특잇값

1. 개요

특잇값은 실수체 또는 복소수체 상의 힐베르트 공간 사이의 콤팩트 작용소에 대해 정의되는 값으로, 다양한 정의와 성질을 갖는다. 고윳값을 통해 정의하거나, 특잇값 분해를 통해 정의할 수 있으며, 유한 차원 힐베르트 공간에서는 기하학적으로도 해석 가능하다. 특잇값은 작용소 노름과 관계가 있으며, 행렬의 전치, 공액, 유니타리 행렬과의 관계, 고윳값과의 관계, 대각합과의 관계, 행렬식과의 관계 등 다양한 기본 성질을 갖는다. 특잇값은 부분 행렬, 행렬 합, 행렬 곱에 대한 부등식, 특잇값과 고윳값 간의 부등식 등 다양한 부등식을 만족하며, 신호 처리, 통계학 분야에서 주성분 분석 등으로 응용된다. 특잇값 개념은 1907년 에르하르트 슈미트에 의해 도입되었으며, 1937년 프랭크 스미디스에 의해 '특잇값'이라는 용어로 명명되었다.

2. 정의

$\backslash mathbb\; K$가 실수체 또는 복소수체일 때, 두 $\backslash mathbb\; K$- 힐베르트 공간 $V$, $W$ 사이의 콤팩트 작용소 $T\backslash colon\; V\backslash to\; W$의 특잇값 및 왼쪽·오른쪽 특이 벡터는 여러 방법으로 정의할 수 있다.

다음과 같이 표기한다.

* 행렬 $A$의 수반 행렬을 $A^*$
* 행렬 $A$의 고유값을 $\backslash lambda\_i(A)$
* 행렬 $A$의 특잇값을 $\backslash sigma\_i(A)$

이 경우, 특잇값은 다음과 같이 정의된다.
:$\backslash sigma\_i(A)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash lambda\_i(AA^*)\}\; \backslash quad\; (\; A\; \backslash in\; M\_\{m,n\}(\backslash mathbb\{R\}\; ~~\; \backslash mathrm\{or\}\; ~~\; \backslash mathbb\{C\})\; )$

특잇값은 $m\; \backslash times\; n$ 행렬에 대해 정의된다. (고윳값은 $n\; \backslash times\; n$ 정사각행렬에서만 정의된다.)

2.1. 고윳값을 통한 정의

에르미트 수반 행렬의 고윳값과 고유 벡터를 이용하여 특잇값 및 특이 벡터를 정의한다.

$\backslash mathbb\; K\backslash in\backslash \{\backslash mathbb\; R,\backslash mathbb\; C\backslash \}$가 실수체 또는 복소수체라고 하자. 두 $\backslash mathbb\; K$-힐베르트 공간 $V$, $W$ 사이의 콤팩트 작용소 $T\backslash colon\; V\backslash to\; W$가 주어졌을 때, 그 에르미트 수반 $T^*\backslash colon\; W\backslash to\; V$을 사용하여, 작용소 $T^*T\backslash colon\; V\backslash to\; V$ 및 $TT^*\backslash colon\; W\backslash to\; W$를 정의할 수 있다. 이들은 자기 수반 작용소를 이루며, 따라서 이 둘의 실수 고윳값들을 정의할 수 있다. 이들은 항상 음이 아닌 실수이다.

$TT^*$와 $T^*T$의 고윳값들 가운데, 0이 아닌 것들은 서로 일치하며, 그 중복수 또한 일치한다. 0의 경우, 다음과 같은 세 가지가 가능하다.

* 경우 1: $TT^*$와 $T^*T$ 둘 다 0을 고윳값으로 갖거나 둘 다 0을 고윳값으로 갖지 않는다. 전자의 경우, 0의 중복수 역시 같다.
* 경우 2: $TT^*$와 $T^*T$ 둘 다 0을 고윳값으로 갖지만, 그 중복수가 서로 다르다.
* 경우 3: $TT^*$와 $T^*T$ 가운데 하나는 0을 고윳값으로 갖지만 다른 하나는 0을 고윳값으로 갖지 않는다.

이 경우, 특잇값들과 그 중복수는 각각 다음과 같다.

