap\backslash operatorname\{Ass\}(\_RM)=\backslash \{r\backslash in\; R\backslash colon\backslash exists\; m\backslash in\; M\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\backslash colon\; rm=0\backslash \}$

뇌터 가환환 $R$ 위의 왼쪽 가군 $\_RM$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* 가군의 길이가 유한하다.
* 유한 생성 가군이며, 모든 연관 소 아이디얼이 극대 아이디얼이다.

4. 예

* 임의의 환 위의 영가군은 연관 소 아이디얼을 갖지 않는다.
* 만약 $R\; =\; \backslash mathbb\{C\}[x,y,z,w]$이고 $I\; =\; ((x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\; +\; w^2)\backslash cdot\; (z^3\; -\; w^3\; -3x^3))$일 때, 연관 소 아이디얼은 아이디얼 $(x^2\; +\; y^2\; +\; z^2\; +\; w^2)$와 $(z^3\; -\; w^3\; -3x^3)$이다.
* 만약 R이 정수환이라면, 자명하지 않은 자유 아벨 군과 소수 거듭제곱 차수를 갖는 자명하지 않은 아벨 군은 공차원적이다.
* 만약 R이 정수환이고 M이 유한 아벨 군이라면, M의 연관 소수는 정확히 M의 차수를 나누는 소수이다.
* 차수가 2인 군은 정수 Z (자신을 위에서의 자유 가군으로 간주)의 몫이지만, 그 연관 소 아이디얼 (2)는 Z의 연관 소수가 아니다.