연산자 이론

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1. 개요
2. 단일 연산자 이론
3. 연산자 대수
- 3.1. C*-대수
4. 한국의 연산자 이론 연구
참조

1. 개요

연산자 이론은 연산자의 속성과 분류를 개별적으로 연구하는 단일 연산자 이론과 연산자 대수를 중심으로 하는 작용소 대수 이론으로 나뉜다. 단일 연산자 이론은 스펙트럼 정리, 정규 연산자, 극분해, 복소 해석학과의 연관성을 다루며, 작용소 대수 이론은 C*-대수를 중심으로 연구한다. C*-대수는 양자역학 등 물리학 분야에 응용된다.

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연산자 이론
개요
분야	함수해석학
연구 대상	연산자
관련 항목	C*-대수, 폰 노이만 대수
세부 분야
주요 분야	단사 연산자 유계 연산자 닫힌 연산자 콤팩트 연산자 프레드홀름 연산자
기타 분야	스펙트럼 이론 비가환 기하학 수학적 물리학 리 군의 표현론

2. 단일 연산자 이론

단일 연산자 이론은 개별 연산자의 속성과 분류를 연구하는 분야이다. 특히, 정규 연산자를 스펙트럼의 관점에서 분류하는 것이 이 이론의 중요한 예시이다.

단일 연산자 이론에서는 개별적으로 주어진 연산자의 성질이나 분류를 다룬다. 예를 들어, 스펙트럼을 사용한 정규 작용소의 분류가 여기에 속한다.^[1]

2. 1. 스펙트럼 이론

'''스펙트럼 정리'''는 선형 연산자 또는 행렬에 관한 여러 결과 중 하나이다.^[1] 넓은 의미에서 스펙트럼 정리는 연산자 또는 행렬을 대각화(즉, 어떤 기저에서 대각 행렬로 표현)할 수 있는 조건을 제공한다. 이러한 대각화 개념은 유한 차원 공간에서의 연산자에게는 비교적 간단하지만, 무한 차원 공간에서의 연산자에게는 약간의 수정이 필요하다. 일반적으로 스펙트럼 정리는 곱셈 연산자로 모델링될 수 있는 선형 연산자의 클래스를 식별하며, 이는 가장 간단한 형태이다. 더 추상적인 언어로 표현하면 스펙트럼 정리는 가환 C*-대수에 대한 진술이다.

스펙트럼 정리가 적용되는 연산자의 예로는 자기 수반 연산자 또는 더 일반적으로 힐베르트 공간에서의 정규 연산자가 있다. 스펙트럼 정리는 또한 연산자가 작용하는 기본 벡터 공간의 '''스펙트럼 분해''', '''고유값 분해''', 또는 '''고유값 분해'''라고 불리는 정규 분해를 제공한다.

개별 작용소 이론에서는 개별적으로 주어진 작용소의 성질이나 분류에 대해 다룬다. 예를 들어, 스펙트럼을 사용한 정규 작용소의 분류는 이 범주에 속한다.

2. 1. 1. 정규 연산자

에르미트 수반과 교환 가능한 연속 선형 연산자로, 스펙트럼 정리가 성립하는 중요한 연산자 클래스이다.^[2] 유니타리 연산자, 에르미트 연산자, 양의 연산자 등이 정규 연산자의 예시이다. 정규 행렬은 힐베르트 공간을 '''C'''^''n''으로 간주하면 정규 연산자로 볼 수 있다.

정규 행렬은 유니타리 행렬로 대각화 가능하다는 것을 슈어 분해를 통해 보일 수 있다. 슈어 분해에 의해 ''A'' = ''U T U''^*를 갖는데, 여기서 ''U''는 유니타리이고 ''T''는 상삼각 행렬이다.

''A''가 정규이므로 ''T T''^* = ''T''^* ''T''이다. 따라서 정규 상삼각 행렬은 대각 행렬이므로 ''T''는 대각 행렬이어야 한다. 역은 자명하다.

다시 말해, ''A''는 다음과 같은 유니타리 행렬 ''U''가 존재할 때만 정규이다.

A = U D U^*

여기서 ''D''는 대각 행렬이다. 그러면 ''D''의 대각선 항목은 ''A''의 고유값이다. ''U''의 열 벡터는 ''A''의 고유 벡터이며 정규 직교이다. 에르미트 케이스와 달리 ''D''의 항목은 실수가 아니어도 된다.

2. 2. 극분해

힐베르트 공간 사이의 임의의 유계 선형 연산자 ''A''는 부분 등거리 사상과 비음 연산자의 곱으로 표현할 수 있는데, 이를 극분해라고 한다.^[3]

만약 ''A''가 유계 선형 연산자이면, ''A'' = ''UP''로 분해할 수 있다. 여기서 ''U''는 부분 등거리 사상, ''P''는 비음 자기 수반 연산자이며, ''U''의 초기 공간은 ''P''의 치역의 폐포이다.

하지만 연산자 ''U''는 유니터리가 아닌 부분 등거리 사상으로 약화되어야 하는데, 이는 다음과 같은 문제 때문이다. 만약 ''A''가 ''l''('''N''')에 대한 일방향 시프트라면, |''A''| = (''A*A'')^1/2 = ''I''이다. 따라서 ''A'' = ''U'' |''A''|이면, ''U''는 ''A''여야 하는데, ''A''는 유니터리가 아니다.

극분해의 존재는 더글러스 보조정리의 결과이다.

