르베그-스틸티어스 측도

1. 개요

르베그-스틸티어스 측도는 증가 함수를 사용하여 정의되는 측도이며, 르베그 측도와 리만-스틸티어스 적분을 일반화한다. 1차원 및 고차원에서 정의되며, 다니엘 적분을 통해 구성될 수 있다. 르베그-스틸티어스 측도는 유계 집합에 대해 유한하며, 부분 적분 공식을 만족한다. 르베그 적분과 리만-스틸티어스 적분은 르베그-스틸티어스 측도의 특수한 경우이며, 확률론에서 확률 변수의 기댓값을 계산하는 데 활용된다. 앙리 르베그와 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 따서 명명되었다.

2. 정의

르베그 적분의 일반화된 형태인 르베그-스틸티어스 적분은 주어진 증가 함수 또는 유계 변동 함수를 이용하여 정의되는 측도를 기반으로 한다. 이 측도를 바탕으로 함수의 적분을 정의한다.

1차원 및 고차원 르베그-스틸티어스 적분은 각각 실수 및 n차원 유클리드 공간에서 정의되며, 카라테오도리 확장 정리를 통해 보렐 시그마 대수 위에서 측도를 구성한다. 다니엘 적분 관점에서 리만-스틸티어스 적분을 확장하여 정의할 수도 있다.

2.1. 1차원 르베그-스틸티어스 적분

증가 함수 $g\backslash colon\backslash mathbb\; R\backslash to\backslash mathbb\; R$가 주어졌을 때, 다음과 같은 외측도 $\backslash mu\_g$를 정의할 수 있다.

:$\backslash mu\_g(S)=\backslash inf\backslash left\backslash \{\backslash sum\_\{(c,d]\backslash in\backslash mathcal\; I\}(g(d^+)-g(c^+))\backslash colon\; \backslash mathcal\; I\backslash in\backslash mathcal\; P\_\{\backslash le\backslash aleph\_0\}(\backslash mathcal\; C),\backslash ;S\backslash subseteq\backslash bigcup\backslash mathcal\; I\backslash right\backslash \}\backslash qquad(S\backslash in\backslash mathcal\; B([a,b]))$

여기서

*
* $\backslash mathcal\; P\_\{\backslash le\backslash aleph\_0\}(\backslash mathcal\; C)=\backslash left\backslash \{\backslash mathcal\; I\backslash subseteq\backslash mathcal\; C\backslash colon|\backslash mathcal\; I|\backslash le\backslash aleph\_0\backslash right\backslash \}$는 $[a,b]$ 속의 가산 개의 반(半)열린구간들의 집합족들의 모임이다.
* $g(x^+)=\backslash lim\_\{\backslash epsilon\backslash to0^+\}g(x+\backslash epsilon)$이다.

$\backslash mathcal\; C$로 생성되는 시그마 대수 $\backslash sigma(\backslash mathcal\; C)=\backslash mathcal\; B(\backslash mathbb\; R)$는 실수선의 보렐 시그마 대수이다. 카라테오도리 확장 정리에 의하여, 이는 보렐 시그마 대수에 제한될 경우 측도를 이루며, 이를 $g$의 르베그-스틸티어스 측도라고 한다.

이 르베그-스틸티어스 측도에 대한 적분은 흔히 다음과 같이 표기한다.

:$\backslash int\_\{\backslash mathbb\; R\}f\backslash ;\backslash mathrm\; d\backslash mu\_g=\backslash int\_\{\backslash mathbb\; R\}f\backslash ;\backslash mathrm\; dg$

이는  $f\; :\; \backslash left[a,\; b\backslash right]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\; R$ 가 보렐-가측이고 유계이며,  $g\; :\; \backslash left[a,\; b\backslash right]\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\; R$ 가 유계 변동이고 우연속일 때, 또는 $f$가 음이 아니고 $g$가 단조이며 우연속일 때 정의된다.

2.2. 고차원 르베그-스틸티어스 적분

고차원에서는 분포 함수의 개념을 이용하여 르베그-스틸티어스 측도를 정의한다. 이 측도는 n차원 공간에서의 보렐 집합에 대한 측도를 제공한다.