* 경우 1: $T$의 특잇값은 $T^*T$ 또는 $TT^*$의 고윳값들의 제곱근들이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다.
* 경우 2: $T$의 특잇값은 (0을 포함하여) $T^*T$ 또는 $TT^*$의 고윳값들의 제곱근들이다. 0이 아닌 고윳값의 경우, 그 중복수는 대응하는 고윳값의 중복수와 같다. 0의 경우, 그 중복수는 $T^*T$에서의 중복수와 $TT^*$에서의 중복수 가운데 더 작은 것과 같다.
* 경우 3: $T$의 특잇값은 $T^*T$ 또는 $TT^*$의 고윳값들 가운데 0이 아닌 것들의 제곱근이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다.

이 경우, 주어진 특잇값에 대응하는 왼쪽 특이 벡터는 $T^*T$에서의 고유 벡터이며, 주어진 특잇값에 대응하는 오른쪽 특이 벡터는 $TT^*$에서의 고유 벡터이다.

다음과 같이 표기한다.

* 행렬 $A$의 수반 행렬을 $A^*$
* 행렬 $A$의 고유값을 $\backslash lambda\_i(A)$
* 행렬 $A$의 특잇값을 $\backslash sigma\_i(A)$

머리말 부분의 정의를 수학 기호로 쓰면 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_i(A)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash lambda\_i(AA^*)\}\; \backslash quad\; (\; A\; \backslash in\; M\_\{m,n\}(\backslash mathbb\{R\}\; ~~\; \backslash mathrm\{or\}\; ~~\; \backslash mathbb\{C\})\; )$

특잇값은 $m\; \backslash times\; n$ 행렬에 대해 정의된다(고유값은 $n\; \backslash times\; n$ 정사각 행렬에서만 정의된다).

2.2. 특잇값 분해를 통한 정의

$\backslash mathbb\; K$가 실수체 또는 복소수체라고 하고, 두 $\backslash mathbb\; K$-힐베르트 공간 $V$, $W$ 사이의 콤팩트 작용소
:$T\backslash colon\; V\backslash to\; W$
는 항상 다음과 같은 꼴로 표현될 수 있으며, 이를 슈미트 표현(Schmidt representation^영어) 또는 특잇값 분해라고 한다.
:
여기서
* $N\backslash in\backslash \{0,1,\backslash dotsc,\backslash infty\backslash \}$이다.
*
*
*
이 경우, $s\_i$를 $T$의 특잇값이라고 하며, $v\_i$를 $s\_i$의 왼쪽 특이 벡터, $w\_i$를 $s\_i$의 오른쪽 특이 벡터라고 한다.

이에 따라,

다음과 같이 표기한다.

* 행렬 A의 수반 행렬을 $A^*$
* 행렬 A의 고유값을 $\backslash lambda\_i(A)$
* 행렬 A의 특잇값을 $\backslash sigma\_i(A)$

머리말 부분의 정의를 수학 기호로 쓰면 다음과 같다.
:$\backslash sigma\_i(A)\; =\; \backslash sqrt\{\backslash lambda\_i(AA^*)\}\; \backslash quad\; (\; A\; \backslash in\; M\_\{m,n\}(\backslash mathbb\{R\}\; ~~\; \backslash mathrm\{or\}\; ~~\; \backslash mathbb\{C\})\; )$

특잇값은 $m\; \backslash times\; n$ 행렬에 대해 정의된다(고유값은 $n\; \backslash times\; n$ 정사각 행렬에서만 정의된다).

2.3. 유한 차원의 경우

$V=\backslash mathbb\; K^m$, $W=\backslash mathbb\; K^n$가 유한 차원 힐베르트 공간일 경우, 임의의 $\backslash mathbb\; K$성분 $n\backslash times\; m$ 행렬 $T\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n,m;\backslash mathbb\; K)$는 $\backslash mathbb\; K$-선형 변환 $T\backslash colon\backslash mathbb\; K^m\backslash to\backslash mathbb\; K^n$을 정의한다. 유한 차원에서는 모든 작용소가 콤팩트 작용소이다.

벡터 $v\backslash in\backslash mathbb\; K^m$과 $w\backslash in\backslash mathbb\; K^n$과 음이 아닌 실수 $s\backslash in\backslash mathbb\; R\_\{\backslash ge0\}$에 대하여
:$Tv=sw$
:$T^*w=sv$
가 성립한다면, $s$를 $T$의 특잇값이라 하고, $v$를 $s$에 대응하는 왼쪽 특이 벡터, $u$를 $s$에 대응하는 오른쪽 특이 벡터라고 한다.

