역사상

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1. 개요

역사상은 범주 이론에서 정의되는 개념으로, 두 사상 간의 관계를 설명한다. 범주 $\mathcal C$ 의 사상 $f$ 와 $g$ 에 대해, $g \circ f = \operatorname{id}_X$ 가 성립하면 $g$ 는 $f$ 의 왼쪽 역사상, $f$ 는 $g$ 의 오른쪽 역사상이라고 한다. 만약 $f \circ g = \operatorname{id}_Y$ 도 성립하면, $g$ 는 $f$ 의 양쪽 역사상이며, 이러한 경우 $f$ 와 $g$ 는 동형 사상이 된다. 왼쪽 역사상을 갖는 사상을 분할 단사 사상, 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 분할 전사 사상이라고 하며, 모든 단사 사상이 분할 단사 사상인 범주에서는 선택 공리가 성립한다. 이러한 개념은 집합, 군, 위상 공간 등 다양한 수학적 구조에서 나타나며, 분할 단사 사상과 분할 전사 사상은 쌍대적인 관계를 갖는다.

역사상

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 왼쪽 역사상과 오른쪽 역사상
- 2.2. 분할 단사 사상과 분할 전사 사상
3. 성질
4. 예시

2. 정의

범주 $\mathcal C$ 의 두 사상 $f\colon X\to Y$ 와 $g\colon Y\to X$ 에 대하여, $g\circ f=\operatorname{id}_X$ 가 성립하면 $g$ 는 $f$ 의 왼쪽 역사상(left inverse morphism^영어) 또는 수축(retraction^영어)이라 하고, $f$ 는 $g$ 의 오른쪽 역사상(right inverse morphism^영어) 또는 단면(section^영어)이라고 한다.

추가로 $f\circ g=\operatorname{id}_Y$ 가 성립하면 (즉, $g$ 가 $f$ 의 왼쪽 역사상이자 오른쪽 역사상이라면), $g$ 를 $f$ 의 양쪽 역사상(two-sided inverse morphism^영어)이라고 한다.

왼쪽 역사상을 갖는 사상은 분할 단사 사상(split monomorphism^영어), 오른쪽 역사상을 갖는 사상은 분할 전사 사상(split epimorphism^영어)이라고 하며, 양쪽 역사상을 갖는 사상은 동형 사상이다.

어떤 범주에서 모든 단사 사상이 분할 단사 사상이면, 이 범주에서 선택 공리가 성립한다고 한다.

2.1. 왼쪽 역사상과 오른쪽 역사상

범주 $\mathcal C$ 의 두 사상
: $f\colon X\to Y$
: $g\colon Y\to X$
가 주어졌을 때, $g\circ f=\operatorname{id}_X$ 가 성립하면 다음과 같이 표현한다.

* $g$ 는 $f$ 의 왼쪽 역사상(left inverse morphism^영어) 또는 수축(retraction^영어)이다.
* $f$ 는 $g$ 의 오른쪽 역사상(right inverse morphism^영어) 또는 단면(section^영어)이다.

"수축"/"단면"이라는 이름은 위상수학에서 유래하였다. 즉, 오른쪽 역사상은 위상 공간의 범주에서 올다발의 단면을 일반화한 것이다.

2.2. 분할 단사 사상과 분할 전사 사상

범주 $\mathcal C$ 의 두 사상
: $f\colon X\to Y$
: $g\colon Y\to X$
가 주어졌을 때, $g\circ f=\operatorname{id}_X$ 가 성립하면,
* $g$ 는 $f$ 의 왼쪽 역사상(left inverse morphism^영어) 또는 수축(retraction^영어)이다.
* $f$ 는 $g$ 의 오른쪽 역사상(right inverse morphism^영어) 또는 단면(section^영어)이다.

왼쪽 역사상을 갖는 사상을 분할 단사 사상(split monomorphism^영어)이라고 한다. 오른쪽 역사상을 갖는 사상을 분할 전사 사상(split epimorphism^영어)이라고 한다.

3. 성질

분할 단사 사상과 분할 전사 사상은 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다.

* 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다.
* 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다.
* 주어진 사상의 왼쪽 역사상 또는 오른쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 그러나 양쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 항상 유일하다.

3.1. 함의 관계

이름과 같이, 모든 분할 단사 사상은 항상 단사 사상이며, 모든 분할 전사 사상은 항상 전사 사상이다.

증명:
: $f\colon X\to Y$ , $g\colon Y\to X$ 가 $g\circ f=\operatorname{id}_X$ 를 만족시킨다고 하자.
:사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 $h,h'\colon Z\to X$ 에 대하여, 만약 $f\circ h=f\circ h'$ 이라면 $h=g\circ f\circ h=g\circ f\circ h'=h'$ 이다. 따라서 분할 단사 사상 $f$ 는 단사 사상이다.
:마찬가지로, 사상 합성의 결합 법칙에 따라, 임의의 두 사상 $h,h'\colon Y\to Z$ 에 대하여, 만약 $h\circ g=h'\circ g$ 라면 $h=h\circ g\circ f=h'\circ g\circ f=h'$ 이다. 따라서 분할 전사 사상 $f$ 는 전사 사상이다.

분할 단사 사상과 분할 전사 사상은 서로 쌍대 개념이다. 즉, 범주 $\mathcal C$ 에서의 분할 단사 사상은 그 반대 범주 $\mathcal C^{\operatorname{op}}$ 에서의 분할 전사 사상이며, 그 역도 성립한다.

