등주부등식

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1. 개요
2. 역사적 배경
- 2.1. 고대 시대
- 2.2. 야코프 슈타이너의 접근
3. 등주 부등식
4. 그래프에서의 등주 부등식
- 4.1. 초정육면체에서의 예시
참조

1. 개요

등주 부등식은 주어진 조건 하에서 도형의 최적 형태를 규명하는 수학적 부등식으로, 고대 그리스 시대부터 연구되었다. 19세기에 야코프 슈타이너는 기하학적 증명을 시도했으며, 이후 칼 구스타프 야코프 야코비 등에 의해 엄밀한 수학적 증명이 이루어졌다. 평면, 구, 삼각형 등 다양한 공간에서의 등주 부등식이 존재하며, 부피와 표면적 간의 관계를 나타낸다. 평면에서는 주어진 둘레를 갖는 도형 중 원이 가장 넓은 면적을 가지며, 구에서는 주어진 부피에 대해 구가 가장 작은 표면적을 가진다. 등주 지수는 도형의 효율성을 나타내는 지표로 활용된다. 등주 부등식은 Hadamard 다양체, Metric measure space, 그래프 등 다양한 분야에서 연구되며, 물리학, 컴퓨터 과학 등 여러 분야에 응용된다.

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등주부등식
정의
설명	닫힌 곡선의 길이와 그 곡선으로 둘러싸인 면적 사이의 관계를 나타내는 기하학적 부등식이다.
내용
공식	4πA ≤ L²
변수 설명	A: 평면 내 닫힌 곡선이 둘러싸는 영역의 면적 L: 곡선의 둘레 길이
등호 조건	곡선이 원일 때 등호가 성립한다.
의미	둘레의 길이가 주어진 모든 닫힌 곡선 중에서 원이 가장 큰 면적을 가진다. 또는, 주어진 면적을 둘러싸는 모든 닫힌 곡선 중에서 원이 가장 짧은 둘레를 가진다.
역사
기원	고대 그리스 시대로 거슬러 올라간다.
초기 연구	여왕 디도의 전설과 관련하여 연구되었다.
엄밀한 증명	19세기에 이르러 슈바르츠, 슈타이너 등에 의해 엄밀하게 증명되었다.
일반화
고차원 공간	3차원 이상의 공간에서도 유사한 부등식이 성립한다.
구면	구면에서의 등주 부등식도 연구되었다.
활용
응용 분야	다양한 수학적 문제 및 물리학 문제 해결에 응용된다.
예시	최적화 문제 변분법

2. 역사적 배경

등주 부등식 문제는 고대부터 탐구되어 온 유서 깊은 수학 문제이다.^[2] 이 문제는 주어진 둘레 길이로 둘러쌀 수 있는 가장 넓은 면적을 가진 평면 도형이 무엇인지, 또는 주어진 면적을 둘러싸는 가장 짧은 둘레를 가진 도형이 무엇인지를 묻는다. 이는 물리학의 최소 작용의 원리와도 개념적으로 연결된다.

오래전부터 많은 학자들이 이 문제에 관심을 가졌는데, 15세기 철학자이자 과학자인 니콜라우스 쿠자누스 추기경이나 16세기 천문학자 요하네스 케플러와 같은 인물들이 대표적이다. 이들은 원이 가진 특별한 성질과 우주 및 자연 현상과의 연관성에 주목했다.

문제의 해답이 원이라는 것은 직관적으로 분명해 보이지만, 이를 수학적으로 엄밀하게 증명하는 것은 상당히 어려운 과제였다. 1838년 스위스 수학자 야코프 슈타이너가 슈타이너 대칭화 기법을 통해 해답이 존재한다면 반드시 원이어야 함을 보이는 중요한 진전을 이루었다.^[3] 하지만 슈타이너의 증명은 해답의 존재 자체를 증명하지는 못했고, 이후 다른 수학자들의 노력을 통해 완성되었다.

2. 1. 고대 시대

만약 어떤 영역이 볼록하지 않다면 "오목"한 부분은 둘레를 일정하게 유지하면서 영역의 넓이를 증가시키기 위해"" 뒤집어질"" 수 있다.