함수
:$g\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\backslash mathbb\; R$
가 임의의 $\backslash vec\; a,\backslash vec\; b\backslash in\backslash mathbb\; R^n$에 대하여 ($a\_i\backslash le\; b\_i\backslash qquad\backslash forall\; 1\backslash le\; i\backslash le\; n$) 다음 두 조건을 만족시킨다면, 분포 함수(distribution function^영어)라고 한다.
:$g(\backslash vec\; b)\backslash ge\; g(\backslash vec\; a)$
:$\backslash hat\; g\backslash left(\backslash Delta\_\{\backslash vec\; b\}(\backslash vec\; a)\backslash right)\backslash ge0$

이 경우, 위와 같은 $\backslash vec\; a,\backslash vec\; b\backslash in\backslash mathbb\; R^n$에 대하여 다음과 같은 (외)측도를 정의할 수 있다.
:$\backslash mu\_g\backslash left(\backslash prod\_\{i=1\}^n(a\_i,b\_i]\backslash right)=\backslash lim\_\{\backslash vec\backslash epsilon\backslash to0^+\}\backslash hat\; g\backslash left(\backslash Delta\_\{\backslash vec\; b+\backslash vec\backslash epsilon\}(\backslash vec\; a+\backslash vec\backslash epsilon)\backslash right)$

이를 통해 보렐 시그마 대수 $\backslash mathcal\; B(\backslash mathbb\; R^n)$ 위에 르베그-스틸티어스 측도
:$\backslash mu\_g\backslash colon\backslash mathcal\; B(\backslash mathbb\; R^n)\backslash to[0,\backslash infty]$
를 정의할 수 있다.

2.3. 다니엘 적분 (Daniell integral)

Daniell integral^영어 (다니엘 적분)의 관점에서 르베그-스틸티어스 적분을 정의할 수 있다. 이 경우, 리만-스틸티어스 적분을 확장하여 르베그-스틸티어스 적분을 정의한다.

함수 $g$가 유계 폐구간 $[a,\; b]$에서 우연속 비증가 함수일 때, 연속 함수 $f$에 대한 기본 적분 $I(f)$는 리만-스틸티어스 적분으로 정의된다.

:$I(f)\; =\; \backslash int\_a^b\; f\backslash ,dg$

범함수 $I$는 $[a,\; b]$ 위의 라돈 측도를 정의한다. 이 범함수 $I$는 다음과 같이 비음 함수 전체 클래스로 확장할 수 있다.

:$\backslash underline\{I\backslash !\}\backslash ,(h)\; =\; \backslash sup\; \backslash \{I(f)\; \backslash mid\; f\backslash in\; C[a,b],\; 0\backslash le\; f\backslash le\; h\backslash \}$

:$\backslash bar\{I\}(h)\; =\; \backslash inf\backslash \{I(f)\; \backslash mid\; f\backslash in\; C[a,b],\; h\backslash le\; f\backslash \}$

보렐 가측 함수에 대해서는 다음이 성립한다.

:$\backslash underline\{I\backslash !\}\backslash ,(h)\; =\; \backslash bar\{I\}(h)$

이 등식의 양변은 $h$의 르베그-스틸티어스 적분을 정의한다. 외측도 $\backslash mu\_g$는 집합 $A$의 지시 함수 $\backslash chi\_A$를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

:$\backslash mu\_g(A)\; =\; \backslash bar\{I\}(\backslash chi\_A)$

적분 함수 $g$가 유계 변동일 때는, 정변동과 부변동의 차이로 분해하여 위와 같이 처리한다.

3. 예

다음은 르베그-스틸티어스 측도의 몇 가지 예시이다.

* \(g(x) = \begin{cases} 0 & x \le 0 \\ x & x > 0 \end{cases}\) 인 함수 \(g\)에 대한 르베그-스틸티어스 측도 \(\mu_g\)는 다음과 같다.
:\(\mu_g(S) = \mu_g(S \cap [0, \infty))\)

* \(g(x) = \alpha x\) (\(\alpha \ge 0\))인 함수 \(g\)에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.
:\(\mu_g(S) = \alpha\nu_{\text{L}}(S)\) (단, \(\nu_{\text{L}}\)는 르베그 측도)