임의의 범주의 사상에 대하여 다음 세 조건들이 서로 동치이다.
* 단사 사상이며, 분할 전사 사상이다.
* 전사 사상이며, 분할 단사 사상이다.
* 동형 사상이다.
(그러나 단사 사상이자 전사 사상인 사상이 동형 사상일 필요는 없다.)

증명:
:두 사상 $f\colon X\to Y$ , $g\colon Y\to X$ 가 주어졌으며, $g\circ f=\operatorname{id}_X$ 라고 하자. 그렇다면, $f\circ g\circ f=\operatorname{id}_Y\circ f$ 이며 $g\circ f\circ g=g\circ\operatorname{id}_Y$ 이다.
:만약 $f$ 가 전사 사상이라고 하면, $(f\circ g)\circ f=\operatorname{id}_Y\circ f$ 이므로 $f\circ g=\operatorname{id}_Y$ 이며, 따라서 $f$ 및 $g$ 는 서로 양쪽 역사상이다. 마찬가지로, 만약 $g$ 가 단사 사상이라고 하면, $g\circ(f\circ g)=g\circ\operatorname{id}_Y$ 이므로 $f\circ g=\operatorname{id}_Y$ 이며, 따라서 $f$ 및 $g$ 는 서로 양쪽 역사상이다.

3.2. 유일성

주어진 사상의 왼쪽 역사상 또는 오른쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 일반적으로 유일하지 않을 수 있다. 그러나 양쪽 역사상은 (만약 존재한다면) 항상 유일하다.

3.3. 단사·사영 대상과의 관계

임의의 범주에서, 정의역이 단사 대상인 단사 사상은 분할 단사 사상이다. 마찬가지로, 임의의 범주에서, 공역이 사영 대상인 전사 사상은 분할 전사 사상이다.

4. 예시

집합과 함수의 토포스에서 분할 단사 사상은 공역이 공집합이 아니거나 정의역이 공집합이 아닌 단사 함수이며, 전사 사상과 분할 전사 사상의 개념이 일치한다. 군과 군 준동형의 범주에서는 분할 단사·전사 사상의 개념이 반직접곱과 관련이 있다. 위상 공간과 연속 함수의 범주에서는 분할 단사 사상이 아닌 단사 사상과 분할 전사 사상이 아닌 전사 사상이 존재한다. 원순서 집합에서는 모든 분할 단사 사상 및 분할 전사 사상은 동형 사상이다. 아벨 범주에서 분할 단사/전사 사상은 분할 완전열과 관련이 있다.

4.1. 집합

집합과 함수의 토포스에서는 다음이 성립한다.
* 분할 단사 사상은 공역이 공집합이 아니거나 정의역이 공집합이 아닌 단사 함수이다.
* 전사 사상과 분할 전사 사상의 개념이 일치한다. (이는 체르멜로-프렝켈 집합론에서 선택 공리와 동치이다.)

4.2. 군

군과 군 준동형의 범주 $\operatorname{Grp}$ 에서, 단사 사상은 단사 함수인 군 준동형이며, 전사 사상은 전사 함수인 군 준동형이다. 이 범주에서, 분할 단사·전사 사상의 개념은 반직접곱과 깊은 관련을 갖는다.

구체적으로, 단사 군 준동형 $i\colon H\hookrightarrow G$ 가 분할 단사 사상일 필요충분조건은 다음과 같다.
* $H$ 는 $i$ 에 의하여 $G$ 의 부분군을 이루며, $G\cong N\rtimes H$ 인 정규 부분군 $N\vartriangleleft G$ 이 존재한다. (여기서 $\rtimes$ 는 반직접곱을 뜻한다.)

마찬가지로, 전사 군 준동형 $q\colon G\twoheadrightarrow Q$ 가 분할 전사 사상이 될 필요충분조건은 다음과 같다.
* $G\cong\ker q\rtimes Q$ 이다. (여기서 $\rtimes$ 는 반직접곱을 뜻한다.)

4.3. 위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname{Top}$ 에서는 분할 단사 사상이 아닌 단사 사상이 존재하며, 분할 전사 사상이 아닌 전사 사상이 존재한다.

$\operatorname{Top}$ 에서 단사 사상은 단사 함수인 연속 함수이며, 전사 사상은 전사 함수인 연속 함수이고, 동형 사상은 위상 동형이다. 전단사 함수이자 연속 함수이지만, 그 역함수가 연속 함수가 아니어서 위상 동형이 아닌 함수가 존재한다. 이러한 함수는 단사 사상이자 전사 사상이지만, 분할 단사 사상도 아니고 분할 전사 사상도 아니다.

4.4. 원순서 집합

원순서 집합 $(X,\lesssim)$ 을 작은 범주로 간주하였을 때, 모든 분할 단사 사상 및 분할 전사 사상은 동형 사상이다.

4.5. 아벨 범주

아벨 범주에서 사상 $f\colon A\to B$ 이 단사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다.
: $0\to A\overset f\to B\to\operatorname{coker}f\to 0$
(여기서 $0$ 은 아벨 범주의 영 대상이며, $\operatorname{coker}$ 는 여핵을 뜻한다.) 이 경우, $f$ 가 분할 단사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다.

마찬가지로, 아벨 범주에서 사상 $g\colon B\to C$ 이 전사 사상인 것은 다음과 같은 짧은 완전열이 존재하는 것과 동치이다.
: $0\to\ker g\to B\overset g\to C\to 0$
(여기서 $0$ 은 아벨 범주의 영 대상이며, $\ker$ 는 핵을 뜻한다.) 이 경우, $g$ 가 분할 전사 사상인 것은 위 짧은 완전열이 분할 완전열인 것과 동치이다.