둘레의 길이를 일정하게 유지하지만 넓이를 증가시키면서 길게 늘어진 모양은 더 둥글게 만들어질 수 있다.

고전적인 ''등주 부등식 문제''는 고대 시대로 거슬러 올라간다.^[2] 이 문제는 다음과 같이 표현될 수 있다. ‘평면 위에 주어진 둘레 길이를 가진 모든 닫힌 곡선 중에서, 어떤 곡선이 가장 큰 면적을 둘러싸는가?’ 이 질문은 ‘평면 위에 주어진 면적을 둘러싸는 모든 닫힌 곡선 중에서, 어떤 곡선이 가장 짧은 둘레 길이를 가지는가?’라는 문제와 동일하다.

이 문제는 개념적으로 물리학의 최소 작용의 원리와 관련이 있다. 즉, 최소한의 노력으로 최대의 면적을 둘러싸는 원리가 무엇인지 묻는 것과 같다고 볼 수 있다. 15세기 철학자이자 과학자인 니콜라우스 쿠자누스 추기경은 원이 만들어지는 과정인 회전 운동을 우주 창조의 과정을 가장 직접적으로 반영하는 것으로 생각했다. 또한, 독일의 천문학자 요하네스 케플러는 1596년에 출판한 그의 저서 ''우주의 신비''(''Mysterium Cosmographicum'')에서 태양계의 형태를 설명하며 등주 원리를 적용하기도 했다.

2. 2. 야코프 슈타이너의 접근

1838년 스위스 수학자 야코프 슈타이너는 슈타이너 대칭화라는 기하학적 방법을 사용하여 등주 문제 증명에 중요한 기여를 했다.^[3] 슈타이너는 만약 등주 문제의 해답이 존재한다면, 그 해답은 반드시 원이어야 한다는 것을 증명했다. 그러나 그의 증명은 해답의 '존재' 자체를 증명하지는 못하고, '만약 존재한다면' 원이라는 형태일 것이라는 점만 밝혔다는 한계가 있었다. 이러한 이유로 슈타이너의 증명은 완전하지 않았으며, 이후 다른 여러 수학자들에 의해 보완되어 완성되었다.

슈타이너는 증명을 위해 몇 가지 직관적인 기하학적 작도를 제시했다. 예를 들어, 그는 어떤 닫힌 곡선이 완벽하게 볼록하지 않다면, 오목한 부분을 "뒤집어서" 둘레 길이는 바꾸지 않으면서도 더 넓은 면적을 둘러싸도록 변형할 수 있음을 설명했다.

또한, 완벽하게 대칭적이지 않은 곡선은 "기울여서" 모양을 조절함으로써 같은 둘레 길이로 더 넓은 면적을 포함하도록 만들 수 있다는 것을 보였다.

이러한 변형 과정들은 곡선을 점차 원에 가깝게 만든다. 완벽하게 볼록하고 모든 방향으로 대칭적인 평면 도형은 원뿐이다. 하지만 이러한 기하학적 설명만으로는 등주 부등식에 대한 엄밀한 수학적 증명이 되기에는 부족했다. 슈타이너의 접근 방식은 해의 존재성을 먼저 가정해야 한다는 점에서 한계를 지녔다.

3. 등주 부등식

등주 문제는 주어진 길이의 폐곡선으로 둘러쌀 수 있는 최대 넓이가 얼마인지, 또는 주어진 넓이를 둘러싸는 가장 짧은 폐곡선이 무엇인지 묻는 문제이다. 이 문제의 해는 '''등주 부등식'''이라는 부등식 형태로 표현된다. 가장 기본적인 형태는 평면 위에서의 관계로, 폐곡선의 길이를 ''L'', 곡선이 둘러싸는 영역의 넓이를 ''A''라고 할 때 다음과 같이 나타낸다.

: $4\pi A \le L^2$

이 부등식에서 등호는 곡선이 원일 때만 성립한다. 즉, 같은 둘레 길이를 가진 모든 평면 도형 중에서 원이 가장 넓은 면적을 가진다는 것을 의미한다.