유한 차원에서 특잇값 분해는 다음과 같은 행렬 분해이다.
:$T=U\backslash Sigma\; V^*$
여기서
* $U$는 $m\backslash times\; m$ 크기의 유니터리 행렬이다. ($\backslash mathbb\; K=\backslash mathbb\; R$일 경우 직교 행렬과 같다.)
* $\backslash Sigma$는 $m\backslash times\; n$ 크기의 대각 행렬이며, 성분은 모두 음이 아닌 실수이다. 예를 들어
*:$\backslash Sigma=\backslash begin\{pmatrix\}$
s_1&0&0&\dotsm&0&0&\dotsm&0\\
0&s_2&0&\dotsm&0&0&\dotsm&0\\
0&0&s_3&&&0&\cdots&0\\
\vdots&\vdots&&\ddots&&\vdots&&\vdots\\
0&0&&&s_m&0&\dotsm&0
\end{pmatrix}
* $V^*$는 $n\backslash times\; n$ 크기의 유니터리 행렬이다. ($\backslash mathbb\; K=\backslash mathbb\; R$일 경우 직교 행렬과 같다.)

$\backslash Sigma$의 대각 성분은 $T$의 특잇값, $V^*$의 열벡터(=$V$의 행벡터)는 $T$의 왼쪽 특이 벡터, $U$의 행벡터는 $T$의 오른쪽 특이 벡터이다.

특잇값 분해에서 $\backslash Sigma$는 (특잇값 순열을 무시하면) 유일하게 결정되지만, $U$와 $V^*$는 일반적으로 그렇지 않다.

다음과 같은 실수 4×5 행렬을 생각하자.
:$T\; =$
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 & 2\\
0 & 0 & 3 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 4 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix}

이 행렬의 특잇값 분해 $T=U\backslash Sigma\; V^*$는 다음과 같다.
:$$
T=
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & -1\\
1 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}
\color{Red}{4} & 0 & 0 & 0 & 0\\
0 & \color{Red}{3} & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & \color{Red}{\sqrt5} & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & \color{Red}{0} & 0\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0\\
1/\sqrt5 & 0 & 0 & 0 & 2/\sqrt5\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0\\
-2/\sqrt5 & 0 & 0 & 0 & 1/\sqrt5\end{pmatrix}

즉, $T$의 특잇값은 가운데 행렬에서 붉게 표시된 성분들인 $4,3,\backslash sqrt5,0$이다.

특잇값 분해는 유일하지 않다. 위 분해에서 $V^*$를
:
로 교체할 수 있다.

2.3.1. 기하학적 정의

유클리드 공간 사이의 실수 선형 변환의 특잇값은 기하학적으로 해석할 수 있다.

임의의 실수 선형 변환 $T\backslash colon\backslash mathbb\; R^n\backslash to\backslash mathbb\; R^n$은 단위 공을 타원체로 대응시킨다. 이때 $T$의 특잇값은 이 타원체의 주축 반지름과 같다.

3. 기본 성질

특잇값은 전치 행렬이나 켤레 전치 행렬을 취해도 변하지 않는다. 즉, $A$의 특잇값 $\backslash sigma\_i(A)$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash sigma\_i(A)\; =\; \backslash sigma\_i\backslash left(A^\backslash textsf\{T\}\backslash right)\; =\; \backslash sigma\_i\backslash left(A^*\backslash right).$

또한, 임의의 유니타리 행렬 $U$, $V$에 대해, $UAV$의 특잇값은 $A$의 특잇값과 같다.

:$\backslash sigma\_i(A)\; =\; \backslash sigma\_i(UAV).$

이는 특잇값 분해가 유니타리 행렬을 곱하는 변환에 대해 불변하는 성질을 가짐을 의미한다.

3.1. 최솟값-최댓값 정리

특잇값에 대한 최솟값-최댓값 정리에 따르면, $A\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\; \backslash times\; n\}$ ($i\; =\; 1,2,\; \backslash ldots,\; \backslash min\; \backslash \{m,n\backslash \}$)이고, $U$가 $\backslash mathbb\{C\}^n$의 $i$차원 부분 공간 ($\backslash dim(U)\; =\; i$)일 때, 다음이 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sigma_i(A) &= \min_{\dim(U)=n-i+1} \max_{\underset{\| x \|_2 = 1}{x \in U}} \left\| Ax \right\|_2 \\
\sigma_i(A) &= \max_{\dim(U)=i} \min_{\underset{\| x \|_2 = 1}{x \in U}} \left\| Ax \right\|_2
\end{align}

행렬의 전치와 공액은 특잇값을 변경하지 않는다. 즉, 다음이 성립한다.

