응용수학
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1. 개요
응용수학은 수학적 방법론을 사용하여 과학, 공학, 경제, 사회 등 다양한 분야의 실질적인 문제를 해결하는 학문 분야이다. 역사적으로는 미분 방정식, 근사 이론, 확률 등을 포함하는 응용 분석 분야가 중심을 이루었으며, 컴퓨터 및 기술 발전과 함께 그 적용 범위가 더욱 확대되었다. 응용수학은 수치 해석, 최적화, 통계학, 기계 학습 등 다양한 분야를 포괄하며, 순수 수학의 일부 분야도 응용 분야에서 중요성을 갖게 되었다. 학문적 위상은 학교에 따라 차이를 보이며, 응용수학 관련 학과 및 단체들이 존재한다.
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| 응용수학 | |
|---|---|
| 개요 | |
| 정의 | |
| 응용수학 | 수학적 방법론을 사용하여 실제적인 문제를 해결하는 학문 분야 |
| 분야 | |
| 주요 분야 | 수치해석학 최적화 확률론 통계학 미분 방정식 수리물리학 금융수학 게임 이론 생물수학 암호학 정보 이론 전산 유체 역학 제어 이론 수학적 모델링 |
| 활용 | |
| 활용 분야 | 공학 물리학 경제학 금융 생물학 의학 컴퓨터 과학 |
| 관련 학문 | |
| 관련 학문 분야 | 순수수학 통계학 컴퓨터 과학 물리학 공학 경제학 |
2. 역사
응용수학은 역사적으로 주로 응용 분석, 특히 미분 방정식; 근사 이론(광범위하게는 표현, 점근적 방법, 변분적 방법, 수치 해석을 포함); 그리고 응용 확률로 구성되었다. 이 분야들은 뉴턴 역학의 발전과 직접적으로 관련되었으며, 19세기 중반까지는 수학자와 물리학자를 명확히 구분하지 않았다. 이러한 역사적 배경은 미국에 교육적 유산으로 남았다. 20세기 초, 고전 역학 같은 과목은 미국의 대학에서 물리학과가 아닌 응용 수학과에서 가르치는 경우가 많았고, 유체 역학은 여전히 응용 수학과에서 가르칠 수 있다.[1] 공학 및 컴퓨터 과학과는 전통적으로 응용 수학을 활용해 왔다.
시간이 흐르면서 응용 수학은 과학과 기술의 발전에 따라 함께 성장했다. 현대 시대에는 과학, 경제, 기술 등 다양한 분야에서 수학의 응용이 더욱 심화되고 중요해졌다. 컴퓨터와 같은 기술 발전은 여러 분야에서 수학적 개념을 더 자세히 연구하고 적용할 수 있게 했다.
오늘날 "응용 수학"은 더 넓은 의미로 사용되며, 앞서 언급된 고전적 영역 외에도 응용상 중요한 다른 분야도 포함한다. 수론 같은 분야도 암호 이론에서 중요하게 활용되지만, 응용 수학 자체로 불리지는 않는다.
수학은 자연 과학과 공학뿐만 아니라, 경제학에서 게임 이론의 탄생과 발전, 신경 과학 연구에서 뉴럴 네트워크 이론의 등장 등 다양한 분야에 응용되고 있다. 컴퓨터의 출현은 이론적 연구와 이용 양쪽에서 새로운 응용 분야를 만들어냈다.
2. 1. 한국에서의 응용수학
과거 일본의 고등학교 학습지도요령에는 '응용수학'이라는 과목이 있었다.[104] 고등전문학교에서는 2019년 현재에도 '응용수학'이 존재한다.[105]3. 응용수학의 분류
응용수학의 분류에 대한 명확한 합의는 없다. 이는 수학과 과학이 시간에 따라 변화하고, 대학에서 학과, 강좌, 학위 등이 다르게 구성되기 때문이다.
