오차 삼중체

1. 개요

오차 삼중체는 사영 공간 P⁴ 안에서 5차 동차 다항식으로 정의되는 칼라비-야우 다양체의 한 종류이다. 가장 많이 연구된 예는 페르마 다항식에서 파생된 것이며, P⁴ 안의 초곡면과 페르마 오차 삼중체 등이 있다. 오차 삼중체 안의 곡선과 관련하여, 1차 유리 곡선의 개수는 2875개이며, 2차 유리 곡선은 609250개이다.

2. 정의

오차 삼중체는 사영 공간 $\backslash mathbb\{P\}^4$ 안의 5차 사영 다형체이며, 칼라비-야우 다양체의 특별한 한 종류이다. 이는 $\backslash mathbb\{P\}^4$ 안에서 5차 동차 다항식 하나로 정의되는 초곡면으로 생각할 수 있다. 수학적으로는 특정 조건을 만족하는 점들의 집합으로 정의되며, 그 구체적인 조건과 성질은 하위 섹션에서 다룬다.

2.1. P⁴ 안의 초곡면

오차 삼중체는 P⁴ ($\backslash mathbb\{P\}^4$) 안의 차수 5인 초곡면으로 정의되는 특별한 종류의 칼라비-야우 다양체이다. 많은 예제가 $\backslash mathbb\{P\}^4$ 안의 초곡면 또는 $\backslash mathbb\{P\}^4$에 있는 완전 교차 등으로 구성된다. 집합으로서 오차 삼중체는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$X\; =\; \backslash \{x\; =\; [x\_0:x\_1:x\_2:x\_3:x\_4]\; \backslash in\; \backslash mathbb\{CP\}^4\; :\; p(x)\; =\; 0\; \backslash \}$$
여기서 $p(x)$는 5차 동차 다항식이다. 가장 많이 연구된 예시 중 하나는 페르마 다항식으로 불리는 다음 식이다.
$$p(x)\; =\; x\_0^5\; +\; x\_1^5\; +\; x\_2^5\; +\; x\_3^5\; +\; x\_4^5$$

어떤 사영 다형체 $X$가 칼라비-야우 다양체가 되기 위한 중요한 조건 중 하나는 표준 다발 $\backslash omega\_X$이 자명해야 한다는 것이다. $\backslash mathbb\{P\}^4$ 안의 $d$차 초곡면 $X$에 대해 Adjunction 공식을 사용하면 표준 다발을 계산할 수 있다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\Omega_X^3 &= \omega_X \\
&= \omega_{\mathbb{P}^4}\otimes \mathcal{O}(d) \\
&\cong \mathcal{O}(-(4+1))\otimes\mathcal{O}(d) \\
&\cong \mathcal{O}(d-5)
\end{align}
이 계산 결과로부터, 표준 다발이 자명하기 위해서는($\backslash omega\_X\; \backslash cong\; \backslash mathcal\{O\}(0)$), 초곡면의 차수 $d$가 5여야 함을 알 수 있다. 따라서 $\backslash mathbb\{P\}^4$ 안의 5차 초곡면은 자명한 표준 다발을 가진다.

추가적으로, 칼라비-야우 다양체는 매끄러운 다양체여야 한다. 이는 초곡면을 정의하는 동차 다항식 $f$와 그것의 모든 편미분 $\backslash partial\_0f,\backslash ldots,\; \backslash partial\_4f$들이 동시에 0이 되는 점이 사영 공간 안에 존재하지 않는다는 조건으로 확인된다. 즉, 다음 집합이 공집합이어야 한다.
$$\backslash \{\; x\; =\; [x\_0:\backslash cdots:x\_4]\; |\; f(x)\; =\; \backslash partial\_0f(x)\; =\; \backslash cdots\; =\; \backslash partial\_4f(x)\; =\; 0\; \backslash \}$$
이 매끄러움 조건과 자명한 표준 다발 조건을 모두 만족하는 $\backslash mathbb\{P\}^4$ 안의 5차 초곡면이 오차 삼중체, 즉 칼라비-야우 다양체가 된다.