:$\backslash sigma\_i(A)\; =\; \backslash sigma\_i\backslash left(A^\backslash textsf\{T\}\backslash right)\; =\; \backslash sigma\_i\backslash left(A^*\backslash right).$

또한, 임의의 유니타리 행렬 $U\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\; \backslash times\; m\}$, $V\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{n\; \backslash times\; n\}$에 대해 다음이 성립한다.

:$\backslash sigma\_i(A)\; =\; \backslash sigma\_i(UAV).$

3.2. 최소 특잇값

행렬 A의 최소 특잇값은 σ_n(A)로 표현된다. 최소 특잇값은 행렬의 비특이성(non-singularity) 정도를 나타내는 지표이다.

* 역행렬의 성질:
역행렬 (A^-1)의 2-노름(노름)은 최소 특잇값의 역수 σ_n^-1(A)와 같다.
역행렬 (A^-1)의 모든 원소의 절댓값은 최대 σ_n^-1(A)이다.

σ_n(A)가 작을수록 행렬 A의 행들은 "거의" 선형 종속에 가까워진다. 만약 σ_n(A) = 0이면, A의 행들은 선형 종속 관계를 가지며, A는 가역적이지 않다. 즉, 역행렬이 존재하지 않는다.

3.3. 고윳값과의 관계

두 $\backslash mathbb\; K$-힐베르트 공간 $V$, $W$ 사이의 콤팩트 작용소 $T\backslash colon\; V\backslash to\; W$가 주어졌을 때, 그 에르미트 수반 $T^*\backslash colon\; W\backslash to\; V$을 이용하여 $T^*T\backslash colon\; V\backslash to\; V$와 $TT^*\backslash colon\; W\backslash to\; W$를 정의할 수 있다. 이들은 자기 수반 작용소이므로, 이 둘의 실수 고윳값들을 정의할 수 있으며, 이 고윳값들은 항상 음이 아닌 실수이다.

$TT^*$와 $T^*T$의 고윳값들 가운데, 0이 아닌 것들은 서로 일치하며, 그 중복수 또한 일치한다. 0의 경우, 다음 세 가지 경우가 가능하다.

* 경우 1: $TT^*$와 $T^*T$ 둘 다 0을 고윳값으로 갖거나 둘 다 0을 고윳값으로 갖지 않는다. 전자의 경우, 0의 중복수 역시 같다.
* 경우 2: $TT^*$와 $T^*T$ 둘 다 0을 고윳값으로 갖지만, 그 중복수가 서로 다르다.
* 경우 3: $TT^*$와 $T^*T$ 가운데 하나는 0을 고윳값으로 갖지만 다른 하나는 0을 고윳값으로 갖지 않는다.

이 경우, 특잇값들과 그 중복수는 각각 다음과 같다.

* 경우 1: $T$의 특잇값은 $T^*T$ 또는 $TT^*$의 고윳값들의 제곱근들이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다.
* 경우 2: $T$의 특잇값은 (0을 포함하여) $T^*T$ 또는 $TT^*$의 고윳값들의 제곱근들이다. 0이 아닌 고윳값의 경우, 그 중복수는 대응하는 고윳값의 중복수와 같다. 0의 경우, 그 중복수는 $T^*T$에서의 중복수와 $TT^*$에서의 중복수 가운데 더 작은 것과 같다.
* 경우 3: $T$의 특잇값은 $T^*T$ 또는 $TT^*$의 고윳값들 가운데 0이 아닌 것들의 제곱근이며, 그 중복수는 고윳값들의 중복수와 같다.

주어진 특잇값에 대응하는 왼쪽 특이 벡터는 $T^*T$에서의 고유 벡터이며, 주어진 특잇값에 대응하는 오른쪽 특이 벡터는 $TT^*$에서의 고유 벡터이다.

