디리클레 등차수열 정리

3. 예

홀수 공차 ''d''를 갖는 등차수열 ''dn'' + ''a''는 항의 절반이 짝수이고, 나머지 절반은 ''n'' = 0부터 시작할 때 공차가 2''d''인 수열과 동일한 소수를 포함하는 경우가 많아 종종 고려 대상에서 제외되기도 한다. 예를 들어, 6''n'' + 1 수열은 3''n'' + 1 수열과 같은 소수를 생성하며, 6''n'' + 5 수열은 유일한 짝수 소수인 2를 제외하고 3''n'' + 2 수열과 같은 소수를 생성한다.

다음 표는 디리클레 등차수열 정리에 따라 무한히 많은 소수를 포함하는 여러 등차수열과 각 수열의 처음 몇 소수를 보여준다.

특히 4''n'' + 3 형태의 소수는 OEIS 수열 A002145에서 찾을 수 있다.

: 3, 7, 11, 19, 23, 31, 43, 47, 59, 67, 71, 79, 83, 103, 107, 127, 131, 139, 151, 163, 167, 179, 191, 199, 211, 223, 227, 239, 251, 263, 271, 283, ...

이 소수들은 다음 ''n'' 값에 해당한다: OEIS 수열 A095278

: 0, 1, 2, 4, 5, 7, 10, 11, 14, 16, 17, 19, 20, 25, 26, 31, 32, 34, 37, 40, 41, 44, 47, 49, 52, 55, 56, 59, 62, 65, 67, 70, 76, 77, 82, 86, 89, 91, 94, 95, ...

디리클레 정리의 더 강한 형태는 4''n'' + 3 형태 소수들의 역수의 합이 발산 급수임을 의미한다.

:$\backslash frac\{1\}\{3\}+\backslash frac\{1\}\{7\}+\backslash frac\{1\}\{11\}+\backslash frac\{1\}\{19\}+\backslash frac\{1\}\{23\}+\backslash frac\{1\}\{31\}+\backslash frac\{1\}\{43\}+\backslash frac\{1\}\{47\}+\backslash frac\{1\}\{59\}+\backslash frac\{1\}\{67\}+\backslash cdots\; =\; \backslash infty$

반복적인 방법을 사용하여 특정 형태의 소수를 생성할 수도 있다. 예를 들어, $4n+3$ 형태의 소수를 생성하는 한 가지 방법은 다음과 같다.

$a\_0=4(1)+3=7$로 시작한다.

다음으로 $a\_1=4a\_0+3=4(7)+3=31$을 계산하며, 31은 소수이다.

이어서 $4(a\_0)(a\_1)+3\; =\; 4(7)(31)+3=868+3=871$을 계산한다. 871은 $13\; \backslash times\; 67$로 소인수분해된다.

$4(7)(31)+3$은 $4n+3$ 형태이므로, 그 소인수 중 적어도 하나는 $4n+3$ 형태여야 한다. 실제로 $13\; =\; 4(3)+1$이고 $67=4(16)+3$이므로, 67이 해당 형태의 소수이다. 따라서 $a\_2=67$로 둔다.

이 과정을 계속하여 $4n+3$ 형태의 소수를 순차적으로 찾을 수 있다.

4. 역사

1737년, 레온하르트 오일러는 소수의 연구를 현재 리만 제타 함수로 알려진 것과 연결시켰다. 그는 $\backslash zeta(1)$의 값이 모든 소수 ''p''에 대해 두 무한 곱의 비율, Π ''p'' / Π (''p''–1)로 축소되고, 그 비율이 무한대임을 보였다.^[1][2] 1775년, 오일러는 등차수열 `a + nd`에서 `a = 1`일 때, 즉 1로 시작하는 모든 등차수열에 무한히 많은 소수가 존재한다는 정리를 추측했다.^[3] 이 특수한 경우는 원분 다항식을 사용하여 증명할 수 있다.