많은 수학자들은 "응용수학"과 "수학의 응용"을 구분한다. 생물학자가 행렬 개체군 모델을 사용하여 이미 알려진 수학을 적용하는 것은 응용수학을 "하는" 것이 아니라 "사용하는" 것이다. 반면, 수학적 생물학자들은 순수수학의 발전을 이끄는 문제들을 제기해 왔다. 푸앵카레나 아르놀트 같은 수학자들은 "응용수학"은 없고 "수학의 응용"만 있다고 주장하기도 한다. 비수학자들은 응용수학과 수학의 응용을 섞어 쓰기도 한다. 산업 문제를 해결하기 위해 수학을 사용하고 개발하는 것을 "산업 수학"이라고 부르기도 한다.
현대에는 수치 계산 방법과 소프트웨어의 발달로 슈퍼컴퓨터를 활용한 계산 수학, 계산 과학, 계산 공학이 등장했다. 이들은 여러 학문 분야에 걸쳐 있는 것으로 여겨진다.
수론과 같은 순수수학 분야도 암호화와 같은 응용 분야에서 중요해졌지만, 응용수학 자체의 일부로 여겨지지는 않는다.[39][40][41][42]
3. 1. 전통적인 응용수학 분야
오늘날 "응용수학"이라는 용어는 더 넓은 의미로 사용된다. 위에서 언급한 고전적인 분야뿐만 아니라 응용 분야에서 점점 더 중요해지고 있는 다른 분야도 포함한다. 수론과 같은 순수수학의 일부 분야조차도 (예: 암호화) 이제 응용 분야에서 중요하지만, 일반적으로 응용수학 자체의 일부로 간주되지는 않는다.[34]응용수학의 다양한 분과가 무엇인지에 대한 합의는 없다. 이러한 분류는 수학과 과학이 시간에 따라 변화하는 방식과 대학에서 학과, 강좌 및 학위를 조직하는 방식으로 인해 어려워진다.
많은 수학자들은 수학적 방법에 관련된 "응용수학"과 과학 및 공학 내의 "수학의 응용"을 구별한다. 생물학자가 행렬 개체군 모델을 사용하여 알려진 수학을 적용하는 것은 응용수학을 "하는" 것이 아니라 "사용하는" 것이지만, 수학적 생물학자들은 순수수학의 성장을 자극하는 문제를 제기해 왔다. 푸앵카레와 아르놀트와 같은 수학자들은 "응용수학"의 존재를 부정하고 "수학의 응용"만 있다고 주장한다. 마찬가지로 비수학자들은 응용수학과 수학의 응용을 혼합한다. 산업 문제 해결을 위한 수학의 사용 및 개발을 "산업 수학"이라고도 한다.
현대 수치 수학적 방법 및 소프트웨어의 성공으로 인해 과학 및 공학 분야의 현상 시뮬레이션 및 문제 해결에 슈퍼컴퓨터를 사용하는 계산 수학, 계산 과학, 계산 공학이 등장했다. 이것들은 종종 학제간으로 간주된다.