만약 $T\backslash colon\; V\backslash to\; V$가 $\backslash mathbb\; K$-힐베르트 공간 $V$ 전체에 정의된 콤팩트 자기 수반 작용소일 경우, $T$ 특잇값들은 $T$의 고윳값들의 절댓값들이며, 각 특잇값에 대응하는 특이 벡터는 고유 벡터이다.

$A\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\; \backslash times\; n\}$에 대해, $i\; =\; 1,2,\; \backslash ldots,\; \backslash min\; \backslash \{m,n\backslash \}$에 대하여, 특잇값에 대한 최솟값-최댓값 정리가 성립한다.

고윳값과의 관계는 다음과 같다.

:$\backslash sigma\_i^2(A)\; =\; \backslash lambda\_i\backslash left(AA^*\backslash right)\; =\; \backslash lambda\_i\backslash left(A^*A\backslash right).$

행렬 $A$가 $m=n$인 정규 행렬의 경우에는 특잇값은 고윳값의 절댓값과 같다. 즉, $\backslash sigma\_i(A)\; =\; |\backslash lambda\_i(A)|$이다.

행렬 $A$가 $m=n$인 반 양의 정부호 대칭 행렬의 경우에는 특잇값은 고윳값과 같다. 즉, $\backslash sigma\_i(A)\; =\; \backslash lambda\_i(A)$이다.

3.4. 대각합과의 관계

$A\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\; \backslash times\; n\}$에 대해, 다음이 성립한다.

:$\backslash sum\_\{i=1\}^n\; \backslash sigma\_i^2=\backslash operatorname\{tr\}\backslash \; A^\backslash ast\; A$

여기서 $\backslash sigma\_i$는 A의 특잇값이고, tr은 대각합을 나타낸다. 즉, 행렬 A의 특잇값들의 제곱 합은 A와 A의 켤레 전치 행렬의 곱 $(A^*A)$의 대각합과 같다.

3.5. 행렬식과의 관계

A^영어가 정방행렬일 경우, 특잇값의 곱은 행렬식의 절댓값과 같다.

:$|\backslash det(A)|\; =\; \backslash prod\_i\; \backslash sigma\_\{i\}(A)$

4. 특잇값 관련 부등식

부분 행렬, 행렬 합, 행렬 곱 등 다양한 행렬 연산에서의 특잇값 관련 부등식은 하위 섹션에서 상세히 다룬다.

4.1. 부분 행렬의 특잇값

$A\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\; \backslash times\; n\}$에 대해,

* $B$를 $A$의 행 또는 열 중 하나를 삭제한 행렬이라고 하면, 다음이 성립한다.

:$\backslash sigma\_\{i+1\}(A)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_i\; (B)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_i(A)$

* $B$를 $A$의 행과 열을 각각 하나씩 삭제한 행렬이라고 하면, 다음이 성립한다.

:$\backslash sigma\_\{i+2\}(A)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_i\; (B)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_i(A)$

* $B$를 $A$의 $(m-k)\backslash times(n-\backslash ell)$ 부분 행렬이라고 하면, 다음이 성립한다.

:$\backslash sigma\_\{i+k+\backslash ell\}(A)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_i\; (B)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_i(A)$

4.2. 행렬 합의 특잇값

두 행렬 $A,\; B\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\; \backslash times\; n\}$의 합의 특잇값과 각 행렬의 특잇값 사이에는 다음과 같은 관계가 성립한다.

* $$\backslash sum\_\{i=1\}^\{k\}\; \backslash sigma\_i(A\; +\; B)\; \backslash leq\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{k\}\; (\backslash sigma\_i(A)\; +\; \backslash sigma\_i(B)),\; \backslash quad\; k=\backslash min\; \backslash \{m,n\backslash \}$$

* $$\backslash sigma\_\{i+j-1\}(A\; +\; B)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_i(A)\; +\; \backslash sigma\_j(B).\; \backslash quad\; i,j\backslash in\backslash mathbb\{N\},\backslash \; i\; +\; j\; -\; 1\; \backslash leq\; \backslash min\; \backslash \{m,n\backslash \}$$

4.3. 행렬 곱의 특잇값

$A,\; B\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{n\; \backslash times\; n\}$이면 다음이 성립한다.