이 고전적인 문제에 대한 증명은 오랜 역사를 가지고 있으며, 1902년 후르비츠는 푸리에 급수를 이용하여, 1938년 E. 슈미트는 호의 길이 공식, 그린 정리, 코시-슈바르츠 부등식 등을 이용하여 각각 증명을 제시했다.

등주 부등식의 개념은 평면을 넘어 다양한 공간으로 확장된다.

'''구''': 반지름 1인 구 위의 폐곡선 길이 ''L''과 둘러싸인 넓이 ''A''에 대해 $L^2 \ge A (4\pi - A)$ 가 성립하며, 등호는 곡선이 원일 때 성립한다. 이는 1919년 폴 레비에 의해 발견되었고, 임의 반지름 ''R''의 구에 대해서도 $L^2 \ge 4\pi A - A^2/R^2$ 형태로 일반화되었다.^[19]^[5]^[6]
'''유클리드 공간''': ''n''차원 유클리드 공간 $\R^n$ 에서, 주어진 부피에 대해 가장 작은 표면적을 갖는 도형은 구라는 형태로 표현된다. 유계 열린 집합 $S\subset\R ^n$ 의 표면적 $\operatorname{per}(S)$ 와 부피 $\operatorname{vol}(S)$ 에 대해 $\operatorname{per}(S)\geq n \operatorname{vol}(S)^{(n-1)/n} \, \operatorname{vol}(B_1)^{1/n}$ (여기서 $B_1$ 은 단위 구)가 성립한다. 이는 브룬-민코프스키 정리나 소볼레프 부등식과 관련된다.
'''삼각형''': 둘레 길이가 ''p''이고 면적이 ''T''인 삼각형에 대해서는 $p^2 \ge 12\sqrt{3} \cdot T$ 가 성립하며, 등호는 정삼각형일 때 성립한다.^[20]^[13]
'''Hadamard 다양체''': 비양수 곡률을 가진 완비 단일 연결 다양체인 Hadamard 다양체에서도 유클리드 공간과 유사한 등주 부등식이 성립할 것이라는 추측(카르탕-Hadamard 추측)이 있다. $\operatorname{per}(S)\geq n \operatorname{vol}(S)^{(n-1)/n}\operatorname{vol}(B_1)^{1/n}$ 형태의 이 추측은 티에리 오뱅, 미샤 그로모프, 유리 부라고, 빅토르 잘갈러 등에 의해 제기되었다. 2차원의 경우는 1926년 앙드레 베유가 증명했고, 3차원과 4차원은 각각 크리스 크로크(1984)와 브루스 클라이너(1992)가 증명했다.

주어진 폐곡선의 효율성을 나타내는 척도로 '''등주 지수'''(또는 등주 몫) ''Q''가 사용되기도 한다. 이는 곡선의 면적 ''A''와 같은 둘레 ''L''을 가진 원의 면적 사이의 비율로 정의되며,

Q=\frac{4\pi A}{L^2}

로 계산된다. 등주 부등식에 의해 ''Q''는 항상 1보다 작거나 같으며(''Q'' ≤ 1), 원일 때만 1이 된다.

3. 1. 평면에서의 등주 부등식

등주 문제는 폐곡선의 길이 ''L''과 어떤 평면 위에서 둘러싸인 영역의 넓이 ''A'' 사이의 관계를 다루는 문제이다. '''등주 부등식'''은 이 관계를 다음과 같은 수식으로 표현한다.

:

4\pi A \le L^2

이 부등식에서 등호는 곡선이 원일 때만 성립한다. 반지름 ''R''인 원판의 넓이는 ''πR''²이고 원의 둘레는 2''πR''이므로, 원의 경우 부등식의 양변은 모두 4''π''²''R''²이 되어 등호가 성립함을 확인할 수 있다.

등주 부등식에 대한 여러 증명 방법이 개발되었다. 1902년, 후르비츠는 푸리에 급수를 이용하여 임의의 가측 곡선(매끄럽지 않아도 길이를 잴 수 있는 곡선)에 적용 가능한 짧은 증명을 발표했다. 1938년에는 E. 슈미트가 매끄러운 단순 폐곡선을 적절한 원과 비교하는 방식의 직접적인 증명을 제시했다. 이 증명은 호의 길이 공식, 그린 정리를 이용한 평면 영역 넓이 표현, 그리고 코시-슈바르츠 부등식만을 사용한다.