역사적으로 응용수학은 뉴턴 역학과 밀접하게 관련되어 시작되었다. 실제로 19세기 중반까지 응용수학자와 물리학자 사이에 명확한 구분은 존재하지 않았다. 이 당시의 응용수학은 무엇보다 응용해석, 특히 미분 방정식론, 근사 이론 approximation theory영어, 확률론의 응용으로 이루어져 있었다. 여기서 근사 이론은, 넓게 해석하여 표현론, 점근 전개, 변분법, 수치 해석을 포함하는 영역이다.[36][37][38]
현재는 "응용수학"이라는 용어는 더 넓은 의미로 사용되며, 위와 같은 고전적 영역과 함께 응용상 중요한 다른 분야도 포함하는 것으로 되어 있다.[34] 반대로, 수론과 같은 분야조차 현재는 암호 이론 등에서 응용상 중요한 것이 되고 있지만,[39][40][41][42] 그것 자체가 응용수학이라고 불리지는 않는다. 이 때문에 영어에서는, 실제 세계의 문제에 응용 가능하지만 전통적으로 응용수학이라고 불리는 영역을 넘는 것을 포함하는 수학 분야를, 기존의 응용수학 applied mathematics영어과 구분하기 위해, 종종 applicable mathematics영어 (응용 가능한 수학)이라고 부른다.[43][44][45]
수학의 응용 분야는 자연 과학과 공학에서 중요한 것이었지만, 최근에는, 예를 들어 경제학적 고찰로부터 게임 이론의 탄생과 발전이 가져왔고,[46][47] 신경 과학 연구로부터 뉴럴 네트워크의 이론이 생겨난 것처럼, 이들의 외부에서 새로운 수학의 영역이 생겨나고 있다. 또한 컴퓨터의 출현은, 그 이론적 연구와 그 이용의 쌍방에서 새로운 응용 분야를 낳아 왔다. 이론적 연구 분야인 컴퓨터 과학 computer science영어에서는, 조합론, 수리 논리학, 격자론, 범주론 등의 수학이 응용된다. 한편, 컴퓨터를 이용하여 다른 과학의 영역의 문제를 연구하는 분야는 계산 과학 computational science영어이라고 불리며,[48] 수치 해석 등의 수학 분야가 이용된다.
통계학적 절차의 확률론에 기초한 정당화를 행하는 수학의 분야는 수리 통계학이라고 불린다.[49] 또한 사회 과학과 인문 과학에서, 통계학이 해석의 수단으로 널리 사용되고 있지만,[50] 통계학 그 자체는 응용 수학에 포함된다고 간주되기도 하고, 사회 과학과 인문 과학의 각 분야와 결합된 독립 영역으로 간주되기도 한다.
응용수학의 연구 대상은 매우 폭넓고, 다양한 분야에 걸쳐 있기 때문에 관련된 분야 전부를 열거하는 것은 어렵다. 대표적인 관련 분야는 다음과 같다.
| 분야 |
|---|
3. 2. 현대 응용수학 분야
오늘날 "응용수학"이라는 용어는 폭넓게 사용되며, 이전부터 다루던 분야뿐만 아니라 여러 다른 분야도 포함한다. 수론과 같은 순수수학의 일부 분야조차도 (예: 암호화) 응용 분야에서 중요하지만, 일반적으로 응용수학의 일부로 간주되지는 않는다.[39][40][41][42]응용수학의 다양한 분과에 대한 합의는 없는데, 수학과 과학이 시간에 따라 변화하고 대학에서 학과, 강좌 및 학위를 조직하는 방식이 다르기 때문이다.
많은 수학자들은 "응용수학"과 과학 및 공학 내의 "수학의 응용"을 구별한다. 생물학자가 행렬 개체군 모델을 사용하는 것은 응용수학을 "사용하는" 것이지만, 수학적 생물학자들은 순수수학의 성장을 자극하는 문제를 제기해 왔다. 푸앵카레와 아르놀트는 "응용수학"은 없으며 "수학의 응용"만 있다고 주장한다. 비수학자들은 응용수학과 수학의 응용을 혼합한다. 산업 문제 해결을 위한 수학의 사용 및 개발은 "산업 수학"이라고도 한다.
슈퍼컴퓨터를 사용하는 계산 수학, 계산 과학, 계산 공학이 등장했는데, 이것들은 종종 학제간으로 간주된다.
| 분야 |
|---|
3. 3. 적용 가능한 수학 (Applicable Mathematics)
오늘날 '응용수학'이라는 용어는 넓은 의미로 사용된다. 고전적인 분야뿐만 아니라 응용 분야에서 점점 더 중요해지고 있는 다른 분야도 포함한다. 수론과 같은 순수수학의 일부 분야조차도 (예: 암호화) 이제 응용 분야에서 중요하지만, 일반적으로 응용수학 자체의 일부로 간주되지는 않는다.응용수학의 다양한 분과가 무엇인지에 대한 합의는 없다. 이러한 분류는 수학과 과학이 시간에 따라 변화하는 방식과 대학에서 학과, 강좌 및 학위를 조직하는 방식으로 인해 어려워진다.
