모서리
1. 개요
변은 기하학에서 선분으로 정의되며, 다각형, 그래프, 복합체 등 도형의 일부를 이룬다. 다각형의 변은 인접한 두 꼭짓점을 연결하는 선분이며, 다면체의 변은 두 면이 만나는 선분이다. 그래프 이론에서 변은 두 정점을 연결하는 추상적인 객체로, 다면체의 변과는 다르다. 고차원 볼록 다면체에서는 차원에 따라 변의 개념이 다르게 정의되며, 다각형의 변은 면, 3차원 다면체의 변은 모서리, 4차원 다포체의 변은 꼭짓점에 해당한다.
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고차원 기하학 -
끈 이론
끈 이론은 기본 입자를 점이 아닌 진동하는 끈으로 보고, 양자 중력을 포함한 기본 상호작용을 설명하려 하며, 초끈 이론, 추가 차원, M-이론과의 연관성, 그리고 실험적 검증의 어려움 등이 특징이다. -
고차원 기하학 -
4차원
4차원은 한 점을 지정하는 데 4개의 독립적인 매개변수가 필요한 공간으로, 수학에서는 유클리드 공간과 민코프스키 시공간 등으로 구분되며, 물리학에서는 시공간 기술 및 여분 차원 가정에 활용되는 중요한 개념이다. -
초등 기하학 -
대원
구면기하학에서 대원은 구의 중심을 지나는 평면과 구의 교선으로, 유클리드 공간의 직선에 대응하며, 서로 대극점이 아닌 두 점을 잇는 최단 거리인 대원 거리를 정의하고, 자오선이나 적도처럼 항해, 천문학 등 다양한 분야에서 응용된다. -
초등 기하학 -
현 (기하학)
현은 원 둘레를 두 호로 나누는 선분으로, 원에 내접하는 정다각형의 변이 될 수 있으며, 원의 중심을 지나는 가장 긴 현은 지름이라고 한다.
2. 기하학적 정의
변은 선분이며, 일반적인 기하학에서는 직선을 가리킨다. 하지만 위상수학 등에서는 굽어 있는 것도 변이라고 부를 수 있다.
변을 포함하는 도형으로는 다각형, 그래프 이론에서의 그래프, 단순 복합체 등이 있다.
변은 꼭짓점이라고 불리는 점의 집합 V의 부분 집합으로 이루어진 집합족 D를 도형으로 간주하여 정확하게 정의할 수 있다. V의 두 꼭짓점 v, w에 대해, D에 포함되는 {v}, {w}, {v, w} 형태 (또는 여기에 공집합을 포함한 형태)로 표현되는 집합, 또는 {v, w}의 멱집합에 순서 동형인 집합이 변이다. 유클리드 공간 내의 점 집합을 도형으로 간주하는 입장에서는, 이러한 D와 도형이 일대일로 대응한다고 보기 어렵다.
변 위에는 무수한 점이 있으며, 꼭짓점을 정해도 변이 유일하게 결정되는 것은 아니다. 그럼에도 불구하고, 변은 이러한 방법을 통해 도형 안의 "부분"으로서 특징지어진다.
2.2. 다면체의 변
다면체에서 변은 두 면이 만나는 선분이다. 위상수학적인 문맥 등, 경우에 따라서는 굽어 있어도 변이라고 부를 수 있다.
볼록 다면체의 표면은 오일러 지표
:V - E + F = 2
를 갖는다. 여기서 V는 꼭짓점의 수, E는 모서리의 수, F는 면의 수이다. 이 방정식은 오일러의 다면체 공식으로 알려져 있다. 따라서 모서리의 수는 꼭짓점과 면의 수의 합보다 2만큼 적다. 예를 들어, 정육면체는 8개의 꼭짓점과 6개의 면을 가지므로 12개의 모서리를 갖는다.
3. 그래프 이론에서의 변
그래프 이론에서 변(간선)은 두 정점을 연결하는 추상적인 객체로, 다각형이나 다면체의 변과는 달리 반드시 선분일 필요는 없다. 변은 보통 직선인 선분을 가리키지만, 위상수학적인 문맥 등에서는 굽어 있어도 변이라고 부를 수 있다.
:등식에서 등호를 사이에 둔 양쪽의 대상을 각각 변 (side)이라고 부르는 것과는 다른 개념이다.
변을 포함하는 도형으로는 다각형, 그래프, 단순 복합체 등이 있다.
3.1. 다면체와 그래프의 관계
모든 다면체는 꼭짓점이 다면체의 기하학적 꼭짓점이고 변이 기하학적 변에 해당하는 그래프인 골격으로 표현될 수 있다. 반대로, 3차원 다면체의 골격인 그래프는 슈타이니츠 정리에 의해 3-정점 연결 평면 그래프로 특징지을 수 있다.