주어진 폐곡선에 대해 '''등주 지수'''(''Q'') 또는 '''등주 몫'''은 곡선이 둘러싼 면적 ''A''와, 그 곡선과 둘레 길이가 같은 원의 면적 사이의 비율로 정의된다. 수식으로는 다음과 같다.

:

Q=\frac{4\pi A}{L^2}

등주 부등식에 따르면, 등주 지수 ''Q''는 항상 1보다 작거나 같으며(''Q'' ≤ 1), 원일 경우에만 1이 된다. 이는 동일한 둘레 길이를 가진 모든 도형 중에서 원이 가장 넓은 면적을 둘러싼다는 것을 의미한다. 반대로, 등주 비

L^2/A

는 모든 곡선에 대해 최소

4\pi

값을 가진다.

정''n''각형의 등주 지수는 다음과 같이 계산된다.

:

Q_n=\frac{\pi}{n \tan(\pi/n)}

이 값은 ''n''이 커질수록 1에 가까워지며, 이는 정다각형의 변의 수가 많아질수록 원에 가까워지고 면적 효율성이 높아짐을 보여준다.

매끄럽고 정규적인 볼록 닫힌 곡선

C

에 대해서는 '''개선된 등주 부등식'''이 성립한다.

:

L^2\geqslant 4\pi A+8\pi\left|\widetilde{A}_{0.5}\right|,

여기서

L

은 곡선

C

의 길이,

A

는

C

로 둘러싸인 영역의 면적,

\widetilde{A}_{0.5}

는

C

의 비그너 커스틱의 방향 면적(oriented area)을 나타내며, 등식은

C

가 폭이 일정한 곡선인 경우에만 성립한다.

3. 2. 구에서의 등주 부등식

반지름의 길이가 1인 구 위의 단순 닫힌 곡선을 ''C''라고 하자. ''L''을 ''C''의 길이, ''A''를 ''C''로 둘러싸인 영역의 넓이라고 할 때, '''구에서의 등주 부등식'''은 다음과 같이 표현된다.

:

L^2 \, \ge \, A (4\pi - A)

이 부등식에서 등호는 곡선 ''C''가 원일 때만 성립한다. 참고로, 단순 닫힌 곡선으로 둘러싸인 구면 위의 넓이를 측정하는 데는 두 가지 방법이 있지만, 이 부등식은 어느 쪽 넓이를 택하든 동일하게 성립한다.

이 부등식은 폴 레비(Paul Lévy)가 1919년에 발견했으며, 그는 이를 더 높은 차원의 공간과 일반적인 표면으로 확장했다.^[5]

더 일반적인 경우로, 임의의 반지름 ''R''을 갖는 구에 대해서는 다음과 같은 등주 부등식이 성립하는 것으로 알려져 있다.^[6]^[19]

:

L^2 \, \ge \, 4\pi A - \frac{A^2}{R^2}

3. 3. 유클리드 공간에서의 등주 부등식

등주 부등식은 주어진 부피에 대해 구가 가장 작은 표면적을 갖는다는 것을 말한다.

C^1

경계를 갖는 유계 열린 집합

S\subset\R ^n

이 표면적

\operatorname{per}(S)

와 부피

\operatorname{vol}(S)

를 가질 때, 등주 부등식은 다음과 같이 표현된다.