많은 수학자들은 수학적 방법에 관련된 "응용수학"과 과학 및 공학 내의 "수학의 응용"을 구별한다. 생물학자가 행렬 개체군 모델을 사용하여 알려진 수학을 적용하는 것은 응용수학을 "하는" 것이 아니라 "사용하는" 것이지만, 수학적 생물학자들은 순수수학의 성장을 자극하는 문제를 제기해 왔다. 푸앵카레와 아르놀트와 같은 수학자들은 "응용수학"의 존재를 부정하고 "수학의 응용"만 있다고 주장한다. 마찬가지로 비수학자들은 응용수학과 수학의 응용을 혼합한다.
때때로, '''응용 수학'''이라는 용어는 물리학과 함께 발전해 온 전통적인 응용 수학과 오늘날 실제 문제에 적용 가능한 다양한 수학 분야를 구별하기 위해 사용되지만, 정확한 정의에 대한 합의는 없다.[3]
수학자들은 종종 "응용 수학"과 과학 및 공학 내부와 외부 모두에서 "수학의 응용" 또는 "적용 가능한 수학"을 구분한다.[3] 일부 수학자들은 전통적인 응용 분야를 이전에는 순수 수학으로 여겨졌던 분야에서 발생하는 새로운 응용 분야와 분리하거나 구분하기 위해 적용 가능한 수학이라는 용어를 강조한다.[4] 예를 들어, 이러한 관점에서 인구 모델을 사용하고 알려진 수학을 적용하는 생태학자나 지리학자는 응용 수학이 아닌, 적용 가능한 수학을 하는 것이다. 심지어 암호학과 같이 순수 수학의 일부인 정수론과 같은 분야도 현재 응용 분야에서 중요하지만, 일반적으로 응용 수학의 일부로 간주되지는 않는다.
다른 저자들은 ''적용 가능한 수학''을 "새로운" 수학적 응용과 전통적인 응용 수학 분야의 결합으로 설명하는 것을 선호한다.[4][5][6] 이러한 관점에서, 응용 수학과 적용 가능한 수학이라는 용어는 상호 교환 가능하다.
4. 응용수학의 유용성
역사적으로 수학은 자연 과학과 공학에서 가장 중요했다. 그러나 제2차 세계 대전 이후, 게임 이론 및 사회 선택 이론과 같이 물리 과학 외 분야에서 경제적 고려 사항으로부터 비롯된 새로운 수학 분야들이 생겨났다. 또한, 수리 금융 및 데이터 과학과 같이 수학적 방법의 활용과 개발이 다른 분야로 확장되면서 새로운 분야들이 창출되었다.
컴퓨터의 출현은 새로운 응용 분야들을 가능하게 했다. 새로운 컴퓨터 기술 자체를 연구하고 사용하는 것(컴퓨터 과학)뿐만 아니라, 다른 과학 분야에서 발생하는 문제들을 연구하는 것(계산 과학), 그리고 계산의 수학(예: 이론 컴퓨터 과학, 컴퓨터 대수, 수치 해석)까지 포함한다. 통계학은 아마도 사회 과학에서 사용되는 가장 널리 퍼진 수학 과학일 것이다.[7][8][9][10][11][12][13][14]
5. 학문적 위상
학술 기관들은 응용수학 과정, 프로그램, 학위를 일관성 없이 분류하고 있다. 일부 학교는 단일 수학과를 운영하는 반면, 다른 학교는 응용수학과 (순수)수학과를 별도로 운영한다. 대학원 과정이 있는 학교에서는 통계학과가 분리되는 경우가 많지만, 학부 중심 기관에서는 통계를 수학과에 포함하는 경우가 많다.