3. 예

오차 삼중체는 4차원 사영 공간 $\backslash mathbb\{P\}^4$에서 차수가 5인 대수다양체로 정의되는 특별한 칼라비-야우 다양체이다. 많은 오차 삼중체는 $\backslash mathbb\{P\}^4$ 안의 초곡면이나 완전 교차로 만들어지거나, 특이점을 가진 다른 다양체를 매끄럽게 만든 형태로 나타난다. 집합으로서 오차 삼중체는 일반적으로 다음과 같이 표현될 수 있다.
$$X\; =\; \backslash \{x\; =\; [x\_0:x\_1:x\_2:x\_3:x\_4]\; \backslash in\; \backslash mathbb\{CP\}^4\; :\; p(x)\; =\; 0\; \backslash \}$$
여기서 $p(x)$는 변수 $x\_0,\; x\_1,\; x\_2,\; x\_3,\; x\_4$에 대한 차수 5인 동차 다항식이다.

오차 삼중체의 대표적인 예시는 다음과 같다.

* [[#페르마 오차 삼중체|페르마 오차 삼중체]](Fermat quintic threefold^영어): 가장 잘 알려지고 많이 연구된 예시 중 하나로, 페르마 다항식이라고 불리는 다음 방정식으로 정의된다.
$$x\_0^5\; +\; x\_1^5\; +\; x\_2^5\; +\; x\_3^5\; +\; x\_4^5\; =\; 0$$
또는 변수를 다르게 써서 $V^5+W^5+X^5+Y^5+Z^5=0$으로 표현되기도 한다. 이 다양체가 매끄러운 다양체이며 칼라비-야우 다양체의 조건을 만족함은 편미분 등을 통해 확인할 수 있다.

* [[#바르트-니에토 오차 삼중체|바르트-니에토 오차 삼중체]](Barth–Nieto quintic^영어)

3.1. 페르마 오차 삼중체

칼라비-야우 다양체의 가장 대표적이고 연구가 많이 진행된 예시 중 하나는 페르마 오차 삼중체(Fermat quintic threefold^영어)이다. 이는 복소 사영 공간 $\backslash mathbb\{P\}^4$에서 차수가 5인 초곡면으로 정의되는 특별한 종류의 칼라비-야우 다양체이다.

페르마 오차 삼중체는 다음과 같은 동차 다항식의 영점 집합으로 정의된다.
$$p(x)\; =\; x\_0^5\; +\; x\_1^5\; +\; x\_2^5\; +\; x\_3^5\; +\; x\_4^5\; =\; 0$$
이 방정식은 5개의 변수를 각각 5제곱하여 더한 형태로, 페르마의 이름을 따 페르마 다항식이라고도 불린다. 이러한 대칭적인 구조 때문에 다양한 수학적 연구의 대상이 되어왔다.

집합으로서 페르마 오차 삼중체는 다음과 같이 표현할 수 있다.
$$X\; =\; \backslash \{x\; =\; [x\_0:x\_1:x\_2:x\_3:x\_4]\; \backslash in\; \backslash mathbb\{CP\}^4\; :\; x\_0^5\; +\; x\_1^5\; +\; x\_2^5\; +\; x\_3^5\; +\; x\_4^5\; =\; 0\; \backslash \}$$

이 다양체가 실제로 칼라비-야우 다양체의 조건을 만족한다는 것을 증명하기 위해서는 접합 공식이나 매끄러움 조건과 같은 추가적인 수학적 도구가 필요하다. 페르마 오차 삼중체의 경우, 다항식 $f\; =\; x\_0^5\; +\; x\_1^5\; +\; x\_2^5\; +\; x\_3^5\; +\; x\_4^5$의 모든 편도함수 $\backslash partial\_i\; f\; =\; 5x\_i^4$가 동시에 0이 되는 지점은 원점 $[0:0:0:0:0]$ 뿐인데, 이는 $\backslash mathbb\{P\}^4$의 점이 아니므로, 페르마 오차 삼중체는 특이점을 갖지 않는 매끄러운 다양체임을 알 수 있다.

