위그너 함수

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1. 개요

위그너 함수는 1932년 유진 위그너가 양자역학적 확률 분포로 해석한 함수이다. 파동함수를 이용하여 정의되며, 위치와 운동량에 대한 대칭성을 갖는다. 위상 공간에서 양자 역학의 초석이며, 수학적으로 실수 값을 가지며, 주변 분포를 통해 위치와 운동량의 확률 분포를 알 수 있다. 고전역학과 양자역학의 비교를 가능하게 하며, 모얄 진화 방정식을 따른다. 양자역학 이외에도 광학 시스템 모델링, 신호 분석, 초고속 광학 등 다양한 분야에서 활용된다.

위그너 함수

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
4. 수학적 특징
5. 고전역학과의 관계
6. 모얄 진화 방정식
7. 양자역학 이외의 활용
8. 다른 유사확률분포와의 관계
9. 한계점

2. 역사

폴 디랙이 1930년에 처음 발견하였고, 1931년에 베르너 하이젠베르크가 재발견하였으나, 이들은 이 함수가 무엇을 의미하는지 알지 못했다. 1932년에 유진 위그너가 이를 다시 발견하여 고전적 확률분포에 대응하는 일종의 양자역학적 확률분포로 해석하였다. 이후 1948년에 장앙드레 비유(Jean-André Ville^프랑스어)가 신호처리 이론에서 재발견하였다. 1949년에는 호세 모얄(José Enrique Moyal^스페인어)이 재발견하였으며, 위그너 함수만으로 양자역학을 다시 기술할 수 있음을 보였다.

위그너 함수 공식은 여러 번, 서로 다른 맥락에서 독립적으로 유도되었다. 실제로, 유진 위그너는 양자론 내에서도, 그 함수가 베르너 하이젠베르크와 폴 디랙에 의해 이전에 도입되었다는 것을 몰랐다. 비록 형식적으로만 도입되었지만, 이 두 사람은 그 중요성과 음수 값의 중요성을 간과했는데, 그들이 그것을 원자 같은 시스템의 완전한 양자적 설명에 대한 근사로만 간주했기 때문이다. 덧붙여, 디랙은 나중에 위그너의 여동생 만치와 결혼하여 위그너의 매형이 되었다. 1940년대 중반에 모얄과의 서신 교환에서 디랙은 모얄의 양자 모멘트 생성 함수가 실질적으로 위그너 함수라는 것을 몰랐고, 결국 모얄이 그에게 이 사실을 알려주었다.

3. 정의

위그너 함수 P(x, p)는 파동함수 ψ를 이용하여 다음과 같이 정의된다.

: $P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \psi^*(x+y)\psi(x-y)e^{2ipy/\hbar}\,dy\,$

여기서 x는 위치, p는 운동량이다. 위치와 운동량 대신 다른 정준 켤레 변수를 사용할 수도 있다. 일반적인 경우 밀도 행렬 ρ를 써서 다음과 같이 나타낼 수 있다.

: $P(x,p)=\frac{1}{\pi\hbar}\int_{-\infty}^\infty \langle x-y| \hat{\rho} |x+y \rangle e^{2ipy/\hbar}\,dy\,$

위그너 함수는 위치와 운동량에 대해 대칭적인 형태를 가진다.

4. 수학적 특징

W^영어(x, p)는 실수 값을 갖는 함수이다.

x와 p의 확률 분포는 다음 주변 분포로 주어진다.

* $\int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = \langle x|\hat{\rho}|x \rangle.$ 만약 시스템이 순수한 상태로 설명될 수 있다면, $\int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = |\psi(x)|^2.$ 를 얻는다.
* $\int_{-\infty}^\infty dx\, W(x, p) = \langle p|\hat{\rho}|p \rangle.$ 만약 시스템이 순수한 상태로 설명될 수 있다면, $\int_{-\infty}^{\infty} dx\, W(x, p) = |\varphi(p)|^2.$ 를 갖는다.
* $\int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = \operatorname{Tr}(\hat{\rho}).$ 일반적으로 밀도 행렬 $\hat{\rho}$ 의 대각합은 1과 같다.

W^영어(x, p)는 다음과 같은 반사 대칭성을 갖는다.

