작은 각도 근사

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1. 개요
2. 정당화
3. 근사의 오차
4. 각의 덧셈과 뺄셈 공식
5. 활용 예시
참조

1. 개요

작은 각도 근사는 삼각 함수의 값을 근사하는 데 사용되는 수학적 근사법으로, 각도가 작을 때 사인, 탄젠트 함수는 각도와 거의 같고, 코사인 함수는 1에 가깝다는 것을 의미한다. 이러한 근사는 기하학적, 미적분학적, 대수적 방법으로 유도될 수 있으며, 삼각 함수의 테일러 급수 전개를 통해 설명될 수 있다. 작은 각도 근사는 각도의 크기가 작을수록 정확도가 높아지며, 천문학, 진자 운동, 광학, 구조 역학, 항공 항법 등 다양한 분야에서 활용된다.

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작은 각도 근사
개요
설명	작은 각도에서 삼각함수의 근사
관련 주제	삼각함수, 미적분학
작은 각도 근사
조건	x → 0
단위	라디안
sin(x)	sin(x) ≈ x
cos(x)	cos(x) ≈ 1 - x²/2
tan(x)	tan(x) ≈ x
각도 단위 변환
변환 상수	π/180
sin(x°)	sin(x°) ≈ πx/180
tan(x°)	tan(x°) ≈ πx/180

2. 정당화

작은 각 근사의 정당성은 기하학적, 미적분학적, 대수적 방법으로 설명할 수 있다.

각도의 크기가 0에 가까워질수록 근사치와 원래 함수의 차이도 0에 가까워지는데, 이는 다음 그림에서 확인할 수 있다.

2. 1. 기하학적 증명

오른쪽 그림에서 빨간색 부분 d는 빗변 H와 밑변 A의 길이 차이를 나타낸다. 그림에서 볼 수 있듯이, H와 A는 거의 같은 길이를 가지며, 이는 가 1에 가깝다는 것을 의미한다. 따라서, 는 빨간색 부분을 줄이는 데 도움이 된다.^[1]

:

\cos{\theta} \approx 1 - \frac{\theta^2}{2}

맞은편 변 O는 파란색 호의 길이 s와 거의 같다. 기하학에서 이고, 삼각법에서 및 이다. 그림에서 이고 이므로, 다음이 성립한다.^[1]

:

\sin \theta = \frac{O}{H}\approx\frac{O}{A} = \tan \theta = \frac{O}{A} \approx \frac{s}{A} = \frac{A\theta}{A} = \theta.

위 식을 단순화하면 다음과 같다.^[1]

:

\sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta.

2. 2. 미적분학적 증명

조임 정리를 사용하면^[6] 다음을 증명할 수 있다.

:lim|θ→0^영어 sin(θ)/θ|θ가 0으로 갈 때 사인 θ 나누기 θ^영어 = 1

이는 작은 ''θ'' 값에 대해 sin(''θ'') ≈ ''θ''라는 근사를 공식적으로 뒷받침한다.

조임 정리를 좀 더 신중하게 적용하면 다음을 알 수 있다.

:lim|θ→0^영어 tan(θ)/θ|θ가 0으로 갈 때 탄젠트 θ 나누기 θ^영어 = 1

이를 통해 작은 ''θ'' 값에 대해 tan(''θ'') ≈ ''θ''라고 결론 내릴 수 있다.

마지막으로, 로피탈의 정리에 따르면 다음과 같다.

:lim|θ→0^영어 (cos(θ) - 1)/θ²|θ가 0으로 갈 때 (코사인 θ - 1) 나누기 θ 제곱^영어 = lim|θ→0^영어 (-sin(θ))/2θ|θ가 0으로 갈 때 -사인 θ 나누기 2θ^영어 = -1/2|2분의 1^영어

이는 작은 ''θ'' 값에 대해 cos(''θ'') ≈ 1 - (''θ''²/2)로 재배치할 수 있다. 또는, 이중각 공식 cos 2A ≡ 1 - 2sin²A를 사용할 수 있다. ''θ'' = 2A로 놓으면, cos''θ'' = 1 - 2sin²(''θ''/2) ≈ 1 - (''θ''²/2)를 얻을 수 있다.