3.2. 오차 삼중체의 드워크 족

다양한 맥락에서 연구되는 오차 삼중체의 또 다른 중요한 예시로는 드워크 족이 있다. 이 족에 대한 유명한 연구 중 하나는 필립 칸델라스(Philip Candelas), 실리아 데 라 오사(Xenia de la Ossa), 폴 그린(Paul Green), 린다 파크스(Linda Parkes)가 거울 대칭을 발견했을 때 이루어졌다. 이 족은 다음 방정식으로 정의된다. ^{pages 123-125}
$f\_\backslash psi\; =\; x\_0^5\; +\; x\_1^5\; +\; x\_2^5\; +\; x\_3^5\; +\; x\_4^5\; -\; 5\backslash psi\; x\_0x\_1x\_2x\_3x\_4$
여기서 $\backslash psi$는 1의 5제곱근(단위근)이 아닌 복소수 매개변수이다. 이 다양체의 특이점은 $f\_\backslash psi$의 모든 편도함수가 0이 되는 지점을 찾아냄으로써 결정할 수 있다. 편도함수는 다음과 같다.
$\backslash begin\{align\}$
\partial_0f_\psi &= 5x_0^4 - 5\psi x_1x_2x_3x_4 \\
\partial_1f_\psi &= 5x_1^4 - 5\psi x_0x_2x_3x_4 \\
\partial_2f_\psi &= 5x_2^4 - 5\psi x_0x_1x_3x_4 \\
\partial_3f_\psi &= 5x_3^4 - 5\psi x_0x_1x_2x_4\\
\partial_4f_\psi &= 5x_4^4 - 5\psi x_0x_1x_2x_3\\
\end{align}
모든 편도함수가 0이 되는 지점에서는 $x\_i^5\; =\; \backslash psi\; x\_0x\_1x\_2x\_3x\_4$ ($i=0,\; 1,\; 2,\; 3,\; 4$) 관계가 성립한다. 예를 들어, $\backslash partial\_0f\_\backslash psi\; =\; 0$ 식의 양변을 5로 나누고 $x\_0$를 곱하면 다음을 얻는다.
$\backslash begin\{align\}$
5x_0^4 &= 5\psi x_1x_2x_3x_4 \\
x_0^4 &= \psi x_1x_2x_3x_4 \\
x_0^5 &= \psi x_0x_1x_2x_3x_4
\end{align}
다섯 개의 방정식 $x\_i^5\; =\; \backslash psi\; x\_0x\_1x\_2x\_3x\_4$를 모두 곱하면 다음 관계식을 얻는다.
$\backslash prod\_\{i=0\}^4\; x\_i^5\; =\; \backslash psi^5\; \backslash left(\backslash prod\_\{i=0\}^4\; x\_i\backslash right)^5$
이 식은 모든 $x\_i$가 0이거나 또는 $\backslash psi^5\; =\; 1$임을 의미한다. 모든 $x\_i$가 0인 경우는 자명한 해이며, $f\_\backslash psi$의 변화하는 항($-\; 5\backslash psi\; x\_0x\_1x\_2x\_3x\_4$)이 사라지므로 매끄러운 영점 부분 집합을 제공한다. 따라서 특이점은 $\backslash psi^5\; =\; 1$일 때 발생한다. 주어진 $\backslash psi$에 대해 ($\backslash psi^5\; =\; 1$), 특이점은 다음과 같은 형태를 가진다.
$[\backslash mu\_5^\{a\_0\}:\backslash cdots:\backslash mu\_5^\{a\_4\}]$ 이고, 다음 조건을 만족한다: $\backslash mu\_5^\{\backslash sum\; a\_i\}=\backslash psi^\{-1\}$
여기서 $\backslash mu\_5\; =\; e^\{2\; \backslash pi\; i\; /\; 5\}$는 1의 5제곱근이다. 예를 들어, $\backslash psi\; =\; 1$일 때, 점
$[\backslash mu\_5^4:\backslash mu\_5^\{-1\}:\backslash mu\_5^\{-1\}:\backslash mu\_5^\{-1\}:\backslash mu\_5^\{-1\}]$
은 $f\_1$과 그 편도함수 모두의 해가 된다. 왜냐하면 $(\backslash mu\_5^k)^5\; =\; (\backslash mu\_5^5)^k\; =\; 1^k\; =\; 1$ 이고, 편도함수 방정식 $x\_i^4\; =\; \backslash psi\; \backslash prod\_\{j\; \backslash neq\; i\}\; x\_j$를 만족하기 때문이다. 예를 들어 $i=0$일 때, $x\_0^4\; =\; (\backslash mu\_5^4)^4\; =\; \backslash mu\_5^\{16\}\; =\; \backslash mu\_5^1$ 이고, $\backslash psi\; \backslash prod\_\{j\; \backslash neq\; 0\}\; x\_j\; =\; 1\; \backslash cdot\; (\backslash mu\_5^\{-1\})^4\; =\; \backslash mu\_5^\{-4\}\; =\; \backslash mu\_5^1$ 이므로 $\backslash partial\_0\; f\_1\; =\; 0$ 이 성립한다. 다른 편도함수들도 마찬가지로 0이 된다.