아드리앵마리 르장드르는 오일러의 추측을 임의의 등차수열로 일반화하였다. 르장드르는 2차 상호 법칙을 증명하려는 시도 과정에서 이 일반화된 형태를 처음 추측했다.^[4] 카를 프리드리히 가우스는 그의 저서 ''산술 탐구''에서 르장드르의 추측을 언급하기도 했다.^[5]

페터 구스타프 르죈 디리클레가 1837년에 이 정리를 증명하였다.^[7][8] 디리클레는 증명을 위해 디리클레 L-함수를 도입하였는데, 이는 소수의 분포에 관한 오일러의 이전 연구를 모델로 삼은 것이었다. 이 증명은 수론에 해석학적 기법을 도입한 중요한 사례로, 해석적 수론의 시작으로 여겨진다.

1949년에 아틀레 셀베르그가 초등적인 증명을 발표하였다.^[9]

5. 증명

디리클레 등차수열 정리는 일반적으로 디리클레 L-함수의 값이 $s=1$에서 0이 아님을 보이는 방식으로 증명된다. 이 증명은 미적분학과 해석적 정수론의 개념을 필요로 한다. 특히 $a=1$인 경우, 즉 $dn+1$ 꼴의 소수가 무한히 많다는 것은 원분 확대에서 소수의 분해를 분석하여 증명할 수도 있다.

정리 증명에는 해석적인 방법이 주로 사용되지만, 일부 특수한 경우($a$와 $d$의 특정 값)에 대해서는 더 초등적인 증명이 가능하다. 대표적인 예로 $4n+3$ 형태의 소수가 무한히 많다는 것을 증명하는 방법이 있다. 이 증명은 소수의 무한성에 대한 유클리드의 증명과 유사한 논리를 사용한다.

'''$4n+3$ 형태의 소수가 무한히 많다는 증명 (개요)'''

1. $4n+3$ 형태의 소수가 유한 개만 존재한다고 가정하고, 이 소수들을 $3,\; p\_1,\; p\_2,\; \backslash dots,\; p\_m$이라 하자.

2. $N\; =\; 4\; p\_1\; p\_2\; \backslash dots\; p\_m\; +\; 3$ 이라는 수를 생각한다.

3. $N$은 $3$으로 나누면 나머지가 $3$이고, $p\_i$ ($1\; \backslash le\; i\; \backslash le\; m$)로 나누어도 나머지가 $3$이므로, $3,\; p\_1,\; \backslash dots,\; p\_m$ 중 어떤 수로도 나누어떨어지지 않는다.

4. $N$을 소인수분해하면 $N\; =\; q\_1\; q\_2\; \backslash dots\; q\_r$ 형태가 된다. $N\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\; 4$이므로, $N$은 홀수이고, 모든 소인수 $q\_j$도 홀수이다.

5. 홀수 소수는 $4n+1$ 또는 $4n+3$ 형태이다. 만약 $N$의 모든 소인수가 $4n+1$ 형태라면, 그 곱인 $N$도 $N\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 4$가 되어야 한다. ($(4k+1)(4l+1)\; =\; 16kl+4k+4l+1\; =\; 4(4kl+k+l)+1\; \backslash equiv\; 1\; \backslash pmod\; 4$ 이므로)

6. 하지만 $N\; \backslash equiv\; 3\; \backslash pmod\; 4$이므로, $N$의 소인수 중 적어도 하나는 $4n+3$ 형태여야 한다. 이 소인수를 $q$라고 하자.

7. $q$는 $N$의 소인수이므로 $N$을 나눈다. 그런데 $q$는 $4n+3$ 형태의 소수이므로, 가정에 따라 $3,\; p\_1,\; \backslash dots,\; p\_m$ 중 하나여야 한다.

8. 하지만 3단계에서 $N$은 이 소수들로 나누어떨어지지 않는다고 했으므로 모순이 발생한다.

9. 따라서 초기 가정, 즉 $4n+3$ 형태의 소수가 유한하다는 가정이 잘못되었으며, $4n+3$ 형태의 소수는 무한히 많아야 한다.