많은 응용수학 프로그램은 주로 응용 분야를 대표하는 학과의 교차 등록 과정과 공동 임명된 교수로 구성된다. 일부 응용수학 박사 과정은 수학 외 과목을 거의 요구하지 않지만, 다른 과정에서는 특정 응용 분야에 대한 상당한 수강을 요구한다. 이러한 차이는 "수학의 응용"과 "응용수학"의 구분을 반영한다.
영국의 일부 대학에서는 ''응용 수학 및 이론 물리학''과를 운영하고 있지만,[15][16][17] 순수 수학과와 응용 수학과를 별도로 두는 것은 이제 훨씬 덜 일반적이다. 이에 대한 주목할 만한 예외는 케임브리지 대학교의 응용 수학 및 이론 물리학과로, 아이작 뉴턴, 찰스 배비지, 제임스 라이트힐, 폴 디랙, 스티븐 호킹 등이 역임한 루카스 수학 석좌 교수를 두고 있다.
응용 수학과가 별도로 있는 학교는 브라운 대학교처럼 박사 학위까지 제공하는 대규모 응용 수학과를 갖춘 학교에서부터, 응용 수학 석사 학위만 제공하는 산타클라라 대학교까지 다양하다.[20] 수학과를 순수 수학과와 응용 수학과로 나누는 연구 대학으로는 MIT가 있다. 이 프로그램의 학생들은 또한 응용 수학 기술을 보완하기 위해 다른 기술 (컴퓨터 과학, 공학, 물리학, 순수 수학 등)을 배운다.
5. 1. 한국의 응용수학 관련 학과
한국의 고등학교 학습지도요령에는 "응용수학" 과목이 존재했었다.[104] 고등전문학교에서는 2019년 현재에도 "응용수학"이 존재한다.[105]6. 관련 학문 분야
역사적으로 응용수학은 뉴턴 역학과 밀접하게 관련되어 시작되었으며, 19세기 중반까지 응용수학자와 물리학자 사이에는 뚜렷한 구분이 없었다. 이 당시 응용수학은 응용해석, 특히 미분 방정식론, 근사 이론(approximation theory|어프락시메이션 시오리|근사 이론영어), 확률론의 응용을 중심으로 발전하였다. 여기서 근사 이론은 넓게 보아 표현론, 점근 전개, 변분법, 수치 해석을 포함한다.[36][37][38]
오늘날 "응용수학"은 더 넓은 의미로 사용되며, 전통적인 영역뿐만 아니라 응용상 중요한 다른 분야도 포함한다.[34] 수론과 같이 이전에는 순수 수학으로 여겨졌던 분야도 암호 이론 등에서 중요하게 활용되지만,[39][40][41][42] 응용수학 자체로 분류되지는 않는다. 그래서 영어에서는 실제 문제에 응용 가능하지만 전통적인 응용수학 영역을 넘어서는 수학 분야를 applicable mathematics|애플리커블 매서매틱스|응용 가능한 수학영어이라고 부르기도 한다.[43][44][45]
수학은 자연 과학과 공학뿐만 아니라, 경제학에서 게임 이론이,[46][47] 신경 과학에서 뉴럴 네트워크 이론이 탄생하는 등 다양한 분야에서 새로운 영역을 만들어내고 있다. 컴퓨터의 등장은 컴퓨터 과학(computer science|컴퓨터 사이언스영어)과 계산 과학(computational science|컴퓨테이셔널 사이언스영어)과 같은 새로운 응용 분야를 탄생시켰다.[48] 수리 통계학은 통계적 절차의 확률론적 근거를 다루는 수학 분야이다.[49] 통계학은 사회 과학과 인문 과학에서 널리 사용되지만,[50] 응용 수학의 일부로 간주되기도 하고, 각 분야와 결합된 독립 영역으로 간주되기도 한다.