2. 3. 대수적 증명

삼각 함수의 테일러 급수 전개에 따르면 사인, 코사인, 탄젠트는 0 근처에서 다음과 같다.^[2]

:

\begin{align}\sin \theta &= \theta - \frac16\theta^3 + \frac1{120}\theta^5 - \cdots, \\[6mu]\cos \theta &= 1 - \frac1{2}{\theta^2} + \frac1{24}\theta^4 - \cdots, \\[6mu]\tan \theta &= \theta + \frac{1}{3}\theta^3 + \frac{2}{15}\theta^5 + \cdots.\end{align}

여기서 θ는 라디안 단위이다. 매우 작은 각도에서 θ의 고차 항은 극도로 작아진다. 예를 들어 θ = 0.01이면 θ³ = 0.000001로, θ의 만 분의 일에 불과하다. 따라서 많은 경우 3차 이상 항을 버리고 sinθ ≈ tanθ ≈ θ로 근사하고, 2차 항을 버리고 cosθ ≈ 1로 근사한다.

더 정밀하게는 2차 및 3차 항을 포함할 수도 있다.

:sinθ ≈ θ - θ³,

:cosθ ≈ 1 - θ²,

:tanθ ≈ θ + θ³.

이중수는 a, b ∈ ℝ이고 ε² = 0, ε ≠ 0인 a + bε 형태의 수이다. 이중수와 코사인, 사인의 매클로린 급수를 사용하면 cos(θε) = 1, sin(θε) = θε임을 보일 수 있다. 피타고라스 정리에 따라 다음이 성립한다.

:

\sin^2(\theta\varepsilon) + \cos^2(\theta\varepsilon) = (\theta\varepsilon)^2 + 1^2 = \theta^2\varepsilon^2 + 1 = \theta^2 \cdot 0 + 1 = 1

3. 근사의 오차

0에 가까울수록, cos|코사인^영어 θ ≈ 1, sin|사인^영어 θ ≈ θ, tan|탄젠트^영어 θ ≈ θ 근사의 상대 오차는 θ에 대해 2차 함수적이다. 각도가 한 자릿수 작아질 때마다 이러한 근사의 상대 오차는 두 자릿수만큼 줄어든다. cos|코사인^영어 θ ≈ 1 - tfrac|1^영어2^영어θ² 근사는 θ에 대해 4차 함수적 상대 오차를 가지며, 각도가 한 자릿수 작아질 때마다 상대 오차는 네 자릿수만큼 줄어든다.

상대 오차가 1%를 초과하는 각도는 다음과 같다.

근사	상대 오차가 1%를 초과하는 각도
cos\|코사인^영어 θ ≈ 1	약 0.14 라디안(8.1°)
tan\|탄젠트^영어 θ ≈ θ	약 0.17 라디안(9.9°)
sin\|사인^영어 θ ≈ θ	약 0.24 라디안(14.0°)
cos\|코사인^영어 θ ≈ 1 - tfrac\|1^영어2^영어θ²	약 0.66 라디안(37.9°)

4. 각의 덧셈과 뺄셈 공식

β^영어 ≈ 0일 때, 각의 덧셈과 뺄셈 공식은 다음과 같이 축약된다.

cos(α + β) ≈ cos(α) − β sin(α)

cos(α − β) ≈ cos(α) + β sin(α)

sin(α + β) ≈ sin(α) + β cos(α)

sin(α − β) ≈ sin(α) − β cos(α)

5. 활용 예시

작은 각 근사는 여러 분야에서 유용하게 활용된다.

천문학: 멀리 있는 천체의 각 크기는 매우 작아 작은 각 근사를 적용하기에 적합하다.
진자 운동: 단진자의 주기를 계산할 때 사인에 대한 작은 각도 근사를 사용하면, 단순 조화 운동을 설명하는 미분 방정식과 비교하여 쉽게 풀 수 있다.
광학: 근축 근사의 기초가 되며, 이중 슬릿 실험이나 회절 격자와 관련된 방정식을 단순화하는 데 사용된다.
구조 역학: 안정성 및 분기 분석, 특히 좌굴을 겪는 기둥의 분석에 활용되어 계산을 단순화한다.
항공 항법: 1/60 규칙은 작은 각도 근사를 바탕으로 한다.
보간법: 삼각 함수 표 값 사이의 보간에 사용되어, 표에 없는 값의 근삿값을 구할 수 있다. 예를 들어 sin(0.755)는 sin(0.75) + (0.005)cos(0.75) ≈ 0.6853으로 계산할 수 있다.

5. 1. 천문학

천문학에서 멀리 떨어진 천체의 시직경은 매우 작아 수 초 단위인 경우가 많으므로 작은 각 근사를 사용하기 유리하다.^[8] 천체의 크기를 ''D'', 각 크기를 ''X'' (각초 단위), 관측자로부터의 거리를 ''d''라고 하면 다음과 같은 간단한 관계식을 얻을 수 있다.