'''디리클레 L-함수를 이용한 증명 (개요)'''

디리클레의 원래 증명은 디리클레 L-함수와 디리클레 지표의 성질을 이용한다. 증명의 핵심 아이디어는 특정 등차수열에 속하는 소수들의 역수의 합이 발산함을 보이는 것이다. 이는 리만 제타 함수 $\backslash zeta(s)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{1\}\{n^s\}\; =\; \backslash prod\_p\; \backslash frac\{1\}\{1-p^\{-s\}\}$가 $s=1$에서 발산한다는 사실로부터 모든 소수의 역수 합이 발산함을 보이는 것과 유사하다.

증명 과정은 다음과 같이 요약될 수 있다.

1. 법 $d$에 대한 디리클레 지표 $\backslash chi$를 정의하고, 이를 계수로 하는 디리클레 L-함수 $L(s,\; \backslash chi)\; =\; \backslash sum\_\{n=1\}^\{\backslash infty\}\; \backslash frac\{\backslash chi(n)\}\{n^s\}$를 도입한다.

2. $\backslash real\{s\}>1$일 때, L-함수는 오일러 곱 $L(s,\; \backslash chi)\; =\; \backslash prod\_p\; \backslash frac\{1\}\{1-\backslash chi(p)p^\{-s\}\}$으로 표현된다.

3. 오일러 곱에 로그를 취하면 $\backslash log\; L(s,\; \backslash chi)\; =\; \backslash sum\_p\; \backslash sum\_\{n\; \backslash ge\; 1\}\; \backslash frac\{\backslash chi(p^n)\}\{np^\{ns\}\}\; \backslash approx\; \backslash sum\_p\; \backslash frac\{\backslash chi(p)\}\{p^s\}$ (단, $s\; \backslash to\; 1^+$ 근방에서) 관계를 얻는다.

4. 디리클레 지표의 직교성 $\backslash sum\_\{\backslash chi\}\; \backslash overline\{\backslash chi(k)\}\; \backslash chi(j)\; =\; \backslash varphi(d)$ (만약 $j\; \backslash equiv\; k\; \backslash pmod\; d$) 또는 $0$ (그 외)을 이용한다. 여기서 $\backslash overline\{\backslash chi(k)\}$는 $\backslash chi(k)$의 켤레 복소수이다.

5. $\backslash log\; L(s,\; \backslash chi)$에 $\backslash overline\{\backslash chi(k)\}$를 곱하고 모든 지표 $\backslash chi$에 대해 합하면, 직교성에 의해 등차수열 $dn+k$에 속하는 소수들의 정보만 추출할 수 있다: $\backslash sum\_\{\backslash chi\}\; \backslash overline\{\backslash chi(k)\}\; \backslash log\; L(s,\; \backslash chi)\; =\; \backslash varphi(d)\; \backslash sum\_\{p\; \backslash equiv\; k\; \backslash pmod\; d\}\; \backslash frac\{1\}\{p^s\}\; +\; O(1)$.

6. L-함수의 성질에 따라, 자명한 지표 $\backslash chi\_0$에 대한 $L(s,\; \backslash chi\_0)$는 $s=1$에서 극점을 가지므로 $\backslash log\; L(s,\; \backslash chi\_0)$는 $s\; \backslash to\; 1^+$일 때 발산한다.

7. 디리클레는 자명하지 않은 지표 $\backslash chi\; \backslash ne\; \backslash chi\_0$에 대해 $L(1,\; \backslash chi)\; \backslash ne\; 0$임을 증명했다. 이는 증명의 가장 어려운 부분 중 하나이다. 이 결과에 따라 $\backslash log\; L(s,\; \backslash chi)$ ($\backslash chi\; \backslash ne\; \backslash chi\_0$)는 $s=1$에서 유계이다.

8. 따라서 5번 식의 좌변은 $s\; \backslash to\; 1^+$일 때 발산한다 (주로 $\backslash chi\_0$ 항 때문에). 그러므로 우변의 $\backslash sum\_\{p\; \backslash equiv\; k\; \backslash pmod\; d\}\; \backslash frac\{1\}\{p^s\}$ 또한 발산해야 한다.