* 평면상의 유한 길이 곡선 \(\gamma : [a, b] \rightarrow \mathbb{R}^2\)와 보렐 가측 함수 \(\rho : \mathbb{R}^2 \rightarrow [0, \infty)\)에 대해, \(\gamma\)의 \(\rho\)에 의해 가중된 유클리드 길이는 다음과 같이 정의된다.
:\(\int_a^b \rho(\gamma(t))\,dl(t)\)
여기서 \(l(t)\)는 구간 \([a, t]\)에서 \(\gamma\)의 호의 길이를 나타낸다. 이를 \(\gamma\)의 \(\rho\)-길이라고도 한다. 이 개념은 여러 분야에서 유용하게 사용된다. 예를 들어 진흙탕을 이동하는 사람의 속도는 진흙의 깊이에 따라 달라지는데, 위치 \(z\) 근처에서 보행 속도의 역수를 \(\rho(z)\)라고 하면, 횡단선 \(\gamma\)의 \(\rho\)-길이는 \(\gamma\)를 따라 진흙탕을 건너는 데 걸리는 시간을 의미한다. 등각 사상 연구에 사용되는 극치적 길이도 곡선의 \(\rho\)-길이 개념을 활용한다.

3.1. 르베그 측도

항등 함수 \(x \mapsto x\)에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 르베그 측도이다. 임의의 실수 \(x\)에 대해 \(g(x) = x\)가 성립할 때, \(g\)에 관한 르베그-스틸티어스 측도 \(\mu_g\)는 R 상의 르베그 측도이며, \(f\)의 \(g\)에 관한 르베그-스틸티어스 적분은 \(f\)의 (르베그 측도에 관한) 르베그 적분과 같다.

3.2. 디랙 측도 (Dirac measure)

--
어떤 점 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$가 주어졌을 때, 다음과 같은 함수를 생각하자.
:$g\backslash colon\; x\backslash mapsto\backslash begin\{cases\}$
0&x\le0\\
1&x>0
\end{cases}
이에 대한 르베그-스틸티어스 측도는 다음과 같다.
:$\backslash mu\_g(S)=\backslash begin\{cases\}$
1&0\in S\\
0&0\notin S
\end{cases}
이를 $0$에서의 디랙 측도라고 하며, $\backslash delta\_0$으로 표기한다.

일반적으로, 임의의 점 $x\backslash in\backslash mathbb\; R$에서의 디랙 측도 $\backslash delta\_x$는 다음과 같다.
:$\backslash delta\_x(S)=\backslash begin\{cases\}$
1&x\in S\\
0&x\notin S
\end{cases}

4. 성질

정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.

4.1. 유한성

정의에 따라, 임의의 유계 집합의 르베그-스틸티어스 측도는 유한하다.

4.2. 부분 적분 (Integration by parts)

U^영어와 V^영어가 유한 변동을 갖는 두 함수이고, 각 점에서 U^영어 또는 V^영어 중 적어도 하나가 연속이거나 U^영어와 V^영어가 모두 정규 함수이면, 르베그-스틸티어스 적분에 대한 부분 적분법 공식이 성립한다.

:

여기서 관련된 르베그-스틸티어스 측도는 함수 U^영어와 V^영어의 우연속 버전에 연관되어 있다. 즉, $\backslash tilde\; U(x)\; =\; \backslash lim\_\{t\backslash to\; x^+\}\; U(t)$와 유사하게 $\backslash tilde\; V(x).$이다. 유계 구간은 U^영어와 V^영어가 비유계 구간에서 유한 변동을 가질 경우, 비유계 구간, 또는 로 대체될 수 있다.

확률 미적분학 이론에서 중요한 다른 결과는 다음과 같다. 유한 변동을 가지며, 우연속이고 좌극한을 갖는 두 함수 U^영어와 V^영어 (이러한 함수를 우연속 좌극한 함수(càdlàg^프랑스어, RCLL^영어)라고 부른다)가 주어지면

:$U(t)V(t)\; =\; U(0)V(0)\; +\; \backslash int\_\{(0,t]\}\; U(s-)\backslash ,dV(s)+\backslash int\_\{(0,t]\}\; V(s-)\backslash ,dU(s)+\backslash sum\_\{u\backslash in\; (0,t]\}\; \backslash Delta\; U\_u\; \backslash Delta\; V\_u,$

여기서 이다. 이 결과는 이토의 보조정리의 전조로 볼 수 있으며, 확률 적분의 일반 이론에서 유용하다. 마지막 항은 이며, 이는 U^영어와 V^영어의 이차 공분산에서 발생한다. (이전 결과는 스트라토노비치 적분과 관련된 결과로 볼 수 있다.)