:

D=X \frac{d}{206265}

여기서 206,265는 1 라디안을 각초로 환산한 값으로, 원주 (

2\pi

)를 원 하나의 각초 (1,296,000)로 나눈 값이다.

정확한 공식은 다음과 같다.

:

D= d \tan \left( X \frac{2 \pi }{1296000} \right)

위의 근사는

\tan X

를

X

로 대체하여 얻어진다.

5. 2. 진자 운동

괘종시계 같은 진자시계에서 진자의 운동은 작은 각도 근사를 통해 단순조화진동으로 해석할 수 있다.^[1] sin θ ≈ θ 근사를 통해 진자의 주기를 계산할 수 있고, cos θ ≈ 1 - (θ²/2) 근사를 통해 진자의 포텐셜 에너지를 쉽게 계산할 수 있으며, 이와 함께 라그랑주 역학을 이용해서 간접적으로 운동 방정식을 구할 수 있다.^[1]

2차 코사인 근사는 포텐셜 에너지를 계산할 때 특히 유용하며, 이를 라그랑주 역학과 함께 적용하여 간접적인 (에너지) 운동 방정식을 찾을 수 있다.^[1]

단진자의 주기를 계산할 때, 사인에 대한 작은 각도 근사를 사용하여, 결과적인 미분 방정식을 단순 조화 운동을 설명하는 미분 방정식과 비교하여 쉽게 풀 수 있도록 한다.^[1]

5. 3. 광학

광학에서 근축 근사는 작은 각 근사에 기초를 두고 있다. 광선 추적 행렬도 근축근사의 작은 각 근사를 바탕으로 기술한다.^[3] 사인과 탄젠트의 작은 각도 근사는 이중 슬릿 실험 또는 회절 격자와 관련하여 다음과 같은 단순화된 방정식을 개발하는 데 사용된다. 여기서 ''y''는 최대 광도의 중심에서 간섭 무늬까지의 거리이고, ''m''은 간섭 무늬의 차수이며, ''D''는 슬릿과 투사 스크린 사이의 거리이고, ''d''는 슬릿 사이의 거리이다.^[3]

:

y \approx \frac{m\lambda D}{d}

5. 4. 구조 역학

구조 역학에서 작은 각도 근사는 안정성 및 분기 분석, 특히 좌굴을 겪는 기둥의 분석에 사용된다. 이는 정확도와 실제 거동에 대한 통찰력을 희생하는 대신 상당한 단순화를 가져온다.

5. 5. 항공 항법

항공 항법에서 1/60 규칙은 작은 각도 근사를 바탕으로 한다. 60마일을 비행할 때 1도 오차가 있으면, 원래 목적지에서 약 1마일 정도 오차가 생긴다는 법칙이다.^[1]

5. 6. 보간법

삼각함수의 덧셈에서 작은 각 근사는 삼각함수 표에 나와 있지 않은 값들에 대해 근사한 값을 얻을 수 있게 한다. 작은 각도를 포함하는 덧셈과 뺄셈 공식은 삼각 함수 표 값 사이의 보간법에 사용될 수 있다.

예를 들어, 라디안 0.75의 삼각함수 값이 주어져 있고, sin(0.755)의 값을 알고 싶으면 다음과 같이 구할 수 있다.

sin(0.755) = sin(0.75 + 0.005) ≈ sin(0.75) + (0.005)cos(0.75) ≈ (0.6816) + (0.005)(0.7317) ≈ 0.6853.

여기서 sin(0.75)와 cos(0.75)의 값은 삼각 함수 표에서 얻는다. 결과는 주어진 네 자리 숫자까지 정확하다.

참조

_[1] 웹사이트 Small-Angle Approximation ! Brilliant Math & Science Wiki https://brilliant.or[...] 2020-07-22
_[2] 서적 Mathematical Methods in the Physical Sciences Wiley
_[3] 웹사이트 Slit Interference http://hyperphysics.[...]
_[4] 간행물 Modern Introductory Physics https://books.google[...] Springer Science & Business Media
_[5] 간행물 Engineering Mechanics: Statics and Dynamics https://books.google[...] McGraw-Hill Higher Education
_[6] 간행물 Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions https://books.google[...] Cengage Learning
_[7] 간행물 Spherical Astronomy https://books.google[...] Cambridge University Press
_[8] 서적 Spherical Astronomy https://books.google[...] Cambridge University Press 1985

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