응용수학과 특히 관련이 깊은 대표적인 분야는 다음과 같다.
| 분야 |
|---|
| 수치 해석 |
| 정도 보증 수치 계산 |
| 수치 선형대수 |
| 상미분 방정식의 수치 해법 |
| 편미분 방정식의 수치 해법 |
| 전산 보조 증명 |
| 그래프 이론 |
| 알고리즘 |
| 조합론 |
| 최적화 문제・운영 과학 |
| 제어 이론 |
| 복잡계・역학계 |
| 정보 이론 |
| 암호 이론 |
| 기계 학습 |
| 시계열 분석 |
| 통계학 |
| 금융 공학・수리 금융 |
| 보험 수학 |
| 게임 이론 |
| 수리 과학 |
| 수리 공학 |
| 순수 수학 |
7. 관련 단체
산업 및 응용 수학회(SIAM)는 국제적인 응용 수학 단체이다. 2024년 현재 이 학회는 14,000명의 개인 회원을 보유하고 있다.[32] 미국 수학회(AMS)는 응용 수학 그룹을 두고 있다.[33]
- 일본응용수리 학회
- 일본수학회 응용수학 분과회
- ANZIAM
- 산업 및 응용수학회(SIAM)
- EASIAM
- 응용수리 국제회의
참조
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Today, numerical analysis includes [[numerical linear algebra]], [[numerical integration]], and [[validated numerics]] as subfields.
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서적
Operations research: applications and algorithms
Thomson Brooks/Cole
[73]
서적
Introduction to operations research
Tata McGraw-Hill Education
[74]
서적
Principles of operations research: with applications to managerial decisions
Prentice-Hall
[75]
서적
Mathematics for operations research
Courier Corporation
[76]
서적
Mathematical control theory: deterministic finite dimensional systems
Springer Science & Business Media
[77]
서적
複雑系入門: 知のフロンティアへの冒険
NTT 出版
[78]
서적
Dynamics of complex systems
CRC Press
[79]
서적
An introduction to chaotic dynamical systems
CRC Press
[80]
서적
Differential equations and dynamical systems
Springer Science & Business Media
[81]
서적
Dynamical systems in neuroscience
MIT Press
[82]
서적
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Cambridge University Press
[83]
서적
Science and information theory
Courier Corporation
[84]
서적
Information theory, inference and learning algorithms
Cambridge University Press
[85]
서적
Elements of information theory
John Wiley & Sons
[86]
서적
Information theory and statistics
Courier Corporation
[87]
서적
Introduction to machine learning
MIT Press
[88]
서적
Machine learning: an algorithmic perspective
CRC press
[89]
서적
Foundations of machine learning
MIT press
[90]
서적
Time series analysis
Princeton
[91]
서적
Time series analysis: forecasting and control
John Wiley & Sons
[92]
서적
Nonlinear time series analysis
Cambridge University Press
[93]
서적
Time series analysis and its applications: with R examples
Springer
[94]
서적
金融工学のための遺伝的アルゴリズム
株式会社 オーム社
[95]
서적
確率モデルの基礎: 金融工学を視野に入れた確率論的考え方
東京電機大学出版局
[96]
서적
Monte Carlo methods in financial engineering
Springer Science & Business Media
[97]
서적
数理ファイナンスの基礎: マリアバン解析と漸近展開の応用
東洋経済新報社
[98]
간행물
確率制御と数理ファイナンス
[99]
서적
The concepts and practice of mathematical finance
Cambridge University Press
[100]
서적
Introduction to mathematical finance
Blackwell Publishers
[101]
서적
Methods of mathematical finance
Springer
[102]
서적
生命保険数学の基礎
東京大学出版会
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웹사이트
数学科教育法に期待される教科指導力の育成
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