연산자 ''C''는 ''C''(''Bh'') = ''Ah''로 정의될 수 있으며, ''Ran''(''B'')의 폐포로 연속성을 이용하여 확장되고, ''Ran''(''B'')의 직교 여집합에서는 0으로 확장된다. 연산자 ''C''는 ''A*A'' ≤ ''B*B'' 가 Ker(''B'') ⊂ Ker(''A'')를 의미하므로 잘 정의된다.

특히, 만약 ''A*A'' = ''B*B''이면, ''C''는 부분 등거리 사상이며, Ker(''B*'') ⊂ Ker(''C'')이면 유일하다.

일반적으로, 임의의 유계 연산자 ''A''에 대해,

A^*A = (A^*A)^{\frac{1}{2}} (A^*A)^{\frac{1}{2}},

여기서 (''A*A'')^1/2은 일반적인 함수 미적분학에 의해 주어진 ''A*A''의 유일한 양의 제곱근이다. 따라서 보조정리에 의해,

A = U (A^*A)^{\frac{1}{2}}

가 존재하며, 여기서 ''U''는 부분 등거리 사상이고, Ker(''A'') ⊂ Ker(''U'')이면 유일하다. ''P''를 (''A*A'')^1/2로 하고 극분해 ''A'' = ''UP''를 얻는다. 유사한 논증을 사용하여 ''A = P'U' ''임을 보일 수 있으며, 여기서 ''P' ''는 양수이고 ''U' ''는 부분 등거리 사상이다.

''H''가 유한 차원일 때, ''U''는 유니터리 연산자로 확장될 수 있다. 이는 일반적으로 참이 아니다(위의 예 참조). 또는, 특이값 분해의 연산자 버전을 사용하여 극분해를 보일 수 있다.

연속 함수 미적분학의 속성에 의해, |''A''|는 ''A''에 의해 생성된 C*-대수에 속한다. 유사하지만 더 약한 명제가 부분 등거리 사상에 대해 성립한다. 극 부분 ''U''는 ''A''에 의해 생성된 폰 노이만 대수에 속한다. ''A''가 가역적이면, ''U''는 ''A''에 의해 생성된 C*-대수에도 속한다.

2. 3. 복소 해석학과의 연관성

힐베르트 공간의 정칙 함수에 대한 연산자를 연구하는 경우가 많으며, 연산자 연구는 함수 이론의 문제와 밀접하게 연관되어 있다. 예를 들어, 뵈를링 정리는 단위원 상에서 거의 모든 곳에서 단일 모듈러 경계값을 갖는 유계 정칙 함수인 내부 함수를 사용하여 단방향 이동의 불변 부분 공간을 설명한다. 뵈를링은 단방향 이동을 하디 공간에서 독립 변수로의 곱셈으로 해석했다.^[4] 곱셈 연산자, 더 일반적으로는 토플리츠 연산자(하디 공간으로의 투영을 따른 곱셈) 연구의 성공은 베르그만 공간과 같은 다른 공간에 대한 유사한 질문의 연구에 영감을 주었다.

3. 연산자 대수

작용소 대수 이론은 대수 중에서도 C*-대수와 같은 작용소 대수를 중심으로 다룬다. C*-대수는 복소수체 위에서 정의되는 바나흐 대수의 일종으로, 특정 성질을 만족하는 대합 사상을 갖는다. 이러한 대수적 구조는 스펙트럼 반경 공식을 통해 C*-노름을 유일하게 결정한다.^[5] 작용소환론에서는 C*-환 등의 작용소환을 연구한다.

3. 1. C*-대수

C*-대수는 복소수체 위의 바나흐 환이며, 대합을 갖는다. C*-대수의 원소 x의 *에 의한 상을 x*로 표기할 때, 대합 *는 다음의 성질을 만족한다.^[9]

대합: 임의의 x ∈ C*-대수에 대하여
: $x^{**} = (x^*)^* = x.$
임의의 x, y ∈ C*-대수에 대하여
: $(x + y)^* = x^* + y^*.$
: $(x y)^* = y^* x^*.$
임의의 λ ∈ '''C''' 및 임의의 x ∈ C*-대수에 대하여
: $(\lambda x)^* = \overline{\lambda} x^*.$
임의의 x ∈ C*-대수에 대하여
: $\|x^* x \| = \|x\|\|x^*\|.$

위의 세 항목은 C*-대수가 *-환이 됨을 말하는 것이다. 마지막 등식을 '''C*-항등식'''이라고 부르며,

\|xx^*\| = \|x\|^2

와 동치이다. 이 C*-항등식은 매우 강력한 요구 조건이다. 예를 들어 스펙트럼 반지름 공식과 함께, C*-노름이

:

\|x\|^2 = \|x^* x\| = \sup\

4. 한국의 연산자 이론 연구

한국의 연산자 이론 연구는 국제적인 수준으로 발전해 왔으며, 특히 함수해석학 분야에서 활발한 연구가 이루어지고 있다. 한국 수학자들은 연산자 이론의 다양한 분야에서 중요한 기여를 해왔으며, 국제 학술지에도 많은 논문을 발표하고 있다.

참조

_[1] 서적 Functional Analysis: Spectral Theory Birkhäuser Verlag
_[2] 서적 Linear algebra Prentice-Hall, Inc.
_[3] 서적 A Course in Operator Theory American Mathematical Society
_[4] 서적 A treatise on the shift operator Springer-Verlag
_[5] 서적 An Invitation to C*-Algebra Springer-Verlag
_[6] 서적 Functional Analysis: Spectral Theory Birkhäuser Verlag
_[7] 서적 Linear algebra Prentice-Hall, Inc.
_[8] 서적 A Course in Operator Theory American Mathematical Society
_[9] 서적 An Invitation to C*-Algebra Springer-Verlag

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