:

\operatorname{per}(S)\geq n \operatorname{vol}(S)^{(n-1)/n} \, \operatorname{vol}(B_1)^{1/n},

여기서

B_1\subset\R ^n

은 단위 구이다. 이 부등식에서 등호는

S

가

\R ^n

에서 구일 때 성립한다. 집합에 볼록 집합, 닫힌 정칙 집합, 매끄러운 곡면과 같은 추가적인 제한 조건을 두면 등호는 오직 구에 대해서만 성립한다. 하지만 일반적인 경우에는 상황이 더 복잡하다. 콤팩트 집합

S

에 대해 등호가 성립하는 경우는,

S

가

\operatorname{vol}(B) = \operatorname{vol}(S)

이고

\operatorname{per}(B) = \operatorname{per}(S)

를 만족하는 닫힌 구

B

를 포함할 때뿐이다. 예를 들어, 부피나 표면적에 기여하지 않는 "코로나"가 구 주위에 존재할 수 있으며, 이는 곡선 형태일 수도 있다.

이 부등식의 증명은 집합

S

와 반지름

\epsilon

의 구, 즉

B_\epsilon=\epsilon B_1

사이의 Brunn–Minkowski 정리로부터 직접 유도될 수 있다. Brunn–Minkowski 부등식을

n

제곱하고, 양변에서

\operatorname{vol}(S)

를 빼고,

\epsilon

로 나눈 뒤,

\epsilon\to 0

으로 극한을 취하면 된다.

일반적으로, 집합의 폐포가 유한한 르베그 측도를 갖는 모든 집합

S\subset\R^n

에 대해 등주 부등식은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

n\,\omega_n^{1/n} L^n(\bar{S})^{(n-1)/n} \le M^{n-1}_*(\partial S)

여기서

M_*^{n-1}

는 (''n''-1)차원 민코프스키 내용, ''Lⁿ''는 ''n''차원 르베그 측도, ''ω_n''은

\R^n

에서 단위 구의 부피이다. 만약 ''S''의 경계가 정류 가능한 집합이라면, 민코프스키 내용은 (''n''-1)차원 하우스도르프 측도와 같다.

''n''차원 등주 부등식은 (충분히 매끄러운 영역에 대해) 최적의 상수를 갖는

\R^n

상의 소볼레프 부등식과 동등하다. 이는 다음과 같이 표현된다.

:

\left( \int_{\R^n} |u|^{n/(n-1)}\right)^{(n-1)/n} \le n^{-1}\omega_{n}^{-1/n}\int_{\R^n}|\nabla u|

이 부등식은 모든

u\in W^{1,1}(\R^n)

에 대해 성립한다.

3. 4. 삼각형에서의 등주 부등식

삼각형의 둘레 길이를 ''p'', 면적을 ''T''라고 할 때, 삼각형에 대한 등주 부등식은 다음과 같이 표현된다.^[20]^[13]

:

p^2 \ge 12\sqrt{3} \cdot T

이 부등식에서 등호는 주어진 삼각형이 정삼각형일 때 성립한다.

이 부등식은 산술-기하 평균 부등식을 이용하여 유도될 수 있으며, 다음과 같은 더 강력한 형태의 부등식과 관련이 있다.^[14] 삼각형의 세 변의 길이를 ''a'', ''b'', ''c''라고 할 때, 면적 ''T''는 다음 조건을 만족한다.

:

T \le \frac{\sqrt{3}}{4}(abc)^{2/3}

이 부등식 역시 삼각형에 대한 등주 부등식이라고 불리기도 한다.

4. 그래프에서의 등주 부등식

그래프 이론에서 등주 부등식은 강한 연결성을 가진 희소 그래프인 확장 그래프 연구의 핵심이다. 확장 그래프 구축은 순수 수학 및 응용 수학 연구를 촉진했으며, 계산 복잡도 이론, 강력한 컴퓨터 네트워크 설계, 오류 정정 코드 이론 등에 여러 응용 분야를 가지고 있다.^[7]

그래프에 대한 등주 부등식은 정점 부분 집합의 크기를 해당 경계의 크기와 관련시키며, 이는 일반적으로 부분 집합을 벗어나는 모서리의 수(모서리 확장) 또는 인접한 정점의 수(정점 확장)로 측정된다. 그래프 $G$ 와 숫자 $k$ 에 대해, 다음은 그래프에 대한 두 가지 표준 등주 매개변수이다.^[8]

모서리 등주 매개변수: $\Phi_E(G,k)=\min_{S\subseteq V} \left\{|E(S,\overline{S})| : |S|=k \right\}$
정점 등주 매개변수: $\Phi_V(G,k)=\min_{S\subseteq V} \left\$

4. 1. 초정육면체에서의 예시

d

차원 초정육면체

Q_d

는 꼭짓점들이 길이가

d

인 모든 0과 1로 이루어진 벡터, 즉 집합

\{0,1\}^d

로 표현되는 그래프이다. 두 벡터(꼭짓점)는 정확히 한 자리의 값이 다른 경우, 즉 해밍 거리가 정확히 1인 경우에 간선으로 연결된다.

