작은 각도 근사

1. 개요

작은 각도 근사는 삼각 함수의 값을 근사하는 데 사용되는 수학적 근사법으로, 각도가 작을 때 사인, 탄젠트 함수는 각도와 거의 같고, 코사인 함수는 1에 가깝다는 것을 의미한다. 이러한 근사는 기하학적, 미적분학적, 대수적 방법으로 유도될 수 있으며, 삼각 함수의 테일러 급수 전개를 통해 설명될 수 있다. 작은 각도 근사는 각도의 크기가 작을수록 정확도가 높아지며, 천문학, 진자 운동, 광학, 구조 역학, 항공 항법 등 다양한 분야에서 활용된다.

2. 정당화

작은 각 근사의 정당성은 기하학적, 미적분학적, 대수적 방법으로 설명할 수 있다.

각도의 크기가 0에 가까워질수록 근사치와 원래 함수의 차이도 0에 가까워지는데, 이는 다음 그림에서 확인할 수 있다.

--
--

2.1. 기하학적 증명

오른쪽 그림에서 빨간색 부분 d는 빗변 H와 밑변 A의 길이 차이를 나타낸다. 그림에서 볼 수 있듯이, H와 A는 거의 같은 길이를 가지며, 이는 가 1에 가깝다는 것을 의미한다. 따라서, 는 빨간색 부분을 줄이는 데 도움이 된다.

:$$\backslash cos\{\backslash theta\}\; \backslash approx\; 1\; -\; \backslash frac\{\backslash theta^2\}\{2\}$$

맞은편 변 O는 파란색 호의 길이 s와 거의 같다. 기하학에서 이고, 삼각법에서 및 이다. 그림에서 이고 이므로, 다음이 성립한다.

:$$\backslash sin\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{O\}\{H\}\backslash approx\backslash frac\{O\}\{A\}\; =\; \backslash tan\; \backslash theta\; =\; \backslash frac\{O\}\{A\}\; \backslash approx\; \backslash frac\{s\}\{A\}\; =\; \backslash frac\{A\backslash theta\}\{A\}\; =\; \backslash theta.$$

위 식을 단순화하면 다음과 같다.

:$$\backslash sin\; \backslash theta\; \backslash approx\; \backslash tan\; \backslash theta\; \backslash approx\; \backslash theta.$$

2.2. 미적분학적 증명

조임 정리를 사용하면 다음을 증명할 수 있다.

:lim^영어 sin(θ)/θ^영어 = 1

이는 작은 θ 값에 대해 sin(θ) ≈ θ라는 근사를 공식적으로 뒷받침한다.

조임 정리를 좀 더 신중하게 적용하면 다음을 알 수 있다.

:lim^영어 tan(θ)/θ^영어 = 1

이를 통해 작은 θ 값에 대해 tan(θ) ≈ θ라고 결론 내릴 수 있다.

마지막으로, 로피탈의 정리에 따르면 다음과 같다.

:lim^영어 (cos(θ) - 1)/θ²^영어 = lim^영어 (-sin(θ))/2θ^영어 = -1/2^영어

이는 작은 θ 값에 대해 cos(θ) ≈ 1 - (θ²/2)로 재배치할 수 있다. 또는, 이중각 공식 cos 2A ≡ 1 - 2sin²A를 사용할 수 있다. θ = 2A로 놓으면, cosθ = 1 - 2sin²(θ/2) ≈ 1 - (θ²/2)를 얻을 수 있다.

2.3. 대수적 증명

삼각 함수의 테일러 급수 전개에 따르면 사인, 코사인, 탄젠트는 0 근처에서 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\sin \theta &= \theta - \frac16\theta^3 + \frac1{120}\theta^5 - \cdots, \\[6mu]
\cos \theta &= 1 - \frac1{2}{\theta^2} + \frac1{24}\theta^4 - \cdots, \\[6mu]
\tan \theta &= \theta + \frac{1}{3}\theta^3 + \frac{2}{15}\theta^5 + \cdots.
\end{align}

여기서 θ는 라디안 단위이다. 매우 작은 각도에서 θ의 고차 항은 극도로 작아진다. 예를 들어 θ = 0.01이면 θ³ = 0.000001로, θ의 만 분의 일에 불과하다. 따라서 많은 경우 3차 이상 항을 버리고 sinθ ≈ tanθ ≈ θ로 근사하고, 2차 항을 버리고 cosθ ≈ 1로 근사한다.

더 정밀하게는 2차 및 3차 항을 포함할 수도 있다.

:sinθ ≈ θ - θ³,
:cosθ ≈ 1 - θ²,
:tanθ ≈ θ + θ³.

이중수는 a, b ∈ ℝ이고 ε² = 0, ε ≠ 0인 a + bε 형태의 수이다. 이중수와 코사인, 사인의 매클로린 급수를 사용하면 cos(θε) = 1, sin(θε) = θε임을 보일 수 있다. 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.

:$$\backslash sin^2(\backslash theta\backslash varepsilon)\; +\; \backslash cos^2(\backslash theta\backslash varepsilon)\; =\; (\backslash theta\backslash varepsilon)^2\; +\; 1^2\; =\; \backslash theta^2\backslash varepsilon^2\; +\; 1\; =\; \backslash theta^2\; \backslash cdot\; 0\; +\; 1\; =\; 1$$

3. 근사의 오차

0에 가까울수록, cos^영어 θ ≈ 1, sin^영어 θ ≈ θ, tan^영어 θ ≈ θ 근사의 상대 오차는 θ에 대해 2차 함수적이다. 각도가 한 자릿수 작아질 때마다 이러한 근사의 상대 오차는 두 자릿수만큼 줄어든다. cos^영어 θ ≈ 1 - tfrac^영어2^영어θ² 근사는 θ에 대해 4차 함수적 상대 오차를 가지며, 각도가 한 자릿수 작아질 때마다 상대 오차는 네 자릿수만큼 줄어든다.