* 시간 대칭성: $\psi(x) \to \psi(x)^* \Rightarrow W(x, p) \to W(x, -p).$
* 공간 대칭성: $\psi(x) \to \psi(-x) \Rightarrow W(x, p) \to W(-x, -p).$

W^영어(x, p)는 갈릴레이 변환에 따라 변한다.

: $\psi(x) \to \psi(x + y) \Rightarrow W(x, p) \to W(x + y, p).$

로렌츠 공변성을 갖지 않는다.

위상 공간의 각 점에 대한 운동 방정식은 힘이 없을 때 고전적이다.

: $\frac{\partial W(x, p)}{\partial t} = \frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x}.$

사실, 조화력의 존재 하에서도 고전적이다.

상태 중첩은 다음과 같이 계산된다.

: $|\langle \psi|\theta \rangle|^2 = 2\pi\hbar \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W_\psi(x, p) W_\theta(x, p).$

연산자 기댓값(평균)은 각 위그너 변환의 위상 공간 평균으로 계산된다.

* $g(x, p) \equiv \int_{-\infty}^\infty dy\, \left\langle x - \frac{y}{2} \right| \hat{G} \left| x + \frac{y}{2} \right\rangle e^{ipy/\hbar},$
* $\langle \psi|\hat{G}|\psi\rangle = \operatorname{Tr}(\hat{\rho} \hat{G}) = \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) g(x, p).$

W^영어(x, p)가 물리적인(양의) 밀도 행렬을 나타내려면 다음을 만족해야 한다.

: $\int_{-\infty}^\infty dx\, \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) W_\theta(x, p) \ge 0$

모든 순수한 상태 |θ⟩에 대해.

코시-슈바르츠 부등식에 의해, 순수한 상태의 경우 다음과 같이 제한된다.

: $-\frac 2 h \leq W(x, p) \leq \frac 2 h.$

이 경계는 고전적 극한, ħ → 0에서 사라진다. 이 극한에서, W^영어(x, p)는 일반적으로 매우 국소화된 좌표 공간 x에서의 확률 밀도에 운동량 공간에서 디랙 델타 함수를 곱한 것으로 축소된다. 고전적 극한은 "뾰족하다". 따라서 이 양자역학적 경계는 위상 공간에서 완벽하게 국소화된 δ-함수인 위그너 함수를 배제하며, 이는 불확정성 원리를 반영한다.

위그너 변환은 위치 기저로 표현된 경우 밀도 행렬의 역대각선의 푸리에 변환이다.

5. 고전역학과의 관계

고전 입자는 위치와 운동량이 정해져 있으므로 위상 공간에서 점으로 표현된다. 입자들의 집합(통계적 앙상블)이 주어지면, 위상 공간의 특정 위치에서 입자를 발견할 확률은 확률 분포인 리우빌 밀도에 의해 지정된다. 그러나 이러한 엄격한 해석은 불확정성 원리로 인해 양자 입자에서는 적용되지 않는다. 대신, 유사 확률 위그너 분포가 유사한 역할을 하지만, 일반적인 확률 분포의 모든 속성을 만족하지는 않는다. 반대로, 고전 분포에서는 사용할 수 없는 경계 속성을 만족한다.

예를 들어, 위그너 분포는 고전 모델이 없는 상태에 대해 음수 값을 가질 수 있으며 일반적으로 그렇게 되며, 이는 양자 역학적 간섭의 편리한 지표이다. 보다 큰 크기의 필터(예: 위상 공간 가우시안과의 합성곱, 즉 바이어슈트라스 변환)를 통해 위그너 분포를 평활화하여 후스미 표현을 얻으면, 양의 반정부호 함수가 생성된다. 즉, 반고전적인 함수로 거칠게 만들어졌다고 생각할 수 있다.

그러한 음수 값 영역은 (작은 가우시안과 컨볼루션하여) "작다"는 것을 증명할 수 있다. 즉, 몇 개의 보다 큰 컴팩트 영역으로 확장될 수 없으며, 따라서 고전 극한에서 사라진다. 이러한 영역은 불확정성 원리에 의해 보호되는데, 이는 보다 작은 위상 공간 영역 내에서 정확한 위치를 허용하지 않으며, 따라서 그러한 "음의 확률"을 덜 역설적으로 만든다.