불리언 초정육면체에 대한 등주 부등식은 다음과 같다.^[9]

모서리 등주 부등식: 초정육면체의 모서리 등주 부등식은 $\Phi_E(Q_d,k) \geq k(d-\log_2 k)$ 이다. 이 경계는 최적이며(tight), 이는 $Q_d$ 의 임의의 부분 초정육면체의 꼭짓점 집합 $S$ 에 대해 성립한다.

정점 등주 부등식 (하퍼의 정리): 하퍼의 정리^[10]에 따르면, 주어진 크기를 가진 모든 꼭짓점 집합 중에서 '해밍 공'이 가장 작은 정점 경계(이웃하는 꼭짓점의 수)를 가진다. 여기서 해밍 공은 어떤 정수 $r$ 에 대해 해밍 무게(벡터에서 1의 개수)가 최대 $r$ 인 모든 점들과, 해밍 무게가 $r+1$ 인 일부 점들을 포함하는 집합을 의미한다. 단, 해밍 무게가 $r+1$ 보다 큰 점은 포함하지 않는다.

하퍼의 정리는 다음 조건을 만족하는 모든 집합

S\subseteq V

(여기서

V

는

Q_d

의 꼭짓점 집합)에 대해 성립한다. 만약 집합

S

의 크기가

:

|S|\geq\sum_{i=0}^{r} {d\choose i}

를 만족하면,

S

와 그 이웃한 꼭짓점들의 합집합

S\cup\Gamma(S)

(여기서

\Gamma(S)

는

S

에 속한 꼭짓점들과 연결된

S

외부의 꼭짓점 집합, 즉

S

의 정점 경계)의 크기는 다음을 만족한다.

:

|S\cup\Gamma(S)|\geq \sum_{i=0}^{r+1}{d\choose i}.

^[11]

특히, 어떤 정수

r

에 대해 집합의 크기

k=|S|

가 정확히 다음과 같은 형태일 때,

:

k={d \choose 0} + {d \choose 1} + \dots + {d \choose r}

정점 등주 문제에 대한 최적의 값, 즉 정점 등주 모수

\Phi_V(Q_d,k) = |\Gamma(S)|

는 다음과 같다.

:

\Phi_V(Q_d,k) = {d\choose r+1}.

^[12]

참조

_[1] 간행물 The Evolution of the Isoperimetric Problem http://www.maa.org/p[...]
_[2] 웹사이트 Sobre mates y mitos https://elpais.com/c[...] 2021-01-04
_[3] 문서 Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze
_[4] 간행물 The improved isoperimetric inequality and the Wigner caustic of planar ovals 2016
_[5] 서적 Metric Structures for Riemannian and Non-Riemannian Spaces Springer 2006
_[6] 간행물 The Isoperimetric Inequality http://www.ams.org/j[...]
_[7] 문서
_[8] 문서
_[9] 문서
_[10] 문서
_[11] 문서
_[12] 문서
_[13] 서적 A Distorted View of Geometry Mathematical Association of America
_[14] 간행물 "Non-Euclidean Versions of Some Classical Triangle Inequalities" http://forumgeom.fau[...]
_[15] 서적 初等幾何学特選問題 '1932'
_[16] 웹사이트 等周問題に関連する高校数学の問題 https://manabitimes.[...] 2021-03-07
_[17] 간행물 The Evolution of the Isoperimetric Problem http://www.maa.org/p[...]
_[18] 문서 Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze
_[19] 간행물 The Isoperimetric Inequality http://www.ams.org/j[...]
_[20] 서적 A Distorted View of Geometry Mathematical Association of America

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