9. 급수 $\backslash sum\_\{p\; \backslash equiv\; k\; \backslash pmod\; d\}\; \backslash frac\{1\}\{p^s\}$가 $s\; \backslash to\; 1^+$일 때 발산한다는 것은, 합에 포함되는 항, 즉 $p\; \backslash equiv\; k\; \backslash pmod\; d$를 만족하는 소수 $p$가 무한히 많다는 것을 의미한다.

이 정리는 가우스가 먼저 추측했다고 알려져 있으며, 1837년 디리클레가 L-함수라는 새로운 도구를 도입하여 증명에 성공했다. 이는 해석학적 방법을 정수론 문제에 성공적으로 적용한 중요한 사례로 평가받는다.

5. 1. 증명에 사용되는 개념

• 고정된 지표 $\backslash chi$에 대해:
• 고정된 정수 $n$에 대해:

• 만약 계수 $a\_n$이 유계(bounded)이면, 급수는 $\backslash real\{s\}>1$인 모든 $s$에 대해 절대수렴한다.
• 만약 부분합 $\backslash sum\_\{n=1\}^N\; a\_n$이 유계이면, 급수는 $\backslash real\{s\}>0$인 모든 $s$에 대해 수렴한다.

• 수렴성 및 정칙성:
• 모든 L-함수는 $\backslash real\{s\}>1$에서 절대수렴한다.
• $\backslash chi$가 자명하지 않은 지표($\backslash chi\; \backslash ne\; \backslash chi\_0$)일 경우, $L(s,\backslash chi)$는 $\backslash real\{s\}>0$ 영역에서 수렴하며 정칙이다. 이는 지표의 직교성 $\backslash sum\_\{n=1\}^d\; \backslash chi(n)\; =\; 0$ ($\backslash chi\; \backslash ne\; \backslash chi\_0$) 때문에 부분합이 유계이기 때문이다.
• $\backslash chi$가 자명한 지표($\backslash chi\; =\; \backslash chi\_0$)일 경우, $L(s,\backslash chi\_0)$는 $s=1$에서 단순 극을 가지며, 그 외 $\backslash real\{s\}>0$ 영역에서는 정칙이다. $L(s,\backslash chi\_0)$는 리만 제타 함수 $\backslash zeta(s)$와 밀접하게 관련되어 있다: $L(s,\backslash chi\_0)\; =\; \backslash zeta(s)\; \backslash prod\_\{p|d\}\; (1-p^\{-s\})$.

• 오일러 곱 표시: 정수의 소인수 분해 유일성과 지표 $\backslash chi$의 완전 곱셈적 성질을 이용하여, $\backslash real\{s\}>1$ 영역에서 L-함수를 모든 소수 $p$에 대한 무한곱으로 나타낼 수 있다. 이를 '''오일러 곱'''(Euler product)이라 한다.

6. 산술급수의 소수 정리

디리클레 등차수열 정리는 첫째 항과 공차가 서로소인 등차수열 안에 소수가 무한히 많다는 것을 알려준다. 산술급수의 소수 정리는 이 정리를 더 발전시켜, 이러한 소수들이 구체적으로 어떻게 분포하는지를 설명하는 정리로, 소수 정리를 등차수열의 경우로 확장한 것이다.

공차가 ''a''이고 첫째 항이 ''b''인 등차수열 $b,\; b+a,\; b+2a,\; \backslash dots$ 에서 ''a''와 ''b''가 서로소(gcd(a, b) = 1)라고 하자. 공차가 ''a''인 등차수열 중에서 첫째 항이 ''a''와 서로소인 경우는 총 $\backslash varphi(a)$가지가 있다. 여기서 $\backslash varphi(a)$는 오일러 피 함수이다. 산술급수의 소수 정리에 따르면, 소수는 이 $\backslash varphi(a)$개의 등차수열 각각에 거의 균등하게 분포한다. 즉, 각각의 등차수열은 전체 소수의 약 $1/\backslash varphi(a)$ 비율을 포함하게 된다.