$$\backslash begin\{align\}$$
\prod_{i=n}^{i=n-k+1} \sigma_i(A) \sigma_i(B) &\leq \prod_{i=n}^{i=n-k+1} \sigma_i(AB) \\
\prod_{i=1}^k \sigma_i(AB) &\leq \prod_{i=1}^k \sigma_i(A) \sigma_i(B), \\
\sum_{i=1}^k \sigma_i^p(AB) &\leq \sum_{i=1}^k \sigma_i^p(A) \sigma_i^p(B),
\end{align}

$$\backslash sigma\_n(A)\; \backslash sigma\_i(B)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_i\; (AB)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_1(A)\; \backslash sigma\_i(B)\; \backslash quad\; i\; =\; 1,\; 2,\; \backslash ldots,\; n.$$

$A,\; B\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\; \backslash times\; n\}$이면 다음이 성립한다.

$$2\; \backslash sigma\_i(A\; B^*)\; \backslash leq\; \backslash sigma\_i\; \backslash left(A^*\; A\; +\; B^*\; B\backslash right),\; \backslash quad\; i\; =\; 1,\; 2,\; \backslash ldots,\; n.$$

4.4. 특잇값과 고윳값 관련 부등식

$A\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{n\; \backslash times\; n\}$에 대해, 행렬의 특잇값과 고윳값 사이에는 다음과 같은 부등식들이 성립한다.

* 바일 정리에 의해, $\backslash left|\backslash lambda\_1(A)\backslash right|\; \backslash geq\; \backslash cdots\; \backslash geq\; \backslash left|\backslash lambda\_n(A)\backslash right|$이라고 가정하면, $k\; =\; 1,\; 2,\; \backslash ldots,\; n$에 대해 다음이 성립한다.
::$\backslash prod\_\{i=1\}^k\; \backslash left|\backslash lambda\_i(A)\backslash right|\; \backslash leq\; \backslash prod\_\{i=1\}^\{k\}\; \backslash sigma\_i(A).$
* $p>0$에 대해 다음이 성립한다.
::$\backslash sum\_\{i=1\}^k\; \backslash left|\backslash lambda\_i^p(A)\backslash right|\; \backslash leq\; \backslash sum\_\{i=1\}^\{k\}\; \backslash sigma\_i^p(A).$
* 다음이 성립한다.
::$\backslash lambda\_i\; \backslash left(A\; +\; A^*\backslash right)\; \backslash leq\; 2\; \backslash sigma\_i(A),\; \backslash quad\; i\; =\; 1,\; 2,\; \backslash ldots,\; n.$

* 행렬 A가 m = n인 정방 행렬의 경우에는 다음이 성립한다.
** 바일 부등식
::$\backslash prod\_\{i=1\}^k\; |\; \backslash lambda(A)\; |\; \backslash le\; \backslash prod\_\{i=1\}^k\; \backslash sigma(A)\; \backslash quad\; (1\; \backslash le\; k\; \backslash le\; n)$

* $A^p$의 특잇값을 $\backslash sigma\_i^\{(p)\}$로 하고,
::$|\backslash lambda\_1|\backslash geq\backslash cdots\backslash geq|\backslash lambda\_n|,\backslash quad\backslash sigma\_1^\{(p)\}\backslash geq\backslash cdots\backslash geq\backslash sigma\_n^\{(p)\}$
로 정렬할 때, 다음 식이 성립한다.
::$\backslash lim\_\{p\backslash to\backslash infty\}\backslash sigma\_i^\{(p)\backslash frac\{1\}\{p\}\}=|\backslash lambda\_i|,\backslash quad\; 1\backslash leq\; i\backslash leq\; n$
이 공식은 힐베르트 공간상의 콤팩트 작용소에 대해서도 성립한다.

5. 역사

에르하르트 슈미트는 1907년에 특잇값 개념을 도입하였다. 슈미트는 특잇값을 "고윳값"(Eigenwert^독일어)이라고 일컬었으나, 이후 1937년에 프랭크 스미디스(Frank Smithies^영어, 1912~2002)가 "특잇값"(singular value^영어)이라는 용어를 도입하였다.

1957년, 알라베르디예프는 n번째 특잇값에 대한 다음 특징을 증명했다.

:

이 공식화는 특잇값의 개념을 바나흐 공간의 연산자로 확장하는 것을 가능하게 했다.

6. 응용

행렬의 특잇값 분해는 신호 처리와 통계학 등의 분야에서 자주 사용된다. 특히, 통계학에서 특잇값 분해를 통한 분석은 주성분 분석이라고 불린다.