상대 오차가 1%를 초과하는 각도는 다음과 같다.

4. 각의 덧셈과 뺄셈 공식

β^영어 ≈ 0일 때, 각의 덧셈과 뺄셈 공식은 다음과 같이 축약된다.

5. 활용 예시

작은 각 근사는 여러 분야에서 유용하게 활용된다.

* [[천문학]]: 멀리 있는 천체의 각 크기는 매우 작아 작은 각 근사를 적용하기에 적합하다.
* [[진자 (역학)#작은 각도 근사|진자 운동]]: 단진자의 주기를 계산할 때 사인에 대한 작은 각도 근사를 사용하면, 단순 조화 운동을 설명하는 미분 방정식과 비교하여 쉽게 풀 수 있다.
* [[광학]]: 근축 근사의 기초가 되며, 이중 슬릿 실험이나 회절 격자와 관련된 방정식을 단순화하는 데 사용된다.
* 구조 역학: 안정성 및 분기 분석, 특히 좌굴을 겪는 기둥의 분석에 활용되어 계산을 단순화한다.
* [[항공 항법]]: 1/60 규칙은 작은 각도 근사를 바탕으로 한다.
* [[보간법]]: 삼각 함수 표 값 사이의 보간에 사용되어, 표에 없는 값의 근삿값을 구할 수 있다. 예를 들어 sin(0.755)는 sin(0.75) + (0.005)cos(0.75) ≈ 0.6853으로 계산할 수 있다.

5.1. 천문학

천문학에서 멀리 떨어진 천체의 시직경은 매우 작아 수 초 단위인 경우가 많으므로 작은 각 근사를 사용하기 유리하다. 천체의 크기를 D, 각 크기를 X (각초 단위), 관측자로부터의 거리를 d라고 하면 다음과 같은 간단한 관계식을 얻을 수 있다.

:$D=X\; \backslash frac\{d\}\{206265\}$

여기서 206,265는 1 라디안을 각초로 환산한 값으로, 원주 ($2\backslash pi$)를 원 하나의 각초 (1,296,000)로 나눈 값이다.

정확한 공식은 다음과 같다.

:$D=\; d\; \backslash tan\; \backslash left(\; X\; \backslash frac\{2\; \backslash pi\; \}\{1296000\}\; \backslash right)$

위의 근사는 $\backslash tan\; X$를 $X$로 대체하여 얻어진다.

5.2. 진자 운동

괘종시계 같은 진자시계에서 진자의 운동은 작은 각도 근사를 통해 단순조화진동으로 해석할 수 있다. sin θ ≈ θ 근사를 통해 진자의 주기를 계산할 수 있고, cos θ ≈ 1 - (θ²/2) 근사를 통해 진자의 포텐셜 에너지를 쉽게 계산할 수 있으며, 이와 함께 라그랑주 역학을 이용해서 간접적으로 운동 방정식을 구할 수 있다.

2차 코사인 근사는 포텐셜 에너지를 계산할 때 특히 유용하며, 이를 라그랑주 역학과 함께 적용하여 간접적인 (에너지) 운동 방정식을 찾을 수 있다.

단진자의 주기를 계산할 때, 사인에 대한 작은 각도 근사를 사용하여, 결과적인 미분 방정식을 단순 조화 운동을 설명하는 미분 방정식과 비교하여 쉽게 풀 수 있도록 한다.

5.3. 광학

광학에서 근축 근사는 작은 각 근사에 기초를 두고 있다. 광선 추적 행렬도 근축근사의 작은 각 근사를 바탕으로 기술한다. 사인과 탄젠트의 작은 각도 근사는 이중 슬릿 실험 또는 회절 격자와 관련하여 다음과 같은 단순화된 방정식을 개발하는 데 사용된다. 여기서 y는 최대 광도의 중심에서 간섭 무늬까지의 거리이고, m은 간섭 무늬의 차수이며, D는 슬릿과 투사 스크린 사이의 거리이고, d는 슬릿 사이의 거리이다.

:$$y\; \backslash approx\; \backslash frac\{m\backslash lambda\; D\}\{d\}$$

5.4. 구조 역학

구조 역학에서 작은 각도 근사는 안정성 및 분기 분석, 특히 좌굴을 겪는 기둥의 분석에 사용된다. 이는 정확도와 실제 거동에 대한 통찰력을 희생하는 대신 상당한 단순화를 가져온다.

5.5. 항공 항법

항공 항법에서 1/60 규칙은 작은 각도 근사를 바탕으로 한다. 60마일을 비행할 때 1도 오차가 있으면, 원래 목적지에서 약 1마일 정도 오차가 생긴다는 법칙이다.

5.6. 보간법

삼각함수의 덧셈에서 작은 각 근사는 삼각함수 표에 나와 있지 않은 값들에 대해 근사한 값을 얻을 수 있게 한다. 작은 각도를 포함하는 덧셈과 뺄셈 공식은 삼각 함수 표 값 사이의 보간법에 사용될 수 있다.

예를 들어, 라디안 0.75의 삼각함수 값이 주어져 있고, sin(0.755)의 값을 알고 싶으면 다음과 같이 구할 수 있다.

sin(0.755) = sin(0.75 + 0.005) ≈ sin(0.75) + (0.005)cos(0.75) ≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317) ≈ 0.6853.

여기서 sin(0.75)와 cos(0.75)의 값은 삼각 함수 표에서 얻는다. 결과는 주어진 네 자리 숫자까지 정확하다.