위그너 함수는 고전 극한을 연구할 수 있게 해주며, 위상 공간에서 고전 역학과 양자 역학의 비교를 제공한다.

최근, 위그너 함수법은 1932년에 버나드 쿱만과 존 폰 노이만에 의해 도입된, 고전 역학의 연산자 표기의 양자적 아날로지임이 시사되었다. 의 극한에서 위그너 함수의 시간 발전은 쿱만-폰 노이만 파동 함수의 시간 발전에 점근한다.

6. 모얄 진화 방정식

슈뢰딩거 묘사에서 위그너 함수는 폰 노이만 진화 방정식의 위그너 변환인 모얄 진화 방정식을 따른다.

: $\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t} = - \{\{W(x, p, t), H(x, p)\}\},$

여기서 $H(x,p)$ 는 해밀토니안이고 는 모얄 괄호이다. 고전적 극한( $\hbar \rightarrow 0$ )에서 모얄 괄호는 푸아송 괄호로 축소되고, 이 진화 방정식은 고전 통계 역학의 리우빌 방정식으로 축소된다.

모얄 진화 방정식은 특성 방정식법을 통해 풀 수 있는데, 이 방법에서 특성 방정식의 "궤적"은 양자 시스템으로 전송되어 위그너 함수의 진화를 결정한다. 위그너 함수에 대한 모얄 진화 방정식의 해는 다음과 같이 형식적으로 표현된다.

: $W(x, p, t) = W\big(\star\big(x_{-t}(x, p), p_{-t}(x, p)\big), 0\big),$

여기서 $x_t(x, p)$ 및 $p_t(x, p)$ 는 초기 조건 $x_{t=0}(x, p) = x$ 및 $p_{t=0}(x, p) = p$ 를 갖는 양자 해밀턴 방정식의 대상인 특성 궤적이며, $\star$ -product 합성은 모든 인수 함수에 대해 이해된다.

함수의 $\star$ -합성이 완전히 비국소적이므로 양자 시스템의 국소 궤적의 흔적은 위그너 분포 함수의 진화에서 거의 구별할 수 없다. $\star$ -곱의 적분 표현에서 이들의 연속적인 연산은 위그너 함수에 대한 진화 방정식을 풀기 위해 위상 공간 경로 적분에 적용되었다. 모얄 시간 진화의 이러한 비국소적 특징은 양자 조화 진동자보다 복잡한 해밀토니안의 경우 두드러지게 나타난다.

양자 조화 진동자의 경우, 시간 진화는 고전적인 운동과 동일하게 나타난다. 즉, 위상 공간에서 진동자 주파수에 의해 결정되는 강체 회전으로 나타난다.

7. 양자역학 이외의 활용

* 망원경이나 광섬유 통신 장치와 같은 광학 시스템 모델링에서 위그너 함수는 단순한 광선 추적과 시스템의 전체 파동 분석 사이의 격차를 해소하는 데 사용된다. 여기서 는 작은 각도(근축) 근사에서 로 대체된다. 이러한 맥락에서 위그너 함수는 간섭 효과를 포함하면서 위치 와 각도 의 광선으로 시스템을 설명하는 데 가장 가깝게 접근할 수 있는 것이다. 어느 지점에서든 음수가 되면 단순한 광선 추적으로는 시스템을 모델링하기에 충분하지 않다.
* 신호 분석에서 시간 변화 전기 신호, 기계적 진동 또는 음파는 위그너 함수로 표현된다. 여기서 는 시간으로 대체되고 는 각 주파수 로 대체되며, 여기서 는 정규 주파수이다.
* 초고속 광학에서 짧은 레이저 펄스는 위와 동일한 및 대체를 사용하여 위그너 함수로 특징지어진다. 짹짹거림 (시간에 따른 주파수 변화)과 같은 펄스 결함은 위그너 함수로 시각화할 수 있다.

짹짹거림을 갖는 빛 펄스에 대한 위그너-빌 분포의 등고선 그림. 이 그림은 주파수가 시간의 선형 함수임을 명확하게 보여준다.