3.3. 다른 예

* 바르트-니에토 오차 삼중체
* 콘사니-숄텐 오차 삼중체
* 페르마 오차 삼중체 Fermat quintic threefold^영어는 $V^5+W^5+X^5+Y^5+Z^5=0$로 주어진다.

4. 오차 삼중체 안의 곡선

오차 삼중체 안에 놓인 곡선들을 연구하는 것은 대수기하학의 중요한 문제 중 하나이다. 특히 유리 곡선의 개수를 세는 문제가 활발히 연구되었다. 예를 들어, 일반적인 오차 삼중체 안에는 정확히 2875개의 직선(1차 유리 곡선)이 존재한다는 사실이 슈베르트 미적분을 통해 계산되었다. 더 높은 차수의 유리 곡선 개수에 대한 연구도 진행되었으며, 이는 끈 이론과 같은 물리학 분야와도 연관성을 가진다.

4.1. 유리 곡선

헤르베르트 클레멘스는 일반적인 오차 삼중체 안에 주어진 차수의 유리 곡선의 개수는 유한할 것이라고 추측했다. (일부 매끄럽지만 일반적이지 않은 오차 삼중체는 무한한 직선 족을 포함하기도 한다.)

차수 1인 유리 곡선(직선)의 개수는 슈베르트 미적분을 사용하여 계산할 수 있으며, 그 값은 2875이다. 이는 5차원 벡터 공간의 2차원 부분 공간들의 그라스마니안 $G(2,5)$ 위의 특정 벡터 다발(접다발의 쌍대 다발 $T^*$)의 대칭 거듭제곱 $\backslash text\{Sym\}^5(T^*)$의 오일러 특성류를 $\backslash mathbb\{P\}^4$ 안의 직선들의 공간인 $\backslash mathbb\{G\}(1,4)$ 상에서 적분하여 얻을 수 있다.

셸던 카츠는 클레멘스의 추측이 7차 이하의 유리 곡선에 대해 성립함을 보였고, 특히 2차 유리 곡선의 개수가 609250개임을 계산했다.

필립 칸델라스, 세니아 데 라 오사, 폴 그린, 린다 파크스는 1991년에 임의의 차수에 대한 유리 곡선의 가상 개수를 구하는 일반적인 공식을 추측했다. 이 공식은 이후 알렉산드르 기벤탈에 의해 증명되었다. 여기서 '가상 개수'가 실제 곡선의 개수와 같다는 것은 클레멘스 추측의 증명에 달려 있으며, 현재까지 11차 유리 곡선까지 실제 개수와 일치함이 확인되었다.

일반적인 오차 삼중체 위의 차수별 유리 곡선 개수는 다음과 같은 수열로 주어진다.
* 1차: 2875
* 2차: 609250
* 3차: 317206375
* 4차: 242467530000
* ... (이후 계속됨)

일반적인 오차 삼중체는 칼라비-야우 다양체의 한 예이다. 주어진 차수의 유리 곡선들의 모듈라이 공간은 이산적이고 유한한 점들의 집합(따라서 콤팩트 공간)으로 여겨지므로, 잘 정의된 도널드슨-토마스 불변량을 가진다. 이 불변량은 "가상 점의 개수"를 나타내며, 적어도 1차와 2차의 경우에는 실제 유리 곡선의 개수와 일치한다.