5. 관련 개념

(관련 개념 섹션은 르베그-스틸티어스 적분과 관련된 다른 개념들을 소개하고 있으므로, 해당 내용을 비우고 하위 섹션의 내용으로 대체한다.)

5.1. 르베그 적분 (Lebesgue integration)

카라테오도리 확장 정리에 의해, 모든 실수 x에 대해 일 때, 는 르베그 측도이며, 에 대한 의 르베그-스틸티어스 적분은 의 르베그 적분과 같다.

5.2. 리만-스틸티어스 적분 (Riemann–Stieltjes integration)

f^영어가 실수 연속 함수(실 변수 실숫값의 연속 함수)이고, v^영어가 비감소 실함수일 때, 르베그-스틸티어스 적분은 리만-스틸티어스 적분과 같다. 이 경우 르베그-스틸티어스 적분을 다음과 같이 표현하여 측도 를 암묵적으로 나타낸다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\backslash ,dv(x)$

특히 확률론에서 v^영어가 실숫값 확률 변수 X^영어의 누적 분포 함수인 경우 다음과 같이 자주 쓰인다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; f(x)\; \backslash ,\; dv(x)\; =\; \backslash mathbb\{E\}[f(X)]$

5.3. 확률론과의 연관성

연속 실수 변수의 연속 함수 f^영어와 단조 증가 함수 v^영어에 대해, 르베그-스틸티어스 적분은 리만-스틸티어스 적분과 동일하다. 이때 측도 μ_v^영어는 암묵적으로 둔 채, 다음과 같이 표현한다.

:$\backslash int\_a^b\; f(x)\; \backslash ,\; dv(x)$

이는 v^영어가 실수 값 확률 변수 X^영어의 누적 분포 함수인 확률론에서 특히 자주 사용되며, 이 경우 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; f(x)\; \backslash ,\; dv(x)\; =\; \backslash mathrm\{E\}[f(X)].$

(자세한 내용은 리만-스틸티어스 적분 문서를 참조).

6. 역사

앙리 르베그와 토마스 요아너스 스틸티어스의 이름을 따서 지어졌다.

7. 응용

만약 가 평면에서 가측 곡선이고 가 보렐 가측 함수라고 하자. 그러면 우리는 ρ로 가중된 유클리드 거리와 관련된 의 길이를 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$\backslash int\_a^b\; \backslash rho(\backslash gamma(t))\backslash ,d\backslash ell(t),$

여기서 $\backslash ell(t)$는 로 의 제한된 부분의 길이이다. 이것은 때때로 의 -길이라고 불린다. 이 개념은 다양한 응용 분야에 매우 유용하다. 예를 들어, 진흙 지형에서 사람이 움직일 수 있는 속도는 진흙의 깊이에 따라 달라질 수 있다. 가 에서 또는 그 근처에서 걷는 속도의 역수를 나타내면, 의 -길이는 를 통과하는 데 걸리는 시간이다. 극단 길이의 개념은 곡선의 -길이라는 이 개념을 사용하며, 등각 사상 연구에 유용하다.

평면상의 유한 길이 곡선 γ: [a, b] → R² 와 보렐 가측 함수 ρ: R² → [0, ∞)에 대해, γ의 ρ에 의해 가중된 유클리드 길이를
: $\backslash int\_a^b\; \backslash rho(\backslash gamma(t))\backslash ,dl(t)$
로 정의한다. 단, l(t)는 구간 [a, t]로 제한했을 때의 γ의 호의 길이를 나타낸다. 이를 줄여서 γ의 ρ-길이라고 부르기도 한다. 이 개념은 다양한 응용 분야에서 매우 유용하다. 예를 들어 진흙탕을 이동하는 인간의 속도는 진흙의 깊이에 의존하므로, 위치 z 부근에서의 보행 속도의 역수를 ρ(z)로 쓴다면, 횡단선 γ의 ρ-길이는 γ를 따라 진흙탕을 건너는 데 걸리는 시간을 나타낸다. 또한, 등각 사상 연구에 유용한 극치적 길이(extremal length)도 곡선의 ρ-길이 개념을 사용한다.

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