* 양자 광학에서 및 는 전기장의 실수 및 허수 성분인 및 사각형으로 대체된다(결맞는 상태 참조).

8. 다른 유사확률분포와의 관계

위그너 함수는 최초로 공식화된 유사 확률 분포였지만, 이후에도 많은 유사 확률 분포가 등장했으며, 형식적으로 동일하고 위그너 함수로 변환이 가능하다(시간-주파수 분석의 분포 간 변환 참조). 좌표계의 경우와 마찬가지로, 다양한 특성 때문에 특정 응용 분야에 다양한 이점을 가진 여러 유사 확률 분포가 존재한다.

* 글라우버 P 표현
* 후스미 Q 표현

그럼에도 불구하고, 어떤 의미에서 위그너 함수는 이러한 모든 분포 중에서 특권을 가진 위치를 점하고 있는데, 기대값을 평가할 때 필요한 스타 곱이 사라지기(부분 적분을 통해 효과적인 단위로 통합) 때문에 유일하게 고전적인 확률 측정과 유사한 유사 확률 측도로 시각화될 수 있기 때문이다.

9. 한계점

이미 언급되었듯이, 양자 상태의 위그너 함수는 일반적으로 음수 값을 가진다. 실제로, 한 변수의 순수 상태에 대해 모든 $x$ 와 $p$ 에 대해 $W(x, p) \ge 0$ 이면, 파동 함수는 다음과 같은 형태를 가져야 한다.

: $\psi(x) = e^{-ax^2+bx+c}$

여기서 $a, b, c$ 는 $\operatorname{Re}(a) > 0$ 인 복소수이다. 여기서 $a$ 는 복소수일 수 있다. 다시 말해, 이는 1차원 가우스 파동 묶음이다. 따라서 음수가 아닌 위그너 함수를 갖는 순수 상태는 하이젠베르크 불확정성 공식의 의미에서 반드시 최소 불확정성 상태는 아니다. 오히려 슈뢰딩거 불확정성 공식에서 등식을 만족하며, 이는 교환자 항 외에 반교환자 항을 포함한다.

더 높은 차원에서, 음수가 아닌 위그너 함수를 갖는 순수 상태의 특성은 유사하다. 파동 함수는 다음과 같은 형태를 가져야 한다.

: $\psi(x) = e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},$

여기서 $A$ 는 실수부가 양의 정부호인 대칭 복소 행렬이고, $b$ 는 복소 벡터이며, $c$ 는 복소수이다. 이러한 상태의 위그너 함수는 위상 공간에서의 가우스 분포이다.

소토와 클라베리는 세갈-바그만 변환을 사용하여 이러한 특성에 대한 증명을 제시했다. 그 이유는 다음과 같다. $\psi$ 의 Husimi Q 함수는 $\psi$ 의 세갈-바그만 변환의 제곱 크기에 가우시안을 곱하여 계산할 수 있다. 한편, Husimi Q 함수는 위그너 함수와 가우시안의 컨볼루션이다. 만약 $\psi$ 의 위그너 함수가 위상 공간의 모든 곳에서 음수가 아니라면, Husimi Q 함수는 위상 공간의 모든 곳에서 엄격하게 양수가 될 것이다. 따라서 $\psi$ 의 세갈-바그만 변환 $F(x + ip)$ 은 어느 곳에서도 0이 아닐 것이다. 복소 해석학에 의해 다음을 얻는다.

: $F(x + ip) = e^{g(x+ip)}$

여기서 $g$ 는 어떤 정칙 함수이다. $F$ 가 Segal–Bargmann 공간에 속하려면—즉, $F$ 가 가우시안 측도에 대해 제곱 적분 가능하려면— $g$ 는 무한대에서 최대 2차 성장을 가져야 한다. 이로부터 $g$ 가 실제로 2차 다항식이어야 함을 보일 수 있다. 따라서 위그너 함수가 음수가 아닌 순수 상태의 세갈-바그만 변환에 대한 명시적인 형태를 얻는다. 그런 다음 세갈-바그만 변환을 역변환하여 위치 파동 함수의 주장된 형태를 얻을 수 있다.

음수가 아닌 위그너 함수를 갖는 혼합 상태에 대한 간단한 특징은 없는 것으로 보인다.