이를 더 정확하게 수학적으로 표현하면 다음과 같다. 첫째 항 ''b''와 공차 ''a''가 서로소인 등차수열에 포함된 소수 중, ''x'' 이하인 것의 개수를 $\backslash pi\_\{a,b\}(x)$라고 할 때, ''x''가 충분히 크면 다음 근사식이 성립한다.

$\backslash pi\_\{a,b\}(x)\; \backslash sim\; \backslash frac\{1\}\{\backslash varphi(a)\}\backslash mathrm\{Li\}(x)$

여기서 $\backslash mathrm\{Li\}(x)$는 로그 적분 함수이다. 이 식은 전체 자연수에서 ''x'' 이하의 소수 개수 $\backslash pi(x)$가 $\backslash mathrm\{Li\}(x)$에 근사한다는 소수 정리와 유사한 형태를 가진다.

이 정리는 디리클레가 등차수열 정리를 증명했을 당시에는 아직 증명되지 않은 추측이었으나, 이후 1896년 소수 정리를 증명한 자크 아다마르와 샤를 드 라 발레푸생 중, 발레푸생에 의해 증명되었다.

참고로, 등차수열 내 소수 분포를 더 자세히 살펴보면, 특정 조건 하에서 어떤 종류의 등차수열이 다른 종류보다 약간 더 많은 소수를 포함하는 경향이 나타나기도 하는데, 이를 체비쇼프 편향이라고 한다.

7. 일반화

부냐콥스키 추측은 디리클레 정리를 고차 다항식으로 일반화한다. 예를 들어, ''x''² + 1과 같은 단순한 이차 다항식이 무한히 많은 소수 값을 생성하는지 여부는 란다우의 네 번째 문제로 알려진 중요한 미해결 문제이다.

딕슨 추측은 디리클레 정리를 여러 개의 다항식으로 일반화한다.

신젤의 가설 H는 부냐콥스키 추측과 딕슨 추측을 모두 일반화하는 것으로, 차수가 1보다 큰 여러 개의 다항식에 대한 내용을 다룬다.

대수적 정수론에서는 디리클레 정리를 체보타레프 밀도 정리로 일반화한다.

린닉의 정리 (1944년)는 주어진 등차수열에서 가장 작은 소수의 크기에 대한 정리이다. 린닉은 등차수열 ''a'' + ''nd'' (여기서 ''n''은 양의 정수)가 최대 ''cd^L'' 크기의 소수를 포함한다는 것을 증명했다. 여기서 ''c''와 ''L''은 절대 상수이며, 이후 연구를 통해 ''L'' 값은 5까지 줄어들었다.

디리클레 정리와 유사한 정리가 역학계의 틀 안에서도 성립한다는 것이 T. 스나다와 A. 카츠다에 의해 1990년에 밝혀졌다.

또한, 쉬우(Shiu)는 디리클레 정리의 조건을 만족하는 모든 등차수열이 실제로는 임의로 긴 '연속적인' 소수의 묶음을 포함한다는 것을 보였다.^[6]

참조

_[1] 논문 Variae observationes circa series infinitas https://books.google[...] 1737
_[2] 서적 The Early Mathematics of Leonhard Euler https://books.google[...] The Mathematical Association of America 2007
_[3] 간행물 "De summa seriei ex numeris primis formatae 1/3 − 1/5 + 1/7 + 1/11 − 1/13 − 1/17 + 1/19 + 1/23 − 1/29 + 1/31 etc. ubi numeri primi formae 4''n'' − 1 habent signum positivum, formae autem 4''n'' + 1 signum negativum" https://books.google[...] Imperial Academy of Sciences 1785
_[4] 간행물 Recherches d'analyse indéterminée https://archive.org/[...] 1785
_[5] 서적 Disquisitiones arithmeticae https://babel.hathit[...] Gerhard Fleischer, Jr. 1801
_[6] 논문 Strings of congruent primes 2000
_[7] 저널 Beweis des Satzes, dass jede unbegrenzte arithmetische Progression, deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschaftlichen Factor sind, unendlich viele Primzahlen enthält
_[8] 저널
_[9] 저널 An elementary proof of Dirichlet's theorem about primes in an arithmetic progression https://archive.org/[...]